《2014数学高考》2014_高三数学(人教A版)总复习同步练习1-1集合.

1-1集合【基础巩固强化】
1.已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝1
2
x，x∈A}，则A∩B＝( )
A．{1,2,3,4} B．{1,2} C．{1,3} D．{2,4} [答案] B
[解析]B＝{y|y＝1
2
x，x∈A}＝{
1
2
，1，
3
2
，2}，
∴A∩B＝{1,2}．
2．(2011·成都五校联考)设集合M＝{y|y＝2x，x<0}，N＝{x|y＝1－x
x
}，则
“x∈M”是“x∈N”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析]M＝(0,1)，N＝(0,1]，∴“x∈M”是“x∈N”的充分不必要条件，故选A.
3．(文)(2011·湖北文，1)已知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,3,5,7}，B＝{2,4,5}，则∁U(A∪B)＝( )
A．{6,8} B．{5,7}
C．{4,6,7} D．{1,3,5,6,8}
[答案] A
[解析]∵A＝{1,3,5,7}，B＝{2,4,5}，∴A∪B＝{1,2,3,4,5,7}，又U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，
∴∁U(A∪B)＝{6,8}．
(理)(2011·北京宣武模拟)设集合A＝{1,2,3,4}，B＝{3,4,5}，全集U＝A∪B，则集合∁U(A∩B)的元素个数为( )
A．1个B．2个
C．3个D．4个
[答案] C
[解析]U＝A∪B＝{1,2,3,4,5}，A∩B＝{3,4}，
∴∁U(A∩B)＝{1,2,5}，故选C.
4．(2013·北大附中河南分校高三年级第四次月考)已知集合P＝{正奇数}和集合M＝{x|x＝a⊕b，a∈P，b∈P}，若M⊆P，则M中的运算“⊕”是( ) A．加法B．除法
C．乘法D．减法
[答案] C
[解析]因为M⊆P，所以只有奇数乘以奇数还是奇数，所以集合M中的运算⊕为通常的乘法运算，选C.
5．(文)设集合A＝{a，b}，则满足A∪B＝{a，b，c，d}的所有集合B的个数是( ) A．1 B．4 C．8 D．16
[答案] B
[解析]集合B中必有元素c、d，由含元素a、b的个数知，这样的集合B 共有22＝4个．
(理)已知集合P∩Q＝{a，b}，P∪Q＝{a、b、c，d}，则符合条件的不同集合P，Q有( )
A．3对B．4对C．5对D．6对
[答案] B
[解析]根据交集、并集的概念知，集合P，Q中都必有元素a，b，然后逐一选择元素c，d与元素a，b构成不同的集合P，Q.
集合P，Q分别为：①{a，b}和{a、b、c，d}；②{a、b、c}和{a，b，d}；
③{a，b，d}和{a、b、c}；④{a、b、c，d}和{a，b}，共4对．故选B.
[点评] P＝{a，b}，Q＝{a、b、c，d}与P＝{a、b、c，d}，Q＝{a，b}是不同的．
6．集合A＝{－1,0,1}，B＝{y|y＝cos x，x∈A}，则A∩B＝( ) A．{0} B．{1}
C．{0,1} D．{－1,0,1}
[答案] B
[解析]∵cos0＝1，cos(－1)＝cos1，∴B＝{1，cos1}，
∴A ∩B ＝{1}．
7．已知集合M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝2}，N ＝{(x ，y )|x －y ＝4}，则集合M ∩N ＝________.
[答案] {(3，－1)}
[解析] 由于M ∩N 中元素既属于M 又属于N ，故其满足⎩⎨
⎧
x ＋y ＝2，
x －y ＝4，解之
得x ＝3，y ＝－1.
8．(文)已知集合A ＝{x |x ≤1}，B ＝{x |x ≥a }，且A ∪B ＝R ，则实数a 的取值范围是________．
[答案] a ≤1
[解析] 因为A ∪B ＝R ，画数轴可知，实数a 必须在点1上或在1的左边，所以a ≤1.
