反时限过载保护精确算法

＝
３５．５τｐτ， ｐ
＝
０．８
ｓ，
Ｉ
＊ ｐ
＝
１．２
ｐ．ｕ．，
Ｉ
＊ ｘ
＝
１．５
ｐ．ｕ．，
得到温升变化曲线，
见图
１。由
图 １ 可看到， 在 ｔ ＝ ０ 过载算法启动， 温升以指数曲
线上升， 在 Ａ 点与过载保护动作线相交， 即温升达
到最高允许温升 θ＊ｐ ＝ （ １．２） ２＝ １．４４ ｐ．ｕ．， 保护动作。
Ｉ
＊ ｐ
＝
１．２
ｐ．ｕ．，
０＜ｔ ＜４０
ｓ
时，
过载电流
Ｉ
＊ ｘ１
＝
１．４
ｐ．ｕ．，
ｔ ＞４０
ｓ
时，
过载电流
Ｉ
＊ ｘ２
＝
１．１
ｐ．ｕ．，
得到温升变化曲线，
见图
２。
由曲线可见， 在 ｔ ＝０ 过载算法启动， 温升以指数曲
线 上 升 ， 在 ｔ ＝ ４０ ｓ 时， 尚未达到最高允许温升 θ＊ｐ ＝ （ １．２） ２＝１．４４ ｐ．ｕ．， 但 过 载 电 流 降 为 Ｉ ＊ｘ２， 此 后 温 升 有 所 下降， 始终没有与过载保护动作线相交， 保护不动作。
２ 连续模型分析
假 设 电 流 Ｉｘ 恒 定 不 变 ， ｐ （ ｔ） ＝ Ｉ ２ｘ（ ｔ） ｒ ＝ Ｐｘ 为 常 数， ｒ 为导体等效电阻， 则
θ（ ｔ）
＝ θ０ ｅ－
ａｓ ｃｇ
ｔ＋
Ｐｘ ａｓ
（１－
ｅ ） －
ａｓ ｃｇ
ｔ
（ ３）
显然， ｔ ∞ 时， θ（ ｔ） ＝ Ｐｘ ／ （ ａ ｓ） ， 即电流为恒定 Ｉｘ 时的稳定温升为 θｘ＝ Ｉ ２ｘ（ ｔ） ｒ ／（ ａ ｓ） 。
３
＊θ／ ｐ．ｕ．
２ 过载保护动作线
１
Ａ
０
－ １５０ － ７５
０
７５
１５０
ｔ ／ｓ
图 １ 过载启动且保护动作
Ｆｉｇ．１ Ｏｖｅｒｌｏａｄ ｔｒｉｇｇｅｒｅｄ ｗｉｔｈ ｐｒｏｔｅｃｔｉｖｅ ａｃｔｉｏｎ
算例 ２： 令 Ｉ＊０ ＝ ０．９ ｐ．ｕ．， ｃｇ ／ （ ａｓ） ＝ ３５．５τｐτ， ｐ＝ ０．８ ｓ，
ｐ（ ０） Δｔ ＝ ｃｇΔθ（ ０） ＋ ａ ｓθ０Δｔ 化简得到：
ｃｇΔθ（ ０）
／
（
ｒΔｔ）
＝
Ｉ
２（
０）
－
Ｉ
２ ０
（ １０）
当 ｔ ＝ ｎ Δｔ 时，
" # ｎ－ １
ｐ（ ｎ） Δｔ ＝ ｃｇΔθ（ ｎ） ＋ ａ ｓ θ０＋ ! Δθ（ ｉ） Δｔ ｉ＝０
化简得到：
ｃｇ ｒΔｔ
Δθ（ ｎ）
＝ Ｉ ２（
电流； Ｉｐｅ 为过载前的电流； Ｉｐ 为过载启动电流。
比较式（ ４） （ ５） 得：
ｃｇ ／（ ａｓ） ＝ ３５．５τｐ
（ ６）
故在实际应用时无需知道导体的升温系数和散
第６期
牟龙华， 等： 反时限过载保护精确算法
热系数， 可以参考 ＩＥＣ ２５５ － ４ 推荐的第 ５ 种反时限
动作曲线， 选取适当的τｐ 值。
由此可得出 ５ 点推论。
ａ．
对应额定电流
Ｉｎ
的稳定温升为
θｎ ＝
Ｉ
２ ｎ
ｒ
／ （ ａｓ） 。
ｂ． 假设在过载启动时刻， 导体温升已经稳定为 θ０，
则对应的电流为
Ｉ０，
且满足
θ０ ＝
Ｉ
２ ０
ｒ
／
（
ａ ｓ）
。
ｃ． 导体的最高允许温升为 θｐ， 则对应的电流为 Ｉｐ，
且满足
θｐ ＝Ｉ
２ ｐ
ｒ
／
（
ａ ｓ）
，
１ 连续模型建立
