2020版高考数学一轮复习第八章平面解析几何8_6双曲线课件理新人教A版

标准方程 性质
ax22－by22＝1 (a＞0，b＞0)
实虚轴
ay22－bx22＝1 (a＞0，b＞0) 线段 A1A2 叫做双曲线的实轴， 它的长|A1A2|＝ 2a ；线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴，它的 长|B1B2|＝ 2b ；a 叫做双 曲线的实半轴长，b 叫做双曲 线的虚半轴长
1．双曲线定义的四点辨析 (1)当 0<2a<|F1F2|时，动点的轨迹才是双曲线。 (2)当 2a＝0 时，动点的轨迹是线段 F1F2 的中垂线。 (3)当 2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是以 F1，F2 为端点的两条射线。 (4)当 2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在。 2．方程xm2－yn2＝1(mn>0)表示的曲线 (1)当 m>0，n>0 时，表示焦点在 x 轴上的双曲线。 (2)当 m<0，n<0 时，表示焦点在 y 轴上的双曲线。
解析 设要求的双曲线方程为ax22－by22＝1(a>0，b>0)，由椭圆x42＋y32＝1， 得焦点为(±1,0)，顶点为(±2,0)。所以双曲线的顶点为(±1，0)，焦点为(±2,0)。 所以 a＝1，c＝2，所以 b2＝c2－a2＝3，所以双曲线标准方程为 x2－y32＝1。
答案 x2－y32＝1
【变式训练】 (1)若实数 k 满足 0<k<9，则曲线2x52 －9－y2 k＝1 与曲线25x－2 k
－y92＝1 的(
)
A．离心率相等
B．虚半轴长相等
C．实半轴长相等 D．焦距相等
解析 (1)由 0<k<9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在 x 轴上，由 25＋9－k＝ 25－k＋9，得两双曲线的焦距相等。
条渐近线与直线 l：x＋ 3y＝0 垂直，所以双曲线 C 的一条渐近线为 y＝ 3
x。设双曲线的一个焦点为(0，c)，则其到直线 l 的距离为
| 3c| ＝ 12＋ 32
3c 2
＝3。所以 c＝2 3。由双曲线的一条渐近线为 y＝ 3x，可知ab＝ 3。因为 a2＋b2＝c2，所以 a2＝9，b2＝3。故双曲线的标准方程为y92－x32＝1。
解析 由|PF1|－|PF2|＝6<|F1F2|＝8，得 a＝3，又 c＝4，则 b2＝c2－a2 ＝7，所以所求点的轨迹是双曲线y92－x72＝1 的下支。
答案 双曲线y92－x72＝1 的下支
7．坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的 倾斜角为π3，则双曲线的离心率为________。
解析 若双曲线的焦点在 x 轴上，设双曲线的方程为ax22－by22＝1，则渐 近线的方程为 y＝±bax，由题意可得ba＝tanπ3＝ 3，b＝ 3a，可得 c＝2a，则 e＝ac＝2；若双曲线的焦点在 y 轴上，设双曲线的方程为ay22－bx22＝1，则渐近
线的方程为 y＝±abx，由题意可得ab＝tanπ3＝ 3，a＝ 3b，可得 c＝2 33a，则
答案 B
4．(2018·江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线xa22－by22＝1(a>0，
b>0) 的 右 焦 点
F(c,0) 到 一 条 渐 近 线 的 距 离 为
3 2
c
，
则
其
离
心
率
的
值
是
________。
解析
不妨设双曲线的一条渐近线方程为 y＝bax，所以
a|b2＋c| b2＝b＝
答案 (1)D
(2)已知焦点在 y 轴上的双曲线 C 的一条渐近线与直线 l：x＋ 3y＝0 垂
直，且 C 的一个焦点到 l 的距离为 3，则双曲线 C 的标准方程为( )
A．y92－x32＝1
B．x92－y32＝1
C．y42－x62＝1 D．x42－y62＝1
解析 (2)设双曲线的方程为ay22－bx22＝1(a>0，b>0)，因为双曲线 C 的一
答案 (1)A
(2)已知以原点为中心，实轴在 x 轴上的双曲线的一条渐近线方程为 y＝
34x，焦点到渐近线的距离为 6，则此双曲线的标准方程为( )
A．1x62 －y92＝1
