2018_2019学年高二数学上学期返校考试题直升部word版本

安徽省郎溪中学2018-2019学年高二数学上学期返校考试题（直升
部）
（考试时间：120分钟 总分：150分）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 本大题共12小题，每小题5分，共60分.
1．已知集合A ＝{y |y ＝|x |－1，x ∈R}，B ＝{x |x ≥2}，则下列结论正确的是( )
A ．－3∈A
B ．3∉B
C ．A ∩B ＝B
D ．A ∪B ＝B
2．若sin(π－α)＝－2sin )2
(
απ
+，则sin α·cos α的值等于( )
A ．－25
B ．－15
C ．25或－25
D ．2
5
3．已知直线(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，那么k 的值为( )
A ．1或3
B ．1或5
C ．3或5
D ．1或2 4．数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2
＋3n (n ∈N *
)，若p －q ＝5，则a p －a q ＝( )
A ．10
B ．15
C ．－5
D ．20 5．函数1
1
ln
2)(-+=
x x x f 的零点所在的大致区间是( ) A ．)2,1( B ．)3,2( C ．)4,3( D ．)2,1(与)3,2(
6．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
4x ＋5y≥8，1≤x≤3，
0≤y≤2，
则z ＝3x ＋2y 的最小值为( )
A ．4
B ．235
C ．6
D ．31
5
7．如图，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是BC 1，CD 1的中点，则下列说法错误的是( )
A ．MN 与CC 1垂直
B ．MN 与A
C 垂直 C ．MN 与B
D 平行
D ．MN 与A 1B 1平行
8．若正数a ，b 满足a ＋b ＝2，则
1a ＋1＋4b ＋1
的最小值是( ) A ．1 B ．9
4
C ．9
D ．16
9．若圆(x －3)2
＋(y ＋5)2
＝r 2
上有且只有两个点到直线4x －3y ＝2的距离等于1，则半
径r 的取值范围是( )
A ．(4,6)
B ．[4,6]
C ．[4,6)
D ．(4,6]
10．为了得到函数f (x )＝2sin )6
2(π
-x 的图象，可将函数g (x )＝3sin 2x ＋cos 2x 的
图象( )
A ．向左平移π3
B ．向右平移π3
C ．向左平移π6
D ．向右平移π
6
11．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是正三角形，则几何体的外接球的
表面积为( )
A ．
38π B ．316π C ．348π D ．3
64π
12. 已知函数1)2sin()4()(2++--=x x x x x f 在]5,1[-上的最大值为M ，最小值m ，则
=+m M ( )
A ．0
B ．2
C ．4
D ．6
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卷上. 13．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(1，－2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |＝______． 14．不等式x 2
＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是______．
15．在等比数列}{a n 中，公比q ＝2，前99项的和S 99＝30，则a 3＋a 6＋a 9＋…＋
a 99＝______．
16．如图所示，在平面四边形ABCD 中，2,1==BC AB ，ACD ∆为正三角形，
则BCD ∆面积的最大值为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．(10分) 已知f (x )＝2x 2
＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(0,5)．
(Ⅰ)求f (x )的解析式；
(Ⅱ)若对于任意的x ∈[－1,1]，不等式f (x )＋t ≤2恒成立，求t 的取值范围．
18．(12分) 设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，(3,)m a b =，
(2sin ,1)n A =，且m n 与共线．
（Ⅰ）求B 的大小；
（Ⅱ）若ABC ∆的面积是6a c +=，求b ．
19．(12分) 已知圆C :(x －1)2
＋(y －2)2
＝2，点P 坐标为(2，－1)，过点P 作圆C 的切
线，切点为A ，B ．
(Ⅰ)求直线PA ，PB 的方程； (Ⅱ)求过P 点的圆的切线长； (Ⅲ)求直线AB 的方程．
20. (12分) 如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花园AMPN ，要求B 在
AM 上，D 在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知|AB |＝3米，|AD |＝2米．
(Ⅰ)要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则AN 的长应在什么范围内？ (Ⅱ)当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小？并求出最小面积．
21. (12分) 如图所示，在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BB 1＝BC ＝1，E 为D 1C 1的中点，
连接ED ，EC ，EB 和DB ． (Ⅰ)求证：平面EDB ⊥平面EBC ； (Ⅱ)求二面角E ­DB ­C 的正切值．
22.(12分) 已知数列{}n a 、{}n b 满足：11
4
a =，1n n a
b +=，12
1n n n b b a +=-． （Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）若2
2(12)(13)n n n n n n
a a c a a -=--，数列｛n c ｝的前n 项和为S n ，求证：143
<≤S n ．
参考答案
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 本大题共12小题，每小题5分，共60分.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卷上.
13. 8 2 14．(－∞，－4)∪(4，＋∞) 15．120
7 16. 13+
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本题满分10分）
解：(Ⅰ)因为f (x )＝2x 2
＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(0,5)，
所以2x 2
＋bx ＋c <0的解集是(0,5)， 所以0和5是方程2x 2
＋bx ＋c ＝0的两个根， 由根与系数的关系，知－b 2＝5，c
2＝0，
所以b ＝－10，c ＝0，所以f (x )＝2x 2
－10x .