根据热平衡原理， 在一定时间内， 电气设备中的
发热导体（ 以下称导体） 产生的热量等于导体温度变
化吸收（ 或释放） 的热量与向周围介质的散发热量之
和 ［ ６－９］ 。因 此 电 动 机 定 子 绕 组 的 温 升 特 性 可 以 采 用 以
下形式的微分方程予以描述［１０－１２］ ：
ｐ（ ｔ） ｄ ｔ ＝ ｃｇｄθ＋ ａ ｓθ（ ｔ） ｄ ｔ
ｅ．
将
θ０ ＝
Ｉ
２ ０
ｒ
／
（ ａ ｓ） ，
Ｐｘ
＝
Ｉ
２ ｘ
（
ｔ
）
ｒ
代入式（ ３） ，
且两
边同乘 ｃｇ ／ ｒ 得：
ｃｇ ｒ
θ（ ｔ） ＝ ｃｇ ａｓ
［
Ｉ
２ ｘ
＋
（
Ｉ
２ ０
－
Ｉ ２ｘ） ｅ－
ａｓ ｃｇ
ｔ］
（ ７）
考虑
Ｉ
２ ｎ
＝
ａ
ｓθｎ ／
ｒ，
以标么值表示，
则最高允许温
升为 θｐ 时对应的标么值为 θ＊ｐ ＝ θｐ ／ θｎ ＝ （ Ｉｐ ／ Ｉｎ） ２
准确地描述了温升随过载电流的变化情况， 而在连
续模型中难以考虑过载电流变化情况下的温升变
化， 所以离散模型较连续模型具有优越性。
ｂ． 令 ａｓ ／ （ ｃｇ） ＝ ３５．５τｐ， 可以根据实际情况选取 时间常数τｐ 的值，τｐ 越大导体的散热情况越差。
ｃ． 合理选取计算间隔 Δｔ， Δｔ 选取的越小， 显 然
２
过载保护动作线
１
＊θ／ ｐ．ｕ．
０
－ １５０ － ７５
０
７５
１５０
ｔ ／ｓ
图 ２ 过载启动但保护未动作 Ｆｉｇ．２ Ｏｖｅｒｌｏａｄ ｔｒｉｇｇｅｒｅｄ ｗｉｔｈｏｕｔ
ｐｒｏｔｅｃｔｉｖｅ ａｃｔｉｏｎ
３ 离散模型建立
式（ ８） 中包含一指数函数， 利用它来求解电流变
化情况下的保护动作时间十分复杂， 不便于工程应
ｓ，
Ｉ
＊ ｐ
＝
１．２
ｐ．ｕ．，
Ｉ
＊ ｘ
＝
１．５～４．５
ｐ．ｕ．，
对离散模型仿真时选取计算步长
Δｔ＝１００ ｍｓ。
由式（ ４） （ ６） 得到连续模型反时限计算公式：
! " ｔ ＝３５．５ τｐ ｌｎ
（
Ｉ
＊ ｘ
／ Ｉ ＊ｐ） ２ －
（
Ｉ
＊ ０
／ Ｉ ＊ｐ） ２
（
Ｉ
＊ ｘ
／
Ｉ ＊ｐ）
２－
１
（ １７）
再考虑离散模型下的反时限公式计算方法。若
ｄ θ＜ ０， 即温升下降， 并且导体的温升越高， 单位时间
内其对外的散热量越大。因此即使导 体电流大于额
定电流， 其温升也未必一直上升， 也可能会下降。
设导体在 ｔ ＝ ０ 时的温升为 θ０， 求解式（ １） 得到：
! θ（ ｔ）
＝ θ０ ｅ－
＋ ａ ｓ
ｃｇ
ｔ
１ ｃｇ
ｅ－
ａｓ ｃｇ
ｔ
ｔ
ｐ（
ｔ）
ｅ
ａｓ ｃｇ
用微分方程建立导体发热的连续模型， 全面反映了导体温升随电流变化的过程。根据该模型得到的
过流保护反时限动作特性曲线， 与 ＩＥＣ 反时限过流保护的标准一致， 验证了所建立导体发热模型的
准确性。在连续模型的基础上， 经过严密的数学推导， 建立了一种可以准确描述电气设备过载升温
过程的离散算法模型， 该算法物理概念清晰、易于实现。Ｍａｔｌａｂ 仿真结果表明， 该算法精度高， 计算
Ｑ０ ＝ Ｉ ２（ ０）
－
Ｉ
２ ０
Ｑｎ＋１ ＝ ［ Ｉ ２（ ｎ ＋ １） － Ｉ ２０］ ＋ Ｑｎ－ ａｓΔｔ Ｑｎ ／ （ ｃｇ）