B．x92－1y62 ＝1
C．6x42 －3y62 ＝1
D．3x62 －6y42 ＝1
解析 (2)因为双曲线的一条渐近线方程是 y＝34x，所以ba＝34。又因为 |3c| ＝6，所以 c＝10。因为 c2＝a2＋b2，所以 a2＝64，b2＝36。所以双曲线
25 方程为6x42 －3y62 ＝1。故选 C。
答案 (2)C
(3)若双曲线经过点(3， 2)，且渐近线方程是 y＝±13x，则双曲线的标准 方程是__________________。
解析 (3)设双曲线的方程是 y2－x92＝λ(λ≠0)。因为双曲线过点(3， 2)， 所以 λ＝2－99＝1。故双曲线的标准方程为 y2－x92＝1。
A．2 15a2
B． 15a2
C．30a2
D．15a2
解析 由双曲线的对称性，不妨设 A 在双曲线的右支上，由 e＝ac＝2， 得 c＝2a，所以△AF1F2 的周长为|AF1|＋|AF2|＋|F1F2|＝|AF1|＋|AF2|＋4a，又 △AF1F2 的周长为 10a，所以|AF1|＋|AF2|＝6a，又因为|AF1|－|AF2|＝2a，所以 |AF1| ＝ 4a ， |AF2| ＝ 2a ， 在 △ AF1F2 中 ， |F1F2|＝ 4a ， 所 以 cos ∠ F1AF2 ＝ |AF1|2＋ 2|A|AFF1|·2||A2－F2||F1F2|2＝4a22＋×42aa×2－2a4a2＝14。所以 sin∠F1AF2＝ 415，所以
(2)当 a＝c 时，M 点的轨迹是 两条射线。
(3)当 a＞c 时，M 点不存在。
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
ax22－by22＝1
(a＞0，b＞0)
图形
ay22－bx22＝1 (a＞0，b＞0)
标准方程
ax22－by22＝1 (a＞0，b＞0)
ay22－bx22＝1 (a＞0，b＞0)
S△AF1F2＝12|AF1|·|AF2|·sin∠F1AF2＝12×4a×2a× 415＝ 15a2。故选 B。 答案 B
双曲线定义的应用主要有两个考查方向：一是利用定义求双曲线的标 准方程；二是利用双曲线上点 P 与两焦点的距离的差的绝对值||PF1|－|PF2|| ＝2a(其中 0<2a<|F1F2|)与正弦定理、余弦定理结合，解决焦点三角形问题。
必考部分
第八章 平面解析几何
第六节 双曲线
微知识·小题练 微考点·大课堂
2019 考纲考题考情
微知识·小题练
教材回扣 基础自测
1．双曲线的概念 平面内到两定点 F1，F2 的距离之差的 绝对值 等于常数(大于零且小于 |F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫双曲线的 焦点 ，两焦点间的距离 叫 焦距 。 集合 P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a，|F1F2|＝2c，其中 a、c 为常数且 a＞0，c ＞0}。 (1)当 a＜c 时，M 点的轨迹是 双曲线 。
3 2
c，所以 b2＝c2－a2＝34c2，得 c＝2a，所以双曲线的离心率 e＝ac＝2。
答案 2
5．(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线 C：ax22－by22＝1(a>0，b>0)的一条渐近线
方程为 y＝ 25x，且与椭圆1x22 ＋y32＝1 有公共焦点，则 C 的方程为(
)
A．x82－1y02 ＝1
【变式训练】 (1)已知点 F1(－3,0)和 F2(3,0)，动点 P 到 F1，F2 的距离 之差为 4，则点 P 的轨迹方程为( )
A．x42－y52＝1(y>0) B．x42－y52＝1(x>0) C．y42－x52＝1(y>0) D．y42－x52＝1(x>0)
解析 (1)由题设知点 P 的轨迹方程是焦点在 x 轴上的双曲线的右支， 设其方程为ax22－by22＝1(x>0，a>0，b>0)，由题设知 c＝3，a＝2，b2＝9－4＝ 5，所以点 P 的轨迹方程为x42－y52＝1(x>0)。
二、走近高考
3．(2018·浙江高考)双曲线x32－y2＝1 的焦点坐标是(
)
A．(－ 2，0)，( 2，0) B．(－2,0)，(2,0)
C．(0，－ 2)，(0， 2) D．(0，－2)，(0,2)
