保险精算4

生命表
本节主要内容
生命表简介 生命表函数 年龄内的寿命分布 生命表的类型 死亡力度

一、生命表简介
1、生命表
含义:根据以往一定时期内各种年龄的死亡统 计资料编制成的由每个年龄死亡率所组成的 汇总表。又称为死亡表或寿命表。 生命表编制的最初思想:观察同时出生的一批 人记录他们每年末存活的人数及一年内死亡 的人数一直观察到他们全部死亡。
s(x)
1

x
s(x)的参数模型
1)de Moivre模型（1729） 由精算师德莫弗提出，在这种死亡规律下，一 个人的死亡年龄X在[0， ]上是均匀分布的。 1 x f ( x) , x [0, ] s( x) 1 2)Gompertz模型（1825） 龚珀茨在一篇精算论文中提出 3)Makeham模型（1860） 4)Weibull模型（1939）
' '
4.Ｔ的生存函数: (x)在x+t岁仍生存的概率.
tpx
=P(T(x)>t) =1- P(T(x)≤t) = s( x t ) s ( x)
5. xp0 :表示0岁新生婴儿活过x岁的概率。
=s(x) T(0)=X (0岁新生儿的未来寿命就是刚 出生婴儿的死亡年龄) P(T(0)>x)= P(X>x)

(25)投保了保险期限为35年的死亡保险， 被保险人在56.8岁死亡，则： T(25)= K(25)=
假设生存函数ｓ(x)= 1-x/90 0< x ≤ 90 0 x>90 (1)求F(x), f(x) , F(30) , ｓ(30) , f(30) ,P(30<x ≤40) , P(30<x ≤40| x>30) , P(30<x ≤40| x>20),并分别说明它们的具 体精算含义。

中国人寿保险业经验生命表 （1990—1993）
中国第一张寿险业生命表 中国人寿保险业经验生命表非养老金业 务男表CL1 (1990--1993)，简记为CL93M； 中国人寿保险业经验生命表非养老金业 务女表CL2 (1990--1993)，简记为CL93F； 中国人寿保险业经验生命表非养老金业 务男女表CL3 (1990--1993)，简记为 CL93U；

问题引入：购买保险的被保险人往往是 已经活到某个年龄的人，保险人更关心 的是现年x岁的人还可以生存的年数(剩 余寿命)以及剩余寿命的分布情况。
1.剩余寿命T(x):表示新生婴儿在x岁时的未来寿
命。 (x)：表示年龄为x岁的人。 T(x)= X-x (X≥x ),当x=0时，T(0)表示一个0 岁的婴儿的未来寿命。 eg：(25)未来还可活 年

中国人寿保险业经验生命表养老金业务男表 CL4 (1990--1993)，简记为CL93AM； 中国人寿保险业经验生命表养老金业务女表 CL5 (1990--1993)，简记为CL93AF； 中国人寿保险业经验生命表养老金业务男女表 CL6 (1990--1993)，简记为CL93A。

i(m) m 1 i (1 ) v 1 (1 d ) 1 m d ( p) p (1 ) e p

其中m,p 表示每年计息的次数.一般为整数,有时是 分数.
生命函数与生命表
生命函数
本节问题的提出: 在寿险中计算保费主要是对未来可能给 付的一个预测，估算未来给付在现在的 值也就是现在保险人应收取的纯保费。 要准确预测，精算上一般通过引入随机 变量，再运用概率论知识，求随机变量 的均值。
条件概率
设 A, B 是两个事件, 且 P( B) 0, 称 P( AB) P( A | B) P( B) 为在事件 B 发生的条件下事件 A 发生的条件概率.
4.新生婴儿在x岁时仍生存的条件下，在y岁 与z岁之间死亡的概率，其中（ x ≤ y <z ）
P(X z)-P(X y) P(y <X z| X> x)= P(X >x) F(z)-F(y) = 1-F(x) s( y) s( z ) s ( x)
中国第二张寿险业生命表，非养老金业务表两张， 养老金业务表两张，分别是： 1、非养老金业务男表，简称CL1(2000-2003)； 2、非养老金业务女表，简称CL2(2000-2003)； 3、养老金业务男表，简称CL3(2000-2003)； 4、养老金业务女表，简称CL4(2000-2003)。
二、生命表函数(附录P262)
（1）x:表示年龄，在生命表中取值整数, 0到-1 （2）lx：从初始年龄至满x岁尚生存的人数。 l0（生命表基数):表示同时出生的一批人数。 一般人为取定，一般取l0=100000 l =0
（3）dx ：表示x岁的人在一年内的死亡人数。 (x--x+1岁) dx= lx- lx+1 lx= dx+ lx+1 l0= d0+d1+…+d-1 eg:d10
变额年金

变额年金：年金收付款的时期间隔固定， 而收付额变动的年金称为变额年金。

变额年金现值的一般计算 假设有一年金规定，在第一年末支付100 元，第二年末支付200元，第三年末支付 300元，利率为6%，求该年金现值。
n年定期递增年金

第一年收付1单位元，以后每隔一年收付款增 加1单位元，收付期为n年的年金的现值。
三、随机变量K(x)
１.取整余命K(x)：（x）未来能够活过的 整年数. K(x)=[T(x)], k=0，1，2，3… 当k≤ T(x)<k+1时， K(x)= k T(x)=35.4，则K(x)= T(x)=34.9，则K(x)=
２. K(x)的分布
P(K(x)=k)=P(k T(x)<k+1) =P(k T(x) k+1) = k|q x = k+1q x - k q x = k p x q x+k