(理)已知集合A ＝{x |log 1
2x ≥3}，B ＝{x |x ≥a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围
是(－∞，c ]，其中的c ＝______.
[答案] 0
[解析] A ＝{x |0<x ≤1
8}，∵A ⊆B ，
∴a ≤0，∴c ＝0.
9．(2011·台州模拟)设集合A ＝{5，log 2(a ＋3)}，集合B ＝{a ，b }，若A ∩B ＝{2}，则A ∪B ＝________.
[答案] {1,2,5}
[解析] ∵A ∩B ＝{2}，∴log 2(a ＋3)＝2， ∴a ＝1，∴b ＝2，∴B ＝{1,2}， ∴A ∪B ＝{1,2,5}．
10．(文)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |log 2(3－x )≤2}，集合B ＝{x |5
x ＋2
≥1}．
(1)求A 、B ；
(2)求(∁U A )∩B .
[解析] (1)由已知得log 2(3－x )≤log 24， ∴⎩⎨
⎧
3－x ≤4，3－x >0，
解得－1≤x <3，
∴A ＝{x |－1≤x <3}． 由
5
x ＋2
≥1，得(x ＋2)(x －3)≤0，且x ＋2≠0， 解得－2<x ≤3. ∴B ＝{x |－2<x ≤3}．
(2)由(1)可得∁U A ＝{x |x <－1或x ≥3}． 故(∁U A )∩B ＝{x |－2<x <－1或x ＝3}．
(理)设集合A ＝{(x ，y )|y ＝2x －1，x ∈N *}，B ＝{(x ，y )|y ＝ax 2－ax ＋a ，x ∈N *}，问是否存在非零整数a ，使A ∩B ≠∅？若存在，请求出a 的值；若不存在，说明理由．
[解析] 假设A ∩B ≠∅，则方程组 ⎩⎨⎧
y ＝2x －1，y ＝ax 2
－ax ＋a ，
有正整数解，消去y 得，
ax 2－(a ＋2)x ＋a ＋1＝0(*)
由Δ≥0，有(a ＋2)2－4a (a ＋1)≥0， 解得－233≤a ≤23
3.
因a 为非零整数，∴a ＝±1，
当a ＝－1时，代入(*)，解得x ＝0或x ＝－1， 而x ∈N *.故a ≠－1.
当a ＝1时，代入(*)，解得x ＝1或x ＝2，符合题意． 故存在a ＝1，使得A ∩B ≠∅， 此时A ∩B ＝{(1,1)，(2,3)}. 【能力拓展提升】
11.(文)定义集合A 、B 的一种运算：A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，其中x 1∈A ，x 2∈B }，若A ＝{1,2,3}，B ＝{1,2}，则A *B 中所有元素之和为( )
A．9 B．14 C．18 D．21
[答案] B
[解析]A*B中所有元素为2,3,4,5.∴和为14.
(理)设A，B是非空集合，定义A×B＝{x|x∈(A∪B)且x∉(A∩B)}，已知A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y≥0}，则A×B等于( )
A．(2，＋∞) B．[0,1]∪[2，＋∞)
C．[0,1)∪(2，＋∞) D．[0,1]∪(2，＋∞)
[答案] A
[解析]由题意知，A∪B＝[0，＋∞)，A∩B＝[0,2]．
所以A×B＝(2，＋∞)．
12．(文)(2011·北京理，1)已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}，若P∪M＝P，则a 的取值范围是( )
A．(－∞，－1] B．[1，＋∞)
C．[－1,1] D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
[答案] C
[解析]P＝{x|－1≤x≤1}，∵P∪M＝P，∴M⊆P，即a∈{x|－1≤x≤1}，∴－1≤a≤1，故选C.
