西安科技大学电路教案ch3教案

第3章电路的基本分析方法
教学目的：通过本章的学习，使学生了解树的概念，树支，连支，电路的拓扑关系；掌握电路KCL和KVL方程的独立性；掌握并熟练应用支路电流法、回路分析法以及节点分析法。

要求：
1.熟练掌握电路的拓扑关系；
2.掌握电路KCL和KVL方程的独立性；
3.熟练掌握电路分析的常用方法：支路电流法网孔电流和回路电流法节点分析法。

重点：
1. 电路的KCL和KVL方程的独立性；
2. 电路分析方法的应用。

难点：支路电流法网孔电流和回路电流法节点分析法。

内容：
1 电路的拓扑关系
2 电路KCL和KVL方程的独立性
3 支路电流法
4 网孔电流和回路电流法
5结点分析法
本次课主要介绍电路的拓扑关系以及电路的KCL 、KVL 方程的独立性。

课题：3.1 电路的拓扑关系；3.2 电路的KCL 、KVL 方程的独立性；3.3支路电流法 目的要求：熟练掌握树的概念，树支，连支，电路的拓扑关系；掌握电路KCL 和KVL 方程的独立性；熟练掌握支路电流法。

讲授新课：内容如下。

§3.1 电路的拓扑关系
一 基本概念
1．图（Graph ）：结点和支路的集合。

支路用线段表示，支路和支路的连接点称为结点。

注意：
（1）图中允许独立的结点存在，即没有支路和该结点相连，独立结点也称为孤立结点； （2）在图中，任何支路的两端必须落在结点上；如果移去一个结点，就必须把和该结点相连的所有支路均移去；移去一条支路则不影响和它相连的结点（若将和某一结点相连的所有支路均移去，则该结点就变成孤立结点）；
（3）若一条支路和某结点相连称为该支路和该结点关联，和一个结点所连的所有支路称为这些支路和该结点关联。

例，图3-1中，图G1有4个结点、6条支路；图2G 中有5个结点5条支路，结点⑤是孤立结点。

如果在1G 中移去结点④则和它关联的支路（3，5，6）均要移去，这样1G 就变成图（c ）3G ；如果在1G 中分别移去支路2、3、6（和它们关联的结点不能移去）则1G 就变成图（d ）4G 。

1
5
（
a ）1G
（b ）2G
（c ）3G （d ）4G
图3-1 图的概念说明图
2．连通图：图G 中任意两个结点之间至少存在一条路径，则称该图为连通图。

例如，图3-1中的图1G 、3G 和4G 是连通图，而图2G 不是连通图（因为没有一条路径可以到达结点⑤）
3．回路：如果一条路径的起点和终点重合，且经过的其它结点都相异，则这条闭合路径就构成图G 的一个回路。

例如，图3-1，图2G 中的支路5不是回路，图3G 就是一个回路，图4G 中没有回路，图1G 中支路（1，2，4）、（4，5，6）、（2，3，5）、（1，2，5，6）和（1，3，6）分别构成回路。

4．树（Tree ）：包含所有结点且不存在回路的连通图。

特点：（1）连通的；（2）包含全部结点；（3）不包含回路。

例如，图3-1的图2G 中不可能得到一个树T ，因为它是不连通的；图3-1中图4G 是图1G 的一个树，因为它包括了图1G 的所有结点并且是连通的，如果移去树中的任一条支路，树T 的图就被分成两个部分。

例如移去支路1、4、5的任何一个，图4G 就被分成两个部分。

5．树支：够成树的各个支路 连支：除去树支外的支路
例如图3-1中，图4G 是图1G 的一个树T ，树支为1、4、5支路，连支为2、3、6支路，树支数和连支数均为3。

在图1G 中，可以找到其它不同的树，如树（由支路1、4、6构成）和树（由支路2、4、5构成）等。

结论：具有n 个结点的连通图，它的任何一个树的树支数为)1(-n 。

那末，对于具有n 个结点b 条支路的连通图来说，连支数为)]1([--n b 。

6．基本回路（单连支回路）：回路中由唯一的连支和若干树支构成，这样的回路称为基本回路（单连支回路）。

例如图3-1中，选图4G 作为图1G 的一个树T ，如在4G 中分别补入连支2、3和6，就得到3个不同的回路，即回路（2，1，4）、（3，5，4，1）和（6，4，5），它们都是单连支回路，所以它们是图1G 的基本回路（3个）。