1
0 1
2
2
3
3
n
n


期末收付时,现值:
( Ia ) n v 2v 3v ... nv
2 3
n
a n 1| an 1 ...n 1| a1 a n nv i
.. n

期初收付时,现值:
( I a) n 1 2v 3v ... nv
xp 0
6. 当t=1时， tqx tp x
可简写成 px qx
qx表示x岁的人在未来1年内死亡的概率
px 表示x岁的人在1年后仍活着的概率
7. t|uqx 表示（x）生存t 年后，在(x+t) 岁与(x+t+u)岁之间死亡的概率。 当u=1时，简写成 t|qx
t |u
qx P(t<T(x) t+u)

参数模型的缺点
（1）至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合 模型。这四个常用模型的拟合效果不令人满 意。（2）使用这些参数模型推测未来的寿命 状况会产生很大的误差。（3）寿险中通常不 使用参数模型拟合寿命分布，而是使用非参 数方法确定的生命表拟合人类寿命的分布。 （4）在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿 命的分布。
例：假设新生婴儿的未来寿命X的分布函数 为F(x)=x/100,试求



(1)f(x),s(x)。 (2)新生婴儿在50岁以前死亡的概率。 (3)新生婴儿寿命的期望值。 (4)年龄为30岁的人在40岁之前的死亡概率。 (5)年龄为20岁的人，在30岁和40岁之间死亡 的概率。
二、随机变量T(x)
中国人寿保险业经验生命表示例
X
0
1 2 3
CL93M
3.037
2.157 1.611 1.250
CL93F
2.765
1.859 1.314 0.966
CL93A
2.909
2.016 1.470 1.114
4
5
1.000
0.821
0.734
0.573
0.872
0.702
中国人寿保险业经验生命表 (2000-2003)


(2)求10q30
p40
10p30 10|10q20
30q0
q30
并分别说明它们的具体精算含义。 比较(1)和(2)中 30 和P(30<x ≤40| 10q x>30) ,10|10q20 和 P(30<x ≤40| x>20) 的结果是否一致,为什么？

(3)说明P(K(20)=30)的具体含义，并求 其概率。 (4)一个人在90.7岁时死亡求此时随机变 量X,T(30),K(20)的取值。

2、生命表的发展历史
1662年,Jone Graunt,根据伦敦瘟疫时期的洗 礼和死亡名单,写过《生命表的自然和政治观 察》。这是生命表的最早起源。 1693年，Edmund Halley,《根据Breslau城出 生与下葬统计表对人类死亡程度的估计》，在 文中第一次使用了生命表的形式给出了人类死 亡年龄的分布。人们因而把Halley称为生命表 的创始人。

f(x):随机变量X的概率密度函数


f(x)= F ( x)
E(X)=
'
F(x)=

x
0
f (t )dt



0
xf ( x)dx : 表示新生婴儿的平均寿命。
3.s(x):表示一个新生婴儿活过x岁的概率. s(x)= P(X>x)=1-P(X ≤ x)=1-F(x) 我们把s(x)称为生存函数. x＜时, s(x)>0; x≥时,s(x)=0. s(0)=1,s()=0
=P(T(x) t+u)-P(T(x) t) = t u qx t qx t px t u px
例：假设ｓ(x)=

1-x/98 0
0< x <98 x ≥98
求1) 30岁的人在10年内死亡的概率 2) 30岁的人活过40岁的概率 3) 20岁的人在1年内死亡的概率 4) 20岁的人再活过1年的概率 5) 50岁的人在活过60岁后,在60岁到70岁之间 死亡的概率.
2. FT (t ) :表示(x)在t年内死亡的概率。（T的分 布函数） FT (t ) =P(T(x)≤t)= P(x<X≤x+t|X>x)

=
tq x
s( x) s( x t ) s ( x)
:x 岁的人在x+t岁以前死亡的概率.
3. T的概率密度函数
s (x t) fT (t ) FT (t ) s ( x)
2
..
n 1

( Ia) n v
a n nv d
..
n
n年定期递增年金的终值
Sn n ( IS )n ( Ia)n (1 i) i
n ..
( I S ) n ( I a) n (1 i)
n
..
..
sn n d

例:某年金在第一年初收付1000元,以后每 隔一年均比前一年增加收付1000元,年利 率为6%,求收付10年的年金现值与终值.

生命函数


主要内容
随机变量X,分布函数F(x)、生存函数s(x) 随机变量T(x), T(x)的分布函数、生存函数 随机变量K(x), K(x)的分布
生命函数
一、随机变量X 1. X:表示新生婴儿的未来寿命。 2.F(x):随机变量X的分布函数. F(x)=P(X≤ x):表示一个新生婴儿不能活 过x的概率。 F(0)=0 F()=1 :表示人的极限年龄,当前人类存活的最 高年龄.
( D a ) n ] n (n 1)v ... v n(1 i ) a n ] i
..
..
n 1
课堂练习14

某年金第一年初收付500元以后每隔一年 均比前一年增加收付100元,增加到一次 收付1000元时不再增加,并一直保持每年 1000元的水平连续收付,假设年利率5%. 给出这一年金的现值计算表达式.
n年定期递减年金现值

第一年收付1单位元，以后每隔一年收付 款额减少1单位元，收付期为n年的年金 现值。
n n-1 n-2 ... 1
0
1
2
...
n-1
n
期末收付时,现值:
( Da)n nv (n 1)v (n 2)v ... v
2 3 n

n an i

年初收付,则有
课堂练习15

李某今年30岁，他计划每年初存300元， 共存30年建立个人养老基金。这笔存款能 使他从60岁退休开始每年末得到固定金额 的养老金，共能领取20年。假设存款利率 在前10年为6%，10年后为12%，求每年能 取得的养老金额。
容易出现的几个主要问题
: