第三章控制系统的定性分析

AB
A2 B

An 1 B nnp
满秩, 即 rank[S]=n 2 1 3 2 5 4 例: 判定系统 解: 1 1 2 2 4 4 2 S B AB A B 1 3 2 2 1 1 1 2 2 4 4 X 0 2 0 X 1 1 U
求系统的状态变量能被控制和能被观测, 而基于现代控制理论基 础上的最优控制和最优估计也以系统具有能控性和能观性为先决 条件, 这就是为什么要研究系统能控性和能观性的原因. 3.5.1 能控性定义 定义: 设一个线性定常系统{A,B,C}, 其状态向量属于n维实 空间, 若对 n 维实空间中的任一状态X(t0)和另一任意状态X(tf), 存在一个有限的时间tf> t0 和输入U[t0, tf],能在T= tf - t0内使状态 X(t0)转移到X(tf), 则称此系统完全能控,简称能控. 此系统中只要 有一个状态不能控, 则称此系统完全不能控,简称不能控. 对于上述定义须注意: (1)由于上述定义中的X(t0)和X(tf)均是任意的, 所以定义包含 了能控和能达两个概念, 对于线性定常系统, 能控和能达是等价 的, 即状态能控, 则一定能达, 反之亦然; (2)不限制U[t0, tf]的大小;
定理: 当选定X≠ 0 (相当于系统受到扰动后的初始状态), 如果 存在一个具有连续的一阶偏导数的标量函数V(X) ( 即李 氏函数, 也叫能量函数), 并且满足以下条件: (1) V(X)>0; (2) 若d V(X) /dt<0, 则系统是渐进稳定的(如果随着 ||X||→∞,有V(X) →∞, 则系统是大范围渐进稳定的) (3) 若d V(X) /dt>0, 则系统是不稳定的; (4) 若d V(X) /dt<=0,但d V(X) /dt不恒等于零(除了 d V(0) /dt=0以外), 则系统是渐进稳定的;但是, 若 d V(X) /dt恒等于零, 那么, 系统在李氏意义下是稳 定的, 但不是渐进稳定的.
0 X (t ) 10

