【数学】辽宁省大连市2018届高三第一次模拟数学理试题含解析

辽宁省大连市2018届高三第一次模拟
数学理试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意得：，
∴
故选：C
2. 若复数为纯虚数，则实数的值为（）
A. 1
B. 0
C.
D. -1
【答案】D
【解析】设
，得到：+
∴，且
解得：
故选：D
3. 中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图，当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如3266用算筹表示就是，则8771用算筹可表示为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意各位数码的筹式需要纵横相间，
个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，
则8771 用算筹可表示为，
故选：C．
4. 如图所示程序框图是为了求出满足的最小正偶数，那么空白框中及最后输出的值分别是（）
A. 和6
B. 和6
C. 和8
D. 和8
【答案】D
【解析】空白框中n依次加2可保证其为偶数，排除A，C
时，，时，
所以D选项满足要求．
故选：D．
5. 函数的部分图象大致为（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由函数是偶函数，排除A，C，
当，.排除B
故选：D.
点睛：识图常用的方法
(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；
(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；
(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．
6. 某几何体的三视图如图所示（单位：），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：）是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可知该几何体为正三棱柱去掉一个小三棱锥，.
故选：B.
7. 6本不同的书在书架上摆成一排，要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有（）种.
A. 24
B. 36
C. 48
D. 60
【答案】A
【解析】第一步：甲、乙两本书必须摆放在两端，有种排法；
第二步：丙、丁两本书必须相邻视为整体与其它两本共三本，有种排法；
∴
故选：A.
8. 的内角的对边分别为，若，，则面积的最大值是（）
A. 1
B.
C. 2
D. 4
【答案】B
【解析】由题意知，由余弦定理，，故，有，故..................................
故选：B
9. 已知边长为2的等边三角形，为的中点，以为折痕进行翻折，使为直角，则过四点的球的表面积为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】折后的图形可放到一个长方体中，其体对角线长为，故其外接球的半径为，其表面积为.
故选：D.
点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法
(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．
(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，
PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．
10. 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则的值可以为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】将函数的图象向右平移个单位得到函数
∴，∴
得到：.当k=1时，
故选：C.
11. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，若上存在一点满足，且的面积为3，则该双曲线的离心率为（）
A. B. C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】由双曲线可知，从而.
故选：B.
12. 若直线和曲线的图象交于，，
三点时，曲线在点、点处的切线总是平行的，则过点可作曲线的（）条切线.
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
【答案】C
【解析】直线过定点
由题意可知：定点是曲线的对称中心，
，解得，所以曲线，
f′（x）=，设切点M（x0，y0），
则M纵坐标y0=，又f′（x0）=，
∴切线的方程为：
又直线过定点
，
得﹣-2=0，
，
即
解得：
故可做两条切线
故选：C
点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点
及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：
．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 设实数，满足约束条件则的最大值为__________．
【答案】
【解析】作出可行域，如图：
由可行域可确定目标函数在处取最大值
故的最大值为14
故答案为：14
点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
14. 已知半径为的圆周上有一定点，在圆周上等可能地任意取一点与点连接，则所得弦长介于与之间的概率为__________．
【答案】
【解析】在圆上其他位置任取一点B，设圆半径为R，
其中满足条件AB弦长介于与之间的弧长为•2πR，
则AB弦的长度大于等于半径长度的概率P==；
故答案为：．
15. 已知抛物线，过点任作一条直线和抛物线交于、两点，设点，连接
，并延长，分别和抛物线交于点和，则直线过定点__________．
【答案】
【解析】设方程为：，代入抛物线得：
设A，，则
同理：B，，
又AB过定点，∴共线，∴
∴，即
∴，又，∴
直线：，利用点在抛物线上化简得：
∴
∴直线过定点
故答案为：
16. 已知腰长为2的等腰直角中，为斜边的中点，点为该平面内一动点，若，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】
如图建立平面直角坐标系，,
∴
，
当sin时，得到最小值为
故答案为：
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 设数列的前项和为，且，在正项等比数列中，，.
求和的通项公式；
设，求数列的前项和.
