【2023年上海高三数学一模】2023届虹口区高三一模数学试卷及答案

虹口区2022学年度第一学期期终学生学习能力诊断测试
高三数学试卷
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1－6题每题4分，第7－12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1. 不等式
02
x
x x ≤+的解集为______． 2. 对于正实数，代数式4
x x
+
的最小值为______． 3. 已知球的半径为3，则该球的体积为 _________ .
4. 在7
x
⎛
+ ⎝
的二项展开式中x 项的系数为______．
5. 设m ，n ∈R ，i 为虚数单位，若1是关于x 的二次方程2
0x mx n ++=的一个虚根，则m n +=______．
6. 已知首项为2的等比数列{}n b 的公比为
1
3
，则这个数列所有项的和为______． 7. 设曲线ln 2y x x =+的斜率为3的切线为l ，则l 的方程为______．
8. 第5届中国国际进口博览会在上海举行，某高校派出了包括甲同学在内的4名同学参加了连续5天的志愿者活动．已知甲同学参加了2天的活动，其余同学各参加了1天的活动，则甲同学参加连续两天活动的概率为______．（结果用分数表示） 9. 设a ，b ∈R ，若函数4
()lg 2f x a b x
=+
+-为奇函数，则a b +=______． 10. 设函数()()cos f x x ωϕ=+（其中0ω>,π
2
ϕ<
）,若函数()y f x =图象的对称轴π6x =
与其对称中心的最小距离为π
8
,则()f x =______． 11. 在ABC 中，5AB =，6AC =，1
cos 5
A =
，O 是ABC 的外心，若OP xOB yOC =+
，其中x ，[0,1]y ∈，则动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为______．
12. 已知1F ，2F 是双曲线22
22:1(,0)x y C a b a b
-=>的左、右焦点，过2F 的直线交双曲线
的右支于A ，B 两点，且122AF AF =，1212AF F F BF ∠=∠，则在下列结论中，正确结论的序号为______．
①双曲线C 的离心率为2；②双曲线C
； ③线段AB 的长为6a ；④12AF F △
2
．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13－14题每题4分，第15－16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑．
13. 设R m ∈，已知直线:1l y mx =+与圆22:1C x y +=，则“0m >”是“直线l 与圆
C 相交”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
14 若复数z 满足||1z <且15
2
z z +=，则||z = A.
45
B.
34 C.
12
D.
23
15. 已知F 是椭圆221
:143
x y C +=与抛物线22:2(0)C y px p =>的一个共同焦点，1C 与2C 相交于A ，B 两点，则线段AB 的长等于（ ）
A.
B.
C.
53
D.
103
16. 已知函数()sin
3x f x π=，数列
{}n a 满足11a =，且1111n n
a a n n +⎛⎫=++ ⎪⎝⎭
（n 为正整数）．则()2022f a =（ ） A 1-
B. 1
C.
D.
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17. 设ABC 内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知
π3
2cos(π)sin 2022
A A ⎛⎫++++= ⎪⎝⎭．
（1）求角A ； （2
）若c b a
-=，求证：
ABC 是直角三角形．
18. 在等差数列{}n a 中，12a =，且2a ，32a +，8a 构成等比数列．
..的
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）令29n a n b =+，记n S 为数列{}n b 的前n 项和，若2022n S ≥，求正整数n 的最小值．
19. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，侧面
11AA C C 为菱形，点1A 在底面上的投影为AC 的中点D ，且2AB =．
（1）求证：1BD CC ⊥；
（2）求点C 到侧面11AA B B 的距离；
（3）在线段11A B 上是否存在点E ，使得直线DE 与侧面11AA B B 若存在，请求出1A E 的长；若不存在，请说明理由．
20. 本市某区对全区高中生的身高（单位：厘米）进行统计，得到如下的频率分布直方图．
（1）若数据分布均匀，记随机变量X 为各区间中点所代表的身高，写出X 的分布列及期望；
（2）已知本市身高在区间[]180,210的市民人数约占全市总人数的10%，且全市高中生约占全市总人数的1.2%．现在要以该区本次统计数据估算全市高中生身高情况，从本市市民中任取1人，若此人的身高位于区间[]180,210，试估计此人是高中生的概率；
（3）现从身高在区间[)170,190的高中生中分层抽样抽取一个80人的样本．若身高在区间[)170,180中样本的均值为176厘米，方差为10；身高在区间[)180,190中样本的均值为184厘米，方差为16，试求这80人的方差．
21. 设0a >，已知函数()()32f x x ax =--． （1）求函数()y f x =的单调区间；
（2）对于函数()y f x =的极值点0x ，存在()110x x x ≠，使得()()10f x f x =，试问对任意的正数a ，102x x +是否为定值若是，求出这个定值；若不是，请说明理由； （3）若函数()()g x f x =在区间[]0,6上的最大值为40，试求a 的取值集合．
参考答案
1. (]2,0-
2. 4
3. 36
4. 35
5. 2
6. 3
7. 310x y --= 8.
