4、2平面与立体相交

二、平面与平面立体相交
平面截切平面立体， 平面截切平面立体，在平面立体表面留有的 交线，称为平面立体的截交线。 交线，称为平面立体的截交线。
㈠ 平面体截交线的性质： 平面体截交线的性质： ⒈平面体截交线是截平面与平面 平面体截交线是截平面与平面 立体表面的公有线 公有线。 立体表面的公有线。 平面体截交线的形状是由直线 ⒉平面体截交线的形状是由直线 段围成的平面多边形 平面多边形。 段围成的平面多边形。 平面多边形的顶点是平面立体 ⒊平面多边形的顶点是平面立体 棱线与截平面的交点 交点， 棱线与截平面的交点，边是截 平面与平面立体各表面的交线 交线。 平面与平面立体各表面的交线。
㈡ 回转体截交线的求解方法与步骤
1、空间分析 分析回转体的几何形状， 分析回转体的几何形状，以及截平面与回转体轴线 的相对位置，确定回转体截交线的形状。 的相对位置，确定回转体截交线的形状。 2、投影分析 分析截平面、回转体表面与投影面的相对位置，确 分析截平面、回转体表面与投影面的相对位置， 定截交线的投影特性。 定截交线的投影特性。 3、投影作图 若截交线为非圆曲线或非直线段时， 若截交线为非圆曲线或非直线段时，运用回转体表 特殊点， 面取点取线方法，先作出截交线上的特殊点 面取点取线方法，先作出截交线上的特殊点，在需要的 地方补充一般点 然后用光滑曲线连接各点。 一般点， 地方补充一般点，然后用光滑曲线连接各点。 4、整理回转体轮廓线 检查回转体被截切后的轮廓素线。 检查回转体被截切后的轮廓素线。
3、投影作图 4、整理图线
采用的是哪种解题方法？ 采用的是哪种解题方法？
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【例题4】完成四棱台上部开槽后的水平投影和侧面投影 例题4
1′2′ 5′6′ 2〞6〞 1〞5〞
空间分析
水平截平面与 四棱台四各棱面相 交于四条边； 交，交于四条边； 两个侧平截平 面均与四棱台三个 面相交， 面相交，分别交于 三条边； 三条边； 截平面之间有 二条交线； 二条交线；
2、圆锥体的截交线 依据截平面与圆锥体轴线的相对位置不同，截交 依据截平面与圆锥体轴线的相对位置不同， 线的形状有以下五种： 线的形状有以下五种：
【例题1】完成圆锥截切后的水平投影和侧面投影。 例题1 完成圆锥截切后的水平投影和侧面投影。 1、空间与投影分析
截交线为椭圆，截 截交线为椭圆， 交线的正面投影落在截 平面的积聚性投影上， 平面的积聚性投影上， 要作出椭圆的水平投影 和侧面投影。 和侧面投影。
分析截平面与投影面 的相对位置。 的相对位置。
——截交线的正面投影落
3
4
在水平截平面和侧平截平 面的积聚性投影上； 面的积聚性投影上；
——截交线的侧面投影落
1
2
在圆柱面和水平截平面的 积聚性投影上； 积聚性投影上；
3、投影作图
1、空间分析
4、整理轮廓素线 分析截平面与立体的相对位置 ——水平面截切，截交线为矩形； 水平面截切，截交线为矩形； ——侧平面截切为圆弧。 侧平面截切为圆弧。 浏览三维动画
4.2 平面与立体相交
一、Байду номын сангаас 交 线 概 述 二、平面与平面体相交 三、平面与回转体相交
一、截交线概述
平面截切立体，在立体表面留有的交线成为截交 平面截切立体，在立体表面留有的交线成为截交 依据立体表面性质不同，立体的截交线可分为： 线。依据立体表面性质不同，立体的截交线可分为：
平面体截交线和 平面体截交线和曲面体截交线
2、投影作图
运用锥面取点方法 作出抛物线顶点和底端 点、转向轮廓线上点和 一般点， 一般点，用曲线光滑连 接各点。 接各点。
3、整理轮廓线
【例题3】完成圆锥截切后的水平投影和侧面投影。 例题3 完成圆锥截切后的水平投影和侧面投影。 1、空间与投影分析
截交线为圆弧和两 根直线段， 根直线段，两截平面间 有一条交线。 有一条交线。截交线的 正面投影落在截平面的 正面积聚性投影上， 正面积聚性投影上，求 作截交线的水平投影和 侧面投影。 侧面投影。
3) 整理立体的棱线投影
【例题1】完成五棱锥被截切后的水平投影和侧面投影。 例题1 完成五棱锥被截切后的水平投影和侧面投影。 1、空间分析
——截交线为平面五边形
3′ 4′ 2′ 1′ 5′ 3〞 2〞 4〞 5〞 1〞
2、投影分析
截平面为正垂面，截 截平面为正垂面， 交线的正面投影落在截平 面的积聚性投影上，要求 面的积聚性投影上， 的是截交线的水平投影和 侧面投影。 侧面投影。
9′10′ 4′3′ 7′8′
10〞 10〞 3〞8〞
9〞 4〞7〞
10 3 2 8 6
1 4 9
5 7
整理棱线投影
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二、平面与回转体相交
平面截切回转体，在回转体表面留有的交线， 平面截切回转体，在回转体表面留有的交线， 称为回转体的截交线。 称为回转体的截交线。 ㈠ 回转体截交线性质