基本回路组：连通图G 的所有基本回路称为基本回路组，基本回路组是独立回路组。

结论：一个具有n 个结点，b 条支路的连通图，基本回路或独立回路的个数为)]1([--n b 7．有向图：图中每条支路上都标有一个方向，则称图G 为有向图。

二 电路模型与图的关系
将电路中的支路用图中的支路表示，电路中的结点保持不变，这样一个电路模型就可以转换成对应的图。

例如，将图3-2（a ）所示的电路可以转换成图（b ）所示的图G 。

转换后的图G 有4个结点、6条支路。

可见，由一个完整的电路所转换成的图G 均是连通的。

=
（a ） （b ）G （c ）有向图
图3-2 电路模型到图的例子
给图中的各支路赋予参考方向，就形成了有向图。

有了电路的有向图以后，就可以列出图中所有结点上的KCL 方程和所有回路的KVL 方程。

§3.2 电路的KCL 、KVL 方程的独立性
一 KCL 方程的独立性
有向图3-2（c ），对结点①、②、③、④分别列出KCL 方程为
0641=++i i i
0542=+-i i i 0653=--i i i 0321=---i i i
将这4个方程相加，其结果为00=，这说明上述4个KCL 方程是非独立的（线性相关的），即任何一个方程可以由其它3个方程线性表示。

如果在以上4个方程中任意去掉一个方程，例如去掉第4个方程，剩余3个方程相加的结果为0321≠++i i i 。

可见，剩余的3个方程彼此就是独立的。

推广，n 个结点的所有KCL 方程之和为
0)]()[()(1
1
≡-++=∑∑∑==j
b
j j
n k k
i i i
是非独立的（线性相关），如果在n 个KCL 方程中任意去掉1个，则剩余的)1(-n 个方程之和不等于零，即剩余的)1(-n 个方程是相互独立的。

这)1(-n 个方程也是n 个KCL 方程中最大的线性无关方程的个数。

结论：对于有n 个结点b 条支路的有向图而言，KCL 方程的独立个数为)1(-n 个。

二 KVL 方程的独立性
一个有n 个结点b 条支路的连通图G ，其中的基本回路或独立回路的个数为)]1([--n b 。

对于有n 个结点b 条支路的有向图或电路，任何树的树支数是)1(-n ，连支数是)]1([--n b 。

如果所有回路均是单连支回路，并且和所有连支一一对应，则这些回路
就是基本回路，基本回路是彼此独立的，则基本回路对应的KVL 方程相互之间是独立的。

设独立方程数的个数为l ，它等于连支数的个数，即)1(--=n b l 。

对于有n 个结点b 条支路的电路，设独立回路数为)]1([--=n b l ，则
0)
(1
≠∑∑=l
k k
u
该式说明，将l 个独立的KVL 方程相加，其结果必不等于零。

若电路中任意数目的回路数l g >，g 个KVL 方程之间不是彼此独立的，所以l 是具有n 个结点b 条支路电路的最大线性无关的KVL 方程个数。

例如图3-3是图3-2（c ）所示的有向图，设支路1、4、5为树支，则连支为2、3、6支路，这样所有的单连支（独立）回路为（2，1，4）、（3，1，4，5）、（6，5，4）。

如图所示分别定义它们为回路1l 、2l 和3l ，设所有回路的绕行方向均为顺时针方向，则KVL 方程依次为
0412=+-u u u (3-1a) 05413=++-u u u u (3-1b) 0546=--u u u (3-1c)
图3-3 基本回路的KVL 方程
如果再列出回路（2，3，5）的KVL 方程
0532=--u u u (3-1d)
则上述4个方程是非独立的，因为从（3-1a ）和（3-1b ）式中可得（3-1d ）式
§3-3 支路电流法
一 分析电路的基本思路
由前面的分析知道，对于具有n 个结点b 条支路的电路，可以列出)1(-n 个独立的KCL 方程和)]1([--n b 个独立的KVL 方程，支路上的VCR 方程是b 个，则方程总数为2b 个。

利用这2b 个方程可以求出电路中2b 个响应，所以该方法也称为2b 法。

二 支路电流法
1．思路：为了减少方程数，先以b 条支路电流为未知变量，列出)1(-n 个KCL 方程，再用支路电流表示)]1([--n b 个KVL 方程，这样就得到b 个关于支路电流的方程，然后利用支路上的VCR 求出b 条支路上的电压，所以该方法称为支路电流法，简称支路法。

