宿迁市2018~2019学年度第一学期市直高三数学期末测试

宿迁市2018~2019学年度第一学期市直高三期末测试数学参考公式：锥体的体积公式13V Sh=，其中S是锥体的底面面积，h是高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．．1．已知集合{|10,}A x x x=+>∈R，{|230,}B x x x=-<∈R，则A B=I▲ ．2．已知复数z满足()12i3iz+=-（其中i为虚数单位），则||z的值为▲ ．3．交通部门对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从速度不小于50km/h的汽车中抽取200辆汽车进行测速分析，得到如图所示的时速的频率分布直方图，则时速不低于80km/h的汽车有▲ 辆．4．如图是一个算法的伪代码，运行后输出S的值为▲ ．5．春节将至，三个小朋友每人自制1张贺卡，然后将3张贺卡装在一盒子中，再由三人注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）。

本卷满分为160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将答题卡交回。

2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。

4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。

依次任意抽取1张，则三人都没抽到自己制作的贺卡的概率为 ▲ ．6. 设圆锥的轴截面是一个边长为2cm 的正三角形，则该圆锥的体积为 ▲ cm 3．7. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，右焦点与抛物线216y x =的焦点重合，则双曲线C 的顶点到渐近线的距离为 ▲ .8. 已知数列{}n a 前n 项和为n S ，121n n a a +-=，11a =，则9S 的值为 ▲ ． 9． 已知正实数,a b 满足22a b +=，则1+43a bab+的最小值为 ▲ ． 10. 已知点(1,0),(1,0)A B -，若圆22(1)(2)1x a y a -++--=上存在点M 满足3MA MB ⋅=u u u r u u u r,则实数a 的取值范围是 ▲ .11. 对于函数()y f x =，如果()f x 是偶函数，且其图象上的任意一点都在平面区域,y x y x⎧⎨-⎩≥≥内，则称该函数为“V 型函数”.下列函数：①1y x x =+；②1||y x x =-； ③||e x y =； ④ππ|tan |((,))22y x x =∈-.其中是“V 型函数”的是 ▲ .（将符合条件 的函数序号都填在横线上）.12. 如图所示，矩形ABCD 的边AB =4，AD =2，以点C 为圆心，CB 为半径的圆与CD 交于点E ，若点P 是圆弧»EB(含端点B 、E )上 的一点，则PA PB ⋅u u u r u u u r的取值范围是 ▲ .13.已知函数()(cos sin ))f x x x x x =⋅+-∈R ，设点111222(,),(,),P x y P x y …， (,)n n n P x y ，…都在函数()y f x =图象上，且满足1π6x =，*1π()4n n x x n +-=∈N ， 则122019y y y +++L 的值为 ▲ .14. 已知函数1,12,()12(),2,2x x f x f x x -<⎧⎪=⎨⎪⎩≤≥ 如果函数()()(3)g x f x k x =--恰有2个不同的零 点，那么实数k 的取值范围是 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 15. （本小题满分14分）已知三角形ABC 的面积是S，3AB AC ⋅=u u u r u u u r ．(第12题)（1）求sin A 的值；（2）若23BC =，当三角形ABC 的周长取得最大值时，求三角形ABC 的面积S ．16．（本小题满分14分）在四棱锥S ABCD -中，SA ABCD ⊥面，底面ABCD 是菱形． （1）求证：SAC SBD ⊥面面；（2）若点M 是棱AD 的中点，点N 在棱SA 上，且12AN NS =，求证：SC BMN 面∥．17．（本小题满分14分）如图所示，桌面上方有一盏电灯A ，A 到桌面的距离AO 可以变化，桌面上有一点B 到点O 的距离为a （a 为常数），设ABO θ∠=，灯A 对B 点的照度J 与sin θ成正比、与AB 长的平方成反比，且比例系数为正常数k .（1）求灯A 对B 点的照度J 关于θ的函数关系式；（2）问电灯A 与点O 多远时，可使得灯A 对B 点的照度J 最大？18．（本小题满分16分）如图所示，椭圆22 22:1(0)x yM a ba b+=>>的离心率为2，右准线方程为4x=，过点(0,4)P作关于y轴对称的两条直线12,l l，且1l与椭圆交于不同两点,A B，2l与椭圆交于不同两点,D C.（1）求椭圆M的方程；（2）证明：直线AC与直线BD交于点(0,1)Q；（3）求线段AC长的取值范围.19．