1、截交线是截平面与回转 体表面的公有线。截交线上 体表面的公有线。 的点为截平面与回转体表面 的公有点。 的公有点。 2、截交线的形状通常为平 面曲线，特殊情况下可含有 面曲线， 直线段组成。截交线的形状 直线段组成。 取决于回转体表面性质和截 平面与回转体的相对位置。 平面与回转体的相对位置。
2、投影作图
截交线圆弧的水平 投影反映圆弧的实形。 投影反映圆弧的实形。
3、整理轮廓线
【例题4】完成圆锥截穿孔后的水平投影和侧面投影。 例题4 完成圆锥截穿孔后的水平投影和侧面投影。 1、空间与投影分析
截交线为圆弧、椭 截交线为圆弧、 圆弧和直线段组成的空 间曲线， 间曲线，三条截平面间 的交线。 的交线。截交线的正面 投影落在截平面的正面 积聚性投影上。 积聚性投影上。
2、投影作图
分别求解各个截平 面的截交线， 面的截交线，截交线上 的点可运用锥面取点方 法获得。 法获得。
3、整理轮廓线
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3、圆球的截交线 平面截切圆球，其截交线的形状为圆。 平面截切圆球，其截交线的形状为圆。
实形； 当截平面平行于投影面时，则截交线圆的投影反映实形； 当截平面平行于投影面时，则截交线圆的投影反映实形 当截平面垂直于投影面时，则截交线圆的投影为直线段 直线段； 当截平面垂直于投影面时，则截交线圆的投影为直线段； 椭圆。 当截平面倾斜于投影面时，则截交线圆的投影为椭圆 当截平面倾斜于投影面时，则截交线圆的投影为椭圆。
【例题2】作出圆柱体被截切后的水平投影。 例题2 作出圆柱体被截切后的水平投影。
b′ b〞
c′d′
d〞
c〞
a′
d
a〞
a
b
c
1、空间分析 分析截平面与 圆柱体轴线的相对 位置， 位置，确定截交线 的形状——椭圆 椭圆。 的形状——椭圆。 2、投影分析 截交线的正面 投影和侧面投影分 别落在截平面和圆 柱面的积聚性投影 上，要求的是截交 线水平投影。 线水平投影。 3、投影作图 4、整理轮廓线
2 1 5
3 4
3、投影作图 4、整理图线
采用的是哪种解题方法？ 采用的是哪种解题方法？
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【例题3】求正四棱锥被截切后的水平和侧面投影。 例题3 求正四棱锥被截切后的水平和侧面投影。 1、空间分析
6′ 5′7′ 4′8′ 1′ 3′9′ 2′10′ 10 7 6 1 5 2 9 8 4 3 10″ 9″ 7″ 6″ 5″ 4″ 2″ 1″ 3″
【例题1】完成圆球截切后的水平投影和侧面投影。 例题1 完成圆球截切后的水平投影和侧面投影。
【例题2】完成半球被截切后的水平投影和侧面投影。 例题2 完成半球被截切后的水平投影和侧面投影。
4、组合回转体的截交线
组合回转体通常由多个基本回转体组合形成， 组合回转体通常由多个基本回转体组合形成， 求解这类形体截交线时， 求解这类形体截交线时，应首先分析组合回转体是 由哪些基本回转体组成，以及它们的连接关系，然 由哪些基本回转体组成，以及它们的连接关系， 后分别求出这些基本回转体的截交线， 后分别求出这些基本回转体的截交线，并依次将其 连接。 连接。
【例题5】 完成圆柱体截切后的侧面投影。 例题5 完成圆柱体截切后的侧面投影。
【例题6】 完成圆柱体穿三棱柱孔后的侧面投影。 例题6 完成圆柱体穿三棱柱孔后的侧面投影。
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【例题7】 求组合立体截切后的水平投影和侧面投影。 例题7 求组合立体截切后的水平投影和侧面投影。
45° 45°
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立体表面交线的形状？ 立体表面交线的形状？ ——空间10边形 10边形 空间10
8″
2、投影分析
截交线的正面投影落 在截平面的积聚性投影上； 在截平面的积聚性投影上；
——水平截平面截切的交
线平行于四棱锥对应底边； 线平行于四棱锥对应底边；
——侧平截平面截切的交
线平行于四棱锥前后棱线。 线平行于四棱锥前后棱线。
㈡ 平面立体截交线的求法 1、线面交点法
将平面立体上参与相交 交点， 的各条棱线与截平面求交点 的各条棱线与截平面求交点， 并将位于立体同一棱面上的 两交点依次连接起来， 两交点依次连接起来，即为 所求平面立体的截交线。 所求平面立体的截交线。
S
4
P 3 D
1 A
2
C
2、面面交线法
B
将平面立体上参与相交的各棱面与截平面求交线 将平面立体上参与相交的各棱面与截平面求交线， 交线， 这些交线即围成所求的平面立体截交线。 这些交线即围成所求的平面立体截交线。
【例题1】完成组合回转体截切后的侧面投影。 例题1 完成组合回转体截切后的侧面投影。
空间与投影分析 组合回转体 是由同轴半球、 是由同轴半球、 圆柱体和圆台组 合而成。 合而成。截平面 为侧平面， 为侧平面，组合 回转体截交线由 半园、直线段和 半园、 双曲线组成， 双曲线组成，其 正面投影落在截 平面的正面积聚 性投影上， 性投影上，