切线的判定练习题
圆的切线的性质和判定-练习题-含答案.doc
D.不能确定的切线的性质与判定副标题 题号 * 总分 得分一、选择题（本大题共2小题，共6.0分）1.己知半径为5的圆，其圆心到直线的距离是3,此时直线和圆的位置关系为（） A.相离 B.相切 C.相交 D.无法确定【答案】C 【解析】解：半径r = 5,圆心到直线的距离d=3,v 5 > 3, BPr > d,二直线和圆相交，故选C.由直线和圆的位置关系：r>d,可知：直线和圆相交.本题考查了直线和圆的位置关系，判断的依据是半径和直线到圆心的距离的大小关系： 设。
的半径为厂，圆心。
到直线/的距离为丈 ①直线/和0。
相交②直线 /和。
相切od=r ；③直线/和。
0相离^d>r.2. 在中，zC= 90°, BC=3cm, AC=4cm,以点 C 为圆心，以2.5cm 为半径画圆，则。
C 与直线AB 的位置关系是（） A,相交 B.相切 C.相离 【答案】A 【解析】解：过C 作CD LAB 于。
，如图所示： A ABC 中，L.C — 90, AC= 4, BC = 3, ・・・AB =、泌=5,7 A ABC^Jm=^-ACxBC=预8x CD, 2 2・•. 3 X 4 = 5 CD ,CD= 2.4<2.5, 即』< r, .••以2.5为半径的。
C 与直线AB 的关系是相交； 故选A.过C 作CD LAB 于C,根据勾股定理求出AB,根据三角形的面积公式求出CD,得出 d<r,根据直线和圆的位置关系即可得出结论.本题考查了直线和圆的位置关系，用到的知识点是勾股定理，三角形的面积公式；解此 题的关键是能正确作出辅助线，并进一步求出CO 的长，注意：直线和圆的位置关系有: 相离，相切，相交.二、填空题（本大题共3小题，共9.0分）3, 如图，已知。
是MBC 的内切圆，切点为。
、E 、 尸，如果AE=2, CD= 1, BF= 3,则内切圆的半 径『= .BD【答案】1【解析】解：・.・。
3.7 切线长定理(练习)(解析版)
第三章 圆第七节 切线长定理精选练习一、单选题1．（2021·北京九年级专题练习）如图，PA ，PB 为⊙O 的两条切线，点A ，B 是切点，OP 交⊙O 于点C ，交弦AB 于点D ．下列结论中错误的是（ ）A ．PA ＝PBB ．AD ＝BDC ．OP ⊥ABD ．∠PAB ＝∠APB【答案】D【分析】利用切线长定理、等腰三角形的性质即可得出答案．【详解】解：由切线长定理可得：∠APO =∠BPO ，PA =PB ，从而AB ⊥OP ，AD =BD ．因此A ．B ．C 都正确．无法得出∠PAB =∠APB ，可知：D 是错误的．综上可知：只有D 是错误的．故选：D ．【点睛】本题考查了切线长定理、等腰三角形的性质，关键是利用切线长定理、等腰三角形的性质解答．2．（2021·全国九年级课时练习）如图，AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PA ＝AO ，PD 与⊙O 相切于点D ，BC ⊥AB 交PD 的延长线于点C ，若⊙O 的半径为1，则BC的长是（ ）A ．1.5B ．2CD 【答案】D【分析】连接OD ，根据切线的性质求出∠ODP ＝90°，根据勾股定理求出PD ，证明BC 是⊙O 的切线，根据切线长定理得出C D ＝BC ，再根据勾股定理求出BC 即可．【详解】连接OD ，如图所示∵PC 切⊙O 于D ∴∠ODP ＝90°∵⊙O 的半径为1，PA ＝AO ，AB 是⊙O 的直径 ∴PO ＝1+1＝2，PB ＝1+1+1＝3，OD ＝1∴由勾股定理得：PD ==∵BC ⊥AB ，AB 过O ∴BC 切⊙O 于B ∵PC 切⊙O 于D ∴CD ＝BC设CD ＝CB ＝x 在Rt △PBC 中，由勾股定理得：PC 2＝PB 2+BC 2即222)3x x +=+ 解得：x 即BC故选：D【点睛】本题考查了切线的性质和判定，及切线长定理，切线的性质定理为：圆的切线垂直于过切点的半径，切线长定理为：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．同时考查了利用勾股定理解直角三角形．3．（2021·湖北武汉市·九年级一模）如图，经过A 、C 两点的⊙O 与△ABC 的边BC 相切，与边AB 交于点D ，若∠AD C ＝105°，BC ＝CD ＝3，则AD 的值为（ ）A ．B ．CD 【答案】A【分析】连接OC 、OD ，作OE AB ^于点E ．易求出75CBD CDB Ð=Ð=°，30BCD Ð=°．再由切线的性质，即可求出60OCD Ð=°，即三角形OCD 为等边三角形．得出结论60ODC Ð=°，3OC OD CD ===．从而即可求出45ADO Ð=°，即三角形OED 为等腰直角三角形，由此即可求出DE 的长，最后根据垂径定理即可求出AD 的长．【详解】如图，连接OC 、OD ，作OE AB ^于点E ．∵BC CD =，∴CBD CDB Ð=Ð，∵105ADC Ð=°，∴75CBD CDB Ð=Ð=°，∴18027530BCD Ð=°-´°=°．由题意可知OC BC ^，即90OCB Ð=°，∴903060OCD OCB BCD Ð=Ð-Ð=°-°=°，∵OD =OC ，∴三角形OCD 为等边三角形．∴60ODC Ð=°，3OC OD CD ===．∴1056045ADO ADC ODC Ð=Ð-Ð=°-°=°，∴三角形OED 为等腰直角三角形，∴3DE ===∴22AD DE ===故选：A ．本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，等腰直角三角形与等边三角形的判定和性质以及垂径定理，综合性强．正确的连接辅助线是解答本题的关键．4．如图，直线AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G，且AB//CD，若OB=3cm，OC=4cm，则四边形EBCG的周长等于（ ）A．5cm B．10cm C．745cm D．625cm【答案】C【分析】连接OF，利用切线性质和切线长定理可证明BE=BF，CG=CF，∠OBE=∠OBF，∠OCG=∠OCF，OF⊥BC，再根据平行线的性质证得∠BOC=90°，进而由勾股定理求得BC长，根据三角形的面积公式求得OF，进而可求得四边形的周长．【详解】解：连接OF，∵直线AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G，∴BE=BF，CG=CF，∠OBE=∠OBF，∠OCG=∠OCF，OF⊥BC，∵AB∥CD，∴∠ABC+∠DCB=180°，∴∠OBF+∠OCF=90°，即∠BOC=90°，∴在Rt△BOC中，OB=3cm，OC=4cm，由勾股定理得：BC==，由1122OB OC BC OF××=××得：OF=341255´=cm，∴OE=OG=OF= 125cm，∴四边形EBCG的周长为BE+BC+CG+EG=2OE+2BC=2×125+2×5=745cm，【点睛】本题考查切线的性质、切线长定理、平行线的性质、勾股定理、三角形的面积公式，熟练掌握切线长定理的运用，证得∠BOC =90°和利用等面积法求出OF 是解答的关键．5．（2021·山西吕梁市·九年级月考）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB ＝BC ．AT 是⊙O 的切线，∠BAT ＝55°，则∠D 等于（ ）A ．110°B ．115°C ．120°D ．125°【答案】A【分析】连接AC ，OA ，OB ，先结合切线的性质以及圆的性质求得ACB BAT Ð=Ð，再结合等腰三角形的性质以及圆的内接四边形的性质求得2D ACB Ð=Ð即可．【详解】如图所示，连接AC ，OA ，OB ，则()11802AOB OBA OAB =°-ÐÐÐ=，∵2AOB ACB Ð=Ð，∴90ACB OAB =°-ÐÐ，∴90ACB OAB Ð=°-Ð，∵AT 是⊙O 的切线，∴90BAT OAB Ð=°-Ð，∴55ACB BAT Ð=Ð=°，∵AB BC =，∴1802ABC ACB Ð=°-Ð，根据圆的内接四边形可得：180D ABC Ð=°-Ð，∴2110D ACB Ð=Ð=°，故选：A ．【点睛】本题考查圆的综合问题，理解圆的切线的性质以及内接四边形的性质是解题关键．6．（2021·浙江九年级专题练习）如图，⊙O 的弦AB ＝8，M 是弦AB 上的动点，若OM 的最小值是3，则⊙O 的半径是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【分析】过O 点作OH ⊥AB 于H ，连接OA ，如图，根据垂径定理得到AH ＝BH ＝4，利用垂线段最短得到OH ＝3，然后利用勾股定理计算出OA 即可．【详解】解：过O 点作OH ⊥AB 于H ，连接OA ，如图，∵OH ⊥AB ，∴AH ＝BH ＝12AB ＝12×8＝4，∵OM 的最小值是3，∴OH ＝3，在Rt △OAH 中，OA ＝5，即⊙O 的半径是5．故选：B ．【点睛】本题考查了垂径定理：直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．7．（2020·聊城市茌平区实验中学九年级月考）如图，P 为O 外一点，PA 、PB 分别切O 于点A 、B ，CD 切O 于点E 且分别交PA 、PB 于点C ，D ，若PA =4，则△PCD 的周长为( )A ．5B ．7C ．8D ．10【答案】C【分析】根据切线长定理求解即可【详解】解：∵PA 、PB 分别切O 于点A 、B ，CD 切O 于点E ，PA=4，∴PA=PB=4，AC=CE ，BD=DE ，∴△PCD 的周长为PC+CE+DE+PD=PC+AC+BD+PD=PA+PB=4+4=8，故选：C ．【点睛】本题考查切线长定理，熟练掌握切线长定理及其应用是解答的关键．8．（2021·北京九年级专题练习）如图，ABC D 的内切圆O e 与A B ，BC ，CA 分别相切于点D ，E ，F ，且2AD =，ABC D 的周长为14，则BC 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C 【分析】根据切线长定理得到AF =AD =2，BD =BE ，CE =CF ，由△ABC 的周长为14，可求BC 的长．【详解】解：O Qe 与A B ，BC ，CA 分别相切于点D ，E ，F2AF AD \==，BD BE =，CE CF =，ABC D Q 的周长为14，14AD AF BE BD CE CF \+++++=2()10BE CE \+=5BC \=故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．二、填空题9．如图，PA 、PB 、CD 是⊙O 的切线，A 、B 、E 是切点，CD 分别交PA 、PB 于C 、D 两点，若∠COD =70°，则∠AP B =_______.【答案】40°【分析】先利用切线长定理，得出∠BDO =∠CDO ，∠ACO =∠DCO ，再利用三角形内角和求出∠CDO +∠DCO 后得到∠BDC+∠A CD 的值，最后利用三角形外角的性质得到关于∠P 的方程，解方程即可得出答案．【详解】解：∵PA 、PB 、CD 是⊙O 的切线，∴∠BDO =∠CDO ，∠ACO =∠DCO ，∵∠COD =70°，∴∠CDO +∠DCO =180°－70°=110°，∴∠BDC +∠ACD =2（∠CDO +∠DCO ）=2 ×110°=220°，∵∠BDC =∠DCP +∠P ，∠ACD =∠CDP +∠P ，∴∠DCP +∠P +∠CDP +∠P =220°，即180°+∠P =220°，∴∠P =40°，即∠APB =40°，故答案为：40°．【点睛】本题综合考查了圆的切线长定理、三角形的内角和定理、三角形外角的性质等，解决本题的关键是要牢记各定理与性质的内容，能灵活运用它们进行不同的角之间的转化，考查了学生推理分析的能力．10．（2021·浙江九年级其他模拟）如图，已知AD 是BAC Ð的平分线，以线段AB 为直径作圆，交BAC Ð和角平分线于C ，D 两点．过D 向AC 作垂线DE 垂足为点E ．若24DE CE ==，则直径AB =_______．【答案】10【分析】连接CD 、OD 、OC 、BD ，运用勾股定理求得CD 的长,再证明DE 是圆O 的切线，运用全等三角形的判定与性质以及余角的性质得出∠CDE =∠BAD ,易得BD =CD ，然后再根据正切函数求得AD ，最后根据勾股定理解答即可．【详解】解：如图：连接CD 、OD 、OC 、BD∵AE ⊥DE , 24DE CE ==∴CD =∵OA =OD∴∠OAD =∠ODA∴∠BOD =∠OAD +∠ODA = 2∠OAD∵∠ODA =∠OAD∴∠EAD =∠ODA∴OD //AE∴OD ⊥DE ，即DE 是圆O 的切线∴∠CDE +∠ODC =90°∵AB是直径∴∠BAD+∠B=90°在△BOD和△DOC中OC=OB,DO=DO,BD=CD ∴△BOD≌△DOC∴∠ODC=∠OBD∴∠CDE=∠BAD∵∠BAD=∠DAC∴∠COD=∠BOD∴BD=CD=∵tan∠BAD=BDAD= tan∠CDE=12CEDE=,∴AD=∴AB10=．故填10．【点睛】本题主要考查了三角形的性质、圆的切线的判定与性质、勾股定理、三角函数等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．11．（2020·湖北孝感市·九年级月考）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上．若∠P＝108°，则∠B+∠D＝_____．【答案】216°【分析】连接AB，根据切线得出PA＝PB，求出∠PBA＝∠PAB＝36°，根据圆内接四边形的对角互补得出∠D+∠CBA＝180°，再求出答案即可．【详解】解：连接AB，∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∴PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA，∵∠APB＝108°，∴∠PBA＝∠PAB＝12×（180°﹣∠APB）＝36°，∵A、D、C、B四点共圆，∴∠D+∠CBA＝180°，∴∠PBC+∠D＝∠PBA+∠CBA+∠D＝36°+180°＝216°，故答案为：216°．【点睛】本题考查了切线长定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆内接四边形等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．12．（2021·河北石家庄市·石家庄外国语学校九年级月考）已知△ABC中，⊙I为△ABC的内切圆，切点为H，若B C＝6，AC＝8，AB＝10，则点A到圆上的最近距离等于_____．-【答案】2【分析】连接IA，IA与⊙I半径的差即为点A到圆上的最近距离，只需求出IA和⊙I半径即可得答案．【详解】解：连接IA，设AC、BC分别切⊙I于E、D，连接IE、ID，如图：∵BC＝6，AC＝8，AB＝10，∴BC2+AC2＝AB2∴∠C＝90°∵⊙I为△ABC的内切圆，∴∠IEC＝∠IDC＝90°，IE＝ID，∴四边形IDCE是正方形，设它的边长是x，则IE＝EC＝CD＝ID＝IH＝x，∴AE＝8﹣x，BD＝6﹣x，由切线长定理可得：AH＝8﹣x，BH＝6﹣x，而AH+BH＝10，∴8﹣x+6﹣x＝10，解得x＝2，∴AH＝6，IH＝2，∴IA，∴点A到圆上的最近距离为﹣2，故答案为：﹣2．【点睛】本题考查勾股定理、切线长定理、三角形的内切圆等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．三、解答题13．（2021·浙江温州市·九年级一模）如图，点C ，D 在以AB 为直径的半圆O 上， AD BC=，切线DE 交AC 的延长线于点E ，连接OC ．（1）求证：∠ACO ＝∠ECD ．（2）若∠CDE ＝45°，DE ＝4，求直径AB 的长．【答案】（1）证明见详解；（2）【分析】（1）由 AD BC=，可得∠A ＝∠B ，内接四边形可得出∠ECD=∠B ，进而得出∠ACO ＝∠ECD ；（2））连接OD ，由切线的性质可得出∠ODE ＝90°，进而得出∠CDO ＝∠DCO=45°，再根据已知条件计算出∠E=∠ECD ，得到CD=DE ＝4，再利用勾股定理求出半径，进而得出答案；【详解】（1）证明：∵ AD BC=，∴∠A ＝∠B ；∵ABDC 是内接四边形∴∠ECD=∠B∴∠ECD=∠A∵AO ＝CO ；∴∠ACO ＝∠A∴∠ACO ＝∠ECD（2）连接OD∵DE 是圆的切线∴∠ODE ＝90°，∵∠CDE ＝45°，OC=OD∴∠CDO ＝∠DCO =45°，∴∠COD ＝90°，∵ AD BC=，∴ AC DC=，∴∠AOC ＝∠DOB=45°，∴AO ＝OC ，∴∠ACO ＝∠A=1804567.52°-°=° ；∵∠DCO =45°，∴∠ECD =180°-45°-67.5°=67.5°，∵∠E=180°-∠CDE -∠ECD =180°-45°-67.5°=67.5°，∴∠E=∠ECD∴CD=DE ＝4，∵∠COD ＝90°，∴222CD OC OD =+∴2216OC OD +=，即28OC =∴OC= 故⊙O 的半径为∴直径AB 的长，【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，内接四边形，切线性质定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握性质及定理是解决本题的关键．14．（2021·江苏无锡市·九年级期中）如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，与BA 的延长线交于点D ，DE ⊥P O 交PO 延长线于点E ，连接PB ，∠EDB ＝∠EPB ．（1）求证：PB 是⊙O 的切线．（2）若PB ＝3，tan ∠PDB ＝34，求⊙O 的半径．【答案】（1）见解析；（2）32【分析】（1）根据三角形的内角和定理可证E PBO Ð=Ð，然后根据垂直定义可得90E Ð=°，从而得出半径CB PB ^，根据切线的判定定理即可证出结论；（2）连接OC ，根据题意求出45BD PD ==，，再结合切线长定理得到3PC =，2CD =，从而设O e 的半径是r ，利用勾股定理求解即可．【详解】（1）,EDB EPB DOE POB Ð=ÐÐ=ÐQ ，E PBO \Ð=Ð，DE PO ^Q ，90E \Ð=°，90PBO \Ð=°，\半径CB PB ^，PB \是O e 的切线．（2）如图，连接OC ，33tan 904PB PDB PBD =Ð=Ð=°Q ，，tan 45BD PB PDB PD \=Ð===g ，．PB Q 和PC 是O e 的切线，3PC PB \==，2CD PD PC \=-=，设O e 的半径是r ，则4OD DB OB r =-=-，PD Q 切O e 于点C ，OC PD \^，222CD OC OD \+=，()22224r r \+=-，32r \=．【点睛】本题考查圆的综合问题，理解切线的判定与性质定理以及正切函数的定义是解题关键．15．（2021·天津九年级学业考试）已知AB 为O e 的直径，点C ，D 为O e 上的两点，AD 的延长线于BC 的延长线交于点P ，连接CD ，30CAB Ð=°．（Ⅰ）如图①，若 2=CBCD ，4AB =，求AD 的长；（Ⅱ）如图②，过点C 作O e 的切线交AP 于点M ，若6CD AD ==，求CM 的长．【答案】（1）AD =；（2）CM = ．【分析】（1）根据弧、圆周角之间的关系可求得∠BAD =45°，连接BD ，可得△ABD 为等腰直角三角形，求解即可；（2）根据弦、圆心角之间关系、等边对等角以及三角形外角的性质可求得∠PDM =60°，OC //AP ，再根据切线的性质定理易得△CDM 为直角三角形，解直角三角形即可．【详解】解：（1）∵ 2=CBCD ，30CAB Ð=°，∴1152CAD CAB Ð=Ð=°,∴∠BAD =45°，连接BD ，∵AB 为直径，∴∠BDA =90°，∴cos45AD AB =×°=（2）连接OD 、OC ，∵30CAB Ð=°，∴∠COB =60°，∠AOC =120°，∵6CD AD ==，∴∠AOD =∠COD =60°，∴∠ACD =∠CAD =30°，∠BAP =∠CAD +∠CAB =60°=∠COB ，∴OC //AP ，∠CDP =∠ACD +∠CAD =60°，∵CM 为O e 的切线，∴∠OCM =90°，∴∠AMC =180°-∠OCM =90°，在Rt △CDM 中，sin 60CM CD =×°=．【点睛】本题考查切线的性质定理，等腰三角形等边对等角，弧、圆心角、圆周角、弦之间的关系，解直角三角形．正确作出辅助线是解题关键．。