（本小题满分16分）已知数列{}n a各项均为正数，n S是数列{}n a的前n项的和，对任意的*n∈N都有2232n n nS a a=+-.数列{}n b各项都是正整数，11b=，24b=，且数列12b ba,a,3nb ba,,a⋅⋅⋅是等比数列．（1）证明：数列{}n a是等差数列；（2）求数列{}n b的通项公式n b；（3）求满足124nnSb<+的最小正整数n．20．（本小题满分16分）已知函数()ln xf x x=，()(,)g x kx b k b =+∈R . （1）求函数()y f x =的定义域和单调区间；（2）当2e =4b 且1x >时，若直线()y g x =与函数()y f x =的图象相切，求k 的值；（3）当=b k -时，若存在2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，使得1()()2f xg x +≤，求k 的取值范围.数学Ⅱ(附加题)本卷共4小题，每小题10分，共计40分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 21．（本小题满分10分）已知矩阵121⎡⎤=⎢⎥⎣⎦a M 的一个特征值为3λ=，其对应的一个特征向量为11α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u r ， 求直线1l ：210x y ++=在矩阵M 对应的变换作用下得到的曲线2l 的方程.22. （本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为3cos ,()sin ,x y t ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 的方程为πsin()24ρθ-=．(1)求直线l 的直角坐标方程和椭圆C 的普通方程； (2)若直线l 与椭圆C 有公共点，求t 的取值范围．23．（本小题满分10分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AC BC AC BC ⊥==，，12BB =，点D 在棱1BB 上，且11C D AB ⊥． （1）求线段1B D 的长；（2）求二面角11D A C C --的余弦值．24．（本小题满分10分）已知12012()(1)nnn f x ax a a x a x a x =+=+++⋅⋅⋅+，若对于任意*n ∈N ，都有02()3nni i a ==∑．（1）求实数a 的值；（2）若[]2220122()n n f x b b x b x b x =+++⋅⋅⋅+，求232123211113333nnb b b b +++⋅⋅⋅+的值．高三数学参考答案及评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．3(1,)2-； 2； 3．20； 4．13； 5.13;； 8. 1013 9．252； 10. [2,1]-；11. ③④； 12. [8-； 13. 14. 168(1,0)[,)2913-U .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．15解：（1）由2AB AC S ⋅=u u u r u u u r 得1cos sin 2AB AC A AB AC A ⋅⋅=⋅⋅，所以cos A A =. ………… …………………………2分在三角形ABC 中()0A ,π∈得tan A =4分所以3A π∠=,sin A =……………………………7分 （2）在三角形ABC 中，2222cos a b c bc A =+-，所以()21222cos3b c bc bc π=+--，即()2212332b c b c bc +⎛⎫+-=≤ ⎪⎝⎭，…………………………10分当且仅当b c =时取等号，所以b c +≤所以周长的最大值为b c ==所以面积1sin 2S AB AC A =⋅⋅=……………………………14分 解法二：在三角形ABC 中sin sin sin AB AC BCC B A==得4sin sin 3ABAC CC π===⎛⎫+ ⎪⎝⎭所以周长4sin 4sin 3l BC AB CA C C π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭6C π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭……………………………10分由203C ,π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得，当3C π=时，周长l取得最大值为此时AC AB ==所以面积1sin 2S AB AC A =⋅⋅=……………………………14分16解：（1）因为SA ABCD ⊥面，BD ABCD ⊂面，所以SA BD ⊥， ………………………………2分 又因为底面ABCD 是菱形，得AC BD ⊥， 由SA ，AC 都在面SAC 内，且SA AC A ⋂=， 所以BD SAC ⊥面，………………………………5分 由BD SAC ⊂面，得SAC SBD ⊥面面；…………7分 （2）由底面ABCD 是菱形，得AD BC ∥所以12AE AM AM EC BC AD ===………………9分 又因为12AN NS =，所以12AE AN EC NS == ，所以NE SC ∥…，………………………11分 因为NE BMN ,SC BMN ⊂⊄面面，所以SC BMN 面∥.