深圳部分学校2009-2010学年度第二学期期中考试高二数学(理科)

深圳部分学校2009-2010学年度第二学期期中考试高二数学（理科）
（满分：150分 考试时间：120分钟）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，
只有一项是符合题目要求的，答案填入答题卡内．
1．若(2)a i i b i -=-，其中a 、b R ∈，i 使虚数单位，则2
2
a b +=
A ．0
B ．2
C ．5
2
D ．5 2．用反证法证明命题：“如果,a b N ∈，ab 可被5整除，那么,a b 中至少有一个能被5整
除” 时，假设的内容应为
A ．,a b 都能被5整除
B ．,a b 都不能被5整除
C ．,a b 不都能被5整除
D ．a 不能被5整除 3．已知向量(0,2,1),(1,1,2)==--a b ，则a 与b 的夹角为
A ．0
B ．45
C ．90
D ．180
4．用4种不同的颜色涂入如图四个小矩形中，要求相邻矩形的涂色 不得相同，则不同的涂色方法种数是
A ．36
B ．72
C ． 24
D ．54
5．从4种蔬菜品种中选出3种，分别种植在3块不同的土地上，不同种植方法的种类数是 A ．36 B ．64 C ．24 D ．81 6．用数学归纳法证明111
1(*,1)23
21
n n N n n +
+++
<∈>-时，第一步即证下述哪个不等式成立
A ．12<
B ．111223+
+< C ．1122+< D ．1
123
+< 7．在棱长为1的正四面体ABCD 中，,E F 分别是,BC AD 中点，则AE CF ⋅=
A ． 0
B ．
12 C ．34- D ．12
- 8．已知结论:：“在正三角形ABC 中，若D 是边BC 的中点，G 是三角形ABC 的重心,则
2AG
GD
=”，若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD 中，若BCD ∆ 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等，则AO
OM
=
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡横线 上．
9．设复数4z a i =+（i 为虚数单位，[0,3]a ∈），z 的最小值为m ，最大值为n ．
则m
n A = .
10．若在5(1)ax +的展开式中3
x 的系数为80-，则a = .
11．从0,1,2,3,,9⋅⋅⋅这十个数字中任选2个不同的数字分别作复数z a bi =+的实部和虚部， 在复数z 为虚数的条件下，它为纯虚数的概率大小为________. 12．已知(2,4,),(2,,2)x y ==a b ，若//a b ，则x y +的值为________.
13. 一次数学期中考试出了8道选择题，每题附有,,,A B C D 四个答案，其中只有一个是符
合要求的．某学生每做一道选择题都对,,,A B C D 四个字母抽签，抽到谁就把这个答案填上去，则恰好做对4题的概率为________（用数学式子表示）. 14．观察以下几个等式：
（1）10110
21111C C C C C =+； （2）2021120
4222222C C C C C C C =++； （3）303122130
633333333C C C C C C C C C =+++，
归纳其特点可以获得一个猜想是：
2n
n C =
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤．
15．（本小题满分12分）
从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的 人数．
（1）求ξ的分布列；
（2）求“所选3人中女生人数1ξ≤”的概率．
16．（本小题满分12分）
已知n （其中715n <<）的展开式中第5项，第6项，第7项的二项式系数
成等差数列． （1）求n 的值；
（2）写出它的展开式中的有理项． 17．（本小题满分14分）
4个男同学，3个女同学站成一排，下列情况各有多少种不同排法：
（1）3个女同学必须排在一起；
（2）同学甲和同学乙之间恰好有3人；
（3）女同学从左往右按从高到低排（3个女同学身高互不相等）； （4）同学甲不站在左端，同学乙不站在右端．
注：解答须列式，答案要用数字表示，下面给出数据供参考
18．（本小题满分14分）
如图，在底面是矩形的四棱锥A B C D P -中，PA ⊥平面A B C D ， 2==AB PA ，4=BC .E 是PD 的中点.
（1）求证：平面PDC ⊥平面PAD ； （2）求二面角D AC E --所成平面角的余弦值； （3）求B 点到平面EAC 的距离.
19．（本小题满分14分）
已知正项数列{}n a 和{}n b 中，11(01),1a a a b a =<<=-.
P B
A C
D E
当2n ≥时，n n n b a a 1-=，1
2
1
1n n n b b a --=
-. （1）用数学归纳法证明：对任意*
n N ∈，有1=+n n b a ； （2）求数列{}n a 的通项公式．
20． (本小题满分14分)
已知数列{}n a 的首项为1，12
12()k
n
n n k n n n f n a C a C a C a C =++
++
+ ()n N +∈.
（1）若{}n a 为常数列，求(4)f 的值；
（2）若{}n a 为公比为2的等比数列，求()f n 的解析式；
（3）数列{}n a 能否成等差数列，使得()1(1)2n
f n n -=-对一切n N +∈都成立. 若能，求出数列{}n a 的通项公式；若不能，试说明理由.