2．具体步骤为：
步骤1：设变量，即设支路电流b i i i 、、
、 21； 步骤2：列)1(-n 个KCL 方程；
步骤3：列出)]1([--n b 个KVL 方程，用支路电流表示支路电压； 步骤4：求解b 个方程，得出支路电流b i i i 、、
、 21； 步骤5：利用支路上的VCR 求出b 条支路的电压。

例如，图3-4（a ）所示电路，该电路所对应的有向图如图（b ）所示，图中结点数4=n ，
支路数6=b 。

1
R S u
（a ） （b ）
图3-4 支路电流法
设支路电流54321i i i i i 、、、、和6i ，列出结点①、②和③的KCL 方程（去掉结点④），即
⎪⎩⎪
⎨⎧=+--=+--=++-000
6
54532421i i i i i i i i i (3-2) 由图知各支路的电压分别为54321u u u u u 、、、、和6u 。

在图3-4（b ）中选树（支路2，3，5），连支为1、4、6，则单连支回路分别为回路1l 、2l 和3l （如图所示，绕行方向为顺时针），则3个独立回路方程分别为
⎪⎩⎪
⎨⎧=++=--=-+0
00536
254321u u u u u u u u u (3-3) 根据3-4（a ）的电路图，写出各支路的VCR 方程，即
⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨
⎧===-==+-=6
66555444
3
3333222
1
111i R u i R u i R u i R i R u i
R u i R u u S S (3-4) 将（3-4）代入（3-3）式，并整理得
⎪⎩⎪
⎨⎧=++=-+--=-+3366553
35544223
313322110
S S S i
R i R i R i R i R i R i R i R u i R i R i R (3-5) 式（3-2）和（3-5）就是图3-4（a ）所示电路的支路电流方程，用克莱姆法则（或矩阵方法）求解这个6维方程就可以得到支路电流54321i i i i i 、、、、和6i 。

再利用（3-4）式可求出支路的电压54321u u u u u 、、、、和6u 。

可以将式（3-5）归纳成如下的形式
∑∑=Sk k
k u i R
(3-6)
该式左边是每个回路中所有支路电阻上电压的代数和，若第k 个支路电流的参考方向和回路方向一致，k i 前取正，反之取负；该式的右边是每个回路中所有支路电压源电压的代数和，若第k 个支路电压源的参考方向和回路方向一致，Sk u 前取负，反之取正。

注意：
(1) 对于有伴的电流源，Sk u 是经过电源变换的等效电压源的电压。

例如式（3-5）中的Sk
i R 3可以写成3S u ，它是第3条支路上的等效电压源。

实质上，式（3-6）是KVL 的另一种表达式，即在一个回路中，电阻上电压的代数和等于电压源电压的代数和。

(2)若某支路是由无伴的电压源或电流源构成，无法写出该支路的VCR 方程，则无法将该支路的电压用支路电流表示。

对于无伴电压源支路，因为支路电压为已知，所以使问题简单了；对于无伴电流源支路，因为支路电流是已知的，需要设出支路电压然后再列方程。

本次课主要介绍电路的两种重要分析方法：网孔电流法和回路电流法。

课题：3.4 网孔电流法和回路电流法
目的要求：掌握网孔电流和网孔电流方程的概念，并熟练掌握网孔电流法的解题步骤；掌握回路电流和回路电流方程的概念；熟练掌握回路电流法的解题步骤。

复习旧课：电路拓扑关系；电路的KCL 、KVL 方程的独立性；支路电流法。

讲授新课：内容如下。

§3-4 网孔电流法和回路电流法
一 基本概念
对电路所对应的图G 而言，如果图G 中支路和支路之间（进行变换后）除了结点以外没有交叉点，这样的图称为平面图，所对应的电路称为平面电路，否则称为非平面图或非平面电路。