………………………………14分A BCD SMN (第16题)17解：（1）因为2sin ()J kk AB θ=为正常数，………………3分 又0<<π()cos 2θθ=a AB ， 所以2222sin cos =sin 1-sin 2k J k a a θθπθθθ⋅=⋅（）（0<<），…………6分（2）令sin ,t t θ=∈则（0,1），232=1--1k J t t t t t a⋅因为（）=（0<<）， 由2=1-30J t '=得-33t =（舍），………………………0t J '∈>所以,,则J 单调递增； 10t J '∈<所以）,,则J 单调递减，…………………12分 t J 所以当取得最大值，此时sin 33θθ==， sin =tan cos OA OB aθθθ=所以时，J 取得最大值， 答：当电灯A 与点O 时，可使得灯A 对B 点的照度最大. ……14分18解：（1）由224c e a a c⎧==⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 得2a c ==，2224b a c ∴=-=，所以椭圆M 的方程22184x y +=.………………………………………………4分 （2）设直线14l y kx =+：，11221122(,),(,),(,),(,)A x y B x y D x y C x y --则，联立221844x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消y 得221+2)16240k x kx ++=（， 1212221624,1+21+2k x x x x k k -∴+=⋅=， …………………………………6分 又212111,BQ DQ y y k k x x --==-，212121211133BQ DQ y y kx kx k k x x x x --++∴-=-=+- 212122483()122+=2+2202412kx x k k k k k x x k -++==-=+，………8分=BQ DQ k k ∴，故点,,B D Q 三点共线，即直线BD 经过点(0,1)Q同理可得直线AC 经过点(0,1)Q ，所以直线AC 与直线BD 交于点(0,1)Q . …………………………10分（3）由（2）可知22222212121212()()()()AC x x y y x x k x x =++-=++-222121212()(+)4x x k x x x x ⎡⎤=++-⋅⎣⎦2222222222161624+41+21+21+2k k k k k k ⎡⎤⋅⋅=-⨯⎢⎥⎣⎦（）（） 42424+10164+4+1k k k k ⋅=⨯24261161+4+4+1k k k ⎡⎤-=⨯⎢⎥⎣⎦…………………………12分 令22161,6t t k k ==+-则 又由222=16424(12)0k k ∆-⨯⨯+>得23,2k >所以8t > 221616+114+4+166tAC t t ∴=++⎛⎫⎪⎝⎭29161++8+16t t t ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦9161+16++8t t ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦……………………………………14分21616++810t t t '⎛⎫=-> ⎪⎝⎭Q 在8+t ∈∞（，）上恒成立 16++8t t∴在8+t ∈∞（，）上单调递增 16++818t t ∴>， 910162++8t t ∴<<，9311+162++8t t∴<< 21624AC ∴<<4AC ∴<<…………………………………………………16分19解：（1）当1n =时，2111232a a a =+-，即211320a a --=，()()113210a a +-=，由10a >得11a =； …………………………………………………1分当2n ≥时，由2232n n n S a a =+-得2111232n n n S a a ---=+-， 所以两式相减得2211233n n n n n a a a a a --=+--，所以()()1113n n n n n n a a a a a a ----+=+， …………………………3分 由0n a >知10n n a a -+> 所以113n n a a --=所以数列{}n a 是首项11a =，公差13d =的等差数列. …………………5分 (2)由（1）得()11211333n a n n =+-=+，由121412b b a a ,a a ,====所以数列{}n b a 是首项为1，公比为2的等比数列 所以12n n b a -=， …………………………………………………7分又1233n b n a b =+， 所以112233n n b n a b -=+=，即1322n n b -=⨯-.