4-1概率论

X
8 0.5
9 0.3
10 0.2
2
求该运动员在一次射击中平均击中的环数。
分析：设该运动员共射击了n次，每次平均击 中的环数
8 0.5n 9 0.3n 10 0.2 n x n 8 0.5 9 0.3 10 0.2
x为X的可能取值xi的加权平均，权重为P{X xi }
20
9 EX EX1 EX 2 EX n 10[1 ] 8.78 10
20
本题的解法是求数学期望的一种常用的方法。
13
例：一批产品共有N件，其中有M件次品。从该批产 品中抽取n件，以X表示抽到次品的件数，求EX。
解：将X分解成简单随机变量之和，引入
定义：设离散型随机变量X 的分布率为
P{X xk } pk ,
k 1
k 1, 2,
k 1
若级数 xk pk ，绝对收敛，则称级数 xk pk 的和 为随机变量X 的数学期望，记为EX。
3
EX xk pk
k 1

注意： xk pk 绝对收敛，是为了保证 xk pk 的和与其 k 1
k 1


各项的次序无关。否则，称X 的期望不存在。
将pk f ( x),
换成

k 1

dx, 就得连续型的期望：


若X的密度为f ( x), 则当


xf ( x)dx绝对收敛时，
EX


xf ( x)dx
数学期望也简称期望或均值。
4
例：求（0－1）分布，泊松分布的期望。

2x
0

e
2 x /
dx

2
7
二、随机变量函数的期望
Y 定理：设Ｙ是随机变量X的函数： g ( X )( g是连续函数）
⑴X是离散型，分布率为 P{X xi } pi , i 1, 2,
若 g ( xk ) pk 绝对收敛，则有
k 1
EY Eg ( X ) g ( xk ) pk
k 1

k 1
(k 1)!
思考：设P{ X k} P{ X k}
1 , k 1, 2, 2k (k 1)
X 的期望情况如何？
答案：EX 不存在。
5
例：设 X ~ U (a, b) 求EX。 解：
EX

xf ( x)dx
b
a
x ab dx ba 2
1, 抽到的第i件产品是次品 Xi 0，抽到的第i件产品不是次品
i 1, 2,, n
X X1 X 2 X n
M M P{ X i 1} , EX i , i 1, 2, , n N N
M EX EX i n N i 1
14
n
N min( X1, X 2 )
1 e2 x / , x 0 Fmin ( x) 1 [1 F ( x)]2 其它 0,
2 2 x / , x0 e f min ( x) 0, 其它
E(N )


xf min ( x)dx
1 1
0 0

xy (2 x y )dxdy
1 2 1 2 y y dy 0 3 2 6
1
EX





5 f ( x, y )dxdy x(2 x y )dxdy 0 0 12
1 1பைடு நூலகம்
10
三、数学期望的性质
1.
2. 3.
0 设 X ~ 1 p 1 p
则EX 0 (1 p) 1 p p
k e
k! , k 0,1, 2,
e e
若X ~ ( ), 即P{ X k}
EX k
k 0
k e
k!
e
0, 第i站没人下车 Xi 1，第i站有人下车
则有
i 1, 2,, n
X X1 X 2 X n
20 20
9 9 P{X i 0} , P{X i 1} 1 , i 1, 2,, n 10 10
9 EX i 1 , i 1, 2,, n 10
k 1

) ⑵X是连续型，概率密度为 f ( x，若 g ( x) f ( x)dx

绝对收敛，则有
EY Eg ( X ) g ( x) f ( x)dx

8
该定理使我们计算EＹ时，不必算Ｙ的分布，而是 直接用X 的分布。
上述定理可推广到两个或两个以上随机变量的函数 的情况。
第四章 随机变量的数字特征 第一次课
•数学期望
1
分布函数完整地描述了随机变量的概率特性。 而只反映随机变量某些方面特征的参数，称为随 机变量的数字特征。常见的数字特征有：期望、 方差、协方差、相关系数。期望是最基本的数字 特征。
一、数学期望的概念 引例：设随机变量X为某射击运动员击中的环 数，X的分布率为
EZ Eg ( X , Y ) g ( xi , y j ) pij
j 1 i 1
EZ Eg ( X , Y )





g ( x, y ) f ( x, y )dxdy
特别地，当（X，Ｙ）的密度为 f ( x, y) 时，有
EX



EC C
E (CX ) C ( EX )
E ( X Y ) EX EY
E( X1 X 2 X n ) EX1 EX 2 EX n
4.若X、Ｙ是相互独立的随机变量，则有
E ( XY ) EX EY
用期望的定义，很容易证明这些性质。
11
利用性质3，可以将复杂的随机变量拆成简单随 机变量之和，再求期望。
例：有两个相互独立工作的电子装置，它们的寿 命Xk（k=1,2)服从同一指数分布，其密度为
x 1 e , x0 f ( x) 0, 其它
0
若将这两个装置串联组成整机，求整机N 的期望。
6
解： X k (k 1, 2)的分布函数为
1 e x / , x 0 F ( x) 其它 0,

xf ( x, y)dxdy,
EY





yf ( x, y )dxdy
9
例：设（X，Ｙ）的联合概率密度为
2 x y, 0≤x≤1,0≤y≤1 f ( x, y) 其它 0,
求E(XＹ)；EX。
解：
E ( XY )





xyf ( x, y )dxdy
例：一民航送客车载有20位旅客自机场开出，旅客 有10个车站可以下车。如到达一个车站没有旅客下 车就不停车。以X表示停车的次数，求EX.(设每位 旅客在各车站下车是等可能的，并设各旅客是否下 车相互独立）。 分析：X是离散型随机变量，求其分布率很麻烦， 想办法将X拆成简单随机变量之和。
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解：引入随机变量