(理)已知集合S＝{3，a}，T＝{x|x2－3x<0，x∈Z}，S∩T＝{1}，P＝S∪T，那么集合P的子集个数是( )
A．32 B．16
C．8 D．4
[答案] C
[解析]因为T＝{x|0<x<3，x∈Z}＝{1,2}，又S∩T＝{1}，所以a＝1，∴S＝{1,3}，则P＝S∪T＝{1,2,3}，
∴集合P的子集有23＝8个，故选C.
13．(文)集合A＝{x|log2(x＋1
2
)<0}，函数y＝x－2的单调递增区间是集合B，则
在集合A中任取一个元素x，x∈B的概率是________．
[答案]1 2
[解析]A＝{x|log2(x＋1
2
)<0}＝{x|－
1
2
<x<
1
2
}，因为函数y＝x－2的单调递增
区间是集合B，所以B＝{x|x<0}，所以A∩B＝(－1
2
，0)．
在集合A中任取一个元素x，若x∈B，则x∈(A∩B)，故所求概率P＝
01 2
1 21
2
＝
1
2
.
(理)在集合M＝{0，1
2
，1,2,3}的所有非空子集中任取一个集合，该集合恰满足
条件“对∀x∈A，有1
x
∈A”的概率是________．
[答案]
3 31
[解析]集合M的非空子集有25－1＝31个，而满足条件“对∀x∈A，有1 x ∈
A”的集合A中的元素为1或1
2
、2，且
1
2
、2要同时出现，故这样的集合有3个：
{1}，{1
2
，2}，{1，
1
2
，2}．因此，所求的概率为
3
31
.
14．已知集合A＝{x|(x2＋ax＋b)(x－1)＝0}，集合B满足条件：A∩B＝{1,2}，A∩(∁
U
B)＝{3}，U＝R，则a＋b等于________．
[答案] 1
[解析]依题意得1∈A,2∈A,3∈A，因此，2和3是方程x2＋ax＋b＝0的两个根，
所以2＋3＝－a,2×3＝b，
∴a＝－5，b＝6.
∴a＋b＝1.
15．已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0，a∈R}．
(1)若A是空集，求a的取值范围；
(2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来；
(3)若A中至多有一个元素，求a的取值范围．
[解析] 集合A 是方程ax 2－3x ＋2＝0在实数范围内的解组成的集合． (1)A 是空集，即方程ax 2
－3x ＋2＝0无解，得⎩
⎨
⎧
a ≠0，
3
2
－8a <0，
∴
a >9
8
，
即实数a 的取值范围是(9
8
，＋∞)．
(2)当a ＝0时，方程只有一解，方程的解为x ＝2
3；
当a ≠0时，应有Δ＝0，
∴a ＝98，此时方程有两个相等的实数根，A 中只有一个元素43，
∴当a ＝0或a ＝98时，A 中只有一个元素，分别是23和43
.
(3)A 中至多有一个元素，包括A 是空集和A 中只有一个元素两种情况，根据(1)，(2)的结果，得a ＝0或a ≥98，即a 的取值范围是{a |a ＝0或a ≥9
8}．
16．已知集合A ＝{x ||x －a |＝4}，集合B ＝{1,2，b }．
(1)问是否存在实数a ，使得对于任意实数b 都有A 是B 的子集？若存在，求a ；若不存在，说明理由；
(2)若A 是B 的子集成立，求出对应的实数对(a ，b )?
[解析] (1)A ＝{4＋a ，a －4}，要使得对任意实数b ，都有A ⊆B ，只能是
A ⊆{1,2}，但A 中两元素之差(4＋a )－(a －4)＝8≠2－1，故这样的实数a 不存在．
(2)若A 是B 的子集成立， 则必有|b －1|＝8或|b －2|＝8， 解得b ＝－7,9，－6,10. 当b ＝－7时，a ＝－3； 当b ＝9时，a ＝5； 当b ＝－6时，a ＝－2； 当b ＝10时，a ＝6.