人教版九年级上《24.2.3切线的判定和性质》同步练习（含答案）
2022-2023人教版数学九年级上册同步练习24.2.3 切线的判定和性质一．选择题（共15小题）1．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切，切点为C，若大圆的半径是13，AB=24，则小圆的半径是（）A．4B．5C．6D．72．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别为P、C、D，若AB=5，AC=3，则BD的长是（）A．1.5B．2C．2.5D．33．如图，⊙O中，CD是切线，切点是D，直线CO交⊙O于B、A，∠A=20°，则∠C的度数是（）A．25°B．65°C．50°D．75°4．如图，直线AB与⊙O相切于点A，⊙O的半径为1，若∠OBA=30°，则OB长为（）A．1B．2C．D．25．如图，∠NAM=30°，O为边AN上一点，以点O为圆心，2为半径作⊙O，交AN边于D、E两点，则当⊙O与AM相切时，AD等于（）A．4B．3C．2D．16．如图，矩形ABCD中，G是BC的中点，过A、D、G三点的圆O与边AB、CD 分别交于点E、点F，给出下列说法：（1）AC与BD的交点是圆O的圆心；（2）AF与DE的交点是圆O的圆心；（3）BC与圆O相切，其中正确说法的个数是（）A．0B．1C．2D．37．已知⊙O的半径为5，直线EF经过⊙O上一点P（点E，F在点P的两旁），下列条件能判定直线EF与⊙O相切的是（）A．OP=5B．OE=OFC．O到直线EF的距离是4D．OP⊥EF8．如图，网格中的每个小正方形的边长是1，点M，N，O均为格点，点N在⊙O上，若过点M作⊙O的一条切线MK，切点为K，则MK=（）A．3B．2C．5D．9．如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，连接BC，PA．若∠P=40°，当∠B等于（）时，PA与⊙O相切．A．20°B．25°C．30°D．40°10．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将圆P沿x轴的正方向平移，使得圆P与y轴相切，则平移的距离为（）A．1B．3C．5D．1或511．如图，⊙O的半径为3，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A=60°，∠D=110°，的度数是70°，直线l与⊙O相切于点A．在没有滑动的情况下，将⊙O沿l向右滚动，使O点向右移动70π，则此时⊙O与直线l相切的切点所在的劣弧是（）A．B．C．D．12．如图，在等边△ABC中，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB、BC 相交于点D、E、F是AC上的点，判断下列说法错误的是（）A．若EF⊥AC，则EF是⊙O的切线B．若EF是⊙O的切线，则EF⊥ACC．若BE=EC，则AC是⊙O的切线D．若BE=EC，则AC是⊙O的切线13．如图，P为⊙O的直径BA延长线上的一点，PC与⊙O相切，切点为C，点D 是⊙O上一点，连接PD．已知PC=PD=BC．下列结论：（1）PD与⊙O相切；（2）四边形PCBD是菱形；（3）PO=CD；（4）弧AC=弧AD．其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个14．如图，直线l1∥l2，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B．直线MN与l1相交于M；与l2相交于N，⊙O的半径为1，∠1=60°，直线MN从如图位置向右平移，下列结论①l1和l2的距离为2 ②MN=③当直线MN与⊙O相切时，∠MON=90°④当AM+BN=时，直线MN与⊙O相切．正确的个数是（）A．1B．2C．3D．415．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD=30°，半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm．如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B 的方向移动，那么（）秒钟后⊙P与直线CD相切．A．4B．8C．4或6D．4或8二．填空题（共6小题）16．在平面直角坐标系中，点P的坐标为（﹣4，0），半径为1的动圆⊙P沿x 轴正方向运动，若运动后⊙P与y轴相切，则点P的运动距离为．17．如图，直线PA是⊙O的切线，AB是过切点A的直径，连接PO交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC=25°，则∠P的度数为．18．如图，已知PA、PB是⊙O的切线，A、B分别为切点，∠OAB=30°．（1）∠APB=；（2）当OA=2时，AP=．19．如图所示，直线y=x﹣2与x轴、y轴分别交于M，N两点，⊙O的半径为1，将⊙O以每秒1个单位的速度向右作平移运动，当移动s时，直线MN 恰好与圆O相切．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向以0.5个单位/秒的速度平移，使⊙P与y轴相切，则平移的时间为秒．21．已知，如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD交AB于E，连接OD、PC、BC，∠AOD=2∠ABC，∠P=∠D，过E作弦GF⊥BC交圆于G、F两点，连接CF、BG．则下列结论：①CD⊥AB；②PC是⊙O的切线；③OD∥GF；④弦CF的弦心距等于BG．则其中正确的是（只需填序号）三．解答题（共9小题）22．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上的一点，CF切半圆O于点C，BD ⊥CF于为点D，BD与半圆O交于点E．（1）求证：BC平分∠ABD．（2）若DC=8，BE=4，求圆的直径．23．如图，一圆与平面直角坐标系中的x轴切于点A（8，0），与y轴交于点B （0，4），C（0，16），求该圆的直径．24．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连结DE，过点B作BP平行于DE，交⊙O于点P，连结EP、CP、OP．（1）BD=DC吗？说明理由；（2）求∠BOP的度数；（3）求证：CP是⊙O的切线．25．如图，▱ABCD中，⊙O过点A、C、D，交BC于E，连接AE，∠BAE=∠ACE．（1）求证：AE=CD；（2）求证：直线AB是⊙O的切线．26．已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．（1）如图①，若∠P=35°，求∠ABP的度数；（2）如图②，若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．27．如图（1），在△ABC中，∠ACB=90°，以AB为直径作⊙O；过点C作直线CD交AB的延长线于点D，且BD=OB，CD=CA．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）如图（2），过点C作CE⊥AB于点E，若⊙O的半径为8，∠A=30°，求线段BE．28．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BE交AC于点E，过点E作直线BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）过点E作EH⊥AB于点H，求证：EF平分∠AEH；（3）求证：CD=HF．29．如图，已知A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于点B，OC=BC，AC=OB．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若∠ACD=45°，OC=2，求弦CD的长．30．如图，AB是半径为2的⊙O的直径，直线m与AB所在直线垂直，垂足为C，OC=3，点P是⊙O上异于A、B的动点，直线AP、BP分别交m于M、N两点．（1）当点C为MN中点时，连接OP，PC，判断直线PC与⊙O是否相切并说明理由．（2）点P是⊙O上异于A、B的动点，以MN为直径的动圆是否经过一个定点，若是，请确定该定点的位置；若不是，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．【解答】解：∵AB=24，OB=OA=13，∴BC=12；在Rt△OCB中，∴OC==5．故选：B．2．【解答】解：∵AC、AP为⊙O的切线，∴AC=AP，∵BP、BD为⊙O的切线，∴BP=BD，∴BD=PB=AB﹣AP=5﹣3=2．故选：B．3．【解答】解：连接OD，∵CD是⊙O的切线，∴∠ODC=90°，∠COD=2∠A=40°，∴∠C=90°﹣40°=50°，故选：C．4．【解答】解：∵直线AB与⊙O相切于点A，连接OA则∠OAB=90°．∵OA=1，∴OB=．故选：B．5．【解答】解：设直线AM与⊙O相切于点K，连接OK．∵AM是⊙O的切线，∴OK⊥AK，∴∠AKO=90°∵∠A=30°，∴AO=2OK=4，∵OD=2，∴AD=OA﹣OD=2，故选：C．6．【解答】解：连接DG、AG，作GH⊥AD于H，连接OD，如图，∵G是BC的中点，∴AG=DG，∴GH垂直平分AD，∴点O在HG上，∵AD∥BC，∴HG⊥BC，∴BC与圆O相切；∵OG=OD，∴点O不是HG的中点，∴圆心O不是AC与BD的交点；而四边形AEFD为⊙O的内接矩形，∴AF与DE的交点是圆O的圆心；∴（1）错误，（2）（3）正确．故选：C．7．【解答】解：∵点P在⊙O上，∴只需要OP⊥EF即可，故选：D．8．【解答】解：如图所示：MK=，故选：B．9．【解答】解：∵PA是⊙O的切线，∴∠PAO=90°，∴∠AOP=90°﹣∠P=50°，∵OB=OC，∴∠AOP=2∠B，∴∠B=∠AOP=25°，故选：B．10．【解答】解：当圆P在y轴的左侧与y轴相切时，平移的距离为3﹣2=1，当圆P在y轴的右侧与y轴相切时，平移的距离为3+2=5，故选：D．11．【解答】解：连结OC、OD、OA，如图，∵∠D=110°，∴∠B=180°﹣∠D=70°，∴∠AOC=2∠B=140°，∵∠A=60°，∴∠BOD=120°，∵的度数是70°，∴∠COD=70°，∴∠AOD=70°，∠BOC=50°，∴AD弧的长度==π，∴BC弧的长度==π，∵70π=6π•12﹣2π，而2π＞π，∴向右移动了70π，此时与直线l相切的弧为．故选：C．12．【解答】解：A、如图1，连接OE，则OB=OE，∵∠B=60°∴∠BOE=60°，∵∠BAC=60°，∴∠BOE=∠BAC，∴OE∥AC，∵EF⊥AC，∴OE⊥EF，∴EF是⊙O的切线∴A选项正确；B、∵EF是⊙O的切线，∴OE⊥EF，由A知：OE∥AC，∴AC⊥EF，∴B选项正确；C、∵∠B=60°，OB=OE，∴BE=OB，∵BE=CE，∴BC=AB=2BO，∴AO=OB，如图2，过O作OH⊥AC于H，∵∠BAC=60°，∴OH=AO≠OB，∴C选项错误；D、如图2，∵BE=EC，∴CE=BE，∵AB=BC，BO=BE，∴AO=CE=OB，∴OH=AO=OB，∴AC是⊙O的切线，∴D选项正确．故选：C．13．【解答】解：（1）连接CO，DO，∵PC与⊙O相切，切点为C，∴∠PCO=90°，在△PCO和△PDO中，，∴△PCO≌△PDO（SSS），∴∠PCO=∠PDO=90°，∴PD与⊙O相切，故（1）正确；（2）由（1）得：∠CPB=∠BPD，在△CPB和△DPB中，，∴△CPB≌△DPB（SAS），∴BC=BD，∴PC=PD=BC=BD，∴四边形PCBD是菱形，故（2）正确；（3）连接AC，∵PC=CB，∴∠CPB=∠CBP，∵AB是⊙O直径，∴∠ACB=90°，在△PCO和△BCA中，，∴△PCO≌△BCA（ASA），∴AC=CO，∴AC=CO=AO，∴∠COA=60°，∴∠CPO=30°，∴CO=PO=AB，∴PO=AB，∵AB是⊙O的直径，CD不是直径，∴AB≠CD，∴PO≠DC，故（3）错误；（4）由（2）证得四边形PCBD是菱形，∴∠ABC=∠ABD，∴弧AC=弧AD，故（4）正确；故选：C．14．【解答】解：如图1，∵⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B，∴OA⊥l1，OB⊥l2，∵l1∥l2，∴点A、B、O共线，∴l1和l2的距离=AB=2，所以①正确；作NH⊥AM，如图1，则四边形ABNH为矩形，∴NH=AB=2，在Rt△MNH中，∵∠1=60°，∴MH=NH=，∴MN=2MH=，所以②正确；当直线MN与⊙O相切时，如图2，∠1=∠2，∠3=∠4，∵l1∥l2，∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴∠1+∠3=90°，∴∠MON=90°，所以③正确；过点O作OC⊥MN于C，如图2，=S△OAM+S△OMN+S△OBN，∵S四边形ABNM∴•1•AM+•1•BN+MN•OC=（BN+AM）•2，即（AM+BN）+MN•OC=AM+BN，∵AM+BN=，MN=，∴OC=1，而OC⊥MN，∴直线MN与⊙O相切，所以④正确．故选：D．15．【解答】解：由题意CD与圆P1相切于点E，点P1只能在直线CD的左侧，∴P1E⊥CD又∵∠AOD=30°，r=1cm∴在△OEP1中OP1=2cm又∵OP=6cm∴P1P=4cm∴圆P到达圆P1需要时间为：4÷1=4（秒），或P1P=8cm∴圆P到达圆P1需要时间为：8÷1=8（秒），∴⊙P与直线CD相切时，时间为4或8秒．故选：D．二．填空题（共6小题）16．【解答】解：若运动后⊙P与y轴相切，则点P到y轴的距离为1，此时P点坐标为（﹣1，0）或（1，0），而﹣1﹣（﹣4）=3，1﹣（﹣4）=5，所以点P的运动距离为3或5．故答案为3或5．17．【解答】解：由圆周角定理得，∠AOP=2∠ABC=50°，∵PA是⊙O的切线，AB是过切点A的直径，∴∠PAO=90°，∴∠P=90°﹣∠AOP=40°，故答案为：40°．18．【解答】解：（1）∵在△ABO中，OA=OB，∠OAB=30°，∴∠AOB=180°﹣2×30°=120°，∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°，∴在四边形OAPB中，∠APB=360°﹣120°﹣90°﹣90°=60°，故答案为：60°．（2）如图，连接OP；∵PA、PB是⊙O的切线，∴PO平分∠APB，即∠APO=∠APB=30°，又∵在Rt△OAP中，OA=3，∠APO=30°，∴AP===2，故答案为：2．19．【解答】解：作EF平行于MN，且与⊙O切，交x轴于点E，交y轴于点F，如图所示．设直线EF的解析式为y=x+b，即x﹣y+b=0，∵EF与⊙O相切，且⊙O的半径为1，∴b2=×1×|b|，解得：b=或b=﹣，∴直线EF的解析式为y=x+或y=x﹣，∴点E的坐标为（，0）或（﹣，0）．令y=x﹣2中y=0，则x=2，∴点M（2，0）．∵根据运动的相对性，且⊙O以每秒1个单位的速度向右作平移运动，∴移动的时间为2﹣秒或2+秒．故答案为：2﹣或2+．20．【解答】解：当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5．故答案为2或1021．【解答】解：连接BD、OC、AG，过O作OQ⊥CF于Q，OZ⊥BG于Z，∵OD=OB，∴∠ABD=∠ODB，∵∠AOD=∠OBD+∠ODB=2∠OBD，∵∠AOD=2∠ABC，∴∠ABC=∠ABD，∴弧AC=弧AD，∵AB是直径，∴CD⊥AB，∴①正确；∵CD⊥AB，∴∠P+∠PCD=90°，∵OD=OC，∴∠OCD=∠ODC=∠P，∴∠PCD+∠OCD=90°，∴∠PCO=90°，∴PC是切线，∴②正确；假设OD∥GF，则∠AOD=∠FEB=2∠ABC，∴3∠ABC=90°，∴∠ABC=30°，已知没有给出∠B=30°，∴③错误；∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵EF⊥BC，∴AC∥EF，∴弧CF=弧AG，∴AG=CF，∵OQ⊥CF，OZ⊥BG，∴CQ=AG，OZ=AG，BZ=BG，∴OZ=CQ，∵OC=OB，∠OQC=∠OZB=90°，∴△OCQ≌△BOZ，∴OQ=BZ=BG，∴④正确．故答案为：①②④．三．解答题（共9小题）22．【解答】（1）证明：连结OC，如图，∵CD为切线，∴OC⊥CD，∵BD⊥DF，∴OC∥BD，∴∠1=∠3，∵OB=OC，∴∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴BC平分∠ABD；（2）解：连结AE交OC于G，如图，∵AB为直径，∴∠AEB=90°，∵OC∥BD，∴OC⊥CD，∴AG=EG，易得四边形CDEG为矩形，∴GE=CD=8，∴AE=2EG=16，在Rt△ABE中，AB==4，即圆的直径为4．23．【解答】解：过圆心O′作y轴的垂线，垂足为D，连接O′A，∵O′D⊥BC，∴D为BC中点，∴BC=16﹣4=12，OD=6+4=10，∵⊙O′与x轴相切，∴O′A⊥x轴，∴四边形OAO′D为矩形，半径O′A=OD=10，24．【解答】解：（1）BD=DC．理由如下：连接AD，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=DC；（2）∵AD是等腰△ABC底边上的中线，∴∠BAD=∠CAD，∴，∴BD=DE．∴BD=DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，△ABC中，AB=AC，∠A=30°，∴∠DCE=∠ABC=（180°﹣30°）=75°，∴∠DEC=75°，∴∠EDC=180°﹣75°﹣75°=30°，∵BP∥DE，∴∠PBC=∠EDC=30°，∴∠ABP=∠ABC﹣∠PBC=75°﹣30°=45°，∵OB=OP，∴∠OBP=∠OPB=45°，∴∠BOP=90°；（3）设OP交AC于点G，如图，则∠AOG=∠BOP=90°，在Rt△AOG中，∠OAG=30°，∴=，又∵==，∴=，∴=，又∵∠AGO=∠CGP，∴△AOG∽△CPG，∴∠GPC=∠AOG=90°，∴OP⊥PC，∴CP是⊙O的切线；25．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD，∠B=∠ADC∵四边形ADCE是⊙O内接四边形∴∠ADC+∠AEC=180°∵∠AEC+∠AEB=180°∴∠ADC=∠AEB∴∠B=∠AEB∴AE=CD（2）如图：连接AO，并延长AO交⊙O交于点F，连接EF．∵AF是直径∴∠AEF=90°∴∠AFE+∠EAF=90°∵∠BAE=∠ECA，∠AFE=∠ACE∴∠AFE=∠BAE∴∠BAE+∠EAF=90°∴∠BAF=90°且AO是半径∴直线AB是⊙O的切线26．【解答】（1）解：∵AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，∴AB⊥AP，∴∠BAP=90°；又∵∠P=35°，∴∠AB=90°﹣35°=55°．（2）证明：如图，连接OC，OD、AC．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），∴∠ACP=90°；又∵D为AP的中点，∴AD=CD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）；在△OAD和△OCD中，，∴△OAD≌△OCD（SSS），∴∠OAD=∠OCD（全等三角形的对应角相等）；又∵AP是⊙O的切线，A是切点，∴AB⊥AP，∴∠OAD=90°，∴∠OCD=90°，即直线CD是⊙O的切线．27．【解答】（1）证明：如图1，连结OC，∵点O为直角三角形斜边AB的中点，∴OC=OA=OB．∴点C在⊙O上，∵BD=OB，∴AB=DO，∵CD=CA，∴∠A=∠D，∴△ACB≌△DCO，∴∠DCO=∠ACB=90°，∴CD是⊙O的切线；（2）解：如图2，在Rt△ABC中，BC=ABsin∠A=2×8×sin30°=8，∵∠ABC=90°﹣∠A=90°﹣30°=60°，∴BE=BCcos60°=8×=4．28．【解答】（1）证明：（1）如图，连接OE．∵BE⊥EF，∴∠BEF=90°，∴BF是圆O的直径，∴OB=OE，∴∠OBE=∠OEB，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠OBE，∴∠OEB=∠CBE，∴OE∥BC，∴∠AEO=∠C=90°，∴AC是⊙O的切线；（2）证明：∵∠C=∠BHE=90°，∠EBC=∠EBA，∴BEC=∠BEH，∵BF是⊙O是直径，∴∠BEF=90°，∴∠FEH+∠BEH=90°，∠AEF+∠BEC=90°，∴∠FEH=∠FEA，∴FE平分∠AEH．（3）证明：如图，连结DE．∵BE是∠ABC的平分线，EC⊥BC于C，EH⊥AB于H，∴EC=EH．∵∠CDE+∠BDE=180°，∠HFE+∠BDE=180°，∴∠CDE=∠HFE，∵∠C=∠EHF=90°，∴△CDE≌△HFE（AAS），∴CD=HF，29．【解答】解：（1）如图，连接OA；∵OC=BC，AC=OB，∴OC=BC=AC=OA．∴△ACO是等边三角形．∴∠O=∠OCA=60°，∵AC=BC，∴∠CAB=∠B，又∠OCA为△ACB的外角，∴∠OCA=∠CAB+∠B=2∠B，∴∠B=30°，又∠OAC=60°，∴∠OAB=90°，∴AB是⊙O的切线；（2）解：作AE⊥CD于点E，∵∠O=60°，∴∠D=30°．∵∠ACD=45°，AC=OC=2，∴在Rt△ACE中，CE=AE=；∵∠D=30°，∴AD=2，∴DE=AE=，∴CD=DE+CE=+．30．【解答】解：（1）直线PC与⊙O相切，理由是：如图1，∵AC⊥MN，∴∠ACM=90°，∴∠A+∠AMC=90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠APB=∠NPM=90°，∴∠PNM+∠AMC=90°=∠A+∠ABP，∴∠ABP=∠AMC，∵OP=OB，∴∠ABP=∠OPB，Rt△PMN中，C为MN的中点，∴PC=CN，∴∠PNM=∠NPC，∴∠OPC=∠OPB+∠NPC=∠ABP+∠PNM=∠AMC+∠PNM=90°，即OP⊥PC，∴直线PC与⊙O相切；（2）如图2，设该圆与AC的交点为D，连接DM、DN，∵MN为直径，∴∠MDN=90°，则∠MDC+∠NDC=90°，∵∠DCM=∠DCN=90°，∴∠MDC+∠DMC=90°，∴∠NDC=∠DMC，则△MDC∽△DNC，∴，即DC2=MC•NC∵∠ACM=∠NCB=90°，∠A=∠BNC，∴△ACM∽△NCB，∴，即MC•NC=AC•BC；即AC•BC=DC2，∵AC=AO+OC=2+3=5，BC=3﹣2=1，∴DC2=5，∴DC=，∵MN⊥DD'，∴D'C=DC=，∴以MN为直径的一系列圆经过两个定点D和D'，此定点在C的距离都是．。
