2024年广东省深圳市外国语学校初三模拟数学试题含答案解析

2024年广东省深圳市外国语学校中考模拟数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．2022的绝对值是（）
A．2022B．−2022C．1
2022D．−1
2022
【答案】A
【分析】
根据绝对值的含义可得答案．
【详解】解：2022的绝对值是2022；
故选A
【点睛】本题考查的是绝对值的含义，熟练的求解一个数的绝对值是解本题的关键．
2．如图是一个正方体的展开图，则与“学”字相对的是（）
A．核B．心C．数D．养
【答案】B
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，据此解答即可．
【详解】解：解：根据正方体展开图的特征，可知“数”与“养”是相对面，“素”与“核”是相对面，因此与“学”字相对的是“心”字．
故选B．
【点睛】本题考查了正方体的表面展开图，掌握正方体表面展开图的特点是解题的关键．3．“两岸猿声啼不住，轻舟已过万重山”．2023年8月29日，华为搭载自研麒麟芯片的mate60系列低调开售．据统计，截至2023年10月21日，华为mate60系列手机共售出约160万台，将数据1600000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.16×107B．1.6×106C．1.6×107D．16×106
【答案】B
【分析】
本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．
【详解】
解：1600000用科学记数法表示为1.6×106．
故选：B．
4．“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植．某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取7株水稻苗，测得苗高（单位：cm）分别是23，24，23，25，26，23，25．则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．24，25B．23，23C．23，24D．24，24
【答案】C
【分析】
本题考查众数、中位数，掌握众数、中位数的定义是正确解答的关键．根据众数、中位数的定义进行解答即可．
【详解】
这组数据中，出现次数最多的是23，因此众数是23，
将这组数据从小到大排列，处在中间位置的一个数是24，由此中位数是24．
故选C．
5．下列运算中，正确的是（）
A．(−2x2)⋅(−3x)=−6x3B．x6÷x2=x4
C．(−2x2)3=8x6D．(x−y)2=x2+y2
【答案】B
【分析】
本题考查了单形式乘以单项式，幂的运算，完全平方公式．根据单项式的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，完全平方公式计算即可判定．
【详解】解：A、(−2x2)⋅(−3x)=6x3≠−6x3，本选项不符合题意；
B、x6÷x2=x4，本选项符合题意；
C、(−2x2)3=−8x6≠8x6，本选项不符合题意；
D、(x−y)2=x2−2xy+y2≠x2+y2，本选项不符合题意；
故选：B．
6．一把直尺和一个含30°角的三角板按如图方式叠合在一起（三角板的直角顶点在直尺的边上），若∠1=28°，则∠2的度数是（ ）
A．62°B．56°C．45°D．28°
【答案】A
【分析】本题主要考查了平行线的性质，角的和差关系，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的性质和角的和差关系可得答案．
【详解】解：如图，
由题意得：a∥b，
∴∠2=∠3，
∵∠1=28°，∠ACB=90°，
∴∠3=180°−∠ACB−∠1=62°，
∴∠2=∠3=62°，
故选：A．
7．下列命题是真命题的是（ ）
A．等边三角形是中心对称图形
B．对角线相等的四边形是平行四边形
C．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等
D．圆的切线垂直于过切点的直径
【答案】D
【分析】本题考查了命题与定理的知识．利用中心对称图形、平行四边形的判定、切线的性质及三角形的内心的定义分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、等边三角形不是中心对称图形，原说法错误，是假命题，不符合题意；
B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，原说法错误，是假命题，不符合题意；
C、三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，原说法错误，是假命题，不符合题意；
D、圆的切线垂直于过切点的直径，故正确，是真命题，符合题意．
故选：D．