【答案】（1），（2）
【解析】试题分析：（1）由求出的通项公式，由等比数列的基本公式得到的通项公式；（2）利用错位相减法求出数列的前项和.
试题解析：
解：，
当时，，
，，
.
又数列为等比数列，，
，
又
，
.
由得：
设数列的前项和为
当时，
，
，
，
，
，
.
当时，，
又当时，，
综上，.
点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“S n”与“qS n”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n－qS n”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
18. 大连市某企业为确定下一年投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：千元）对年销售量（单位：）和年利润（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量
数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
表中，.
根据散点图判断，与哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
根据的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；
已知这种产品的年利润与、的关系为.根据的结果回答下列问题：
年宣传费时，年销售量及年利润的预报值是多少？
年宣传费为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估
计分别为：
，.
【答案】（1）（2）（3）年销售量，年利润.年宣传费为46.24千元时，年利润预报值最大.
【解析】试题分析：（1）由散点图可以判断适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型；（2）利用公式计算，从而得到关于的回归方程；（3）由知，当时，年销售量的预报值为，年利润的预报值为；根据的结果知，年利润的预报值，求二次函数的最值即可.
试题解析：
解：由散点图可以判断适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型.
令，先建立关于的线性回归方程
，
，
所以关于的线性回归方程为，
所以关于的线性回归方程为.
由知，当时，年销售量的预报值为，
年利润的预报值为.
根据的结果知，年利润的预报值
，
当，即时，年利润的预报值最大，
故年宣传费为46.24千元时，年利润预报值最大.
19. 在如图所示的几何体中，四边形是正方形，平面，分别是线段，
的中点，.
求证：平面；
求到平面的距离.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】（1）取中点，连接，易得四边形为平行四边形，从而
所以∥平面；（2）平面，且四边形是正方形，两两垂直，以为原点，，，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，代入公式得到所成锐二面角的余弦值.
解：方法一：
取中点，连接，
分别是中点, ，
为中点，为正方形，，
,四边形为平行四边形，
平面，平面，
平面.
方法二：
取中点，连接，.
是中点，是中点，，
又是中点，是中点，，
，，
又，平面，平面，平面，平面，平面
平面.
又平面，平面.
方法三：
取中点，连接，，
在正方形中，是中点，是中点
又是中点，是中点，，
又，
，
，
平面//平面.
平面
平面.
方法四：
平面,且四边形是正方形，两两垂直，以为原点，，，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则
，
则设平面法向量为，
则, 即, 取，
，
所以，又平面，∥平面.
平面,且四边形是正方形，两两垂直，以为原点，，，
所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则
设平面法向量为，
，
则, 即，
取,
则设平面法向量为，
则, 即, 取，
.
平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
（若第一问用方法四，则第二问部分步骤可省略）
点睛：本题主要考查线面垂直的判定定理以及用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
20. 在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，点在椭圆上.
求椭圆的方程；
已知与为平面内的两个定点，过点的直线与椭圆交于两点，求四边形面积的最大值.
【答案】（1）（2）6
【解析】试题分析：（1）由椭圆定义得到动圆圆心的轨迹的方程；（2）设的方程为，联立可得，通过根与系数的关系表示弦长进而得到四边形面积的表达式，利用换元法及均值不等式求最值即可.
试题解析：
解：由可得，，又因为，所以.
所以椭圆方程为，又因为在椭圆上，所以.
所以，所以，故椭圆方程为.
方法一：设的方程为，联立，
消去得，设点，
有
，所以令，
有，由
函数，
故函数，在上单调递增，
故，故
当且仅当即时等号成立，
四边形面积的最大值为.
方法二：设的方程为，联立，
消去得，设点，
有
有，
点到直线的距离为，
点到直线的距离为，
从而四边形的面积
令，
有，
函数，
故函数，在上单调递增，
有，故当且仅当即时等号成立，四边形面积的最大值为.
方法三：①当的斜率不存在时，
此时，四边形的面积为.
②当的斜率存在时，设为：，
则
，
，
四边形的面积
，
令则
,
，
，
综上，四边形面积的最大值为.
21. 已知函数.