以标么值计算， 则保护判据为
Ｑ
＊ ｎ
＞
ｃｇ（
Ｉ
＊２ ｐ
－
Ｉ ＊０２）
／（ ａｓΔｔ）
以标么值计算时， 式（ １４） 可表示为
Ｑ
＊ ０
＝
Ｉ
＊２（
０）
－
Ｉ
＊２ ０
Ｑ
＊ ｎ＋１
（ １９）
在 Ｍａｔｌａｂ 中对式（ １７） （ １８） 进行仿真计算， 仿真
得到的曲线见图 ３。图中点划线为离散模型反时限
ｎ）
－
Ｉ
２ ０
－
ａｓ ｒ
ｎ－ １
! Δθ（ ｉ）
ｉ＝０
（ １１）
ｔ ＝ ０ 过载启动， 计算了 ｎ ＋ １ 次即在 ｎΔｔ 后的温
升记为
ｎ
θｏｖ＝ θ０ ＋ !Δθ（ ｉ） ｉ＝０
过载保护的动作判据为
θｏｖ＞ θｐ 即
ｃｇ ｒΔｔ
ｎ
!Δθ（ ｉ） ＞
ｉ＝０
ｃｇ ｒΔｔ
（ θｐ －
θ０）
（ １２）
参照式（ １１） ， 令
＝
［
Ｉ
＊２（
ｎ
＋
１）
－
Ｉ
＊２ ０
］
＋
Ｑ
＊ ｎ
－
ａｓΔｔ
Ｑ
＊ ｎ
／
（ ｃｇ）
显然， 反时限保护动作时间
（ １３） （ １４） （ １５） （ １６）
ｔ′＝ ｎ Δｔ
由此可得到 ３ 点推论。
ａ．
当
Ｉ ＊２（ ｎ ＋１）
－
Ｉ
＊２ ０
＜ａｓ
Δｔ
Ｑ
＊ ｎ
／
（ ｃｇ）
时，
Ｑ
＜ ＊
ｎ＋１
Ｑ
＊ｎ，
即温升下降， 由此可见以上的离散模型的计算过程
电力自动化设备
Ｅｌｅｃｔｒｉｃ Ｐｏｗｅｒ Ａｕｔｏｍａｔｉｏｎ Ｅｑｕｉｐｍｅｎｔ
Ｖｏｌ．２８ Ｎｏ．６ Ｊｕｎ．２００８
反时限过载保护精确算法
牟龙华， 邢锦磊 （ 同济大学 电气工程系， 上海 ２０００９２）
摘要： 参考 ＩＥＣ 反时限过流保护的标准， 提出了一种适合微机保护系统采用的反时限保护算法。采
于是， 式（ ７） 可改写为
θ＊（ ｔ）
＝
Ｉ
＊２ ｘ
＋
（
Ｉ
＊２ ０
－
Ｉ ＊ｘ２） ｅ－
ａｓ ｃｇ
ｔ
（ ８）
令过载启动时刻 ｔ ＝ ０， 且假设过载启动之前导
体的温升达到稳定为 θ０。下面通过 ２ 个算例验证式
（ ８） 在连续、断续过载情况下的有效性。
算例
１：
令
Ｉ
＊ ０
＝
０．９
ｐ．ｕ．，
ｃｇ
／（
ａｓ）
用。下面对其进行离散化处理， 便于微机保护算法应
用。由式（ １） 得到：
ｐ（ ｔ） Δｔ ＝ ｃｇΔθ（ ｔ） ＋ ａ ｓθ（ ｔ） Δｔ
（ ９）
以过 载 启 动 时 刻 为 ｔ ＝ ０ 点 ， 每 隔 Δｔ 计 算 一 次
（ Δｔ 为常数） ， 分别记为 ０， １， ２， …， ｎ， …。则 ｔ ＝ ０ 时
量小。
关键词： 反时限； 过载； 热保护； 微机保护
中图分类号： ＴＭ ７４４
文献标识码： Ａ
文章编号： １００６ － ６０４７（ ２００８） ０６ － ００３６ － ０３
过载保护反映电动机的过负荷程度， 因电动机 过负荷将导致电动机过热， 但其低倍过载又允许一 定时限， 所以电动机的过载特性一定要具有良好的 反时限特性。但电动机过载之后， 其过载倍数不可 能是一成不变的， 随着过载倍数的变化， 允许过载时 间 也 发 生 相 应 的 变 化 ［ １－３］ 。而 现 有 保 护 不 能 准 确 地 反 映过载倍数的变化情况， 即动态过载情况， 其结果必 然导致动作时限提前或延迟。若动作时限提前， 则 导致电动机的热过载能力不能得到充分利用， 从而 影响生产系统的连续性； 若动作时限延迟， 则极易造 成电动机的热损坏［４－５］ 。