(Ⅱ)对任意的x ∈[－1,1]，f (x )＋t ≤2恒成立等价于对任意的x ∈[－1,1]，2x 2
－10x ＋t －2≤0恒成立．
设g (x )＝2x 2
－10x ＋t －2，
则由二次函数的图象可知g (x )＝2x 2
－10x ＋t －2在区间[－1,1]上为减函数， 所以g (x )max ＝g (－1)＝10＋t ，所以10＋t ≤0，即t ≤－10，所以t 的取值范围为(－
∞，－10]．
18．（本题满分12分） 解:(Ⅰ) 由m n 与
2sin b A =，
2sin sin A B A =，
sin 0A ≠
sin 2B ∴=
，由ABC △为锐角三角形得π3
B =． (Ⅱ) 根据余弦定理，得222
2cos b a c ac B =+-2
2
2
()3a c ac a c ac =+-=+-
由1
sin 2
ABC S ac B ∆=
=得8ac =，又6a c +=
所以，b =
19．（本题满分12分）
解：(Ⅰ) 设过P 点圆的切线方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx ―y ―2k ―1＝0．
因为圆心(1，2)到直线的距离为2，
1
＋ 3 － － 2
k k ＝2， 解得k ＝7，或k ＝－1．
故所求的切线方程为7x ―y ―15＝0，或x ＋y －1＝0．
（Ⅱ）在Rt △PCA 中，因为|PC |＝222 － 1 －
＋ 1 － 2)()(＝10，|CA |＝2， 所以|PA |2＝|PC |2－|CA |2
＝8．所以过点P 的圆的切线长为22．
(Ⅲ)容易求出k PC ＝－3，所以k AB ＝3
1
．
如图，由CA 2
＝CD ·PC ，可求出CD ＝PC CA 2
＝10
2．
设直线AB 的方程为y ＝31
x ＋b ，即x －3y ＋3b ＝0．
由
102＝2
3 ＋ 1 3 ＋ 6 － 1 b 解得b ＝1或b ＝37(舍)．
所以直线AB 的方程为x －3y ＋3＝0．
(Ⅲ)也可以用联立圆方程与直线方程的方法求解．
20．（本题满分12分）
解：(Ⅰ) 设AN 的长为x 米(x ＞2)，∵
||||||||AM DC AN DN =，∴|AM |＝2
3-x x
∴AMPN S ＝|AN |•|AM |＝232-x x ，由AMPN S ＞32得2
32
-x x ＞32，
∵x ＞2，∴3x 2
－32x ＋64＞0，即(3x －8)(x －8)＞0
∴382<<x 或x ＞8，即AN 长的取值范围是),8()3
8
,2(∞+⋃
(第19题)
（Ⅱ）
122
12
)2(3212)2(12)2(32322+-+-=-+-+-=-=x x x x x x x y 2412212)2(32=+-⋅
-≥x x 当且仅当2
12
)2(3-=-x x ，即x ＝4时，y ＝232-x x 取得最小值．
即AMPN S 取得最小值24(平方米)．
21.（本题满分12分）
解：(Ⅰ) 证明：在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BB 1＝BC ＝1，E 为D 1C 1的中点．所以△DD 1E 为等腰直角三角形，∠D 1ED ＝45°. 同理∠C 1EC ＝45°.所以∠DEC ＝90°， 即DE ⊥EC .
在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，BC ⊥平面D 1DCC 1， 又DE ⊂平面D 1DCC 1， 所以BC ⊥DE .又EC ∩BC ＝C ， 所以DE ⊥平面EBC .
因为DE ⊂平面DEB ，所以平面DEB ⊥平面EBC .
(Ⅱ)如图所示，过E 在平面D 1DCC 1中作EO ⊥DC 于O .在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，因为平面ABCD ⊥平面D 1DCC 1，所以EO ⊥面ABCD .过O 在平面DBC 中作OF ⊥DB 于F ，连接
EF ，所以EF ⊥BD .∠EFO 为二面角E ­DB ­C 的平面角．利用平面几何知识可得OF ＝
1
5
，
又OE ＝1，所以tan ∠EFO ＝ 5. 22．（本题满分12分）
解：（Ⅰ）∵13
4
b =
；121n n n b b a +=-，1n n a b +=，∴12
1n n n b b a +=-1112n n a b ==+- ∴1111122n n n n b b b b +--=-=--，∴12111111n n n n b b b b +-==---- ∴
111111n n b b +-=---，∴111
(1)(1)41311
n n n n b b =+-⨯-=--+=---- ∴12133
n n n b b n n +-=-⇒=++
（Ⅱ）∵1
13n n a b n =-=+，∴2
2(12)(13)n n n n n n a a c a a -=--11112(2)(3)n n n n
a a a -=--
2(1)2n n n n +=+⋅=1112(1)2
n n
n n --⋅+⋅ ∴1211223
11111
12222323242n n S c c c =++⋅⋅⋅+=-+-+-
⨯⨯⨯⨯⨯+…… +1112(1)2n n n n --⋅+⋅=11311.(1)2224n
n -≥-=+⋅⨯ 12
)1(1
1<+-
=n
n n S ．。