若在上是单调递增函数，求的取值范围；
设，当时，若，且，求证：.
【答案】（1）（2）见解析
【解析】试题分析：（1）在上是单调递增函数等价于在上，恒成立，即：，构造新函数求最值即可；
（2）要证，即证，记，易证在上递增，转证。

试题解析：
解：在上是单调递增函数,
在上，恒成立，即：
设
，
当时，在上为增函数，
当时，在上为减函数，
，即 .
方法一：因为，
所以，
所以在上为增函数，
因为，即，
同号，
所以不妨设,设，…8分
所以，
因为，，
所以，所以在上为增函数，
所以，所以，
所以，
所以，即.
方法二：
，
设，则，
在上递增且
令，
设, ，
，
，在上递增，
，
，
令
即：
又，
即：
在上递增
，即：得证.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. 选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
，.
求与交点的极坐标；
设点在上，，求动点的极坐标方程.
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（1）联立，得到，从而求出与的交点的极坐标；（2）
设，且，由已知利用相关点法可得动点的极坐标方程.
试题解析：
（1）联立，，，，交点坐标.
（2）设，且，由已知
得，点的极坐标方程为.
23. 选修4-5：不等式选讲
已知函数，.
当时，求不等式的解集；
，都有恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（1）对x分类讨论，得到三个不等式组，分别解之，最后求并集即可；（2）对于，都有恒成立，转化为求函数的最值问题即可.
试题解析：
解：当m=-2时，,
当解得当恒成立
当解得
此不等式的解集为.
当时，当时，不等式化为.
由
当且仅当即时等号成立.
，.
当时，不等式化为.
，令，.
，
在上是增函数.
当时，取到最大值为.
.
综上.
2018年高考考前猜题卷
理科数学 第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设复数z 满足i
i
i z 2|2|++=
，则=||z （ ） A ．3 B ．10 C ．9 D ．10
2．已知全集R U =，集合}012|{2
≥--=x x x M ，}1|{x y x N -==，则=
N M C U )(（ ）
A ．}1|{≤x x
B ．}121|{≤<-x x
C ．}12
1
|{<<-x x D ．}2
1
1|{<<-x x
3．已知蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点的距离都大于2的区域内的概率P 为（ ） A ．631π
-
B ．43
C ．6
3π D ．41
4．已知双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x ，过双曲线左焦点1F 且斜率为1的直线与其右支交
于点M ，且以1MF 为直径的圆过右焦点2F ，则双曲线的离心率是（ ） A ．12+ B ．2 C ．3 D ．13+
5．一个算法的程序框图如图所示，如果输出y 的值是1，那么输入x 的值是（ ）
A ．2-或2
B ．2-或2
C ．2-或2
D ．2-或2 6．已知函数)2
||,0)(3
sin()(π
ϕωπ
ω<
>+
=x x f 的图象中相邻两条对称轴之间的距离为
2
π
，将函数)(x f y =的图象向左平移3
π
个单位后，得到的图象关于y 轴对称，那么)(x f y =的图象（ ） A ．关于点)0,12
(
π
对称 B ．关于点)0,12
(π
-
对称
C ．关于直线12
π
=
x 对称 D ．关于直线12
π
-
=x 对称
7．如下图，网格纸上小正方形的边长为1，图中实线画的是某几何体的三视图，则该几何体最长的棱的长度为（ ）
A.
3
2 B.
43
C. 2
D. 4
11 8．已知等差数列}{n a 的第6项是6
)2(x
x -展开式中的常数项，则=+102a a （ ）
A ．160
B ．160-
C ．350
D ．320- 9．已知函数)0(2
1
2)(<-
=x x f x
与)(log )(2a x x g +=的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ）
A ．)2,(--∞
B ．)2,(-∞
C ．)22,(--∞
D ．)2
2,
22(- 10．已知正四棱台1111D C B A ABCD -的上、下底面边长分别为22,2，高为2，则其外接球的表面积为（ ）
A ．π16
B ．π20
C ．π65
D ．
π4
65 11．平行四边形ABCD 中，2,3==AD AB ，0
120=∠BAD ，P 是平行四边形ABCD 内一点，且1=AP ，若y x +=，则y x 23+的最大值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
12．设n n n C B A ∆的三边长分别为n n n c b a ,,，n n n C B A ∆的面积为,3,2,1,=n S n …，若
n n a a a c b ==++1111,2，2
,211n
n n n n n a b c a c b +=+=
++，则（ ） A ．}{n S 为递减数列 B ．}{n S 为递增数列
C ．}{12-n S 为递增数列，}{2n S 为递减数列
D ．}{12-n S 为递减数列，}{2n S 为递增数列
二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．函数x a x a x x f )3()1()(24-+--=的导函数)('x f 是奇函数，则实数=a .