Rei 0
(i 1,2,, n)
1 X (t ) 7
判别此系统的稳定性.
解: | I A |
1 ( 7) 10 2 7 10 0 10 7
2, 5
但线性定常系统的稳定与否, 仅与系统本身的结构和参数有关, 而与系统输入信号的形式和大小无关. 因此, 可根据系统的特征 值判别系统是否稳定, 故李氏第一法应用于线性定常系统也叫特 征值判据. 定理: 线性定常系统 X (t ) AX (t ) 渐进稳定的充分必要条件, 是系数矩阵A的所有特 征值都位于左半复数平面, 即 其中, λ i 是A的特征值. 例: 设系统的状态方程为
系统稳定. 需要指出的是, 当A阵有特征值的实部等于零时, 其对应的 瞬态输出分量不是常数就是稳定的等幅振荡, 不会衰减至零, 但 此系统在李氏意义下仍是稳定的. 实际系统总是非线性的, 而非线性的稳定性不仅与系统本身 的结构和参数有关, 还与输入信号的形式和大小有关. 当系统的 非线性特性不很严重时, 常对此系统作线性化处理, 即用线性化 的数学模型来近似描述实际的非线性系统. 用特征值判据判别此 类系统稳定性的结论, 请见书上P.109 3.2.2 李雅普诺夫第二方法(直接法) 李雅普诺夫第二方法(直接法)既适用于线性系统也适用于非 线性系统.
p12 4a 4a 1 0 p22 2a 6a 0 1 8ap11 4ap12 1 4ap11 10ap12 2ap22 0
8ap12 12 ap22 1 7 4 6 p11 , p12 , p22 40 a 40 a 40 a 1 7 4 P 4 6 40 a
V ( X ) 2 x1 x1 2 x2 x2 2 x1[ x2 x1 ( x12 x22 )] 2 x2 [ x1 x2 ( x12 x22 )] 2( x12 x22 )2 0
该系统稳定. 如果某系统方程(如上例)存在一个李氏函数, 则可充分肯定 此系统是稳定的. 而不必去求解描述这个系统的微分方程. 这个 方法既可用于线性系统, 也可用于非线性系统. 但是, 李氏第二 法给出的是线性稳定的充分条件, 而不是充分必要条件. 也就是 说, 一个稳定的系统一定存在无穷多个李氏函数(见P111例3.7).
系统的微分方程运动时的导数是否随时间的增长而衰减, 也即这 个泛函是否为一个负定的泛函, 从而对这个系统的稳定性作出结 论. 而把满足这些条件的泛函称为李雅普诺夫函数. 李雅普诺夫函数常用V(X)表示, 由于状态向量是关于时间t 的函数, 故V(X)是关于X(t)的函数的函数, 叫泛函. 虽然X(t)是 一个向量函数, 但泛函V(X)是一个标量函数. 李氏关于运动稳定性的理论有两个方法. 一种叫“间接法”, 也叫李雅普诺夫第一法, 另一种叫“直接法”, 也叫李雅普诺夫 第 二法. 下面分别给予简单的介绍. 3.2.1 李雅普诺夫第一方法 李氏第一法需求系统微分方程的解, 根据解的形式, 按李氏 意义下的稳定性定义来判别系统是否稳定, 故叫“间接法”. 下面先介绍用李氏第一法如何判别线性定常系统的稳定性. 对于高阶线性定常系统若求其解的形式一般是较为困难的.
(3)不限制X(t0) 转移到X(tf)的軌迹. 定义可用书上P.126图3.5.1和图3.5.2加以直观的说明. 3.5.2 能控性判据之一 定理1: 设线性定常系统的状态方程为:
X n1 Ann X n1 Bn pU p1