即对应的实数对(a，b)为(－3，－7)，(5,9)，(－2，－6)，(6,10)．
【思维拓展】
1．全集U＝{1,2,3,4}，集合M＝{1,2}，N＝{2,4}，则下面结论错误的是( ) A．M∩N＝{2} B．∁U M＝{3,4}
C．M∪N＝{1,2,4} D．M∩∁U N＝{1,2,3}
[答案] D
[解析]∵∁U N＝{1,3}，∴M∩∁U N＝{1}，故D错，由交、并、补运算的定义知A、B、C均正确．
2．(2011·马鞍山期末)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合M＝{2,3,5}，N＝{4,5}，则∁U(M∪N)等于( )
A．{1,3,5} B．{2,4,6}
C．{1,5} D．{1,6}
[答案] D
[解析]由已知得M∪N＝{2,3,4,5}，则∁U(M∪N)＝{1,6}．故选D. 3．(2011·山东文，1)设集合M＝{x|(x＋3)(x－2)<0}，N＝{x|1≤x≤3}，则M ∩N＝( )
A．[1,2) B．[1,2]
C．(2,3] D．[2,3]
[答案] A
[解析]由(x＋3)(x－2)<0知－3<x<2，所以M∩N＝[1,2)，解答此题要特别注意区间端点能否取到．
4．已知集合M＝{y|y＝x2}，N＝{y|y2＝x，x≥0}，则M∩N＝( )
A．{(0,0)，(1,1)} B．{0,1}
C．[0，＋∞) D．[0,1]
[答案] C
[解析]M＝{y|y≥0}，N＝R，则M∩N＝[0，＋∞)，选C.
[点评] 本题极易出现的错误是：误以为M∩N中的元素是两抛物线y2＝x 与y＝x2的交点，错选A.避免此类错误的关键是，先看集合M，N的代表元素是什么，以确定集合M∩N中元素的属性．若代表元素为(x，y)，则应选A. 5．设集合A＝{x|y＝3x－x2}，B＝{y|y＝2x，x>1}，则A∩B为( )
A．[0,3] B．(2,3]
C．[3，＋∞) D．[1,3]
[答案] B
[解析]由3x－x2≥0得，0≤x≤3，
∴A＝[0,3]，
∵x>1，∴y＝2x>2，∴B＝(2，＋∞)，
∴A∩B＝(2,3]．
6．已知集合M＝{(x，y)|y－1＝k(x－1)，x，y∈R}，集合N＝{(x，y)|x2＋y2－2y＝0，x，y∈R}，那么M∩N中( )
A．有两个元素
B．有一个元素
C．一个元素也没有
D．必含无数个元素
[答案] A
[解析]y－1＝k(x－1)表示经过定点(1,1)，斜率为k的直线，不包括通过(1,1)与x轴垂直的直线即x＝1.
x2＋y2－2y＝0，可化为x2＋(y－1)2＝1，表示圆心在(0,1)半径等于1的圆，又(1,1)是圆上的点，
∴直线与圆有两个交点，故选A.
7．已知集合A＝{0,2，a2}，B＝{1，a}，若A∪B＝{0,1,2,4}，则实数a的值为________．
[答案] 2
[解析]∵A∪B＝{0,1,2,4}，∴a＝4或a2＝4，若a＝4，则a2＝16，但16∉A∪B，
∴a2＝4，∴a＝±2，又－2∉A∪B，∴a＝2.