14．已知y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+≤-≥+-002043y x x y x （R y x ∈,），则22y x +的最大值为 .
15．已知F 为抛物线x y C 4:2=的焦点，过点F 作两条互相垂直的直线21,l l ，直线1l 与C 交于B A ,两点，直线2l 与C 交于E D ,两点，则||||DE AB +的最小值为 . 16．在锐角三角形ABC 中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且满足ac a b =-2
2
，则
B
A tan 1
tan 1-的取值范围为 . 三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足)(221R m m S n n ∈+=+. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）若数列}{n b 满足)
(log )12(1
12+⋅+=
n n n a a n b ，求数列}{n b 的前n 项和n T .
18．小张举办了一次抽奖活动.顾客花费3元钱可获得一次抽奖机会.每次抽奖时，顾客从装有1个黑球，3个红球和6个白球（除颜色外其他都相同）的不透明的袋子中依次不放回地摸出3个球，根据摸出的球的颜色情况进行兑奖.顾客中一等奖，二等奖，三等奖，四等奖时分别可领取的奖金为a 元，10元，5元，1元.若经营者小张将顾客摸出的3个球的颜色分成以下五种情况：1:A 个黑球2个红球；3:B 个红球；:c 恰有1个白球；:D 恰有2个白球；3:E 个白球，且小张计划将五种情况按发生的机会从小到大的顺序分别对应中一等奖，中二等奖，中三等奖，中四等奖，不中奖.
（1）通过计算写出中一至四等奖分别对应的情况（写出字母即可）； （2）已知顾客摸出的第一个球是红球，求他获得二等奖的概率；
（3）设顾客抽一次奖小张获利X 元，求变量X 的分布列；若小张不打算在活动中亏本，求a 的最大值.
19．如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，0160=∠CBB ，1AC AB =.
（1）证明：平面⊥C AB 1平面C C BB 11；
（2）若C B AB 1⊥，直线AB 与平面C C BB 11所成的角为0
30，求直线1AB 与平面C B A 11所成角的正弦值.
20．如图，圆),(),0,2(),0,2(,4:0022y x D B A y x O -=+为圆O 上任意一点，过D 作圆O 的切线，分别交直线2=x 和2-=x 于F E ,两点，连接BE AF ,，相交于点G ，若点G 的轨迹为曲线C .
（1）记直线)0(:≠+=m m x y l 与曲线C 有两个不同的交点Q P ,，与直线2=x 交于点S ，与直线1-=y 交于点T ，求OPQ ∆的面积与OST ∆的面积的比值λ的最大值及取得最大值时m 的值.
（注：2
2
2
r y x =+在点),(00y x D 处的切线方程为200r yy xx =+）
21．已知函数x a x g x x f ln )(,2
1)(2
==
. （1）若曲线)()(x g x f y -=在2=x 处的切线与直线073=-+y x 垂直，求实数a 的值；
（2）设)()()(x g x f x h +=，若对任意两个不等的正数21,x x ，2)
()(2
121>--x x x h x h 恒成立，求
实数a 的取值范围；
（3）若在],1[e 上存在一点0x ，使得)(')()
('1
)('0000x g x g x f x f -<+成立，求实数a 的取值
范围.