圆的切线综合练习题与答案完整版
圆的切线综合练习题与答案HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】切线的判定与性质练习题一、选择题（答案唯一，每小题3分）1．下列说法中，正确的是( )A．与圆有公共点的直线是圆的切线 B．经过半径外端的直线是圆的切线C．经过切点的直线是圆的切线 D．圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线2. 如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于A，BC交⊙O于点D，若∠C＝70°，则∠AOD的度数为( )A．70° B．35° C．20° D．40°第2题第3题第4题第5题3. 如图，线段AB是⊙O的直径，点C，D为⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠E＝50°，则∠CDB等于( )A．20° B．25° C．30° D．40°4.如图，等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝8，O为BC的中点，以O为圆心作半圆，使它与AB，AC都相切，切点分别为D，E，则⊙O的半径为( )A．8 B．6 C．5 D．45.如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点G，直线EF与⊙O相切于点D，则下列结论中不一定正确的是( )A．AG＝BG B．AB∥EF C．AD∥BC D．∠ABC＝∠ADC二．填空题（每小题3分）6．如图，在⊙O中，弦AB＝OA，P是半径OB的延长线上一点，且PB＝OB，则PA与⊙O的位置关系是_________．第6题第7题第8题7.如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为________________．8.如图，AB是⊙O的直径，O是圆心，BC与⊙O切于点B，CO交⊙O于点D，且BC＝8，CD＝4，那么⊙O的半径是______．9. 如图，若以平行四边形一边AB为直径的圆恰好与对边CD相切于点D，则∠C＝_______度．第9题第10题第11题10. 如图，AB为⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C，AD⊥l，垂足为D，AD交⊙O于点E，连接OC，BE.若AE＝6，OA＝5，则线段DC的长为______．11．如图，已知△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，MN与⊙O相切，切点为A，若∠MAB＝30°，则∠B＝________度．三、解答题（写出详细解答或论证过程）12.（7分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E.求证：AC是⊙O的切线．第12题第13题第14题13.（7分）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E.求证：∠BDC＝∠A.14.（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC的平分线交BC于D，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，求证：AC与⊙D相切．15.（10分）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且∠D＝2∠CAD.(1)求∠D的度数；(2)若CD＝2，求BD的长．第15题第16题16．（12分）已知△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF.(1)如图①，若AB为⊙O的直径，要使EF成为⊙O的切线，还需要添加的一个条件是(至少说出两种)：__________________________或者_______________________；(2)如图②，如果AB是不过圆心O的弦，且∠CAE＝∠B，那么EF是⊙O的切线吗？试证明你的判断．17.（12分）如图，已知直线PA交⊙O于A，B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D.(1)求证：CD为⊙O的切线；(2)若DC＋DA＝6，⊙O的直径为10，求AB的长．答案：DDADC 6. 相切 7. ∠ABC＝90°不排除等效答案 8. 6 9. 45 10. 4 11. 6012. 解：连接OD，∵BD为∠ABC平分线，∴∠OBD＝∠CBD，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠CBD＝∠ODB，∴OD∥BC，∵∠C＝90°，∴∠ODA＝90°，则AC为⊙O的切线13. 解：连接OD，∵CD是⊙O的切线，∴∠ODC＝90°，∴∠ODB＋∠BDC＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠ODB＋∠ADO＝90°，∴∠BDC＝∠ADO，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠A，∴∠BDC＝∠A14. 解：过D作DH⊥AC于H，由角平分线的性质可证DB＝DH，∴AC与⊙D相切15. 解：(1)∵∠COD＝2∠CAD，∠D＝2∠CAD，∴∠D＝∠COD.∵PD与⊙O相切于点C，∴OC⊥PD，即∠OCD＝90°，∴∠D＝45°(2)由(1)可知△OCD是等腰直角三角形，∴OC＝CD＝2，由勾股定理，得OD＝22＋22＝22，∴BD＝OD－OB＝22－216. (1) ∠BAE＝90°∠EAC＝∠ABC(2) (2)EF是⊙O的切线．证明：作直径AM，连接CM，则∠ACM＝90°，∠M＝∠B，∴∠M＋∠CAM＝∠B＋∠CAM＝90°，∵∠CAE＝∠B，∴∠CAM＋∠CAE＝90°，∴AE⊥AM，∵AM为直径，∴EF是⊙O的切线17. 解：(1)连接OC，证∠DAC＝∠CAO＝∠ACO，∴PA∥CO，又∵CD⊥PA，∴CO⊥CD，∴CD为⊙O 的切线(2)过O作OF⊥AB，垂足为F，∴四边形OCDF为矩形．∵DC＋DA＝6，设AD＝x，则OF＝CD＝6－x，AF＝5－x，在Rt△AOF中，有AF2＋OF2＝OA2，即(5－x)2＋(6－x)2＝25，解得x1＝2，x2＝9，由AD＜DF知0＜x＜5，故x＝2，从而AD＝2，AF＝5－2＝3，由垂径定理得AB＝2AF＝6。
切线的判定练习题
切线的判定练习题在数学中，切线是与曲线相切且只有一个交点的直线。
学生们常常需要通过练习题来巩固和提高对切线的判断能力。
本文将为大家提供一些切线的判定练习题，并以合适的格式呈现。
练习题一：已知曲线的方程为 y = x^2 - 2x + 1，判断直线 y = 3x - 2 是否为该曲线的切线。
解答：首先，我们需要求曲线的导数。
对方程 y = x^2 - 2x + 1 求导，得到y' = 2x - 2。
然后，我们取直线 y = 3x - 2 的斜率为 k = 3，与曲线的导数进行比较。
若 k = y'，则直线是曲线的切线。
将 k = 3 代入 y' = 2x - 2，得到 3 = 2x - 2。
解方程，得到 x = 5/2。
接下来，我们将 x = 5/2 带入曲线的方程 y = x^2 - 2x + 1，得到 y = (5/2)^2 - 2 * (5/2) + 1 = 9/4。
因此，直线 y = 3x - 2 是曲线 y = x^2 - 2x + 1 在点 (5/2, 9/4) 处的切线。
练习题二：已知曲线的方程为 y = e^x，判断直线 y = 2x - 1 是否为该曲线的切线。
解答：同样地，我们需要求曲线的导数。
对方程 y = e^x 求导，得到 y' =e^x。
取直线 y = 2x - 1 的斜率为 k = 2，与曲线的导数进行比较。
若 k = y'，则直线是曲线的切线。
将 k = 2 代入 y' = e^x，得到 2 = e^x。
解方程，得到 x = ln(2)。
接下来，我们将 x = ln(2) 带入曲线的方程 y = e^x，得到 y = e^ln(2) = 2。
因此，直线 y = 2x - 1 是曲线 y = e^x 在点 (ln(2), 2) 处的切线。
练习题三：已知曲线的方程为 y = 4 - x^2，判断直线 y = -x 是否为该曲线的切线。
圆的切线的性质和判定方法练习题
圆的切线的判定方法练习题1．如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是（）A．DE=DO B．AB=AC C．CD=DB D．AC∥OD2．如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC于点E，连接AD，则下列结论正确的个数是（）①AD⊥BC；②∠EDA=∠B；③OA=AC；④DE是⊙O的切线．3．如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB．（1）试探究AD和CD的位置关系，并说明理由．（2）若AD=3，AC=，求AB的长．4．如图，⊙M与x轴相交于点A（2，0），B（8，0），与y轴相切于点C，求圆心M的坐标．5．已知△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF．（1）如图①所示，若AB为⊙O的直径，要使EF成为⊙O的切线，还需要添加的一个条件是（至少说出两种）：或者．（2）如图②所示，如果AB是不过圆心O的弦，且∠CAE=∠B，那么EF是⊙O的切线吗？试证明你的判断．6．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，若PA⊥AB，PO过AC的中点M．（Ⅰ）求证：MO=BC；（Ⅱ）求证：PC是⊙O的切线．7．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线的一点，AE⊥CD交DC的延长线于E，CF⊥AB于F，且CE=CF．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB=6，BD=3，求AE和BC的长．8．如图，△ABC 中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，与BC交于点D，过D作AC的垂线，垂足为E．证明：（1）BD=DC；（2）DE是⊙O切线．9．如图，AB是⊙O直径，D为⊙O上一点，AT平分∠BAD交⊙O于点T，过T作AD的垂线交AD的延长线于点C．（1）求证：CT为⊙O的切线；（2）若⊙O半径为2，CT=，求AD的长．10．如图AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．（1）若AB=2，∠P=30°，求AP的长；（2）若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．11．如图，AB为⊙O的直径，D、T是圆上的两点，且AT平分∠BAD，过点T作AD延长线的垂线PQ，垂足为C．（1）求证：PQ是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，，求弦AD的长．12．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC边于点D，过点C作CF∥AB，与过点B的切线交于点F，连接BD．（1）求证：BD=BF；（2）若AB=10，CD=4，求BC的长．13．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，连接AO并延长，交PB的延长线于点C，连接PO，交⊙O 于点D．（1）求证：PO平分∠APC；（2）连接DB，若∠C=30°，求证：DB∥AC．14．如图，已知⊙O的直径CD=6，A，B为圆周上两点，且四边形OABC是平行四边形，过A点作直线EF ∥BD，分别交CD，CB的延长线于点E，F，AO与BD交于G点．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）求AE的长．。
切线的判定练习题
切线的判定练习题切线的判定练习题切线是数学中的一个重要概念，它在几何学、微积分和物理学中都有广泛的应用。
切线的判定是切线问题中的基本内容，掌握切线的判定方法对于解决相关问题至关重要。
本文将通过一些练习题来帮助读者更好地理解和掌握切线的判定。
题目一：给定函数y = x^2 + 2x + 1，判断点P(1, 4)是否在曲线y = x^2 + 2x + 1上，并求出曲线在点P处的切线方程。
解析：首先，我们将点P的坐标代入函数y = x^2 + 2x + 1中，得到y = 1^2 + 2 × 1 + 1 = 4。
由此可知，点P在曲线y = x^2 + 2x + 1上。
接下来，我们需要求出曲线在点P处的切线方程。
切线的斜率可以通过求函数在该点的导数来得到。
对函数y = x^2 + 2x + 1求导得到y' = 2x + 2。
将x = 1代入导数表达式中，得到斜率k = 2 × 1 + 2 = 4。
切线方程的一般形式为y - y1 = k(x - x1)，其中(x1, y1)为切点的坐标。
代入点P 的坐标和斜率k，得到切线方程为y - 4 = 4(x - 1)。
题目二：已知函数y = 3x^3 - 4x^2 + 2x + 1，求曲线y = 3x^3 - 4x^2 + 2x + 1在点Q(2, 19)处的切线方程。
解析：与题目一类似，首先将点Q的坐标代入函数y = 3x^3 - 4x^2 + 2x + 1中，得到y = 3 × 2^3 - 4 × 2^2 + 2 × 2 + 1 = 19。
因此，点Q在曲线y =3x^3 - 4x^2 + 2x + 1上。
接下来，我们需要求出曲线在点Q处的切线方程。
对函数y = 3x^3 - 4x^2 + 2x + 1求导得到y' = 9x^2 - 8x + 2。
将x = 2代入导数表达式中，得到斜率k =9 × 2^2 - 8 × 2 + 2 = 14。
切线的判定练习题
直线与圆的位置关系--------切线的判定同步练习题班级_________________姓名__________________1.（2012•崇左）已知∠AOB=30°，P是OA上的一点，OP=24cm，以r为半径作⊙P．（1）若r=12cm，试判断⊙P与OB位置关系；（2）若⊙P与OB相离，试求出r需满足的条件．2.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E．直线DE与⊙O有怎样的位置关系？为什么？3.如图已知直线AB过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB求证：直线ＡＢ是⊙O的切线4.如图：点O为∠ABC平分线上一点，OD⊥AB于D，以O为圆心，OD为半径作圆。
求证：BC与作⊙O相切。
5.如图，AB是⊙O的直径，弦AD平分∠BAC，过A作AC⊥DC，求证：DC是⊙O的切线。
6.如图，AB是半径⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，且AC=CD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若OA=2，求AC的长．7.如图，AB是半圆O的直径，AD为弦，∠DBC=∠A．（1）求证：BC是半圆O的切线；（2）若OC∥AD，OC交BD于E，BD=6，CE=4，求AD的长．8.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，过点B作BE∥CD，交AC•的延长线于点E，连结BC．（1）求证：BE为⊙O的切线；（2）如果CD=6，tan∠BCD=12，求⊙O的直径．9.如图，已知：△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sinB=12，∠D=30°．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若AC=6，求AD的长．10.已知：如图，A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于B•点，OC=BC，AC=12 OB．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若∠ACD=45°，OC=2，求弦CD的长．11.如图，P为⊙O外一点，PO交⊙O于C，过⊙O上一点A作弦AB⊥PO于E，若∠EAC=∠CAP，求证：PA是⊙O的切线．12.如图，A是以BC为直径的⊙O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作⊙O的切线，与CA的延长线相交于点E，G是AD的中点，连结OG并延长与BE相交于点F，延长AF•与CB的延长线相交于点P．（1）求证：BF=EF；（2）求证：PA是⊙O的切线；（3）若FG=BF，且⊙O的半径长为BD和FG的长度．13.（06湛江中考）如图，AB 是O 的直径，AE 平分BAF ∠，交O 于点，过点作直线ED AF ⊥，交AF 的延长线于点，交AB 的延长线于点C ．（1）求证：CD 是O 的切线；（2）若2CB =，4CE =，求AE 的长．14.⊿ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径作⊙O 交BC 于D ，DE ⊥AC 于E.求证：DE 为⊙O 的切线15.如图，已知四边形ABCD 是直角梯形，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，CD ＝AD ＋BC 。