8．如图，无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为30°，底部C的俯角为60°，无人机与旗杆的水平距离AD为6m，则旗杆BC的高为（）
A．3+B．12m C．83m D．6+
9．《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，在中国古代数学史上有着重要地位．其中有一个“酒分醇醨”问题：务中听得语吟吟，亩道醇醨酒二盆．醇酒一升醉三客，醨酒三升醉一人．共通饮了一斗七，一十九客醉醺醺．欲问高明能算士，几何醨酒几多醇？其大意为：有好酒和薄酒分别装在瓶中，好酒1升醉了3位客人，薄酒3升醉了1位客人，现在好酒和薄酒一共饮了17升，醉了19位客人，试问好酒、薄酒各有多少升？若设好酒有x升，薄酒有y升，根据题意列方程组
为（ ）
【详解】解：根据好酒1升醉了3位客人，薄酒3升醉了1位客人，现在好酒和薄酒一共饮了17升，醉了19位客人，列出方程组得：x +y =17
3x +1
3y =19
故选：A ．
10．如图，将△ABC 绕点A 顺时针旋转一定的角度得到△AB ′C ′，此时点B 恰在边AC 上，若AB =2，AC =5，则B ′C 的长为（ ）
A ．2
B ．
3C ．4D ．5
【答案】B
【分析】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．由旋转的性质可得AB =AB ′=2，即可求解．
【详解】解：∵将△ABC 绕点A 顺时针旋转一定的角度得到△AB ′C ′，∴AB =AB ′=2，
∴B ′C =AC−AB′=5−2=3．故选：B ．
二、填空题
11．分解因式：3x 2−3y 2= ．
【答案】3(x+y)(x−y)
【分析】先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可得解．
【详解】解：3x2−3y2=3(x2−y2)=3(x+y)(x−y)，
故答案为：3(x+y)(x−y)．
【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先要提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
12．在一个不透明的空袋子里，放入分别标有数字1，2，3，5的四个小球（除数字外其他完全相间），从中随机摸出2个小球，摸到的2个小球的数字之和恰为偶数的概率是．
13．已知关于x的一元二次方程(m−1)x2−4x+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是．
【答案】m<5且m≠1
【分析】
由一元二次方程根的情况，根据根的判别式可得到关于m的不等式，则可求得m的取值范围．
【详解】
解：根据题意得：Δ=b2−4ac=16−4（m−1）=20−4m>0，且m−1≠0，
解得：m<5且m≠1．
故答案为：m<5且m≠1．
【点睛】
本题主要考查根的判别式，掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．14．如图，已知正方形ABCD的面积为4，它的两个顶点B，D是反比例函数y=k
(k>0,x>0)
x
的图象上两点，若点D的坐标是(a,b)，则a−b的值为．
故答案为：−2．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，正方形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，边AC的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，BF⊥AC
于点F，连接AD交BF于点G，若BC=6，GF
BG =1
8
，则DE的长为．
三、解答题
16．计算：|12−4|+6tan．
【答案】−5
【分析】
本题考查特殊角的锐角三角函数值、负整数指数幂、实数的混合运算，掌握相关运算法则，即可
解题．
【详解】解：|12−4|+6tan
=4−23+6×
3
3
−9
=4−23+23−9
=−5．
17．先化简再求值x+÷x2−4x+4
x−1
，再从1，2，3中选取一个适当的数代入求值．
18．为了解落实《陕西省大中小学劳动教育实践基地建设指导意见》的实施情况，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们平均每周劳动时间t（单位：h），按劳动时间分为五组：A 组“t<3”，B组“3≤t<5”，C组“5≤t<7”，D组“7≤t<9”，E组“t≥9”，将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图.
根据以上信息，解答下列问题：
(1)这次抽样调查的样本容量是_______，B组所在扇形的圆心角的大小是_______，将条形统计图
补充完整；
(2)这次抽样调查中平均每周劳动时间的中位数落在_______组：
(3)该校共有2000名学生，请你估计该校学生平均每周劳动时间不少于7h的学生人数.