S B
其状态完全能控的充要条件是, 其能控矩阵
1 1 0 0 1 X 0 1 0 X 1 0U 0 1 1 0 1

试判其能控性
0 1 1 1 rank B AB rank 1 0 1 0 2 3 0 1 1 1 则不能控
推论的应用减少了可控阵S的计算量.
所谓能控性和能观性的概念就是回答系统的状态是否能控制状态的变化能否由输出反映出来这样两个问是现代控制理论中两个非常重要的基本概念这是因为欲使系统获得良好的控制效果一般采用反馈的手段构成闭环系统闭环系统动态性能的优劣主要受闭环系统的极点在极点平面上的位置的影响
第三章
控制系统的定性分析
3.2 李雅普诺夫稳定判据
p11 解: 令P阵为: P p21
p12 p22
因Q阵是任意给定的实对称正 定矩阵, 故令 1 0 Q 0 1
将A, P, Q代入李氏方程得: 4a 2a p11 p12 p11 4a 6a p 12 p22 p12
V ( x) X PX X P X ( AX )T PX AT PX X T PAX X T ( AT P PA) X X T QX T T A (1) 其中 Q ( A P PA) 即: P PA Q 0 如果能找到满足式(1)的正定矩阵P和Q, 则V(X)>0, 而d V(X) /dt<0 系统就是渐进稳定的.
在状态空间法中, 对系统的行为特征用状态方程和输出方 程来描述, 这种描述法是着眼于系统内部状态的变化. 状态方 程描述由输入和初始状态所引起的状态变化, 输出方程则描述 由于状态变化而引起的输出变化. 所谓能控性和能观性的概念, 就是回答 “系统的状态是否 能控制” 和 “状态的变化能否由输出反映出来” 这样两个问 题. 卡尔曼(Kalman.R.E)在1960年首先提出线性系统的能控性 和能观性的概念, 是现代控制理论中两个非常重要的基本概念 这是因为, 欲使系统获得良好的控制效果, 一般采用反馈的手 段构成闭环系统, 闭环系统动态性能的优劣, 主要受闭环系统 的极点在极点平面上的位置的影响. 为了使闭环极点能在极点 平面上任意配制而获得理想的控制性能, 仅以输出进行反馈是 难以实现的, 而必须采用状态反馈. 采用状态反馈的前提是要
0 1 3
1 1
是否具有能控性
rank[S]=2< n=3,所以系统不具有能 控性
在上例中, S阵不是方阵, 有时求其秩较为不便, 此时可利用 rank [S ] rank [SST ] 这一性质, 因 SS T 是一方阵, 求其秩 较为方便, 对于上例 49 49 59 SS T 49 42 42 SS T 0 rank SS T n 3 42 49 42 推论: 若系统[A,B]对中B的秩为r, 则系统完全能控的条件 2 n r 是当且仅当rankB AB A BA B n 例: 设有三阶状态方程 解: 因B的秩为2, 故:
李氏意义下稳定性的基本思想. 法国数学家庞加莱在他的<<微分方程所定义的积分曲线>>一 书中首先应用定性的方法研究微分方程解的稳定性问题. 实际上 在庞加莱之前的一些物理学家在求解力学上的稳定状态时已经发 现, 如果物体仅受重力的作用, 则当其重心位置最底( 即位能最 小) 时, 平衡状态是稳定的. 这实质上是这种条件下一个力学系 统的平衡状态的稳定判据.它不必求解这个力学系统的微分方程, 而仅根据其位能情况就可对平衡状态的稳定性作出结论. 俄国数学家李雅普诺夫正是受到了庞加莱等科学家的研究结 果和研究思想的启发, 发展了一套判别系统稳定性的方法. 李雅普诺夫首先给稳定性下了一个精确的数学定义, 然后构 造一个相似于“能量”的正定泛函, 最后判定这个泛函在沿着描 述
在第二章中曾提到过“能控标准型”状态方程这一名称, 即
0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 A , B 0 0 0 1 0 a1 a2 a3 an 1
式(1)是一个矩阵代数方程,
称为李雅普诺夫方程.
定理: 线性定常连续系统渐进稳定的充要条件是: 给定一 个实对称正定矩阵Q, 存在一个正定对称矩阵P, 使它们满足李雅 普诺夫方程, 即:
AT P PA Q 0
且标量函数 V ( X ) X T PX 是系统的一个李雅普诺夫函数. 例: 设线性定常连续系统状态方程为 4a 4a X X 2a 6a 决定a值, 使系统渐进稳定.



但是, 找不到某个特定系统的李氏函数并不意味着这个系 统是不稳定的. 因此, 应用李氏第二法判断系统的稳定性, 关 键在于找一个李氏函数. 而一般来讲找一个李氏函数全凭经验 和技巧, 这是一个很大的缺陷. 但经过数学家们的不断努力, 对于一些特定种类的系统, 已找到了求李氏函数的特定方法. 3.2.3 李雅普诺夫直接法用于线性定常系统 线性定常系统的状态方程为: X AX , 构造一个二次型的李氏 函数 V ( X ) X T PX 其中, P为n行n列实对称正定矩阵, X为n列 向量,将V(X)对时间求导并把状态方程代入, 得:
例: 设一非线性系统的状态方程为
2 x1 x2 x1 ( x12 x2 ) 2 x2 x1 x2 ( x12 x2 )
试确定该系统的稳定性. 2 解: 设李氏函数 V ( X ) x12 x2 一般选V(X)为二次型, 当X≠ 0 时, V(X)>0, 则有
一个矩阵的定号性, 可用西尔维斯特定理判定, 即: 矩阵的 各阶主子式均大于零, 是一个矩阵正定的充分必要条件. 由于:
7 70
7 4
4 42 16 26 0 6
故只要a>0, 则P是正定的, 系统是渐进稳定的. 课外习题: P.165第3.3题, 第3.9题
3.5
系统的能控性