…………………………10分（3）由()()121526n n n a a S n n +==+， 所以22155623292n n nn n nS n n b -++==+⨯⨯，……………………………………12分 设()25292n nn S n n f n b +==+⨯，则()()()()22122215117612692152102592n nn n f n n n n n n f n n n n n ++++++++⎛⎫⨯===+ ⎪+++⎝⎭⨯，令()()11f n f n +>得222761360210n n ,n n n n ++>+-<+即， 由*n N ∈得1n =，所以()()()()()1234f f f f f n <>>>⋅⋅⋅>>⋅⋅⋅，………………14分 又因为()11611121834S f b ===>+， ()2214712236184S f b ===>+， ()332411327234S f b ===>+， ()44361421444S f b ===+， ()5550251522881444S f b ===<+， 所以当5n ≥时，()14f n <， 所以满足124n n S b <+的最小正整数n 为5. …………………………16分 20解（1）由ln 00x x ≠⎧⎨>⎩得()y f x =的定义域()()0,11+x ∈∞U ，，2ln 1()=ln x f x x-'∴ ，………………………………………………2分 由2ln 1()=0ln x f x x-'>得()+x e ∈∞，， 由2ln 1()=0ln x f x x-'<得()()0,11,x e ∈U ， 所以()y f x =的单调增区间为()+x e ∈∞，，单调减区间为()0,1x ∈和()1,e ；………………………………………4分（2）设24e y kx =+与()y f x =相切于点0000,1ln x x x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭（）， 0020ln 1()=ln x k f x x -'∴=，且2000ln 4=0x e x k x --，2000200ln 4ln 1=0ln x e x x x x --∴-，化简得2200ln =4e x x ，………………………6分001,ln x x >∴Q令()ln 1)h x x x =>，1()h x x '∴==， 由()0h x '>得()2x e ∈1,，由()0h x '<得()2+x e ∈∞，，()y h x ∴=在()2x e ∈1,单调递增，在()2+x e ∈∞，单调递减，………8分2()=()=0y h x h e ∴=极大值，0ln x ∴方程01+)x ∈∞（，上有唯一解20=x e ， 2222ln 11()=ln 4e kf e e -'∴==.………………………………………10分（3）令2()()()ln x x f x g x kx k e x e x ϕ=-=-+≤≤（），依题意知min 1()2x ϕ≤， 22ln 1111()=ln ln 24x x k k x x ϕ-⎛⎫'∴-=--+- ⎪⎝⎭的值域为1,4k k ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，………12分①当0k -≥，即0k ≤时，()0x ϕ'∴≥，2()x e e ϕ⎡⎤∴⎣⎦在，单调递增，min 1()=()(1)2x e e k e ϕϕ∴=--≤， 解得12(1)e k e -≥-，不合题意，②当104k -≤，即14k ≥时，()0x ϕ'∴≤， 2()x e e ϕ⎡⎤∴⎣⎦在，单调递减，222min 1()=()(1)22e x e k e ϕϕ∴=--≤，解得12k ≥，满足题意，………………………………………14分 ③当104k <<时，存在唯一()20,x e e ∈满足0()=0x ϕ'， ()0x e x ∴∈,时，()0x ϕ'<；()20x x e ∈,时，()0x ϕ'>，()x ϕ∴在()0x e x ∈,单调递减，在()20x x e ∈,单调递增，0min 0001()=()(1)ln 2x x x k x x ϕϕ∴=--≤， 解得0000011111))(1)ln 2(1)222x x k x x x ≥->-=--(( ，这与104k <<矛盾，不合题意， 综上所述，k 的取值范围为12k ≥.