ｔ
ｄｔ
０
（ ２）
收稿日期： ２００７ － ０１ － ２５； 修回日期： ２００７ － ０５ － １４ 基金项目： 上海市科学技术委员会资助（ ０４ＺＲ１４１３７）
由于过载电流可能随时间不断变化， 并且难以 对其进行准确的数学描述［１３－１５］， 因此 ｐ（ ｔ） 不能确定， 不能直接利用式（ ２） 对过载过程进行准确描述。
（ １）
式中 ｐ（ ｔ） 为 ｔ 时刻的导体热功率； θ（ ｔ） 为 ｔ 时刻的
导 体 温 升 ； ｃｇ 为 导 体 的 升 温 系 数 ， ｃ 为 比 热 ， ｇ
为质量； ａ ｓ 为导体的散热系数， ａ 为散热率， ｓ 为
散热面积。
由式（ １） 可见， 在时间微元 ｄ ｔ 内， 若导体产生的
热量小于其向周围介质的散热量， 则温升的变化量
（ ４）
ＩＥＣ ２５５ － ４ 中 推 荐 了 ５ 种 反 时 限 动 作 曲 线 ， 其
中第 ５ 种的数学模型为［１０］
$ % ｔ ＝３５．５τｐ ｌｎ
（ Ｉ ／ Ｉｐ） ２ － （ Ｉｐｅ ／ Ｉｐ） ２ （ Ｉ ／ Ｉｐ） ２ － １
（ ５）
式中 τｐ 为时间常数， 反映温升曲线的曲率； Ｉ 为过载
定义
Ｉｐ
为导体的反时限过载保
护启动电流， 一般 Ｉｐ ＝ １．２ Ｉｎ。
ｄ． 根据式（ ３） 求解反时限动作时间， 得：
" # ｔ＝ ｃｇ ｌｎ ａｓ
Ｉ
２ ｘ
－
Ｉ
２ ０
Ｉ
２ ｘ
－
Ｉ
２ ｐ
即
$ % ｔ＝
ｃｇ ａｓ
ｌｎ
（ Ｉｘ ／ Ｉｐ） ２ － （ Ｉ０ ／ Ｉｐ） ２ （ Ｉｘ ／ Ｉｐ） ２ － １
" $ Ｑｎ＝
ｃｇ ｒΔｔ
ｎ
!Δθ（ ｉ） ＝
ｉ＝０
ｎ
!Ｉ ２（ ｉ）
－
（
ｎ
＋
１）
Ｉ
２ ０
ｉ＝０
－
ａｓ
ｎ－ １
! （ ｎ － ｉ） Δθ（ ｉ）
ｒ ｉ＝０
% $ Ｑｎ＋１
＝
ｃｇ ｒΔｔ
ｎ＋１
! Δθ（ ｉ） ＝
ｉ＝０
ｎ＋１
! Ｉ ２（ ｉ）
－
（
ｎ
＋
２）
Ｉ
２ ０
ｉ＝０
－
ａｓ
ｎ
!（ ｎ ＋１ －
ｉ） Δθ（ ｉ）
cgtq13考虑qcg以标么值计算则保护判据为15以标么值计算时式14可表示为cg显然反时限保护动作时间即温升下降由此可见以上的离散模型的计算过程准确地描述了温升随过载电流的变化情况而在连续模型中难以考虑过载电流变化情况下的温升变化所以离散模型较连续模型具有优越性
第 ２８ 卷第 ６ 期 ２００８ 年 ６ 月
满足
Ｑ
＊ ｎ
＞
３５．５τｐ（
Ｉ
＊２ ｐ
－
Ｉ ＊０２）
／Δｔ，
则反时限保护动作时
间 ｔ′＝ ｎ Δｔ， 式（ １６） 可改写为
Ｑ
＊ ０
＝
Ｉ
＊２（
０）
－
Ｉ
＊２ ０
（ １８）
Ｑ
＊ ｎ＋１
＝
［
Ｉ
＊２（
ｎ
＋
１）
－
Ｉ
＊２ ０
］
＋
Ｑ
＊ ｎ
－
Δｔ
Ｑ
＊ ｎ
／
（ ３５．５ τｐ）
误差为
σ％ ＝ ｔ － ｔ′／ ｔ ×１０