初三切线的判定练习题
初三切线的判定练习题切线是几何学中重要的概念，初三学生需要掌握切线的判定方法。
下面是一些初三切线的判定练习题，帮助同学们巩固知识。
题目一：已知圆O的半径为r，点P是圆O外的一点，且OP的长度大于r。
要判断点P到圆O的切线的存在性，请写出判断条件和步骤。
解答：判断条件：点P到圆心O的距离等于圆O的半径r。
步骤：1. 计算点P到圆心O的距离PO。
2. 比较PO和r的大小关系：a) 如果PO > r，则点P到圆O有两条切线。
b) 如果PO = r，则点P到圆O有一条切线。
c) 如果PO < r，则点P到圆O没有切线。
题目二：已知圆C1和C2相交于点A和点B，且A、B不重合。
若点X是圆C1上的一点，并且直线BX与圆C2相切于点Y，请写出判断BX与圆C1的切线的存在性的条件和步骤。
解答：判断条件：直线BX与圆C1相切的条件是点X到圆C1的圆心距离等于圆C1的半径。
步骤：1. 计算点X到圆C1圆心的距离CX。
2. 比较CX和C1的半径的关系：a) 如果CX = C1的半径，则直线BX与圆C1有一条切线。
b) 如果CX ≠ C1的半径，则直线BX与圆C1没有切线。
题目三：已知一个半径为r的圆O以点A为圆心，点P在圆O的外部。
从点P引两条切线分别与圆O相交于点B和点C，请写出判断角BAC是否为直角的条件和步骤。
解答：判断条件：角BAC为直角的条件是角BAC的对边BC的斜率等于-1。
步骤：1. 计算点B和点C的坐标。
2. 计算直线BC的斜率。
3. 比较直线BC的斜率与-1的关系：a) 如果直线BC的斜率为-1，则角BAC为直角。
b) 如果直线BC的斜率不为-1，则角BAC不是直角。
通过以上三组判断题的练习，相信同学们已经掌握了切线的判定方法。
在实际问题中，切线的判断能够帮助我们解决许多几何问题，加深对几何学知识的理解。
本文旨在帮助初三学生巩固切线的判定方法，并提供实际练习题。
希望同学们通过练习，能够熟练掌握切线的判定条件和步骤，进一步提高几何学的解题能力。
圆的切线证明方法专题(巩固篇)(专项练习)
专题2.10 圆的切线证明方法专题（巩固篇）（专项练习）一、解答题1．如图，AD ，BD 是O 的弦，AD BD ⊥，且28BD AD ==，点C 是BD 的延长线上的一点，2CD =，求证：AC 是O 的切线．2．如图，四边形OAEC 是平行四边形，以O 为圆心，OC 为半径的圆交CE 于D ，延长CO 交O 于B ，连接AD 、AB ，AB 是O 的切线． (1) 求证：AD 是O 的切线． (2) 若O 的半径为4，8AB =，求平行四边形OAEC 的面积．3．如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的一条弦，,AB CD ⊥连接,.AC OD(1) 求证：2;BOD A ∠=∠(2) 连接DB ,过点C 作,CE DB ⊥交DB 的延长线于点E ，延长,DO 交AC 于点F ，若F 为AC 的中点，求证：直线CE 为O 的切线．4．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与AC，BC分别交于点D和点E，过点E作EF⊥AC，垂足为F．(1) 求证：EF是⊙O的切线；(2) 若CD＝4，EF＝3，求⊙O半径．5．如图，AB是⊙O的直径，BD平分∠ABC，DE⊥BC(1) 求证：DE是⊙O的切线：(2) 若CE=2，DE=4，求⊙O的半径．6．如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．(1) 求证：CD是⊙O的切线；(2) 若AC=8，CD=12，求半径的长度．7．如图，以AB为直径作O，在O上取一点C，延长AB至点D，连接DC，⊥交DC的延长线于点E．∠=∠，过点A作AE ADDCB DAC(1) 求证：CD是O的切线；(2) 若4CD=，2DB=，求AE的长．8．如图，AB是O的直径，过点A作O的切线AC，点P是射线AC上的动点，连接OP，过点B作BD//OP，交O于点D，连接PD．(1) 求证：PD是O的切线；(2) 当APO的度数为______时，四边形POBD是平行四边形．9．如图，AB为⊙O的直径，AC是⊙O的一条弦，过点D作DE⊥AC，垂足为AC的延长线上的点E．连接DA、DB．(1) 求证：DE是⊙O的切线；(2) 延长ED交AB的延长线于F，若AD＝DF，DEO的半径．10．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是⊙O直径，BE∥AD交DC延长线于点E，若BC平分∠ACE．(1) 求证：BE是⊙O的切线；(2) 若BE＝3，CD＝2，求⊙O的半径．11．如图，四边形ABCD是菱形，以AB为直径作⊙O，交CB于点F，点E在CD上，且CE＝CF，连接AE．(1) 求证：AE是⊙O的切线；(2) 连接AC交⊙O于点P，若AP=BF＝1，求⊙O的半径．12．如图，在ABC中，以AB为直径作O，交BC于点D，交AC于点E，且BD CD=，过点D作O的切线交AC于点F，过点D作AB的垂线，交AB于点G，交O于点H．⊥；(1) 求证：DF ACOG=，求AE的长．(2) 若1⊥，垂足为点E，交O于点13．如图，AB为O的切线，B为切点，过点B作BC OAC，延长CO与AB的延长线交于点D．(1) 求证：AC为O的切线；(2) 若2OC=，5OD=，求线段AD的长．14．如图，AB为⊙O的切线，B为切点，过点B作BC⊥OA，垂足为点E，交⊙O于点C，延长CO与AB的延长线交于点D．(1)求证：AC为⊙O的切线；(2)若OC＝2，OD＝5，求线段AD和AC的长．15．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，AC＝AB，⊙O为△ABC的外接圆．(1) 如图1，求证：AD是⊙O的切线；(2) 如图2，CD交⊙O于点E，过点A作AG⊥BE，垂足为F，交BC于点G．①求证：AG＝BG；②若AD＝2，CD＝3，求FG的长．16．如图，AB是⊙O的直径，D在AB上，C为⊙O上一点，AD＝AC，CD的延长线交⊙O于点E．(1)点F在CD延长线上，BC＝BF，求证：BF是⊙O的切线；(2)若AB＝2，CE CAE的度数．17．如图，ABC中，2∠<∠，CO平分ACBACB B∠交AB于O点，以OA为半径的圆O∠=∠．与AC相切于点A，D为AC上一点且ODA B(1) 求证：BC所在直线与圆O相切；(2) 若1CD=，2AD=，求圆O的半径．18．如图，P A为⊙O的切线，A为切点，过点A作AB⊥OP，垂足为点C，交⊙O于点B，延长BO与P A的延长线交于点D．(1) 求证：PB为⊙O的切线；(2) 若OB＝3，OD＝5，求PB和AB的长．19．如图所示，⊙O 是Rt △ABC 的外接圆，其中∠BAC ＝90°，过点A 作直线AD 交CB 的延长线于D ，且∠BAD ＝∠C ．(1) 求证：AD 为⊙O 的切线；(2) ①F 为OB 中点，OE ⊥AC 于E ，连接OA 、EF 交于G 点，探究EG 与GF 的关系并说明理由；② 延长AO 交⊙O 于H ，连接FH ，若EF ＝FH ，则∠ACB ＝______度．20．如图，半圆O 的直径是AB ，AD 、BC 是两条切线，切点分别为A 、B ，CO 平分BCD ∠．(1) 求证：CD 是半圈O 的切线．(2) 若20AD =，50CD =，求BC 和AB 的长．21．如图，PB切⊙O于点B，连接PO并延长交⊙O于点E，过点B作BA⊥PE交⊙O于点A，连接AP，AE．(1) 求证：P A是⊙O的切线；(2) 如果AB＝DE，OD＝3，求⊙O的半径．⊥，垂足为点E，交O于点22．如图，AB为O的切线，B为切点，过点B作BC OAC，延长CO与AB的延长线交于点D．(1)求证：AC为O的切线；(2)若2OC=，5OD=，求线段AD和AC的长．23．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，P 为AB 延长线上一点，∠BCP ＝∠BAC ，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，交AB 于点E ，(1) 求证：PC 是⊙O 的切线；(2) 若AC ＋BC ＝2时，求CD 的长．24．如图，点O 是矩形ABCD 中AB 边上的一点，以O 为圆心，OB 为半径作圆，O 交CD 边于点E ，且恰好过点D ，连接BD ，过点E 作EF ∥BD ，(1) 若120BOD ∠=︒，① 求CEF ∠的度数；② 求证：EF 是O 的切线．(2) 若2CF =，3FB =，求OD 的长．25．如图，在平行四边形ABCD 中，AC 是对角线，90CAB ∠=︒，以点A 为圆心，以AB 的长为半径作A ，交BC 边于点E ，交AC 于点F ，连接DE ．(1) 求证：DE与A相切；AB=，求EF的长．(2) 若30∠=︒，6ADE26．如图，AB是⊙O的直径，点C是劣弧BD中点，AC与BD相交于点E．连接BC，∠BCF＝∠BAC，CF与AB的延长线相交于点F．(1) 求证：CF是⊙O的切线；(2) 求证：∠ACD＝∠F；(3) 若AB＝10，BC＝6，求AD的长．27．已知：四边形ABCD是O的内接四边形，AC是直径，点D是AC的中点，过点D DE AC交BA的延长线于点E，四边形ABCD的面积为25作∥(1) 求证：DE是O的切线；(2) 求BD的长．28．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，D 为AB 边上的一点，以AD 为直径的O 交BC 于点E ，过点C 作CG AB ⊥交AB 于点G ，交AE 于点F ，过点E 作EP AB ⊥交AB 于点P ，EAD DEB ∠=∠．(1) 求证：BC 是O 的切线；(2) 求证：CE EP =；(3) 若12CG =，13AC =，求四边形CFPE 的面积．参考答案1．证明见分析．【分析】先由勾股定理的逆定理证明垂直，再由切线的判断进行解答即可．证明：连接AB ，∵AD BD ⊥，且28BD AD ==∴AB 为直径，AB 2=82+42=80，∵CD =2，AD =4∴AC 2=22+42=20∵CD =2，BD =8,∴BC 2=102=100∴222AC AB CB +=，∴90BAC ∠=︒∴AC 是O 的切线．【点拨】本题考查切线的判定，圆周角定理的推论，勾股定理的逆定理，解题关键是作出辅助线构造直角三角形．2．(1)见分析(2)32【分析】（1）连接OD ，证明AOB AOD △≌△，可得OBA ODA ∠∠=，根据切线的性质可得90OBA ∠=︒，进而可得90ODA =∠°，即可证明AD 是O 的切线；（2）根据平行四边形OAEC 2倍ADO S △即可求解．(1)证明：连接OD ．∵四边形OAEC 是平行四边形，∴AO CE ∥，,AOD ODC AOB OCD ∠∠∠∠∴==OD OC =ODC OCD ∴∠=∠AOB AOD ∴∠=∠又∵,AO AO OD OB ==，AOB AOD ∴△≌△∴OBA ODA ∠∠=，∵AB 与O 相切于点B ，OB AB ∴⊥90OBA ∴∠=︒∴90ODA =∠°，OD AD ∴⊥又∵OD 是O 的半径，∴AD 为O 的切线．(2)∵AOB AOD ≅△△8AB AD ∴==在Rt △AOD 中，84AD OD ==，∴平行四边形OABC 的面积是28432ADO S =⨯=△【点拨】本题考查了切线的性质与判定，平行四边形的性质，三角形全等的性质与判定，掌握切线的性质与判定是解题的关键．3．(1)答案见分析(2)答案见分析【分析】（1）设AB 交CD 于点H ，连接OC ，证明Rt COH Rt DOH ∆≅∆ ，故可得COH DOH ∠=∠ ，于是BC BD = ，即可得到2BOD A ∠=∠；（2）连接，解出60COB ∠=︒，根据AB 为直径得到90ADB ∠=︒，进而得到60ABD ∠=︒，即可证明//OC DB ，故可证明直线CE 为O 的切线．（1）证明：设AB 交CD 于点H ，连接OC ，由题可知，OC OD ∴=，90OHC OHD ∠=∠=︒，OH OH =，()Rt COH Rt DOH HL ∴∆≅∆，COH DOH ∴∠=∠，BC BD ∴=，COB BOD ∴∠=∠，2COB A ∠=∠，2BOD A ∴∠=∠；（2）证明：连接AD ，OA OD =，OAD ODA ∠=∠∴，同理可得：OAC OCA ∠=∠,OCD ODC ∠=∠，∵点H 是CD 的中点，点F 是AC 的中点，OAD ODA OAC OCA OCD ODC ∴∠=∠=∠=∠=∠=∠，180OAD ODA OAC OCD ODC ∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒，30OAD ODA OAC OCA OCD ODC ∴∠=∠=∠=∠=∠=∠=︒，223060COB CAO ∴∠=∠=⨯︒=︒， AB 为O 的直径，90ADB ∴∠=︒，90903060ABD DAO ∴∠=-∠=︒-︒=︒，60ABD COB ∴∠=∠=︒，//OC DE ∴，CE BE ⊥，CE OC ∴⊥，∴直线CE 为O 的切线．【点拨】本题主要考查三角形全等的判定与性质，同弧所对的圆周角相等，圆周角定理，直线平行的判定与性质，三角形的内角和公式，证明三角形全等以及证明平行线是解题的关键．4．(1)见分析(2)⊙O半径为13 4【分析】(1)连接OE，利用等腰三角形的性质，证明OE// AC即可解答；(2)过点O作OG⊥AD，垂足为G，易证四边形OEFG是矩形，从而得出OG = EF= 3，设⊙O的半径为x，然后利用垂径定理表示出AG，最后在Rt∆OAG利用勾股定理列出关于x 的方程进行计算即可解答．(1)证明：连接OE，∵EF⊥AC，∴∠EFD=∠EFC=90°∵AB= AC，∴∠B=∠C，∵OB= OE，∴∠B=∠OEB，∴∠OEB=∠C，∴OE// AC，∴∠OEF=∠EFC = 90°，∵OE是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线；(2)过点O作OG⊥AD，垂足为G，∴∠OGF = 90°∵∠OEF=∠EFG=90°∴四边形OEFG是矩形，∴OG= EF= 3，设⊙O的半径为x，∴AB=AC=2x，∵CD= 4，∴AD= AC-CD= 2x- 4，∵OG⊥AD，∴AG=12AD=x-2，在Rt△OAG中，AG2 +OG2 =OA2 (x-2)2+9=x2x=13 4⊙O的半径为134．【点拨】本题考查了切线的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，垂径定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．5．(1)见分析(2)5【分析】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质和角平分线得出OD∥BE，再根据垂线和平行线的性质得出OD⊥DE，进而得出DE是⊙O的切线；（2）根据圆周角定理和垂径定理得出AF=FC=DE=4，在Rt△OAF中，由勾股定理列方程求解即可．(1)解：如图，连接OD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，又∵OB=OD，∴∠ABD=∠ODB，∴∠ODB=∠DBC，∵DE ⊥BE ，∴OD ⊥DE ，∴DE 是⊙O 的切线；(2)如图，连接AC ，交OD 于F ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°，又∵∠FDE =90°，∠DEC =90°，∴四边形FDEC 是矩形，∴DF =CE =2，FC =DE =4．由垂径定理可知4AF CF ==设⊙O 的半径为r ，在Rt △OAF 中，由勾股定理得，222OF AF OA +=即（r -2）2+42=r 2，解得r =5．即半径为5．【点拨】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理、垂径定理以及勾股定理，掌握切线的判定方法，掌握圆周角定理、垂径定理以及勾股定理是正确解答的关键．6．(1)答案见分析(2)5【分析】（1）连接OD ，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠DAB +∠DBA ＝90°，再由∠CDA ＝∠CBD 可得∠CDA +∠DAO ＝90°，然后利用OD ＝OA 证出∠DAB ＝∠ADO ，从而得∠CDO ＝90°，根据切线的判定即可得出；（2）在Rt △CDO 中利用勾股定理列出关于r 的方程即可解答．(1)证明：连接OD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴∠DAB +∠DBA ＝90°，∵∠CDA ＝∠CBD ，∴∠DAB +∠CDA ＝90°，∴∠DAB＝∠ADO，∴∠CDA+∠ADO＝90°，∴∠CDO＝90°，∵OD是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；(2)解：在Rt△CDO中，CD2+OD2＝OC2，∴122+r2＝（8+r）2，∴r＝5，∴半径的长度为5．【点拨】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．7．(1)见分析(2)AE＝6【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理的推论得到∠ACB＝90°，即∠BCO＋∠ACO＝90°，求得∠ACO＝∠DCB，得到∠DCO＝90°，根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线；（2）根据勾股定理求出OB＝3，可得AB＝6，AD＝8，根据切线长定理得到AE＝CE，在Rt△ADE中，利用勾股定理即可得到结论．（1）证明：连接OC，如图，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，即∠BCO＋∠ACO＝90°，∵OC＝OA，∴∠ACO＝∠CAD，又∵∠DCB＝∠CAD，∴∠ACO＝∠DCB，∴∠DCB＋∠BCO＝90°，即∠DCO＝90°，∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵∠DCO＝90°，OC＝OB，∴OC2＋CD2＝OD2∴OB2＋42＝（OB＋2）2，∴OB＝3，∴AB＝6，AD＝8，∵AE⊥AD，AB是⊙O的直径，∴AE是⊙O的切线，∵CD是⊙O的切线，∴AE＝CE，∵在Rt△ADE中，AD2＋AE2＝DE2，∴82＋AE2＝（4＋AE）2，∴AE＝6．【点拨】本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论、切线长定理和勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．8．(1)见分析(2)45°【分析】（1）连接OD，根据切线的性质求出∠P AO=90°，根据平行线的性质和等腰三角形的性质求出∠DOP=∠AOP，根据全等三角形的判定推出△AOP≌△DOP（SAS），根据全等三角形的性质得出∠PDO=∠P AO=90°，再根据切线的判定得出即可；（2）根据全等得出P A=PD，根据平行四边形的性质得出PD=OB，求出P A=OA，再求出答案即可．（1）解：证明：连接OD，∵P A切⊙O于A，∴P A⊥AB，即∠P AO=90°，∵OP∥BD，∴∠DBO=∠AOP，∠BDO=∠DOP，∵OD=OB，∴∠BDO =∠DBO ，∴∠DOP =∠AOP ，在△AOP 和△DOP 中，AO DO AOP DOP PO PO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOP ≌△DOP （SAS ），∴∠PDO =∠P AO ，∵∠P AO =90°，∴∠PDO =90°，即OD ⊥PD ，∵OD 过O ，∴PD 是⊙O 的切线；（2）由（1）知：△AOP ≌△DOP ，∴PA=PD ，∵四边形POBD 是平行四边形，∴PD=OB ，∵OB=OA ，∴PA=OA ，∴∠APO=∠AOP ，∵∠PAO=90°，∴∠APO=∠AOP=45°．