【答案】(1)100，108°，统计图见解析
(2)B
(3)300
【分析】
（1）根据D组的人数除以占比得出样本的容量，根据B组的人数除以总人数乘以360°得出B组所在扇形的圆心角的大小，进而根据总人数求得C组的人数，补全统计图即可求解;
（2）根据中位数的定义即可求解；
（3）根据样本估计总体，用2000乘以不少于7h的学生人数的占比即可求解．
【详解】（1）解：这次抽样调查的样本容量是10÷10%=100，
（2）解；∵25+30=55，
中位数为第50个与第51个数的平均数，
∴中位数落在B组，
故答案为：B．
19．如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，C是AB延长线上一点，过点B作BE⊥CD交CD于E，交⊙O于F，∠EBC=2∠DAC．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若cos∠ABF=3
，⊙O的半径为5，求BC的长．
5
【详解】（1）解：连接OD，
∵OA =OD ，
∴∠DAO =∠ADO ，
∴∠DOC =∠DAO +∠ADO =2∠DAO ，
∵∠EBC =2∠DAC ，
∴∠DOC =∠EBC ，
∴BE∥OD ，
∵BE ⊥CD ，
∴OD ⊥CD ，
∴CD 是⊙O 的切线，
（2）解：由（1）得BE∥OD ，
∴∠DOC =∠FBA ，
∵OD ⊥CD ，
∴cos ∠DOC =cos ∠ABF =35，
∴OD OC =35，即：5OC =35，解得：OC =
253，∴BC =OC−OB =
253−5=103，故答案为：BC =103
．20．某商店准备购进甲、乙两款篮球进行销售，若一个甲款篮球的进价比一个乙款篮球的进价多30元．
(1)若商店用6000元购进甲款篮球的数量是用2400元购进乙款篮球的数量的2倍．求每个甲款篮球，每个乙款篮球的进价分别为多少元？
(2)若商店购进乙款篮球的数量比购进甲款篮球的数量的2倍少10个，且乙款篮球的数量不高于甲款篮球的数量；商店销售甲款篮球每个获利30元，商店销售乙款篮球每个获利为20元，购进
甲款篮球的数量为多少时，商店获利最大？
21．某排球运动员在原点O处训练发球，MN为球网，AB为球场护栏，且MN，AB均与地面垂直，球场的边界为点K，排球（看作点）从点O的正上方点P(0,2)处发出，排球经过的路径是抛物线L的一部分，其最高点为G，落地点为点H，以点O为原点，点O，M，H，K，A所在的同一直
线为x轴建立平面直角坐标系，相应点的坐标如图所示，点N的坐标为(9,2.4)（单位：米，图中所有的点均在同一平面内）．
(1)求抛物线L的函数表达式；
(2)通过计算判断发出后的排球能否越过球网？是否会出界？
(3)由于运动员作出调整改变了发球点P的位置，使得排球在点K落地后立刻弹起，又形成了一条与L形状相同的抛物线L′，且最大高度为1m．若排球沿L′下落时（包含最高点）能砸到球场护栏AB，直接写出m的最大值与最小值的差．
【详解】（1）
∵排球经过的路径是抛物线L的一部分，其最高点为G(6,3)，
（2）
22．（1）【问题探究】如图1，正方形ABCD中，点F、G分别在边BC、CD上，且AF⊥BG于点P，求证：AF=BG；
（2）【知识迁移】如图2，矩形ABCD中，AB=4,BC=8，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、AD上，且EG⊥FH于点P，若EG⋅HF=48，求HF的长；
（3）【拓展应用】如图3，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=6，点E在直线AB上，BE=4，AF⊥DE交直线BC于点F，请直接写出线段FC的长．
【详解】
1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠C=90°，AB=BC，
∴∠ABP+∠CBG=90°，
∵AF⊥BG，
∴∠APB=90°，
∴∠BAF+∠ABP=90°，
∴∠BAF=∠CBG，
∴△ABF≌△BCG(ASA)，
∴AF=BG．
（2）作EM⊥DC于点M，交FH于点J，作HN⊥BC于点N，交EM于点I，则∠EMC=∠EMG=∠HNB=∠HNF=90°，如图，
∵四边形ABCD是矩形，AB=4,BC=8，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∵∠B=∠C=∠EMC=90°，
∴四边形EBCM是矩形，
∴EM=BC=8,EM∥BC，
∴∠HIJ=∠HNF=90°，
∵∠A=∠B=∠HNB=90°，
则∠N=∠AMD=∠AMC=90°，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴AD=CD=AB=6，∠ADC=∠ABC=60°∴∠DAN=∠ADC=60°，∠EAM=∠MAN
∴四边形AMDN是矩形，∠ADN=90°−∠DAN
∵AF⊥DE，AH⊥BC，EG⊥BC，
∴∠AHB=∠AHC=∠AID=∠BGE=90°，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴AD∥BC，AD=AB=BC=6，
∴∠J=∠BGE=90°,∠DAH=∠AHB=90°,∠EAJ ∴∠JEA=90°−∠EAJ=30°,∠BAH=90°−∠ABC
【点睛】
本题考查了正方形的性质，矩形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，菱形的性质和判定，勾股定理，含30°的直角三角形的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握同角的余角相等，十字模型，正确的作出辅助线．
试题21。