例如3-5（a ）是一个平面图，图（b ）是一个非平面图。

（a ） （b ）
图3-5 平面图和非平面图
二 网孔电流法
对于平面电路而言，网孔的个数等于基本回路的个数，因此，网孔上的KVL 方程是相互独立的。

1． 网孔电流：假想的沿网孔边界流动的电流。

设平面电路有m 个网孔，网孔电流的个数就等于独立回路的个数)]1([--=n b m ，电路中所有支路电流可以用它们来表示。

即网孔电流是一组独立的完备的电流变量。

2．网孔电流方程
如图3-4（a ）所示的电路，将支路3经电源变换后如图3-6（a ）所示，图中333S S i R u =，图（b ）是它的有向图。

1
1
R S u
（a ） （b ）
图3-6 网孔电流法
该电路有3个网孔，设网孔电流分别为3m m2m1i i i 、、，如图（b ）所示。

根据KCL ，每个支路的电流可以用网孔电流表示，即
3m 62m m35m241
m 3m 32m 1m 21
m 1i i i i i i i i i i i i i i i =-==⎪⎩⎪
⎨⎧-=-==， (3-7) 将式（3-7）代入式（3-5）中（注意333S S i R u =）并整理得
⎪⎩
⎪
⎨⎧=+++--=-+++--=--++33m 6532m 51m 33m 52m 5421m 23
13m 32m 21m 321)(0
)()(S S S u
i R R R i R i R i R i R R R i R u u i R i R i R R R (3-8) 在式（3-8）中，令32111R R R R ++=，212R R -=，313R R -=，…，等，则得到网孔电流的一般方程：
⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=++333m 332m 321
m 31223m 232m 221m 21113m 132m 121m 11S S S u
i R i R i R u i R i R i R u i R i R i R (3-9) 式中：
kk R ），，321(=k 称为自阻，它是第k 个网孔中所有电阻之和，如果网孔的绕行方向和网孔
电流方向一致，则自阻总为正。

jk R )321(k j k j ≠=；，
，，称为互阻，它是j 、k 两个网孔中共有的电阻，如果所有网孔电流的绕行方向一致（顺时针或逆时针）的情况下，互阻总为负；在无受控源的电路中有kj jk R R =。

Skk u 是第k 个网孔中所有电压源电压的代数和。

推广， 对于有m 个网孔的平面电路，设网孔电流为m i i i m m2m1、、
、 ，则网孔电流方程的一般形式为
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=+++=+++=+++Smm
m mm m m S m m S m m u i R i R i R u i R i R i R u i R i R i R m 2m 21m 122
m 22m 221m 2111m 12m 121m 11 (3-10) 式中kk R ），，，m k 21(=称为网孔k 的自阻；jk R ）；，，，，k j m k j ≠= 21(称为网孔k 和
j 的互阻；Skk u 是第k 个网孔中所有电压源电压的代数和。

它们正负的取法和上述相同。

3．应用网孔电流法的一般步骤：
网孔法的具体步骤可归纳如下：
步骤1：设变量，即网孔电流m i i i m m2m1、、
、 ； 步骤2：求出所有kk R 、jk R 和Skk u （注意正负）代入（3-10）式，或直接列出网孔电流方程；
步骤3：求解得出网孔电流。

步骤4：用网孔电流求得个支路电流或电压。

例3-1 电路如图3-7所示，根据网孔法求电路中的2i ，3i 。

5V
图3-7 例3-1图
解 设网孔电流3m m2m1i i i 、、如图所示；求自阻Ω=1511R ，Ω=2022R ，Ω=633R ，求互阻Ω-==102112R R ，Ω==03113R R ，Ω-==43223R R ；求：Skk u ，V 5101511=-=S u ，V 1022=S u ，V 533=S u 。

代入（3-10）式，即
5
6410420105
10153m 2m 3m 2m 1m 2m 1m =+-=-+-=-i i i i i i i 解之得A 375.1m1=i ，A 5625.1m2=i ，A 875.1m3=i ；根据KCL ，有
A 1875.02m m12-=-=i i i A 3125.03m m23-=-=i i i
用所计算的结果可以进行检验。

例如在第2个网孔中根据KVL 有
V 0)3125.0(45625.16)1875.0(1010=-⨯+⨯+-⨯-- 可见答案是正确的。

4．网孔电流法的特殊情况处理
（1）含无伴电流源电路的网孔电流法
如果电路中含有无伴的电流源支路，由于电流源的端电压为未知量，处理方法是设它
的端电压为u ，这样就多出一个电压变量，由于无伴电流源的电流为已知，可以增加一个电流方程（或电流约束）。

（2）含受控源电路的网孔电流法
如果电路中含有受控源支路，可先将受控源当作独立源，然后再补充受控量方程，使方程总数增加。

三 回路电流法
网孔法只适用于平面电路，而回路法既适用于平面电路也适用于非平面电路。

1、基本回路
对于任意电路所对应的图而言，当选定树以后，由单连支确定的回路是基本回路，根据基本回路所列的KVL 方程是相互独立的。

2、回路电流
回路法是以回路电流l i 为未知变量，变量的个数等于基本回路的个数)]1([--=n b l ，即回路电流分别为l i i i l 2l 1l 、、、 。

和网孔电流相同，回路电流也是一种假想电流，而每个支路上的电流同样可以用这些假想的电流表示。

例如在图3-8所示的有向图中，选树为支路4，2，3，则连支为支路1、5、6，对应的基本回路如图所示。

设回路电流分别为l1i 、l2i 和3l i ，由图知回路电流等于对应的连支电流，即l11i i =、l25i i =、l36i i =，根据KCL ，即
3l 2l 653i i i i i +=+= 3l 2l 1l 542i i i i i i ---=--= 3l 1l 614i i i i i --=--=
可见，所有支路电流均可以用假设的回路电流表示。

图3-8 回路电流和支路电流的关系
3 回路电流的一般方程
回路电流和网孔电流不同的是网孔电流是平面电路网孔中的假想电流，而回路电流是回路中的假想电流。

可以想象两者方程的结构是相同的。

对于有n 个结点b 条支路的电路，
设回路电流l i i i l l2l1、、、 ，)1(--=n b l ，将式（3-10）中的下标改成l ，即得回路电路电流方程的一般形式为
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=+++=+++=+++Sll
l ll l l S l l S l l u i R i R i R u i R i R i R u i R i R i R l 2l 21l 122
l 22l 221l 2111l 12l 121l 11 (3-11) 式中，kk R ），，，l k 21(=称为回路k 的自阻，自阻kk R 总为正；
jk R ）；，，，
，k j l k j ≠= 21(称为回路k 和j 的互阻，互阻jk R 可正可负（当j 、k 回路的电流j i 和k i 在互阻jk R 上的方向相同时，互阻取正，反之取负），在无受控源的电路中有kj jk R R =。

Skk u 是第k 个回路中所有电压源电压的代数和。

Skk u 是第k 个回路中所有电压源电压的代数
和，如果回路绕行方向和所经过支路电压源电压方向相反，该电压源取正，反之取负。

3 回路电流法步骤：
回路法的具体步骤为
步骤1：在电路（或对应的图）中选树，确定连支并设回路电流l i i i l l2l1、、、 ，回路电流和连支电流一一对应；
步骤2：求出所有kk R 、jk R 和Skk u （注意正负），代入（3-11）式，或直接列出回路电流方程；
步骤3：求解得出回路电流；
步骤4：用回路电流求得个支路电流或电压。

4 特殊情况处理
对于含有无伴电流源和受控源的情况，处理方法和网孔电流法相同
例3-2 电路如图3-9（a ）所示，列出回路方程。

解 画出电路所对应的有向图如图（b ）所示。

设树为支路2、4、6，连支为支路1、3、5，连支对应的回路如图所示，并设回路电流变量分别为l2l1i i 、和3l i ；自阻642111R R R R R +++=、43222R R R R ++=、65433R R R R ++=，互阻)(422112R R R R +-==、)(643113R R R R +-==、43223R R R ==，6111S S S u u u -=、022=S u 、633S S u u =；将它们代入
式（3-11）得
613l 642l 421l 6421)()()(S S u u i R R i R R i R R R R -=+-+-+++
0)()(3l 42l 4321l 42=+++++-i R i R R R i R R 63l 6542l 41l 64)()(S u i R R R i R i R R =+++++-
3
6
6
S u
1
（a ） （b ）
图3-9 例3-2图
例3-3 电路如图3-10（a ）所示，列出回路方程并整理。

4
S u
（a ） （b ）
图3-10 例3-3图
解 画出电路所对应的有向图如图（b ）所示。

设树为支路2、6、7和8，连支为支路1、5、3、4，回路如图所示，设回路电流分别为3l l2l1i i i 、、和4l i 。

在图（a ）中，支路4和6是无伴的电流源，由于44l S i i =，所以设出6S i 两端的电压为u ，然后才可列回路方程；支路8中有一个CCVS ，先将其按独立源对待。