2009-2010学年度第二学期期中联考考参考答案
一．选择题
二填空题
9．120 10．2- 11．1
9
12．6 13. 4
4
4813()()
4
4C
14．0110
2n n n n n n n n n n n C C C C C C C -=++⋅⋅⋅+ 三．解答题
15. 解：（1）ξ可能取的值为0,1,2
2,1,0,)(3
6
34
2=⋅==-k C C C k P k k ξ 所以，ξ的分布列为
ξ …………………7分 （2）解：由（1），“所选3人中女生人数1ξ≤”的概率为
5
4)1()0()1(=
=+==≤ξξξP P P …………………12分
16．解：（1）n （其中715n <<）的展开式中第5项，第6项，第7项的二项
式
系数分别是4n C ，5n C ，6
n C ．依题意得4652n n n C C C +=，
即：
!!!
24!(4)!6!(6)!5!(5)!
n n n n n n +=⨯---， ……………………3分
化简得30(4)(5)12(4)n n n +--=-，即：2
21980n n -+=
解得7n =或14n =，因为715n <<所以14n = …………………6分 （2）展开式的通项 42143
6
2
114
14
r r r r
r r T C x
x C x
--+== ……………………10分
展开式中的有理项当且仅当r 是6的倍数，014r ≤≤，所以展开式中的有理项共
3项：077
1140,r T C x x ===；6667146,3003r T C x x ===；
1255
131412,91r T C x x === …………………12分
17．解：（1）35
35A A ⋅=720 (3分)
（2）323
523A A A ⋅⋅=720 (3分)
（3）347
4
C A ⋅=840 或77
33
840A A = (4分)
（4）765
76523720A A A -+= (4分)
18．解:以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线 为y 轴，AP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，则 (0,0,0)A ，(2,0,0),(2,4,0),(0,4,0)B C D ,
(0,2,1),(0,0,2)E P
∴(2,0,0),(0,4,0),(0,0,2)AB AD AP ===， (2,0,0)CD =-，
(0,2,1),(2,4,0)AE AC ==. ……………3分 （1）证:0=⋅ AD CD ⊥∴
又0=⋅ AP CD ⊥∴
A AD AP =⋂ PAD CD 平面⊥∴ 而PDC CD 平面⊂
∴平面PDC ⊥平面PAD . …………………6分 （2）设平面AEC 的法向量(,,)n x y z =
由00n AE n AC ⎧⋅=⎪
⎨⋅=⎪⎩即()()()()1,,10,2,102101240,,12,4,002
x x y y x y y x y =⎧⋅=⎧+=⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨+==-⋅=⎩⎪⎪⎩⎩
∴11,,12n ⎛
⎫
=-
⎪⎝⎭
……………………9分 平面ABC 的法向量(0,0,2)AP =，22cos ,33
22
n AP n AP n AP
⋅〈〉=
=
=
⨯⨯ 所以二面角D AC E --所成平面角的余弦值是
3
2
. …………………10分 （3） 设点B 到平面AEC 的距离为h ，(2,0,0)AB =， =⎪⎭
⎫
⎝⎛-1,21,1
则h =
24332
n AB
n
⋅=
=，所以B 点到平面EAC 的距离是34
.………14分 19．（1）①当1n =时，1111a b a a +=+-=，命题成立；
②假设n k =时，命题成立，即1k k a b +=
则当1n k =+时，111112
(1)(1)111k k
k k k k k k k k k k
b b a b a b b b a a a a ++++++=+=+=+==-- 这就是说1n k =+时，命题也成立
P
B
E
D
C
A
由①②可知，对于对任意*
n N ∈，有1=+n n b a …………………7分
（2）当2n ≥时，n n n
b a a 1-=又1=+n n b a
故1(1
)n n n a a a -=-，即11n n n n a a a a ---=， 1
111n n a a --=， 所以1n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是等差数列，而1a a = 所以
111(1)1n n a n a a a
+-=+-= 故1(1)1n a a
a n a a na
=
=+--+ ………14分
20．解:（1）∵{}n a 为常数列，∴1n a =()n N +∈.∴1234
4444(4)15f C C C C =+++=.
………………3分
（2）∵{}n a 为公比为2的等比数列，∴1
2n n a -=()n N +∈.………………5分 ∴123
1()242n n
n n n n f n C C C C -=+++
+，
∴12233
12()12222n n
n n n n f n C C C C +=+++++
(12)3n
n
+=，故31
()2
n f n -=.………………9分
（3）假设数列{}n a 能为等差数列，使得()1(1)2n
f n n -=-对一切n N +∈都成立，设
公差为d ，则12
1121()k
n n
n n k n n n n n f n a C a C a C a C a C --=++
++
++，
且1
21
121()n n k
n n n n k n n n f n a C a C a C a C a C --=++++++，
相加得 12
1
112()2()()k
n n n n n n n f n a a a C C C C --=++++
++
+，
∴12
1
11()()2
k n n n n n n n a a f n a C C C C --+=+
+++++
11(22)2
n
n n a a a -+=+
-[]11(1)2(2)(21)n n d n d -=+-++--. ∴[]1
()1(2)2(2)2n f n d n d --=-++-(1)2n n =-恒成立，
即1
(2)(2)(2)2
0n d d n --+-+=n N +∈恒成立，∴2d =.………………13分
故{}n a 能为等差数列，使得()1(1)2n
f n n -=-对一切n N +∈都成立，它的通项公式为
21n a n =-.………………14分
（其它方法相应给分）。