请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. 22．选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎪⎩
⎪
⎨⎧==21t a y t x （其中t 为参数，0>a ）
，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l ：0sin cos =+-b θρθρ与2C ：θρcos 4-=相交于B A ,两点，且0
90=∠AOB . （1）求b 的值；
（2）直线l 与曲线1C 相交于N M ,两点，证明：||||22N C M C ⋅（2C 为圆心）为定值. 23．选修4-5：不等式选讲
已知函数|1||42|)(++-=x x x f . （1）解不等式9)(≤x f ；
（2）若不等式a x x f +<2)(的解集为A ，}03|{2
<-=x x x B ，且满足A B ⊆，求实数a
的取值范围.
参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．3 14．8 15．16 16．)3
3
2,
1( 三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
17．解：（1）由)(221R m m S n n ∈+=+得⎪⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧
+=+=+=28242
23
21
m S m S m S ，)(R m ∈，
从而有4,2233122=-==-=S S a S S a ， 所以等比数列}{n a 的公比22
3
==
a a q ，首项11=a ，因此数列}{n a 的通项公式为)(2*1N n a n n ∈=-.
（2）由（1）可得12)22(log )(log 1212-=⋅=⋅-+n a a n n n n ， ∴)1
21
1
21(
2
1)
12)(12(1+-
-⨯=
-+=
n n n n b n ∴)1
211215131311(2121+--++-+-⨯=
+++=n n b b b T n n 1
2+=
n n
. 18．解：（1）4011203)(31023===C C A P ；1201
1)(310==C B P ，10312036)(3
10
2416===C C C C P ，
2112060)(3101426===C C C D P ，6
112020)(31036===C C E P ∵)()()()()(D P C P E P A P B P <<<<，
∴中一至四等奖分别对应的情况是C E A B ,,,.
（2）记事件F 为顾客摸出的第一个球是红球，事件G 为顾客获得二等奖，则
18
1)|(2912==C C F G P . （3）X 的取值为3,2,2,7,3---a ，则分布列为
由题意得，若要不亏本，则032
12103)2(61)7(401)3(1201≥⨯+⨯+-⨯+-⨯+-⨯a ， 解得194≤a ，即a 的最大值为194.
19．解：（1）证明：连接1BC ，交C B 1于O ，连接AO ，
∵侧面C C BB 11为菱形，∴11BC C B ⊥
∵为1BC 的中点，∴1BC AO ⊥
又O AO C B = 1，∴⊥1BC 平面C AB 1
又⊂1BC 平面C C BB 11，∴平面⊥C AB 1平面C C BB 11.
（2）由B BO AB C B BO C B AB =⊥⊥ ,,11，得⊥C B 1平面ABO
又⊂AO 平面ABO ，∴C B AO 1⊥，从而1,,OB OB OA 两两互相垂直，
以O 为坐标原点，的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -
∵直线AB 与平面C C BB 11所成角为030，∴0
30=∠ABO
设1=AO ，则3=BO ，∵0160=∠CBB ，∴1CBB ∆是边长为2的等边三角形 ∴)0,1,0(),0,1,0(),0,0,3(),1,0,0(1-C B B A ，
则)1,0,3(),0,2,0(),1,1,0(1111-==-=-=AB B A C B AB 设),,(z y x =是平面C B A 11的法向量， 则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00111C B n B A n 即⎩
⎨⎧=-=-0203y z x ，令1=x ，则)3,0,1(=n 设直线1AB 与平面C B A 11所成的角为θ， 则4
6||||||,cos |sin ==><=n AB θ. 20．解：（1）易知过点),(00y x D 的切线方程为400=+y y x x ，其中42020=+y x ， 则)24,2(),2,2(0
000y x F y x E +--， ∴411641641642442420
2002000