【点拨】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，切线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形等知识点，能熟记圆的切线垂直于过切点的半径是解此题的关键．9．(1)详见分析(2)2【分析】（1）连接OD ，由圆周角定理及等腰三角形的性质可得出OD ⊥DE ，则可得出结论； （2）由等腰三角形的性质及直角三角形的性质得出∠EAD ＝∠F ＝∠DAB ＝30°，则得出答案．（1）证明：连接OD，∵D为弧BC的中点，∴∠CAD＝∠BAD，∵OA＝OD，∴∠BAD＝∠ADO，∴∠CAD＝∠ADO，∵DE⊥AC，∴∠E＝90°，∴∠CAD+∠EDA＝90°，即∠ADO+∠EDA＝90°，∴OD⊥DE，∴DE为半圆O的切线；（2）解：∵AD＝DF，∴∠DAF＝∠DF A，又∵∠EAD＝∠DAF，∴∠EAD＝∠DAF＝∠DF A，∵DE⊥AC，∴∠AEF＝90°，∴∠EAD＝∠F＝∠DAB＝30°，∴AD＝2DE＝∴BD2AD==，∴AB＝2BD＝4，∴⊙O的半径为2．【点拨】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．10．(1)见分析(2)r=【分析】(1）连接OB，求出OB∥DE，推出EB⊥OB，根据切线的判定得出即可；(2）根据圆周角定理得到∠ABC=∠D=90°，构造矩形BEDF，根据矩形性质、垂径定理、勾股定理即可得到结论．(1)证明：∵AC 是⊙O 直径，∴90ADC ∠=︒∵BE AD ∥，∴1801809090BED D ∠=︒-∠=︒-︒=︒连接OB ，∵OC OB =，∴13∠=∠又∵BC 平分ACE ∠，∴12∠=∠，∴23∠∠=∴OB DE ∥，∴18090OBE DEB ∠=︒-∠=︒又∵OB 为半径，∴BE 为⊙O 切线(2)延长BO 交AD 于点F ，∵90D DEB FBE ∠=∠=∠=︒∴四边形FBED 为矩形，∴90DFB ∠=︒，即OF ⊥AD ，∵OF 过圆心，3DF BE ==， ∴11×6=322DF AF AD ===Rt ADC中，AC ==r =【点拨】本题考查了切线的判定和性质，矩形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，直角三角形的性质，熟知这些基本知识点正确添加辅助线是解题的关键．11．(1)见分析(2)32【分析】（1）如图所示，连接AF ，先证明∠AFB =90°，然后证明△AED ≌△AFB 得到∠DAE =∠BAF ，即可证明∠BAE =90°，从而证明结论；（2）如图所示，连接BP ，根据三线合一定理求出2AC AP ==O 的半径为r ，则2AB BC r ==，21CF BC BF r =-=-，根据勾股定理可得(()2222141r r --=-，由此即可求解．(1)解：如图所示，连接AF ，∵AB 是圆O 的直径，∴∠AFB =90°，∵四边形ABCD 是菱形，∴AD =AB =CD =BC ，∠B =∠D ，AD BC ∥，∴∠DAF =∠AFB =90°，∵CE =CF ，∴CD -CE =BC -CF ，即DE =BF ，∴△AED ≌△AFB （SAS ），∴∠DAE =∠BAF ，∴∠DAE +∠EAF =90°=∠BAF +∠EAF ，∴∠BAE =90°，又∵AB 是圆O 的直径，∴AE 是圆O 的切线；(2)解：如图所示，连接BP ，∵AB 是圆O 的直径，∴∠APB =90°，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =CB ，∴2AC AP ==设圆O 的半径为r ，则2AB BC r ==，∴21CF BC BF r =-=-，在Rt △ACF 中，222AF AC CF =-，在Rt △ABF 中，222AF AB BF =-，∴(()2222141r r --=-， 解得32r =或1r =-（舍去）， ∴圆O 的半径为32．【点拨】本题主要考查了圆切线的判定，直径所对的圆周角是直角，菱形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，勾股定理,解一元二次方程等知识，正确作出辅助线是解题的关键．12．(1)证明见分析(2)2AE =【分析】（1）根据切线，得到90ODF ∠=︒；连接OD ，通过证OD 是ABC 的中位线，证OD AC ∥，进而得到90CFD ODF ∠=∠=︒，即可证明；（2）连接DE ，分别证AC = AB =2OB ，CD =DE ，得到CF =BG ，CF =EF ，再利用222AE AC CF EF OB BG OG =--=-=，即可求解．(1)证明：∵过点D 作O 的切线交AC 于点F ，∴90ODF ∠=︒，连接OD ，∵BD CD =，OA =OB ，∴OD 是ABC 的中位线，∴OD AC ∥，∴90CFD ODF ∠=∠=︒，∴DF AC ⊥．(2)解：设圆与AC 相交于点E ，连接DE ，由（1）可知，OD AC ∥，∴ODB C ∠=∠，∵OD =OB ，∴ODB ABC ∠=∠，∴C ABC ∠=∠，∴AC = AB =2OB ，∵在Rt CFD △和Rt BGD 中，90DFC DGB C ABCCD BD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()Rt CFD Rt BGD AAS ≌，∴CF =BG ，又∵四边形ABDE 是圆内接四边形，∴180AED ABC ∠+∠=︒，又∵180AED CED ∠+∠=︒，∴ABC CED ∠=∠，∴C CED ∠=∠，∴CD =DE ，又∵DF AC ⊥，∴CF =EF ，∴22AE AC CF EF OB BG =--=-，即()222AE OB BG OG =-==．【点拨】本题考查圆、全等三角形和等腰三角形的相关知识．包括圆的切线，圆内接四边形；以及全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，综合性强．熟练掌握圆、全等三角形和等腰三角形的判定和性质是本题解题的关键．13．(1)见分析；【分析】（1）连接OB ，证明△CAO ≌△BAO （SSS ），由全等三角形的性质得出∠OCA ＝∠OBA ．由切线的性质得出∠ABO ＝90°，则∠OCA ＝90°，可得出结论；（2）由勾股定理求出BD 的长，设AC ＝x ，则AC ＝AB ＝x，得出方程(2227x x +=，解方程可得x ，进一步得出答案． (1)证明：如图，连接OB ，∵OC OB =，∴ △OBC 是等腰三角形，∵OA BC ⊥，∴EC BE =，∴OA 是CB 的垂直平分线，∴AC AB =，在△CAO 和△BAO 中AC AB AO AO CO BO =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴CAO BAO ≌（SSS ），∴OCA OBA ∠=∠，∵AB 为O 的切线，∴OB ⊥AB ,∴90OBA ∠=︒，∴90OCA ∠=︒，∴AC OC ⊥，∵OC 是O 的半径，∴AC 为O 的切线；(2)解：∵2OC =，5OD =，∴2OB =，7CD OC OD =+=，∵90OBD ∠=︒，∴BD设AC x =，则AC AB x ==，∵222AC CD AD +=，∴(2227x x +=，∴x =（负根已舍去），∴3 AC=∴AD AB BD AC BD=+=+==【点拨】此题考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识，证明△CAO≌△BAO是解题的关键．14．(1)证明见分析【分析】（1）连接OB，证明△CAO≌△BAO（SSS），由全等三角形的性质得出∠OCA＝∠OBA．由切线的性质得出∠ABO＝90°，则∠OCA＝90°，可得出结论；（2）由勾股定理求出BD的长，设AC＝x，则AC＝AB＝x，得出方程(2227x x+=，解方程可得出答案．(1)证明：连接OB，则OC＝OB，如图所示：∵OA⊥BC，∴EC＝BE，∴OA是CB的垂直平分线，∴AC＝AB，∵在△CAO和△BAO中AO AOAC ABOC OB=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△CAO≌△BAO（SSS），∴∠OCA＝∠OBA．∵AB为⊙O的切线，B为切点，∴∠ABO＝90°，∴∠OCA＝90°，即AC⊥OC，∴AC是⊙O的切线．(2)解：∵OC ＝2，OD ＝5，∴OB ＝2，CD ＝OC +OD ＝7，∵∠OBD ＝90°，∴BD=设AC ＝x ，则AC ＝AB ＝x ，∵CD 2+AC 2＝AD 2，∴(2227x x +=，解得x =∴AC =∴AD ＝AB +BD ＝AC +BD =【点拨】本题主要考查了切线的性质与判定，三角形全等的性质与判定，勾股定理，切线长定理，熟练掌握切线的性质与判定是解题的关键．15．(1)AD 是OO 的切线(2)①AG BG =；②54FG =【分析】（1)连接OA ，OB ，OC ，由AC =AB ，OA =OA ，OC =OB 可证出ΔOAC ≌ΔOAB (SSS ),利用全等三角形的性质可得出∠OAC =∠OAB ,即AO 平分∠BAC ，利用垂径定理可得出AO ⊥BC ,结合AD //BC 可得出AD ⊥AO ，由此即可证出AD 是OO 的切线；（2)①连接AE ，由圆内接四边形对角互补结合∠BCE =90°可得出∠BAE =90°，由同角的余角相等可得出∠BAG =∠AEB ，结合∠ABC =∠ACB =∠AEB 可得出∠BAG =∠ABC ，再利用等角对等腰可证出AG =BG ；②由∠ADC =∠AFB =90°，∠ACD =∠ABF ，AC =AB 可证出ΔADC ≌ΔAFB (AAS )，利用全等三角形的性质可求出AF ，BF 的长，设FG =x ，在Rt ΔBFG 中，利用勾股定理可求出x 的值，此题得解．(1)证明：如图1，连接OA ，OB ，OC ．在△OAC 和△OAB 中，AC AB OA OA OC OB =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴()OAC OAB SSS ≌，∴OAC OAB ∠=∠，∴AO 平分BAC ∠，∴AO BC ⊥，又∵AD BC ∥，∴AD AO ⊥，∴AD 是O 的切线．(2)①证明：如图2，连接AE ．∵90BCE ∠=︒，∴90BAE ∠=︒.又∵AF BE ⊥，∴90AFB ∠=︒．∵90BAG EAF AEB EAF ∠+∠=∠+∠=︒∴BAG AEB ∠=∠.∵ABC ACB AEB ∠=∠=∠，∴BAG ABC ∠=∠，∴AG BG =．②在△ADC 和△AFB 中，90ADC AFB ACD ABFAC AB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()ADC AFB AAS ≌，∴2AF AD ==，3BF CD ==．设FG x =，在Rt BFG 中，FG x =，3BF =，2BG AG x ==+，∴222FG BF BG ，即()22232x x +=+， ∴54x =， ∴54FG =． 【点拨】本题考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定义、平行线的性质、圆内接四边形、等腰三角形的判定以及勾股定理，解题的关键是：（1)利用全等三角形的性质及垂径定理，找出AO ⊥BC ；(2)①利用等角的余角相等及圆周角定理，找出∠BAG =∠ABC ；②在Rt ΔBFG 中，利用勾股定理求出FG 的长。
小学数学切线练习题
小学数学切线练习题题目一：小明在学校的操场上看到了一个圆形跑道，他想知道在某一点处的切线方程。
请你帮助小明解决这个问题。
1. 操场的半径为6米，请问你能计算出操场的周长是多少米？2. 如果小明站在距离圆心8米的地方，求出他站立位置处的切线方程。
3. 扩展思考：如果操场的半径变成9米，小明站立位置处的切线方程会有什么变化？可以计算出来吗？题目二：小华最近学习了正方形和矩形的性质，她非常感兴趣，想要更深入地了解这两个几何图形。
1. 请你写出正方形和矩形的定义，并说明它们之间的区别。
2. 给定一个正方形的边长为5厘米，求出它的面积和周长。
3. 若一个矩形的长和宽之比为3:2，且它的周长为28厘米，求出它的长和宽分别是多少？题目三：小明正在学习平行线的性质，他想用一些练习题来巩固自己的知识。
1. 给定平行线l和m，若l与m之间的夹角为50度，求出其他与这两条平行线相交的角的度数。
2. 若两条平行线之间的距离为6厘米，且有一条直线与它们相交，求出与这两条平行线相交的直线与它们间的距离。
3. 扩展思考：若平行线之间的距离增大，两条平行线之间的夹角会有什么变化？可以给出一个例子来解释吗？题目四：小明对关于三角形的题目感兴趣，他想要进一步了解角平分线的性质。
1. 请你解释什么是角平分线，并给出一个例子进行说明。
2. 给定一个三角形ABC，角A的角平分线与BC相交于点D，若角CBD的度数为40度，求出角ACD的度数。
3. 若角BAC的角平分线与BC相交于点D，且满足角ACD的度数比角BCD的度数多20度，求出角ACB的度数。
题目五：小华最近在学校学习长方体和立方体的性质，她想要通过一些练习题来提高自己的理解。
1. 请你写出长方体和立方体的定义，并说明它们之间的区别。
2. 若一个长方体的长、宽、高分别为6厘米、4厘米、3厘米，求出它的体积和表面积。
3. 若一个立方体的体积为64立方厘米，求出它的边长和表面积。
以上是关于小学数学切线的练习题，希望对你有帮助！。
精品 九年级数学上册 圆 切线的性质与判定同步讲义+同步练习题
D.2:5
3.如图,过⊙O 外一点 P 作⊙O 的两条切线 PA、PB,切点分别为 A、B,连结 AB,在 AB、PB、PA 上分别取一 点 D、E、F,使 AD=BE,BD=AF,连结 DE、DF、EF,则∠EDF=（ A.90 －∠P
0
）
0
B.90 －
0
1 ∠P 2
C.180 －∠P
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24.如图,直线 AB 切⊙O 于点 A，点 C、D 在⊙O 上．试探求： （1）当 AD 为⊙O 的直径时，如图①，∠D 与∠CAB 的大小关系如何？并说明理由． （2）当 AD 不为⊙O 的直径时，如图②，∠D 与∠CAB 的大小关系同②一样吗？为什么？
25.如图,ΔABC 中,AB=AC,以 AB 为直径作⊙O 交 BC 于 D,DE⊥AC 于 E.求证：DE 是⊙O 的切线.
0
15.已知 AB 是⊙O 的直径,直线 BC 与⊙O 相切于点 B,∠ABC 的平分线 BD 交⊙O 于点 D，AD 的延长线交 BC 于点 C． （1）求∠BAC 的度数； （2）求证:AD=CD．
16.如图,AB 是⊙O 直径,CA 与⊙O 相切于点 A,连接 CO 交⊙O 于 D,CO 的延长线交⊙O 于 E.连接 BE、BD， 0 ∠ABD=30 .求∠EBO 和∠C 的度数.
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九年级数学上册 同步讲义
12.如图,⊙O 为 Rt△ABC 的内切圆,点 D、E、F 为切点,若 AD=6,BD=4,则△ABC 的面积为
。
第 12 题图 第 13 题图 第 14 题图 0 13.如图,已知∠AOB=30 ，M 为 OB 边上任意一点，以 M 为圆心,2cm 为半径作⊙M,当 OM=______cm 时,⊙M 与 OA 相切． 14.如图,已知⊙O 的直径为 AB，BD=OB,∠CAB=30 ，请根据已知条件和所给图形写出 4 个正确的结论（除 OA=OB=BD 外） ：① ；② ；③ ；④ 。
初中数学圆中切线的判定与性质综合应用专项练习题3(附答案详解)
初中数学圆中切线的判定与性质综合应用专项练习题3（附答案详解）1．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且BD=BC，延长AD到E，且有∠EBD=∠CAB．⑴求证：BE是⊙O的切线；⑵若BC=3，AC=5，求圆的直径AD的长．2．如图，AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，∠A=2∠BDE，点C在AB的延长线上，∠C=∠ABD．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径长为5，BF=2，求EF的长．⊥，垂足为点,E DA 3．如图，四边形ABCD内接于O，BD是O的直径，AE CD∠．平分BDE（1）AE是O的切线吗？请说明理由；AE=求BC的长．（2）若4,4．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在y轴上，边AC与x轴交于点D，AE平分∠BAC交边BC于点E，经过点A、D、E的圆的圆心F恰好在y轴上，⊙F与y轴相交于另一点G．（1）求证：BC是⊙F的切线；（2）若点A、D的坐标分别为A（0，﹣1），D（2，0），求⊙F的半径；（3）试探究线段AG 、AD 、CD 三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．5．如图，A 是半径为12cm 的O 上的定点，动点P 从A 出发，以2πcm/s 的速度沿圆周逆时针运动，当点P 回到A 地立即停止运动．（1）如果90POA ∠=，求点P 运动的时间；（2）如果点P 是OA 延长线上的一点，AB OA =，那么当点P 运动的时间为2s 时，判断直线OA 与O 的位置关系，并说明理由．6．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为圆外一点，AC 交⊙O 于点D ，BC 2=CD•CA ，弦ED=弦BD ，BE 交AC 于F.(1)求证：BC 为⊙O 切线；(2)判断△BCF 的形状并说明理由；(3)已知BC=15，CD=9，求tan ∠ADE 的值.7．如图，AB 是⊙O 的直径， BC 交⊙O 于点D ，E 是BD 的中点，连接AE 交BC 于点F ，∠ACB =2∠EAB ．（1）判断直线AC 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若3cos4C=，8AC=，求BF的长．8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，E为BC的中点，连接DE并延长交AC的延长线于点F．（1）求证：D E是⊙O的切线；（2）若CF=2，DF=4，求⊙O直径的长．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．∠ABC的平分线交AC于点O，以点O为圆心，OC为半径．在△ABC同侧作半圆O．（1）求证：AB与⊙O相切；（2）若AB＝5，AC＝4，求⊙O的半径．10．如图，AB是⊙O的直径，BM切⊙O于点B，点P是⊙O上的一个动点（点P不与A，B两点重合），连接AP，过点O作OQ∥AP交BM于点Q，过点P作PE⊥AB于点C，交QO的延长线于点E，连接PQ，OP，AE．（1）求证：直线PQ为⊙O的切线；（2）若直径AB的长为4．①当PE＝时，四边形BOPQ为正方形；②当PE＝时，四边形AEOP为菱形．11．如图，在三角形ABC中，AB＝10，AC＝BC＝13，以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，直线DF⊥AC，于点F，交CB的延长线于点E．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）求cos∠ADF的值．12．如图，线段AB经过⊙O的圆心O，交⊙O于A、C两点，BC＝1，AD为⊙O的弦，连结BD，∠BAD＝∠ABD＝30°．（1）求证：直线BD是⊙O的切线；（2）求⊙O的半径长．13．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，tan∠A＝43，点O是线段AC上一动点（不与点A，点C重合），以OC为半径的⊙O与线段BC的另一个交点为D，作DE⊥AB于E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）当⊙O与AB相切于点F时，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，连接OB交DE于点M，点G在线段EF上，连接GO．若∠GOM ＝45°，求DM和FG的长．