不用先求出自阻、互阻和Skk u ，可以直接列写方程，则有
回路1：514l 82l 21l 821)(i r u i R u i R i R R R S -=-+-++ 回路2：0)(2l 521l 2=-++-u i R R i R 回路3：74l 73l 73)(S u i R i R R u -=-++- 回路4：44l S i i =
因为有无伴电流源6S i ，新增一个变量u ，所以增加的附加约束为
63l 2l 1l S i i i i =++-
将支路8的控制量5i 用回路电流表示，即2l 5i i =，代入回路1方程，整理得
14l 82l 21l 821)()(S u i R u i R r i R R R =-+-+++
由该式和回路2式可以看出21l2R R ≠，所以在有受控源的电路中，部分互阻将不相等。

可以进一步整理以上式子，即消去新增变量u ，得
1l482l 5l181)()(S u i R i R r i R R =-+++ 74l 73l 732l 52l12)()(S u i R i R R i R R i R -=-+++-
4l4S i i = 63l 2l l1S i i i i =++-
消去新增变量u 的过程是避开无伴电流源的过程，也可以通过电路图直接得到。

本次课主要介绍电路的另外一种分析方法：结点电压法。

课题：3.5 结点电压法
目的要求：掌握结点电压方程的概念，并熟练掌握结点电压法的解题步骤。

复习旧课：网孔电流法和回路电流法的解题步骤。

讲授新课：内容如下。

§3-5 结点电压法
一 思路
对于有n 个结点的电路，去掉任意一个结点，对剩余的)1(-n 个结点所列的KCL 方程是彼此独立的。

结点法则是以去掉的那个结点为参考点（零电位点），设剩余)1(-n 个结点到参考点的电压为变量，这些变量称为结点电压。

显然，变量的个数为)1(-n ，即)1(n n2n1-n u u u 、、、 。

用结点电压可以表示支路电压，进而可以表示支路电流。

二 结点电压方程
如图3-11（a ）所示电路，图（b ）是对应的有向图。

3
（a ） （b ）
图3-11 结点电压法
选结点④为参考点，设结点①、②、③到参考点的电压，即结点电压分别为3n n2n1u u u 、、，如图（b ）所示。

由图（b ）知n11u u =、n22u u =、n33u u =，再由KVL 得出
2n n1214u u u u u -=-=
n32n 325u u u u u -=-=
n31n 316u u u u u -=-=
可见，结点电压可以表示每条支路上的电压。

根据支路的VCR 和以上诸式，可以用结点电压表示图（a ）中每条支路上的电流，即
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧+-=+=
-==-==+=+=
==-=-=6
6
3n 1n 66665
3
n 2n 55542
n 1n 44433
3n 33332
2
n 222111n 1111R u u u R u u i R u u R u i R u u R u i i R u
i R u i R u R u i i R u
i R u i S S S S S S (3-12)
对结点①、②、③列出KCL 方程，即
⎪⎩⎪
⎨⎧=--=+-=++0006
53542641i i i i i i i i i (3-13) 将（3-12）式代入（3-13）式，整理得
⎪⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎪⎨⎧+-=++
+--=-++
+--=--++
6633n 6532n 51n 6
3n 52n 5421n 46
613n 62n 41n 641)1
11(1101)111(11
1)111(R u i u R R R u R u R u R u R R R u R R u i u R u R u R R R S S S S (3-14) 该式就是图3-11（a ）所示电路的结点电压方程。

将式（3-14）中的1/R 写成电导的形式，
则有
⎪⎩
⎪
⎨⎧+-=+++--=-+++--=--++6633n 6532n 51n 63n 52n 5421n 46613n 62n 41n 641)(0
)()(S S S S u
G i u G G G u G u G u G u G G G u G u G i u G u G u G G G (3-15) 式中621G G G 、、
、 分别是各支路的电导。

在式（3-15）中分别令64111G G G G ++=，412G G -=，613G G -=，…，等，则式（3-15）变为
⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=++333n 332n 321
n 31223n 232n 221n 2111
3n 132n 121n 11S S S i
u G u G u G i u G u G u G i u G u G u G (3-16) 式中kk G ），，321(=k 称为自导，它是第k 个结点所连的所有电导之和，总为正；jk G ）；，，，k j k j ≠=321(称为互导，它是j 、k 两个结点之间的电导，总为负；Skk i 是流入
第k 个结点所有电流源电流的代数和，流入电流取正，反之取负，注意66S u G 是有伴电压源支路6等效为有伴电流源的电流。