考虑到教师工作繁忙，备课批改作业辅导学生占用大量时间，为节省教师找题选题的时间，也考虑到不同地区用题难易的差别，本书教师用书中提供了部分备选题，供教师在备课时，根据自己所教班的实际情况选用．
【2013年高考试题选】
1 ．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））已知全集{}1,2,3,4U
=,
集合{}=12A ，,{}=23B ，,则()=U A
B ð( )
A.{}134，，
B.{}34，
C. {}3
D. {}4
【答案】D
2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已知集合
{}{}4|0log 1,|2A x x B x x A B =<<=≤=，则
A.()01，
B.(]02，
C.()1,2
D.(]12， 【答案】D
3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知集合A = {x ∈R |
|x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂= (A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [2,2] (D) [-2,1]
【答案】D
4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））设S,T,是R 的两
个非空子集,如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足:(){()|};()i T f x x S ii =∈ 对任意12,,x x S ∈当12x x <时,恒有12()()f x f x <,那么称这两个集合“保序同构”.以下集合对不是“保序同构”的是( )
A.*
,A N B N == B.{|13},{|8010}A x x B x x x =-≤≤==-<≤或 C.{|01},A x x B R =<<= D.,A Z B Q ==
【答案】D 5 ．（2013
年高考上海卷（理））设常数
a R
∈,集合
{|(1)()0},A x x
x a B x x a =--≥=≥-,若A B R ⋃=,则a 的取值范围为( )
(A) (,2)-∞
(B) (,2]-∞ (C) (2,)+∞
(D) [2,)+∞
【答案】B.
6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知集合A ={0,1,2},
则集合B ={}
,x y x A y A -∈∈中元素的个数是 (A) 1 (B) 3 (C)5 (D)9 【答案】C
7 ．（2013年高考陕西卷（理））设全集为R , 函数()f x M , 则C M R 为
(A) [-1,1] (B) (-1,1)
(C) ,1][1,)(∞-⋃+∞- (D) ,1)(1,)(∞-⋃+∞-
8 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））设集合{}{}{}1,2,3,4,5,|,,,A B M x x a b a A b B ====+∈∈则M 中的元素个数为 (A)3 (B)4 (C)5 (D)6
【答案】B
9 ．（2013年高考四川卷（理））设集合{|20}A x x =+=,集合2{|40}B x x =-=,则A B =( )
(A){2}- (B){2} (C){2,2}- (D)∅
【答案】A
10．（2013年高考新课标1（理））已知集合{}{2|20,|A x x x B x x =->=<,则 ( )
A.A∩B=∅
B.A∪B=R
C.B ⊆A
D.A ⊆B 【答案】B.
11．（2013年高考湖北卷（理））已知全集为R ,集合
112x A x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭
,{}2|680B x x x =-+≤,则R A C B =( )
A.{}|0x x ≤
B.{}|24x x ≤≤
C. {}|024x x x ≤<>或
D.{}|024x x x <≤≥或
【答案】C
12．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））已知集合{}{}2|(1)4,,1,0,1,2,3M x x x R N =-<∈=-,则=N M
(A){}2,1,0 (B){}2,1,0,1- (C){}3,2,0,1- (D){}3,2,1,0
【答案】A
13．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯W ORD 版））设集合{}2|20,M x x x x =+=∈R ,{}2|20,N x x x x =-=∈R ,则M
N =( ) A . {}0 B.{}0,2 C.{}2,0- D.{}2,0,2-
【答案】D
14．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））设集合}043|{},2|{2≤-+=->=x x x T x x S ,则=⋃T S C R )(
A.(2,1]-
B. ]4,(--∞
C. ]1,(-∞
D.),1[+∞
15．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））设整数4n ≥,集合{}1,2,3,,X n =.令集合
(){}
,,|,,,,,S x y z x y z X x y z y z x z x y =∈<<<<<<且三条件恰有一个成立,若(),,x y z 和(),,z w x 都在S 中,则下列选项正确的是( )
A . (),,y z w S ∈,(),,x y w S ∉ B.(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈
C.(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈
D.(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈
(一)必做题(9~13题)
【答案】B
16．（2013年高考北京卷（理））已知集合A={-1,0,1},B={x |-1≤ x <1},则A∩B= ( )
A.{0}
B.{-1,0}
C.{0,1}
D.{-1,0,1}
【答案】B
17．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）设全集U R =,下列集合运算结果为R 的是
( )
(A)u Z N ð (B)u N N ð (C)()u u ∅痧 (D){0}u ð
【答案】A
二、填空题
18．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））集合}1,0,1{-共有___________个子集.
【答案】8。