………………………………………16分数学Ⅱ(附加题)参考答案与评分标准21解：由M αλα=u r u r得12113111a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以2a =，1221M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， ……………………………2分 设()111P x ,y 是直线1C 上任意一点，在矩阵M 对应的变换作用下得到点()222P x ,y ，且2P 在曲线2C 上， 由12121221x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦得21121122x x y y x y =+⎧⎨=+⎩，…………………………4分所以12212212332133x x y y x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， …………………………6分代入曲线1C 的方程得210x +=，所以曲线2C 的方程10x +=. ……………………………10分 22解:(1)2sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭20y x --=，…………………2分由()sin x y t ααα⎧=⎪⎨=⋅⎪⎩为参数，得(22213x y t t+=≠. ……………………………………5分(2)由2222013y x x y t--=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()3223121230t x x t +++-=.因为直线l 与椭圆C 有公共点,所以()()22212431230t t ∆=-+-≥,即420t t -≥．……………7分 所以t 的取值范围是11t t ≥≤-或，所以t的取值范围是((1][1+),-∞-∞U U U .………10分23解：在直三棱柱111ABC A B C -中，由AC BC ⊥，则以{}11111C A ,C B ,C C u u u u r u u u u r u u u u r为基底构建如图所示的空间直角坐标系，则()()()()()11102010000012002A ,,,B ,,,C ,,,B ,,,C ,,,所以()1112AB ,,=--u u u r, 设1B M t =，则()101C D ,,t =u u u u r,（1）由11DC AB ⊥得110C D A B ⋅=u u u u r u u u r ,所以11202t t -=⇒=, 所以1B M =12．……………………………………………3分 A 1 D1(第23题)A（2）由111B C AC C ⊥面，取11AC C 面的一个法向量为()11010C B ,,=u u u u r, 设1ACD 面的一个法向量()n x,y,z =r, 由（1）知()111111022A D ,,,AC ,,,⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭u u u u r u u u r 又因为1100n A D n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u u r r u u u r ,所以10220x y z x z ⎧-++=⎪⎨⎪-+=⎩，取2z =， 则34y ,x ==,…………………6分所以()432n ,,=r,所以111n C C cos n,C C |n||C C |⋅<>==r u u u u rr u u u u r r u u u u r ．所以二面角111D AC B --的余弦值为29．…………………………10分24解（1）由012(1)(1)=nn f a a a a a =+=+++⋅⋅⋅+04()3nnii a ==∑, 所以13a =-,………………………………………………………………2分（2）[]2220122()nn f x b b x b x b x =+++⋅⋅⋅+2211=(1)=(1)33n n x x ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦,所以21=3k kk nb C （-）， 令23(1)k k kk n b C =-，1,2,3,2k n =⋅⋅⋅，首先考虑1 C k 2n ＋1＋1 C k ＋12n ＋1＝k !(2n +1－k )!(2n ＋1)!＋(k ＋1)!(2n －k )!(2n ＋1)!＝k !(2n －k )!(2n ＋1－k ＋k ＋1)(2n ＋1)!＝k !(2n －k )!(2n ＋2)(2n ＋1)!＝2n ＋2(2n ＋1) C k 2n，则1C k 2n ＝2n ＋12n ＋2(1 C k 2n ＋1＋1C k ＋12n ＋1)， 因此1 C k 2n －1 C k ＋12n ＝2n ＋12n ＋2(1 C k 2n ＋1－1 C k ＋22n ＋1)． ………………………………6分故232123*********n nb b b b +++⋅⋅⋅+ 123222222(1)k k n n n n n n C C C C C =-+-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+＝- 2n ＋12n ＋2(1 C 12n ＋1－1 C 32n ＋1＋1 C 32n ＋1－1 C 52n ＋1＋…＋1 C 2n －12n ＋1－1 C 2n ＋12n ＋1)＝- 2n ＋12n ＋2(1 C 12n ＋1－1 C 2n ＋12n ＋1)＝2n ＋12n ＋2(12n ＋1－1)＝nn ＋1． ………………………………………………………………………10分。