0021-=-=--=-⋅-+=y y y x y x y x k k 设),(y x G ，则14
41224122
21=+⇒-=+⋅-⇒-=y x x y x y k k （0≠y ） 故曲线C 的方程为14
22
=+y x （0≠y ） （2）联立⎩⎨⎧=++=4422y x m
x y 消去y ，得044852
2=-++m mx x ， 设),(),,(2211y x Q y x P ，则5
44,5822121-=-=+m x x m x x ， 由0)44(206422>--=∆m m 得55<<-m 且2,0±≠≠m m ∴222212
21255245444)58(24)(11||m m m x x x x PQ -=-⨯--⨯=-++=， 易得)1,1(),2,2(---+m T m S ， ∴)3(2)3()3(||22m m m ST +=+++=
， ∴22)
3(554||||m m ST PQ S S OST OPQ
+-===∆∆λ，
令)53,53(,3+-∈=+t t m 且5,3,1≠t ， 则45)431(454465
4222+--⨯=-+-=t t t t λ， 当431
=t ，即43=t 时，λ取得最大值5
52，此时35-=m . 21．解：（1）x a x y x a x x g x f y -=-=
-=',ln 21)()(2 由题意得32
2=-a ，解得2-=a （2）)()()(x g x f x h +=x a x ln 2
12+= 对任意两个不等的正数21,x x ，2)()(2
121>--x x x h x h 恒成立， 令21x x >，则)(2)()(2121x x x h x h ->-，即2211)(2)(x x h x x h ->-恒成立 则问题等价于x x a x x F 2ln 2
1)(2-+=在),0(+∞上为增函数 2)('-+
=x
a x x F ，则问题转化为0)('≥x F 在),0(+∞上恒成立，即22x x a -≥在),0(+∞上恒成立， 所以1)2(max 2=-≥x x a ，即实数a 的取值范围是),1[+∞.
（3）不等式)(')()('1)('0000x g x g x f x f -<+等价于0
000ln 1x a x a x x -<+， 整理得01ln 0
00<++-x a x a x ，构造函数x a x a x x m ++-=1ln )(， 由题意知，在],1[e 上存在一点0x ，使得0)(0<x m
2
222)1)(1()1(11)('x x a x x a ax x x a x a x m +--=+--=+--= 因为0>x ，所以01>+x ，令0)('=x m ，得a x +=1
①当11≤+a ，即0≤a 时，)(x m 在],1[e 上单调递增，只需02)1(<+=a m ，解得2-<a ； ②当e a ≤+<11，即10-≤<e a 时，)(x m 在a x +=1处取得最小值.
令01)1ln(1)1(<++-+=+a a a a m ，即)1l n (11+<++a a a ，可得
)1ln(11+<++a a a （*） 令1+=a t ，则e t ≤<1，不等式（*）可化为t t t ln 1
1<-+ 因为e t ≤<1，所以不等式左端大于1，右端小于或等于1，所以不等式不能成立. ③当e a >+1，即1->e a 时，)(x m 在],1[e 上单调递减，只需01)(<++
-=e a a e e m 解得1
12-+>e e a . 综上所述，实数a 的取值范围是),1
1()2,(2+∞-+--∞e e . 22．解：（1）由题意可得直线l 和圆2C 的直角坐标方程分别为0=+-b y x ，4)2(22=++y x
∵0
90=∠AOB ，∴直线l 过圆2C 的圆心)0,2(2-C ，∴2=b .
（2）证明：曲线1C 的普通方程为)0(2>=a ay x ，直线l 的参数方程为 ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+-=t y t x 22222（t 为参数），代入曲线1C 的方程得04)2222(212=++-t a t ， 042
12>+=∆a a 恒成立，设N M ,两点对应的参数分别为21,t t ，则821=t t ， ∴8||||22=N C M C ，
∴||||22N C M C 为定值8.
23．解：（1）由9)(≤x f 可得9|1||42|≤++-x x ，
即⎩⎨⎧≤->9332x x 或⎩⎨⎧≤-≤≤-9521x x 或⎩
⎨⎧≤+--<9331x x 解得42≤<x 或21≤≤-x 或12-<≤-x ，
故不等式9)(≤x f 的解集为]4,2[-.
（2）易知)3,0(=B ，由题意可得a x x x +<++-2|1||42|在)3,0(上恒成立 ⇒1|42|-+<-a x x 在)3,0(上恒成立1421-+<-<+-⇒a x x a x 在)3,0(上恒成立
3->⇒x a 且53+->x a 在)3,0(上恒成立⎩⎨⎧≥≥⇒5
0a a 5≥⇒a .。