解析 由题可知双曲线的焦点在 x 轴上，因为 c2＝a2＋b2＝3＋1＝4， 所以 c＝2，故焦点坐标为(－2,0)，(2,0)。故选 B。
范围 x≥a 或 x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a 或 y≥a
对称轴： 坐标轴 对称性 对称中心： 原点
对称轴： 坐标轴 对称中心： 原点
性
顶点坐标： 顶点
质
A1 (－a,0) ，A2 (a,0)
顶点坐标： A1 (0，－a) ，A2 (0，a)
渐近线
y＝±bax
y＝±abx
c
离心率
e＝ a ，e∈(1，＋∞)，其中 c＝ a2＋b2
答案 (3)y2－x92＝1
1．利用待定系数法求双曲线标准方程的关键是：设出双曲线方程的标 准形式，根据已知条件，列出关于参数 a，b，c 的方程并求出 a，b，c 的 值。
2．与双曲线ax22－by22＝1 有相同渐近线时可设所求双曲线方程为xa22－by22＝ λ(λ≠0)。
3．双曲线的焦点到渐近线的距离是 b。
e＝23 3。综上可得 e＝2 或 e＝23 3。 答案 2 或23 3
微考点·大课堂
考点例析 对点微练
考点一 双曲线的定义及应用
【例 1】 (2019·江西联考)已知双曲线 C：xa22－by22＝1(a>0，b>0)的离心
率为 2，左，右焦点分别为 F1，F2，点 A 在双曲线 C 上，若△AF1F2 的周长 为 10a，则△AF1F2 的面积为( )
答案 (1)B
(2)已知 F1，F2 为双曲线 C：x2－y2＝1 的左、右焦点，点 P 在 C 上，∠
F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于( )
A．2
B．4
C．6D．8Fra bibliotek解析 (2)由双曲线的方程得 a＝1，c＝ 2，由双曲线的定义得||PF1|－ |PF2|| ＝ 2 。 在 △ PF1F2 中 ， 由 余 弦 定 理 得 |F1F2|2 ＝ |PF1|2 ＋ |PF2|2 － 2|PF1|·|PF2|cos60°，即(2 2)2＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|＝(|PF1|－|PF2|)2＋ |PF1|·|PF2|＝22＋|PF1|·|PF2|，解得|PF1|·|PF2|＝4。
解析 设双曲线的焦点为 F1，F2，|PF1|＝4，则||PF1|－|PF2||＝2，故|PF2| ＝6 或 2，又双曲线上的点到它的焦点的距离的最小值为 c－a＝ 17－1>2， 故|PF2|＝6。
答案 6
2．(选修 2－1P61 练习 T3 改编)以椭圆x42＋y32＝1 的焦点为顶点，顶点为 焦点的双曲线方程为____________。
B．x42－y52＝1
C．x52－y42＝1
D．x42－y32＝1
解析 由 y＝ 25x，可得ba＝ 25。 ①由椭圆1x22 ＋y32＝1 的焦点为(3,0)， (－3,0)，可得 a2＋b2＝9。 ②由①②可得 a2＝4，b2＝5。所以 C 的方程为 x42－y52＝1。故选 B。
答案 B
三、走出误区 微提醒：①忽视双曲线定义的条件致误；②忽视双曲线焦点的位置致误。 6．平面内到点 F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之差等于 6 的点的轨迹是 ________。
3．方程的常见设法 (1)与双曲线ax22－yb22＝1 共渐近线的方程可设为ax22－yb22＝λ(λ≠0)。 (2)若渐近线的方程为 y＝±bax，则可设双曲线方程为ax22－by22＝λ(λ≠0)。
一、走进教材 1．(选修 2－1P61A 组 T1 改编)已知双曲线 x2－1y62 ＝1 上一点 P 到它的一个 焦点的距离等于 4，那么点 P 到另一个焦点的距离等于________。
答案 (2)B
考点二 双曲线的标准方程
【例 2】 (1)(2019·德州二中模拟)“0<n<2”是“方程n＋x2 1＋n－y2 3＝1 表示
双曲线”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析 (1)若方程n＋x2 1＋n－y2 3＝1 表示双曲线，则(n＋1)(n－3)<0，解得 －1<n<3，则 0<n<2 的范围小于－1<n<3，所以“0<n<2”是“方程n＋x2 1＋n－y2 3 ＝1 表示双曲线”的充分不必要条件。故选 A。