14．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，C、E是⊙O上的两点，CE=CB，∠BCD=∠CAE，延长AE交BC的延长线于点F．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）求证：CE=CF；（3）若BD=1，CD=2，求弦AC的长．15．已知：△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF．（1）如图甲，AB为直径，要使EF为⊙O的切线，还需添加的条件是（写出两种情况，不需要证明）：①或②；（2）如图乙，AB是非直径的弦，若∠CAF=∠B，求证：EF是⊙O的切线．（3）如图乙，若EF是⊙O的切线，CA平分∠BAF，求证：OC⊥AB．16．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G．(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)求证：2=⋅；AD AB AF(3)若BE=8，sinB=513，求AD的长，17．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O经过点E，且交BC于点F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BF＝6，⊙O的半径为5，求CE的长．18．已知：如图，AB是⊙O直径，OD⊥弦BC于点F，且交⊙O于点E，若∠AEC＝∠ODB．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）当AB＝10，BC＝8时，求BD的长．19．如图，在O中，AB为直径，点C、D都在O上，且BD平分ABC∠，过点D作DE BC⊥，交BC的延长线于点E．（1）求证：DE是O的切线；（2）若3BC =，1CE =，求O 的直径．20．如图，在三角形ABC 中，10AB =，13AC BC ==，以BC 为直径作O 交AB 于点D ，交AC 于点G ，直线DF AC ⊥于点F ，交CB 的延长线于点E ．（1）求证：DF 是O 的切线；（2）求cos ADF ∠的值．21．如图，已知△ABC 内接于⊙O ，过点B 作直线EF ∥AC ，又知∠ACB ＝∠BDC ＝60°，AC ＝3cm ．（1）请探究EF 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）求⊙O 的周长．22．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 外，∠ABC 的平分线与⊙O 交于点D ，∠C ＝90°．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若∠CDB ＝60°，AB ＝18，求AD 的长．23．如图，在Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，作BAC ∠的角平分线交BC 于点O ，以O 为圆心，OB 为半径作圆．（1）依据题意补充完整图形；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）求证：O与直线AC相切；（3）在（2）的条件下，若O与直线AC相切的切点为D，O与BC相交于点F，连接BD，DF；其中CD23=，2CF=，求AB的长．24．如图，在△ABC中，AB = BC，以BC为直径作⊙ O交AC于点E，过点E作AB 的垂线交AB于点F，交CB的延长线于点G．（1）求证： EG是⊙O的切线；（2）若BG=OB，AC=6，求BF的长．25．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AC平分∠DAB，直线DC与AB的延长线相交于点P，AD与PC延长线垂直，垂足为点D，CE平分∠ACB，交AB于点F，交€€⊙O于点E．（1）求证：PC与⊙O相切；（2）求证：PC=PF；（3）若AC=8，tan∠ABC=43，求线段BE的长．26．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，AC=FC．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）已知圆的半径R=5，EF=3，求DF 的长．27．如图①，已知点C 是以AB 为直径的圆O 上一点，直线AC 与过B 点的切线相交于点D ，E 是BD 的中点，连接CE ．（1）求证：CE 是圆O 的切线；（2）如图②，CF AB ⊥，垂足为F ，若O 的半径为3，4BE =，求CF 的长； （3）如图③，连接AE 交CF 于点H ，求证：点H 是CF 的中点．28．定义：当点P 在射线OA 上时，把OP OA 的的值叫做点P 在射线OA 上的射影值；当点P 不在射线OA 上时，把射线OA 上与点P 最近点的射影值，叫做点P 在射线OA 上的射影值．例如：如图1，△OAB 三个顶点均在格点上，BP 是OA 边上的高，则点P 和点B 在射线OA 上的射影值均为OP OA ＝13．（1）在△OAB 中，①点B 在射线OA 上的射影值小于1时，则△OAB 是锐角三角形；②点B 在射线OA 上的射影值等于1时，则△OAB 是直角三角形；③点B 在射线OA 上的射影值大于1时，则△OAB 是钝角三角形． 其中真命题有 ．A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③（2）已知：点C 是射线OA 上一点，CA ＝OA ＝1，以〇为圆心，OA 为半径画圆，点B 是⊙O 上任意点．①如图2，若点B 在射线OA 上的射影值为12．求证：直线BC 是⊙O 的切线； ②如图3，已知D 为线段BC 的中点，设点D 在射线OA 上的射影值为x ，点D 在射线OB 上的射影值为y ，直接写出y 与x 之间的函数关系式为 ．29．如图，ABC ∆内接于O ，BC 是O 的直径，弦AF 交BC 于点E ，延长BC 到点D ，连接OA ， AD ，使得FAC AOD ∠=∠，D BAF ∠=∠（1）求证：AD 是O 的切线； （2）若O 的半径为5，2CE =，求EF 的长.参考答案1．（1）详见解析；（2）6【解析】【分析】（1）先根据等弦所对的劣弧相等，再结合∠EBD=∠CAB从而得到∠BAD=∠EBD，最后用直径所对的圆周角为直角即可；（2）利用三角形的中位线先求出OM，再用勾股定理求出半径r，最后得到直径的长．【详解】解：⑴证明：连接OB,CD,OB、CD交于点M∵BC=BD，∴∠CAB=∠BAD.∵OA=OB,∴∠BAD=∠OBA.∴∠CAB=∠OBA.∴OB∥AC.又AD是直径,∴∠ABD=∠ACD =90°，又∠EBD=∠CAB, ∠CAB=∠OBA.∴∠OBE=90°，即OB⊥BE.又OB是半径,∴BE是⊙O的切线．⑵∵ OB∥AC, OA=OD,AC=5,.∴ OM=2.5 ,BM=OB-2.5,OB⊥CD设⊙O的半径为r，则在Rt△OMD中：MD2=r2-2.52;在Rt△BMD中：MD2=BD2-(r-2.5)2 ,BD=BC=3.∴r1=3 ,r2=-0.5(舍).∴圆的直径AD的长是6．【点睛】此题是切线的判定，主要考查了圆周角的性质，切线的判定，勾股定理等，解本题的关键是作出辅助线．2．（1）证明见解析；（2）EF10【解析】【分析】（1）连接OE，易得∠ADB=90°，证明∠BOE=∠A，联立∠C=∠ABD可求证．（2）连接BE，根据同弧所对的圆周角先证明△BEF∽△BOE，根据相似三角形的性质求出EF的长度．【详解】解：（1）连接OE，∵AB是o的直径，∴∠ADB=90°，∴∠A+∠ABD=90°，由图可知∠BOE=2∠BDE又∵∠A=2∠BDE∴∠A=∠BOE∵∠C=∠ABD∴∠BOE+∠C=90°∴OE⊥EC∴CE是⊙O的切线．（2）连接BE，有图可知∠BED=∠A=∠BOE，∴△BEF∽△BOE∴BE BF EF BO BE OE==∵OB=OE=5,BF=2∴BE=EF∴EF2=OE·BF=1010故答案为：（1）证明见解析；（2）EF10=【点睛】本题考查了圆的相关知识、相似三角形的判定及性质，解题的关键在于合理作出辅助线转化求解．3．（1）AE是O的切线，理由见解析；（2）8．【解析】【分析】（1）连接AO，由AO=DO，得∠OAD=∠ODA，由DA平分∠BDE，得∠ADE=∠ODA，则∠ADE=∠OAD，证明AO∥ED，得OA⊥AE；（2）延长AO交BC于点F，由∠C=∠FAE=∠AEC=90°，可证四边形AECF为矩形，则CF=AE=4，由垂径定理得BF=FC=4．【详解】()1AE是O的切线．连接AO，OA OD=，,OAD ODA∴∠=∠ADE ADB∠=∠，OAD ADE∴∠=∠//AO CE∴AE CD⊥AE AO∴⊥AE∴是O的切线．()2延长AO交BC于点F．∵BD是⊙O的直径，∴∠C=90°．∴∠C=∠FAE=∠AEC=90°．∴四边形AECF为矩形，CF=AE=4．∵AF⊥BC，且AF过圆心，∴BC=2CF=8．【点睛】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，垂径定理的运用．关键是连接AO并延长，证明直角和矩形．4．（1）证明见解析；（2）52；（3）AG=AD+2CD．【解析】【分析】（1）连接EF，根据角平分线的定义、等腰三角形的性质得到∠FEA=∠EAC，得到FE∥AC，根据平行线的性质得到∠FEB=∠C=90°，证明结论；（2）连接FD，设⊙F的半径为r，根据勾股定理列出方程，解方程即可；（3）作FR⊥AD于R，得到四边形RCEF是矩形，得到EF=RC=RD+CD，根据垂径定理解答即可．【详解】（1）证明：连接EF，∵AE平分∠BAC，∴∠FAE=∠CAE，∵FA=FE，∴∠FAE=∠FEA，∴∠FEA=∠EAC，∴FE∥AC，∴∠FEB=∠C=90°，即BC是⊙F的切线；（2）解：连接FD，设⊙F的半径为r，则r2=（r﹣1）2+22，解得，r=52，即⊙F的半径为52；（3）解：AG=AD+2CD．证明：作FR⊥AD于R，则∠FRC=90°，又∠FEC=∠C=90°，∴四边形RCEF是矩形，∴EF=RC=RD+CD，∵FR⊥AD，∴AR=RD，∴EF=RD+CD=12AD+CD，∴AG=2FE=AD+2CD．考点：圆的综合题；探究型．5．（1）3s或9s（2）直线BP与O相切，理由见解析【解析】【分析】（1）当∠POA=90°时，点P运动的路程为⊙O周长的14或34，所以分两种情况进行分析；（2）直线BP与⊙O的位置关系是相切，根据已知可证得OP⊥BP，即直线BP与⊙O相切．【详解】解：（1）当∠POA=90°时，根据弧长公式可知点P运动的路程为⊙O周长的14或34，设点P运动的时间为ts；当点P运动的路程为⊙O周长的14时，2π•t=14•2π•12，解得t=3；当点P运动的路程为⊙O周长的34时，2π•t=34•2π•12，解得t=9；∴当∠POA=90°时，点P运动的时间为3s或9s．（2）如图，当点P运动的时间为2s时，直线BP与⊙O相切理由如下：当点P运动的时间为2s时，点P运动的路程为4πcm，连接OP，PA；∵半径AO=12cm，∴⊙O的周长为24πcm，∴AP的长为⊙O周长的16，∴∠POA=60°；∵OP=OA，∴△OAP是等边三角形，∴OP=OA=AP，∠OAP=60°；∵AB=OA，∴AP=AB，∵∠OAP=∠APB+∠B，∴∠APB=∠B=30°，∴∠OPB=∠OPA+∠APB=90°，∴OP⊥BP，∴直线BP与⊙O相切．【点睛】本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．6．（1）证明见解析；（2）△BCF为等腰三角形．证明见解析；（3）7 24【解析】【分析】（1）由BC2=CD•CA，根据三角形相似的判定得到△CBD∽△CAB，根据三角形相似的性质得到∠CBD=∠BAC，而AB为⊙O的直径，根据圆周角定理的推论得∠ADB=90°，易证得∠ABD+∠CBD=90°，根据切线的判定即可得到答案；（2）由DE BD，根据圆周角定理得∠DAE=∠BAC，由（1）得∠BAC=∠CBD，则∠CBD=∠DAE，根据同弧所对的圆周角相等得∠DAE=∠DBF，所以∠DBF=∠CBD，而∠BDF=90°，根据等腰三角形三线的判定即可得到△BCF为等腰三角形；（3）由BC2=CD•CA，BC=15，CD=9，可计算出CA=25，根据等腰三角形的性质有BF=BC=15，DF=DC=9，利用勾股定理计算出BD=12，得到AF=7，再根据等积可求出AE=71228 155⨯=，然后利用Rt△AEF∽Rt△BDF，通过相似比可计算出EF，则可得到BE，而∠ADE=∠ABE，最后利用三角函数的性质可计算出tan∠ADE的值．【详解】（1）证明：∵BC2=CD•CA，∴BC：CA=CD：BC，∵∠C=∠C，∴△CBD∽△CAB，∴∠CBD=∠BAC，又∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即∠BAC+∠ABD=90°，∴∠ABD+∠CBD=90°，即AB⊥BC，∴BC为⊙O切线；（2）△BCF为等腰三角形．证明如下：∵DE BD=，∴∠DAE=∠BAC，又∵△CBD∽△CAB，∴∠BAC=∠CBD，∴∠CBD=∠DAE，∵∠DAE=∠DBF，∴∠DBF=∠CBD，∵∠BDF=90°，∴∠DBC=∠BDF=90°∵BD=BD∴△BDF≌△BDC∴BF=BC∴△BCF 为等腰三角形；（3）解：∵BC 2=CD•CA ，BC=15，CD=9，∴CA=25，BF=BC=15，DF=DC=9，∴=12，∴AF=25-18=7，∴S △ABF =12•AE•BF=12•AF•BD ， ∴AE=71228155⨯=， 易证Rt △AEF ∽Rt △BDF ，∴EF ：DF=AF ：BF ，即EF ：9=7：15，∴EF=215， ∴BE=15+215=965， ∵∠ADE=∠ABE ，∴tan ∠ADE=tan ∠ABE 287596245=． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了圆周角定理及其推论以及三角形相似的判定与性质． 7．（1）AC 是⊙O 的切线，见解析；（2）83BF =【解析】【分析】（1）首先证明∠ACB =∠BAD ，然后根据圆周角定理的推论得出∠ACB +∠CAD=90°，则有∠BAD+∠CAD=90°，所以BA ⊥AC ，则可证明AC 是⊙O 的切线；（2）过点F 做FH ⊥AB 于点H ．首先通过角平分线的性质得出FH=FD ，且FH ∥AC ，然后利用锐角三角函数求出CD,BD 的长度，然后设 DF=x ，则FH=x ，143BF x =-，最后利用3cos 4FH BFH BF ∠==建立关于x 的方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：（1）AC是⊙O的切线理由:如图，连接AD．∵ E是BD中点，∴BE DE=．∴∠DAE=∠EAB．∵∠ACB =2∠EAB，∴∠ACB =∠BAD．∵ AB是⊙O的直径，∴∠ADB=∠ADC=90°，∴∠ACB +∠CAD=90°，∴∠BAD+∠CAD=90°．即BA⊥AC．∴ AC是⊙O的切线．（2）解：如图，过点F做FH⊥AB于点H．∵ AD⊥BD，FH⊥AB，∠DAE=∠EAB，∴ FH=FD，且FH∥AC．在Rt△ADC中，∵3cos4C=，8AC=，∴ CD=6．同理，在Rt△BAC中，可求得32 3BC=．∴143BD=．设DF=x，则FH=x，143BF x=-．∵ FH∥AC，∴∠BFH=∠ACB．∴3cos4FHBFHBF∠==．即31443xx=-．解得x=2，经检验，x=2是原分式方程的解，∴83BF=．【点睛】本题主要考查切线的判定及性质，圆周角定理的推论，解直角三角形，掌握切线的判定及性质，圆周角定理的推论，锐角三角函数，分式方程的解法是解题的关键．8．（1）证明见解析；（2）6．【解析】试题分析：（1）连接OD、CD，由AC为⊙O的直径知△BCD是直角三角形，结合E为BC 的中点知∠CDE=∠DCE，由∠ODC=∠OCD且∠OCD+∠DCE=90°可得答案；（2）设⊙O的半径为r，由OD2+DF2=OF2，即r2+42=（r+2）2可得r=3，即可得出答案．试题解析：（1）如图，连接OD、CD．∵AC为⊙O的直径，∴△BCD是直角三角形，∵E 为BC的中点，∴BE=CE=DE，∴∠CDE=∠DCE，∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，∵∠ACB=90°，∴∠OCD+∠DCE=90°，∴∠ODC+∠CDE=90°，即OD⊥DE，∴DE是⊙O 的切线；（2）设⊙O 的半径为r ，∵∠ODF=90°，∴OD 2+DF 2=OF 2，即r 2+42=（r+2）2，解得：r=3，∴⊙O 的直径为6．考点：切线的判定与性质．9．（1）见解析；（2）⊙O 的半径长是32． 【解析】【分析】（1）过O 作OH ⊥AB 于H ，得到∠BHO=∠BCO=90°，根据角平分线的定义得到∠CBO=∠HBO ，根据全等三角形的性质得到OH=OC ，于是得到AB 与⊙O 相切； （2）求得BC 的长，然后证明BC 是切线，利用切线长定理求得BH 的长，证明△OAH ∽△BAC ，利用相似三角形的性质求解．【详解】（1）证明：如图，过O 作OH ⊥AB 于H ，∠ACB ＝90°∴∠BHO ＝∠BCO ＝90°，∵BO 平分∠ABC ，∴∠CBO ＝∠HBO ，∵BO ＝BO ，∴△CBO ≌△HBO （AAS ），∴OH ＝OC ，∴AB 与⊙O 相切；（2）解：∵在直角△ABC 中，AB ＝5，AC ＝4，∴BC 2222543,AB AC -=-=∵∠ACB ＝90°，即BC ⊥AC ，∴BC 是半圆的切线，又∵AB 与半圆相切，∴BH ＝BC ＝3，AH ＝AB ﹣BH ＝5﹣3＝2．∵AB 是切线，∴OH ⊥AB ，∴∠OHA ＝∠BCA ，又∵∠A ＝∠A ，∴△OAH ∽△BAC ， ∴,OH AH BC AC =即2,34OH = 解得OH ＝32．即⊙O 的半径长是32． 【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识是解题的关键．10．（1）见解析；（2）①2；②【解析】【分析】（1）根据切线的性质得∠OBQ ＝90°，根据平行线的性质得∠APO ＝∠POQ ，∠OAP ＝∠BOQ ，加上∠OPA ＝∠OAP ，则∠POQ ＝∠BOQ ，于是根据“SAS”可判断△BOQ ≌△POQ ，得到∠OPQ ＝∠OBQ ＝90°，根据切线的判定即可得证；（2）①由（1）得到∠OPQ ＝∠OBQ ＝90°，由于OB ＝OP ，所以当∠BOP ＝90°，四边形OPQB 为正方形，此时点C 、点E 与点O 重合，于是PE ＝PO ＝2；②根据菱形的判定，当OC ＝AC ，PC ＝EC ，四边形AEOP 为菱形，则OC ＝12OA ＝1，然后利用勾股定理计算出PC ，从而得到PE 的长．【详解】（1）证明：∵OQ ∥AP ，∴∠BOQ ＝∠OAP ，∠POQ ＝∠APO ，又∵OP ＝OA ，∴∠APO ＝∠OAP ，∴∠POQ ＝∠BOQ ，在△BOQ 与△POQ 中，=OB OP BOQ POQ OQ OQ =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩，∴△BOQ ≌△POQ （SAS ），∴∠OPQ ＝∠OBQ ＝90°，∵点P 在⊙O 上，∴PQ 是⊙O 的切线；（2）解：①∵∠OBQ ＝∠OPQ ＝90°，∴当∠BOP ＝90°，四边形OPQB 为矩形，而OB ＝OP ，则四边形OPQB 为正方形，此时点C 、点E 与点O 重合，PE ＝PO ＝12AB ＝2； ②∵PE ⊥AB ，∴当OC ＝AC ，PC ＝EC ，四边形AEOP 为菱形，∵OC ＝12OA ＝1，∴PC =，∴PE ＝2PC ＝．故答案为：2；．【点睛】本题考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质和菱形、正方形的判定方法；综合应用所学知识是解答本题的关键．11．（1）证明见解析；（2）1213【解析】【分析】（1）连接OD 和CD ，根据圆周角定理求出∠BDC＝90°，根据等腰三角形的性质求出AD ＝BD ，根据三角形的中位线求出OD∥AC，求出OD⊥EF，根据切线的判定得出即可；（2）根据余角的性质得到∠ADF＝∠ODC，等量代换得到∠ADF＝∠ODC，根据勾股定理得到CD ＝12，根据三角函数的定义即可得到结论．