在无受控源的电路中，有kj jk G G =，如（3-16）式中42112G G G -==，53223G G G -==等。

如果电路中有受控源，则有些互导是不相等的。

推广，对于有n 个结点的电路，设结点电压为)1(n n2n1-n u u u 、、、 ，则结点电压方程的一般形式为
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=+++=+++=+++-----------)
1)(1()1(n )1)(1(2n 2)1(1n 1)1(11
)1(n )1(22n 221n 2111
)1(n )1(12n 121n 11n n S n n n n n S n n S n n i u G u G u G i u G u G u G i u G u G u G (3-17) 式中kk G )]1(21[-=n k ，，， 称为结点k 的自导，总为正；jk G ；，，，，)1(21[-=n k j ]k j ≠，称为结点k 和j 的互导，总为负；Skk i 是流入第k 个结点所有电流源电流的代数和，
流入取正，反之取负。

三 结点电压法步骤
步骤1：选参考点，设结点电压变量，即)1(n n2n1-n u u u 、、、 ；
步骤2：求出所有kk G 、jk G 和Skk i ，代入（3-17）式，或直接列出结点电压方程； 步骤3：求解得出结点电压；
步骤4：用结点电压求解支路电流或电压。

例3-4 电路如图3-12所示，列出电路的结点电压方程。

4
4S
图3-12 例3-4图
解 选结点③为参考点，设结点①、②的结点电压分别为n2n1u u 、，将电阻写成电导的形式，直接列出结点电压方程，即
4
42n 4321n 21
2n 21n 21)()(S S u G u G G G u G i u G u G G =+++-=-+
如果电路中含有无伴电压源支路，因为电压源的电流为未知量，处理方法是设出它的电流i ，这样就多出一个电流变量，由于已知无伴电压源的电压，可以增加一个电压方程（或电压约束）。

另外，对于电路中的受控源，将其先按独立源对待列方程，然后将控制量用结点电压变量表示，整理方程即可。

下面通过例子对这两类情况加以说明。

例3-5 电路如图3-13所示，试用结点法求图中的电压u 。

解 选结点④为参考点，设结点①、②、③的结点电压分别为n2n1u u 、和3n u ，设无伴电压源支路的电流为i ，则结点电压方程分别为
i u u -=-+22.0)2.05.0(3n 1n
i u u =-+3n 2n 5.0)5.025.0(
21)5.05.02.0(5.02.03n 2n 1n -=+++--u u u
新增电压约束方程为
61n 2n =-u u
整理并消去电流i 得
401415143n 2n 1n =-+u u u
1012523n 2n 1n =-+u u u
61n 2n =-u u
解之得V 41n =u ，V 22n -=u ，V 1
-=u 。

由图知V 2-==u u 。

A
图3-13 例3-5图
在该例中如果选结点①为参考点，所列的方程是否能简单一些。

例3-6 电路如图3-14所示，试列出电路的结点电压方程。

图3-14 例3-6图
解 选结点③为参考点，设结点①、②的结点电压分别为n2n1u u 、，先将受控的电流源按独立源对待，则结点电压方程为
1112n 31n 321)(i u G u G u G G G S β+=-++ 1552n 5431n 3)(i u G u G G G u G S β-=+++-
将受控源的控制量用结点电压表示，即
1n 1111u G u G i S -=
带入结点电压方程并整理得
112n 31n 3211)1()(S u G u G u G G G G ββ+=-+++
11552n 5431n 31)()(S S u G u G u G G G u G G ββ-=++++-
可见，由于受控源的影响，互导2112G G ≠。

小结
本章讨论了电路分析的基本方法。

KCL 和KVL 是分析电路的基础，对于具有n 个结点b 条支路的电路，可以列出)1(-n 个独立的KCL 方程和)]1([--n b 个的独立的KVL 方程。

用支路法可以求出给定电路所有支路的支路电流，进而可以求出所有的支路电压； 用回路法（或网孔法）可以求出所有独立回路（或网孔）电流，从而可以间接地求出所有的支路的电流和电压；
用结点法可以求出)1(-n 个结点到参考点的电压，从而可以间接地求出所有的支路的电压和电流。