【详解】（1）证明：连接OD ，CD ，∵BC 为⊙O 的直径，∴∠BDC＝90°，即CD⊥AB，∵AC＝BC ，AB ＝10，∴AD＝BD ＝5，∵O 为BC 中点，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥EF，∵OD 过O ，∴直线DF 是⊙O 的切线；（2）∵∠ADC＝∠BDC＝90°，∠ODF＝90°，∴∠ADF＝∠ODC，∴OD＝OC ，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠ADF＝∠ODC，∵BD＝5，BC ＝13，∴CD＝12，∴cos ADF ∠＝cos BCD ∠＝1213CD BC =．【点睛】本题考查了切线的判定，求一个角的三角函数值，（1）要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可；（2）求一个角的三角函数值，要把这个角放入直角三角形中或作垂直，也可以根据等角的三角函数值相等进行转化． 12．（1）见解析；（2）1【解析】【分析】(1)根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ADO＝30°，求出∠DOB＝60°，求出∠ODB＝90°，根据切线的判定推出即可；(2)根据直角三角形的性质得到OD＝12OB，于是得到结论．【详解】(1)证明：连接OD，∵OA＝OD，∠A＝∠ABD＝30°，∴∠A＝∠ADO＝30°，∴∠DOB＝2∠A＝60°，∴∠ODB＝180°﹣∠DOB﹣∠B＝90°，∵OD是⊙O的半径，∴BD是⊙O的切线；(2)解：∵∠ODB＝90°，∠DBC＝30°，∴OD＝12 OB，∵OC＝OD，∴BC＝OC＝1，∴⊙O的半径OD的长为1．【点睛】本题主要考查的是圆的综合应用，掌握等腰三角形的性质以及圆切线的判定是解题的关键．13．（1）见解析；（2）r＝409；（3）DM＝8027，FG=89【解析】【分析】（1）连接OD，根据等腰三角形判断出∠ABC＝∠ACB，进而得到OD∥AB即可得到求证；（2）连接OF，根据切线得到△AOF是直角三角形，根据tan∠A＝43，设半径OF=OC=r,则可表示出AF=34r，AO=10-r，勾股定理求出半径即可得到结果；（3）现根据题意证出ODEF是正方形，求出BE,再根据△BEM∽△ODM，即可得到MD；在EF延长线上截取FT＝DM，证明出OT=OM，再证明△OGT≌△OGM，则GM＝GT＝GF＋FT＝GF＋DM，设出GF＝a，根据勾股定理求解即可．【详解】解：（1）证明：连接OD∵OC，OD均为⊙O的半径，∴OC＝OD，∴∠DCO＝∠CDO又∵在△ABC中，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB∴∠ABC＝∠CDO，∴OD∥AB∵DE⊥AB，∴DE⊥OD∴DE是⊙O的切线．（2）解：连接OF，设⊙O的半径为r，则OF＝r，OC＝r∵⊙O与AB相切于点F，∴AB⊥OF，∴∠OF A＝90°，在Rt△AOF中，∠OF A＝90°，OF＝r，tan∠A＝4 3∴AF＝34r，∴AO＝5 4 r又∵AO＝AC－OC＝10－r，∴54r＝10－r∴ r＝409．（3）由（2）知r＝409，∴AF＝34r＝103∵∠ODE＝∠DEF＝∠OFE＝90°，∴四边形ODEF是矩形∵OF＝OD，∴矩形ODEF是正方形，∴DE＝EF＝OF＝40 9∴BE＝AB－AF－EF＝10－103-409＝209∵∠BME＝∠OMD，∠BEM＝∠ODM＝90°∴△BEM∽△ODM，∴EM BE DM OD即409DMDM＝209409，解得DM＝8027在EF延长线上截取FT＝DM∵四边形ODEF是正方形，∴∠OFT＝∠ODM＝90°，OF＝OD ∴△OFT≌△ODM，∴∠2＝∠1，OT＝OM∵∠DOF＝90°，∠GOM＝45°，∴∠GOF＋∠1＝45°，∴∠GOF＋∠2＝45°即∠GOT＝45°，∴∠GOT＝∠GOM又OG＝OG，∴△OGT≌△OGM，∴GM＝GT＝GF＋FT＝GF＋DM设GF＝a，则EG＝409－a，GM＝8027＋a，且EM＝DE－DM＝409－8027＝4027在Rt△EMG中，EM2＋EG2＝GM2，即(4027)2＋(409－a)2＝(8027＋a)2，解得a＝89∴FG的长为89．【点睛】此题考查圆与特殊四边形的知识：切线的判定及性质，特殊四边形的证明，勾股定理等，难度较大，需要做辅助线．14．（1）见解析；（2）见解析；（3）3【解析】【分析】（1）连接OC，可证得∠CAD=∠BCD，由∠CAD+∠ABC=90°，可得出∠OCD=90°，即结论得证；（2）证明△ABC≌△AFC可得CB=CF，又CB=CE，则CE=CF；（3）证明△DCB∽△DAC，可求出DA的长，求出AB长，设BC=a，AC=2a，则由勾股定理可得AC的长．【详解】解：（1）连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAD+∠ABC=90°，∵CE=CB，∴∠CAE=∠CAB，∵∠BCD=∠CAE，∴∠CAB=∠BCD，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠OCB+∠BCD=90°，∴∠OCD=90°，∴CD是⊙O的切线；（2）∵∠BAC=∠CAE，∠ACB=∠ACF=90°，AC=AC，∴△ABC≌△AFC（ASA），∴CB=CF，又∵CB=CE，∴CE=CF；（3）∵∠BCD=∠CAD，∠ADC=∠CDB，∴△DCB ∽△DAC ， ∴CD AD AC BD CD BC==，∴1=， ∴DA =2，∴AB =AD ﹣BD =2﹣1=1，设BC =a ，AC a ，由勾股定理可得：222)1a +=，解得：a =3，∴3AC =. 【点睛】本题主要考查了切线的判刑、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，学会添加辅助线和灵活运用所学知识是解题的关键.15．（1）①OA ⊥EF ；②∠FAC=∠B ；（2）见解析；（3）见解析．【解析】【分析】(1) 添加条件是:①OA ⊥EF 或∠FAC=∠B 根据切线的判定和圆周角定理推出即可．(2) 作直径AM,连接CM ，推出∠M=∠B=∠EAC ，求出∠FAC+∠CAM=90°，根据切线的判定推出即可．(3)由同圆的半径相等得到OA=OB ，所以点O 在AB 的垂直平分线上，根据∠FAC=∠B ，∠ BAC=∠FAC ，等量代换得到∠BAC=∠B ，所以点C 在AB 的垂直平分线上，得到OC 垂直平分AB ．【详解】（1）①OA ⊥EF ②∠FAC=∠B ，理由是：①∵OA ⊥EF ，OA 是半径，∴EF 是⊙O 切线，②∵AB 是⊙0直径，∴∠C=90°，∴∠B+∠BAC=90°，∵∠FAC=∠B，∴∠BAC+∠FAC=90°，∴OA⊥EF，∵OA是半径，∴EF是⊙O切线，故答案为：OA⊥EF或∠FAC=∠B，（2）作直径AM，连接CM，即∠B=∠M（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），∵∠FAC=∠B，∴∠FAC=∠M，∵AM是⊙O的直径，∴∠ACM=90°，∴∠CAM+∠M=90°，∴∠FAC+∠CAM=90°，∴EF⊥AM，∵OA是半径，∴EF是⊙O的切线．（3）∵OA=OB，∴点O在AB的垂直平分线上，∵∠FAC=∠B，∠BAC=∠FAC，∴∠BAC=∠B，∴点C在AB的垂直平分线上，∴OC垂直平分AB，∴OC⊥AB．【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，三角形的内角和定理等知识点，注意:经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线，直径所对的圆周角是直角．16．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）AD13【解析】【分析】（1）连接OD，由AD为角平分线得到一对角相等，再由等边对等角得到一对角相等，等量代换得到内错角相等，进而得到OD与AC平行，得到OD与BC垂直，即可得证；（2）连接DF，证明△ABD∽△ADF，，由相似三角形的性质即可证得结论；（3）连接EF，设圆的半径为r，由sinB的值，利用锐角三角函数定义求出r的值，由直径所对的圆周角为直角，得到EF与BC平行，得到sin∠AEF=sinB，进而求出AF的长，再根据（2）的结论即可求得AD的长．【详解】（1）如图，连接OD，∵AD为∠BAC的角平分线，∴∠BAD=∠CAD，∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD，∴∠ODA=∠CAD，∴OD∥AC，∵∠C=90°，∴∠ODC=90°，∴OD⊥BC，∴BC为圆O的切线；（2）连接DF，由（1）知BC为圆O的切线，∴∠FDC=∠DAF，∴∠CDA=∠CFD，∴∠AFD=∠ADB，∵∠BAD=∠DAF，∴△ABD∽△ADF，∴AB AD AD AF=，即AD2=AB•AF；(3)连接EF，在Rt△BOD中，sinB=513 ODOB=，设圆的半径为r，可得5813 rr=+，解得：r=5，∴AE=10，AB=18，∵AE是直径，∴∠AFE=∠C=90°，∴EF∥BC，∴∠AEF=∠B，∴sin∠AEF=513 AFAE=，∴AF=AE•sin∠AEF=10×513=50 13，∵AD2=AB•AF∴5013181313AB AF⋅=⨯=．【点睛】本题是圆的综合题，考查的知识点有切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义以及平行线的判定与性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．17．（1）详见解析；（2）4【解析】【分析】（1）首先利用等腰三角形的性质和角平分线的定义得出∠EBC＝∠OEB，然后得出OE∥BC，则有∠OEA＝∠ACB=90°，则结论可证．（2）连接OE、OF，过点O作OH⊥BF交BF于H，首先证明四边形OHCE是矩形，则有 ，然后利用等腰三角形的性质求出BH的长度，再利用勾股定理即可求出OH的OH CE长度，则答案可求．【详解】（1）证明：连接OE．∵OE＝OB，∴∠OBE＝∠OEB．∵BE平分∠ABC，∴∠OBE＝∠EBC，∴∠EBC＝∠OEB，∴OE∥BC，∴∠OEA＝∠ACB．∵∠ACB＝90°，∴∠OEA＝90°∴AC是⊙O的切线；（2）解：连接OE、OF，过点O作OH⊥BF交BF于H，∵OH ⊥BF ，90OHC ∴=︒ ．90OHC ACB OEC =∠=∠=︒∴四边形OECH 为矩形，∴OH ＝CE ．∵,OB OF OH BF =⊥，BF ＝6，∴BH ＝3．在Rt △BHO 中，OB ＝5，∴OH 2253-4，∴CE ＝4．【点睛】本题主要考查切线的判定，等腰三角形的性质，矩形的性质，勾股定理，掌握切线的判定，等腰三角形的性质，矩形的性质，勾股定理是解题的关键．18．（1）见解析；（2）203【解析】【分析】（1）从切线的判定为目标，来求BD ⊥AB ，连接AC 通过相似来证得；（2）通过已知条件和第一步求得的三角形相似求得BD 的长度．【详解】（1）证明：连接AC ，∵AB 是⊙O 的直径∴∠ACB ＝90°又∵OD ⊥BC∴AC∥OE∴∠CAB＝∠EOB由AC对的圆周角相等∴∠AEC＝∠ABC又∵∠AEC＝∠ODB∴∠ODB＝∠OBC∴△DBF∽△OBD∴∠OBD＝90°即BD⊥AB又∵AB是直径∴BD是⊙O的切线．（2）∵OD⊥弦BC于点F，且点O圆心，∴BF＝FC∴BF＝4由题意OB是半径即为5∴在直角三角形OBF中OF为3由以上（1）得到△DBF∽△OBD∴BD OB BF OF=即得BD＝203．【点睛】本题考查了切线的判定及其应用，通过三角形相似求得，本题思路很好，是一道不错的题．19．（1）见解析；（232【解析】【分析】（1）连接OD ，证//OD BC ，则OD DE ⊥，即可证明DE 是O 的切线；（2）连AD 、CD ，作DF AB ⊥，证明Rt Rt BDF BDE ∆∆≌，Rt Rt ADF CDE ∆∆≌，从而求出AB 长，即为O 直径. 【详解】解：（1）连OD ，∵OB OD =，∴ODB OBD ∠=∠，∵BD 平分ABC ∠，∴OBD CBD ∠=∠，∴ODB CBD ∠=∠，∴//OD BC ，∵DE BC ⊥，∴90E ∠=︒，∴90ODE ∠=︒，即OD DE ⊥，∴DE 是O 的切线；（2）连AD 、CD ，作DF AB ⊥，∵在O 中，ABD CBD ∠=∠，∴AD CD =，又∵OD DE ⊥，DF AB ⊥，∴DE DF =，在Rt △BDE 和Rt △BDF 中BD=BD DE=DF ⎧⎨⎩∴Rt Rt BDF BDE ∆∆≌（HL ），在Rt △ADF 和Rt △CDE 中AD=DC DF=DE ⎧⎨⎩∴Rt Rt ADF CDE ∆∆≌（HL ），∴1BF BE ==，1AF CE ==，∴32AB =+，即O 的直径为32+．【点睛】本题是对圆知识的综合考查，熟练掌握圆的性质定理是解决本题的关键.20．（1）证明见解析；（2）12cos 13ADF ∠=． 【解析】【分析】(1)连接OD 和CD ，根据圆周角定理求出∠BDC=90°，根据等腰三角形的性质求出AD=BD ，根据三角形的中位线求出OD ∥AC ，求出OD ⊥EF ，根据切线的判定得出即可；(2)根据余角的性质得到∠ADF=∠ODC ，等量代换得到∠ADF=∠OCD ，根据勾股定理得到CD=12，根据三角函数的定义即可得到结论．【详解】（1）证明：如图，连接OD ，CD ，∵BC 为⊙O 的直径，∴∠BDC=90°（直径所对的圆周角是90°），即CD ⊥AB ，∵AC=BC ，AB=10，∴AD=BD=5，∵O 为BC 中点，∴OD ∥AC ，∵DF ⊥AC ，∴∠DFC=90°，∴∠FDO=180°-90°=90°（两直线平行，同旁内角互补），∴OD ⊥EF ，又∵OD 过圆心O 点，∴直线DF 是⊙O 的切线；（2）∵∠ADC=∠BDC=90°，∠ODF=90°，∴∠ADF=∠ODC ，又∵OD=OC ，∴∠ODC=∠OCD ，∴∠ADF=∠OCD （等量替换），∵BD=5，BC=13，∴（勾股定理），12cos cos 13ADF BCD ∠=∠=； 【点睛】 本题主要考查了切线的判断、等腰三角形的性质、解直角三角形、圆周角定理、勾股定理的知识点，能综合运用知识点进行求解是解题的关键．21．（1）EF 与⊙O 相切．理由见解析；（2）⊙O 的周长为2πcm ．【解析】【分析】（1）延长BO 交AC 于H ，如图，先证明△ABC 为等边三角形，利用点O 为△ABC 的外心得到BH ⊥AC ，由于AC ∥EF ，所以BH ⊥EF ，于是根据切线的判定定理即可得到EF 为⊙O 的切线；（2）连结OA ，如图，根据等边三角形的性质得∠OAH ＝30°，AH ＝CH ＝12AC ＝2，再在Rt △AOH 中，利用三角函数和计算出OA ＝1，然后根据圆的周长公式计算．【详解】（1）EF 与⊙O 相切．理由如下：延长BO 交AC 于H ，如图，∵∠BAC ＝∠BDC ＝60°，而∠ACB ＝60°，∴△ABC 为等边三角形，∵点O 为△ABC 的外心，∴BH ⊥AC ，∵AC ∥EF ，∴BH ⊥EF ，∴EF 为⊙O 的切线；（2）连结OA ，如图，∵△ABC 为等边三角形，∴OA 平分∠ABC ，∴∠OAH ＝30°，∵OH ⊥AC ，∴AH ＝CH ＝12AC 在Rt △AOH 中，∵cos ∠OAH ＝AH OA，∴OA 1， ∴⊙O 的周长＝2π×1＝2π（cm ）．【点睛】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了等边三角形的判定与性质．22．（1）见解析；（2）3π．【解析】【分析】（1）连接OD，求出OD//BC，求出OD⊥DC，根据切线的判定得出即可；（2）求出∠CBD=30°，求出∠AOD=∠ABC=60°，求出半径OA，根据弧长公式求出即可．【详解】（1）连接OD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠OBD，∴∠CBD＝∠ODB，∴OD//BC，∴∠C+∠ODC＝180°，∵∠C＝90°．∴∠ODC＝90°，即OD⊥DC，∵OD过O，∴CD是⊙O的切线；（2）∵∠CDB＝60°，∠C＝90°，∴∠CBD＝30°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABC＝60°，∵OD//BC，∴∠AOD＝∠ABC＝60°，∵直径AB＝18，∴半径OA＝9，∴弧AD的长是609180π⨯＝3π．【点睛】本题考查了切线的判定，平行线的性质，等腰三角形的性质，弧长公式等知识点，能灵活运用知识点进行推理是解此题的关键．23．（1）见解析；（2）见解析；（3）AB=【解析】【分析】（1）根据尺规作图的规则作图即可．（2）根据角平分线证明边和角，再根据切线长定理求证即可．（3）先在（2）的前提下，根据三角形相似，求出圆的半径，再根据△ODC∽△ABC求出AB即可．【详解】（1）作图如下：（2）证明：过点O 作OD ⊥AC ，垂足为D ．∵∠ABC=90°，∴OB ⊥AB ，∵AO 平分∠BAC 且OB ⊥AB ，OD ⊥AC ，∴OB=OD ，∴⊙O 与直线AC 相切．（2）由（1）可知，∠ODC=90°，∵BF 为直径∴∠BDF=90°，∴∠ODC=∠BDF ，∴∠BDO=∠CDF ，∵OB=OD ，∴∠BDO=∠DBO ，∴CDF=∠DBO ，且∠DCF=∠BCD ，∴△DCF ∽△BCD ，∴2CD CF BC =⋅，∵CD23=，CF=2，∴BC=6，∴OB=OF=2，∴OC=4，OD=2，∵△ODC∽△ABC，∴OD CDAB BC=，OD=2，CD23=∴23AB=．【点睛】此题考查尺规作图的方法，切线长定理及三角形相似，知识面较广，难度较难．24．（1）见解析；（2）3【解析】【分析】（1）由AB=BC，可得△ABC是等腰三角形，且BE⊥AC可得AE=CE，根据中位线定理可得OE∥AB，且AB⊥EG可得OE⊥EG，即可证EG是⊙O的切线（2）易证得△OBE是等边三角形，根据三角函数求BE，CE的长，再根据三角形的中位线的性质即可求得BF的长．【详解】（1）如图：连接OE，BE，∵AB=BC，∴∠C=∠A，∵BC是直径，∴∠CEB=90°，且AB=BC，∴CE=AE ，且CO=OB ，∴OE ∥AB ，∵GE ⊥AB ，∴EG ⊥OE ，且OE 是半径，∴EG 是⊙O 的切线；(2) ∵BG = OB ，OE ⊥EG ，∴BE= 12OG=OB=OE ， ∴△OBE 为等边三角形，∴∠CBE = 60°， ∵AC = 6，∴CЕ = 3，BЕ =3tan 60 ，∴∵ОB = BG ，OE//AB ，∴BF= 12 【点睛】本题考查了切线的性质和判定，等腰三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，解直角三角形等，关键是灵活运用切线的判定解决问题．25．（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】【分析】（1）连接OC ，根据角平分线的定义、等腰三角形的性质得到∠DAC=∠OCA ，得到OC ∥AD ，根据平行线的性质得到OC ⊥PD ，根据切线的判定定理证明结论；（2）根据圆周角定理、三角形的外角的性质证明∠PFC=∠PCF ，根据等腰三角形的判定定理证明；（3）连接AE ，根据正切的定义求出BC ，根据勾股定理求出AB ，根据等腰直角三角形的性质计算即可．【详解】。
切割线定理习题
切割线定理一、回顾旧知：请结合以上的两图写出相交弦定理及推论的内容：相交弦定理：。
二、探索发现：《P点从圆内向圆外移动时结论：PA ·PB=PC·PD是否成立你能给出合理的证明吗}A三、练习：（1）已知PAB 、PCD 是圆O 的割线，PA=5 ， AB=3 ，CD=3，则PC ＝ （2）已知PT 是圆O 的切线，PA=4， PT=6 ， 则圆O 的面积＝、（3）已知 ：圆1O 、2O 圆相交于A 、B ， P 是BA 延长线上的一点，PCD 是圆1O 的割线，PEF 是圆2O 的割线， 求证：PC •PD=PE• PF}~巩固加深一、选择题（共15小题）1．如图，PAB为割线且PA=AB，PO交⊙O于C，若OC=3，OP=5，则AB的长为（）~A. B. C. D.第1题第2题第3题2．如图，⊙O的割线PAB交⊙O于点A，B，PA=14cm，AB=10cm，PO=20cm，则⊙O的半径是（）A. 8cmB. 10cmC. 12cmD. 14cm3．如图，已知⊙O的弦AB、CD相交于点P，PA=4cm，PB=3cm，PC=6cm，EA切⊙O于点A，AE与CD的延长线交于点E，若AE=cm，则PE的长为（）、A. 4cmB. 3cmC. 5cmD.cm4．如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，PQ切⊙O1于点P，交⊙O2于点Q、M，交AB的延长线于点N．若MN=1，MQ=3，则NP等于（）A. 1B.C. 2第4题第5题第7题5．如图，PAB、PCD是⊙O的两条割线，PA=3，AB=5，PC=4，则CD等于（）（B. 3C.D.6．已知PA是⊙O的切线，A为切点，PBC是过点O的割线，PA=10cm，PB=5cm，则⊙O的半径长为（）A. 15cmB. 10cmC.D. 5cm7．（2004•锦州）如图，⊙O和⊙O′都经过点A和点B，点P在BA的延长线上，过P作⊙O 的割线PCD交⊙O于C、D，作⊙O′的切线PE切⊙O′于E，若PC=4，CD=5，则PE等于（）A. 6B. 2C. 208．如图⊙O的两条弦AB、CD相交于点E，AC与DB的延长线交于点P，下列结论中成立的是（）A. CE•CD=BE•BAB. CE•AE=BE•DEC. PC•CA=PB•BDD. PC•PA=PB•PD%第8题第10题第11题9．已知AB为⊙O的直径，C为AB的延长线上一点，过C的直线与相切于点D，若BC=2，CD=4，则⊙O的半径长是（）D. 无法计算10．如图，已知⊙O1、⊙O2相交于A、B两点，且点O1在⊙O2上，过A作⊙O1的切线AC 交BO1的延长线于点P，交⊙O2于点C，BP交⊙O1于点D，若PD=1，PA=，则AC的长为（）A. B. C. D.11．如图，PT是外切两圆的公切线，T为切点，PAB，PCD分别为这两圆的割线．若PA=3，PB=6，PC=2，则PD等于（）C. 8。
圆的切线综合练习题与答案
切线的判定与性质练习题一、选择题（答案唯一，每小题3分）1．下列说法中，正确的是( )A．与圆有公共点的直线是圆的切线 B．经过半径外端的直线是圆的切线C．经过切点的直线是圆的切线 D．圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线2. 如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于A，BC交⊙O于点D，若∠C＝70°，则∠AOD的度数为( )A．70° B．35° C．20° D．40°第2题第3题第4题第5题3. 如图，线段AB是⊙O的直径，点C，D为⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠E＝50°，则∠CDB等于( )A．20° B．25° C．30° D．40°4.如图，等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝8，O为BC的中点，以O为圆心作半圆，使它与AB，AC都相切，切点分别为D，E，则⊙O的半径为( )A．8 B．6 C．5 D．45.如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点G，直线EF与⊙O相切于点D，则下列结论中不一定正确的是( )A．AG＝BG B．AB∥EF C．AD∥BC D．∠ABC＝∠ADC二．填空题（每小题3分）6．如图，在⊙O中，弦AB＝OA，P是半径OB的延长线上一点，且PB＝OB，则PA与⊙O的位置关系是_________．第6题第7题第8题7.如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为________________．8.如图，AB是⊙O的直径，O是圆心，BC与⊙O切于点B，CO交⊙O于点D，且BC＝8，CD＝4，那么⊙O的半径是______．9. 如图，若以平行四边形一边AB为直径的圆恰好与对边CD相切于点D，则∠C＝_______度．第9题第10题第11题10. 如图，AB为⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C，AD⊥l，垂足为D，AD交⊙O于点E，连接OC，BE.若AE＝6，OA＝5，则线段DC的长为______．11．如图，已知△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，MN与⊙O相切，切点为A，若∠MAB＝30°，则∠B＝________度．三、解答题（写出详细解答或论证过程）12.（7分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E.求证：AC是⊙O的切线．第12题第13题第14题13.（7分）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E.求证：∠BDC＝∠A.14.（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC的平分线交BC于D，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，求证：AC与⊙D相切．15.（10分）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且∠D＝2∠CAD.(1)求∠D的度数；(2)若CD＝2，求BD的长．第15题第16题16．（12分）已知△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF.(1)如图①，若AB为⊙O的直径，要使EF成为⊙O的切线，还需要添加的一个条件是(至少说出两种)：__________________________或者_______________________；(2)如图②，如果AB是不过圆心O的弦，且∠CAE＝∠B，那么EF是⊙O的切线吗试证明你的判断．17.（12分）如图，已知直线PA交⊙O于A，B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D.(1)求证：CD为⊙O的切线；(2)若DC＋DA＝6，⊙O的直径为10，求AB的长．答案：DDADC 6. 相切 7. ∠ABC＝90°不排除等效答案 8. 6 9. 45 10. 4 11. 60 12. 解：连接OD，∵BD为∠ABC平分线，∴∠OBD＝∠CBD，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠CBD＝∠ODB，∴OD∥BC，∵∠C＝90°，∴∠ODA＝90°，则AC为⊙O的切线13. 解：连接OD，∵CD是⊙O的切线，∴∠ODC＝90°，∴∠ODB＋∠BDC＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠ODB＋∠ADO＝90°，∴∠BDC＝∠ADO，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠A，∴∠BDC＝∠A14. 解：过D作DH⊥AC于H，由角平分线的性质可证DB＝DH，∴AC与⊙D相切15. 解：(1)∵∠COD＝2∠CAD，∠D＝2∠CAD，∴∠D＝∠COD.∵PD与⊙O相切于点C，∴OC⊥PD，即∠OCD＝90°，∴∠D＝45°(2)由(1)可知△OCD是等腰直角三角形，∴OC＝CD＝2，由勾股定理，得OD＝22＋22＝22，∴BD ＝OD－OB＝22－216. (1) ∠BAE＝90°∠EAC＝∠ABC(2) (2)EF是⊙O的切线．证明：作直径AM，连接CM，则∠ACM＝90°，∠M＝∠B，∴∠M＋∠CAM＝∠B＋∠CAM＝90°，∵∠CAE＝∠B，∴∠CAM＋∠CAE＝90°，∴AE⊥AM，∵AM为直径，∴EF是⊙O的切线17. 解：(1)连接OC，证∠DAC＝∠CAO＝∠ACO，∴PA∥CO，又∵CD⊥PA，∴CO⊥CD，∴CD为⊙O的切线(2)过O作OF⊥AB，垂足为F，∴四边形OCDF为矩形．∵DC＋DA＝6，设AD＝x，则OF＝CD＝6－x，AF＝5－x，在Rt△AOF中，有AF2＋OF2＝OA2，即(5－x)2＋(6－x)2＝25，解得x1＝2，x2＝9，由AD＜DF知0＜x＜5，故x＝2，从而AD＝2，AF＝5－2＝3，由垂径定理得AB＝2AF＝6。
圆切线习题
圆的切线的判定与性质。
【知识点精析】1. 直线与圆有三种位置关系，其中直线与圆只有唯一的公共点，叫直线与圆相切，这个公共点叫切点。
这条直线叫圆的切线。
2. 圆的切线的判定与性质：（1）判定：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
如图所示：OA是⊙O半径，直线BC经过点A且垂直于OA，则直线BC与⊙O相切，A为切点。
三角形的内切圆：与三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆三角形内切圆的圆心叫三角形的内心三角形的内心到三角形三边的距离相等三角形的内心是三角形三角平分线的交点【解题方法指导】例1. 已知如图：C为⊙O上一点，DA交⊙O于B，∠DCB=∠CAB。
求证：DC为⊙O 的切线。
A例2. 已知如图：在Rt△ABC中，∠C=90°，点C在AC上，CD为⊙O直径，⊙O切AB于E，若BC=5，AC=12，求⊙O的半径。
AIB C6. 如果半径分别为10cm和8cm的两圆相交，公共弦长12cm，且两圆的圆心在公共弦两旁，则圆心距为（）cmA. 241B. 827+C.252D.32777. 两圆的半径之比为2：3，当两圆内切时，圆心距是4cm ，当两圆外切时圆心距为（ ） A. 20cm B. 14cm C. 11cm D. 5cm8. ⊙O 1和⊙O 2的半径之比为R ：r=4：3，当O 1O 2=21cm 时，两圆外切，当两圆内切时，O 1O 2的长度为（ ） A. O O cm3< B. 321cm O O cm << 是____________。
18. 若正多边形的内角和是720°，则这个多边形是正____________边形。
19. 已知正多边形的中心角为120°，边长为3，则其半径长为____________。
20. 若正三角形和正六边形的面积相等，则它们的边长之比为____________。
浙教版九年级数学下 第二章同步练习 2.1 直线与圆的位置关系
浙教版九年级数学下第二章直线与圆的位置关系同步练习2．1直线与圆的位置关系切线的判定第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共10小题，3*10=30）1. 下列直线中可以判定为圆的切线的是(A)A．与圆有且仅有一个公共点的直线B．经过半径外端的直线C．垂直于圆的半径的直线D．与圆心的距离等于直径的直线2.⊙O的半径是6，点O到直线a的距离为5，则直线a与⊙O的位置关系为（）A．相离B．相切C．相交D．内含3．如果一个圆的半径是8cm，圆心到一条直线的距离也是8cm，那么这条直线和这个圆的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．无法确定4. ⊙O的半径r＝5 cm，直线l到圆心O的距离d＝4，则l与⊙O的位置关系是()A．相离B．相切C．相交D．重合5．已知⊙O的半径为3，直线l上有一点P满足PO＝3，则直线l与⊙O的位置关系是() A．相切B．相离C．相离或相切D．相切或相交6. ⊙O的半径为R，直线l和⊙O有公共点，若圆心到直线l的距离是d，则d与R的大小关系是（）A．d＞R B．d＜R C．d≥R D．d≤R7．已知点P(3，4)，以点P为圆心，r为半径的圆P与坐标轴有四个交点，则r的取值范围是() A．r＞4 B．r＞4且r≠5 C．r＞3 D．r＞3且r≠5OP ，直线l与⊙O的位置关系是（）8. 已知⊙O的半径为5，点P在直线l上，且5A．相切B．相交C．相离D．相切或相交9．如图，以点O为圆心的两个同心圆，半径分别为5和3，若大圆的弦AB与小圆相交，则弦长AB 的取值范围是()A．8≤AB≤10B．AB≥8C．8＜AB≤10D．8＜AB＜1010. 若⊙O的半径为R，点O到直线l的距离为d，且d与R是方程x²-4x+m=0的两根，且直线l与⊙O相切，则m的值为（）A.1B.2C.3D.4第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共8小题，3*8=24）11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝5cm，以点C为圆心、6cm长为半径作圆，则圆与直线AB的位置关系是________．12. 已知O，圆心O到直线l的距离为1.4cm，则直线l与O的公共点的个数为．13．如图，已知∠AOB＝30°，C是射线OB上的一点，且OC＝4.若以C为圆心，r为半径的圆与射线OA有两个不同的交点，则r的取值范围是____________．14. 在平面直角坐标内，⊙P的圆心P的坐标为（8，0），半径是6，那么直线y=x与⊙P的位置关系是.15．如图，已知∠AOB=30°，M为OB边上一点，以M为圆心、2 cm为半径作⊙M．若点M在OB 边上运动，则当OM= cm时，⊙M与OA相切．16. 如图，P为正比例函数y＝32x图像上的一个动点，⊙P的半径为3，设点P的坐标为(x，y)．当⊙P与直线x＝2相交时x的取值范围为____________．17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边AB＝8cm，AC＝4cm.以点C为圆心作圆，半径为______cm 时，AB与⊙C相切18.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4.若以A为圆心、R为半径所作的圆与线段BC只有一个公共点，则R的取值范围是.三．解答题（共7小题，46分）19.(6分) 如图，CB是⊙O的直径，P是CB延长线上一点，PB=2，PA切⊙O于A点，PA=4．求⊙O的半径．20．(6分) 如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB＝CD，且AB与小圆相切．求证：CD与小圆也相切．21. (6分)如图， 已知等腰三角形的腰长为6 cm ，底边长4 cm ，以等腰三角形的顶角的顶点为圆心5 cm 为半径画圆，那么该圆与底边的位置关系是怎样的？22．(6分) 如图，正方形ABCD 中，点P 是对角线AC 上的任意一点（不包括端点），以P 为圆心的圆与AB 相切，求AD 与⊙P 的位置关系.23. (6分) 如图，某货船以24海里／时的速度将一批重要物资从A 处运往正东方向的M 处，在点A 处测得某岛C 在北偏东60的方向上．该货船航行30分钟后到达B 处，此时再测得该岛在北偏东30的方向上，已知在C 岛周围9海里的区域内有暗礁．若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由．CA24．(8分) 如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P(0，k)是y轴的负半轴上的一个动点，以点P为圆心，3为半径作⊙P，连结PA，若PA＝PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由．25. (8分) 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝10，AD＝m，∠D＝60°，以AB为直径作⊙O.(1)求圆心O到CD的距离(用含m的代数式表示)；(2)当m取何值时，CD与⊙O相切？参考答案 1-5 BCBCD 6-10 DBDCD 11. 相交 12. 2 13. 2＜r≤4 14. 相交 15. 416. －1＜x ＜5 17. 2 3 18. 3≤R ≤419. 解：如图，连接OA ，∵PA 切⊙O 于A 点，∴OA ⊥PA ，设OA=x ，∴OP=x+2，在Rt △OPA 中：x 2+42=（x+2）2 ， ∴x=3 ∴⊙O 的半径为3．20. 证明：过点O 分别作AB ，CD 的垂线段OE ，OF.设小圆的半径为r.∵AB 与小圆相切，∴OE ＝r ，∵AB ＝CD ，且AB ，CD 为大圆的弦，∴OE ＝OF ，∴OF ＝r ，∴CD 与小圆也相切．21.解： 如图，在等腰三角形ABC 中，作AD ⊥BC 于D ，则BD ＝CD ＝12BC ＝2，∴AD ＝AB 2－BD 2＝62－22＝42＞5，即d ＞r ，∴该圆与底边的位置关系是相离．22. 解：如图, 作PE ⊥AB 于E , PF ⊥AD 于F . 设⊙P 的半径为R .. ∵⊙P 与AB 相切, ∴PE=R .又∵ABCD 是正方形, ∴AC 平分∠DAB , ∴PE=PF , ∴PF=R . ∴AD 与⊙P 相切.23. 解：作CD ⊥AB 于D , 设CD=x .在Rt △ACD 中, ∠CAD =30°, ∴AD . 在Rt △BCD 中,∠BCD =30°, ∴BD x .∵AD-BD=AB =24×0.5=12海里, =12, 解得x =>9. ∴货船不会有触礁危险.24. 解：⊙P 与x 轴相切，理由：直线y ＝－2x －8与x 轴交于A (－4，0)，与y 轴交于B (0，－8)，∴OA ＝4，OB ＝8，由题意OP ＝－k ，∴PB ＝PA ＝8＋k ，在Rt △AOP 中，k 2＋42＝(8＋k )2，∴k ＝－3，∴OP 等于⊙P 的半径，∴⊙P 与x 轴相切25. 解：(1)作AH ⊥CD 于点H.因为∠D ＝60°，则∠DAH ＝30°，DH ＝AD 2＝m2，所以AH ＝AD 2－DH 2＝m 2－（m 2）2＝32m ，即圆心O 到CD 的距离为32m ； (2)当32m ＝5，即m ＝1033时，CD 与⊙O 相切.。
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切线的判定练习题
1.如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且，OA=OB,CA=CB,则直线AB是否是⊙O的切线？
2..如图，AB是⊙O的直径，∠B=∠CAD,
(1)求证：AC是⊙O的切线
(2).若AB为⊙O的任意弦，如图所示，∠B=∠CAD, 求证：AC是⊙O的切线
3..如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上的一点，AC平分∠DAB，AD与过C点的直线垂直，垂足
为D,求证：CD为⊙O的切线。
4.已知，OC平分∠AOB,D是OC上任意一点，⊙D与OA相切于点E,求证;OB与⊙D相切。
5. 已知，如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB相切于点D,
求证;AC与⊙O相切。
6. 如图，AB是⊙O的直径，B C⊥AB于点B,OC∥AD,求证：CD为⊙O的切线。
7. 如图，AB是⊙O的直径，⊙O过BC的中点D,D E ⊥AC,求证：DE是⊙O的切线。
8.如图，割线ABC与⊙O相交于B,C两点，D为⊙O上的一点，O E⊥AC，OE交BC于点F,DE交AC于点G,∠ADG=∠AGD,求证：AD是⊙O的切线。
9.如图，A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于B点，OC=BC,AC=
1OB,
2
求证;AB是⊙O的切线。
10.如图，在△ABC中，∠C=900,BE平分∠ABC,D E ⊥BE交AB于点D,⊙O是△ABC的外接圆，
求证：AC是⊙O的切线。
11.如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB和CD相等，且AB与小圆相切于点E,
求证：CD与小圆相切。
12.已知，OC平分∠AOB,D是OC上任意一点，⊙D与OA相切于点E,求证;OB与⊙D相切。
13. 已知，如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB相切于点D,
求证;AC与⊙O相切。
14.如图，梯形ABCD中，A D∥CB,∠C=90°,且AD+BC=AB,AB为⊙O的直径，
求证; ⊙O与CD相切。
15如图，以直角三角形ABC的一条直角边AB为直径作圆交斜边于点E,F是AC的中点，求证：EF是切线。