25
##
0.4 9. 1-
10. πcos 43x ⎛⎫+
⎪⎝
⎭
11.
12. ①④ 13. A
14. C
15. B
16. C
17. 解：（1）由条件π3
2cos(π)sin 2022
A A ⎛⎫++++=
⎪⎝⎭，得32cos cos 202A A -++=，
即212cos 2cos 02A A -+=，亦即2
1cos 02A ⎛⎫-= ⎪⎝
⎭，
故1cos 2A =，因为(0,π)A ∈，所以π
3
A =．
（2）证明：由正弦定理及c b a -=
得sin sin C B A -=，
由（1）知π3A =
，故2π3B C +=，于是2ππsin sin 33B B ⎛⎫
--= ⎪⎝⎭
，
11sin 2
2
B B -=，即π1cos 62
B ⎛⎫+= ⎪⎝
⎭
，
因2π03B <<，故ππ5π666B <+<，又0,c b C B -=>>，
从而ππ63
B +=， 所以π6B =
，则π
2
C =， 因此ABC 是直角三角形．
18. 解（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则由2a ，32a +，8a 成等比数列及12a =， 得()23282a a a +=，即2(42)(2)(27)d d d +=++，解得2d =±． 当2d =时，24a =，328a +=，816a =构成等比数列，符合条件；
当2d =-时，20a =，320a +=，812a =-不能构成等比数列，不符合条件．
因此2d =，于是数列{}n a 的通项公式为2n a n =；
（2）由（1）知2n a n =，故229n n b =+，所以
()()()()246212329292929n n n S b b b b =++++=++++++++
()()22222149419213
n
n n n ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦=+=-+- 易知()44193
n
n S n =
-+在正整数集上严格递增，且51409S =，65514S =． 故满足2022n S ≥的正整数n 的最小值为6．
19. 解：（1）证明：由点1A 在底面ABC 上的投影为AC 的中点D ，知1A D ⊥平面ABC ， 又BD ⊂平面ABC ，故1A D BD ⊥，
因ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，故AC
BD ⊥，
而1A D ，AC ⊂平面11ACC A ，1A D AC D ⋂=，故BD ⊥平面11ACC A ， 由1CC ⊂平面11ACC A ，得1BD CC ⊥．
（2）由点1A D AC ⊥，D 为AC 的中点，侧面11AA C C 为菱形，知11A C A A AC ==， 由ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，2AB =
，可得DB DA DC ===
1DA =，
由（1）知直线DB ，DC ，1DA 两两垂直，故以点D 为坐标原点， 直线DB ，DC ，1DA 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，
则(0,0,0)D
，(0,A
，B
，C
，1
A ，
)
AB =
，(1AA =
，
设平面11AA B B 的一个法向量为(,,)n x y z =
，
则100n AB n AA ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，取1z =
，得n = ，
又(0,AC =
，故点C 到平面11AA B B 的距离为：
AC n
d n ⋅==
（3）假设存在满足条件的点E
，并111[0,1])A E A B AB λλλλ=⋅=⋅=⋅∈
，
则11DE DA A E λ=+=+⋅=
，
于是，由直线DE 与侧面11AA B B
cos ,DE n DE n DE n ⋅=<〉===
⋅
，
=
，解得2
14
λ=
． 又[0,1]λ∈，故12
λ=
． 因此存在满足条件的点E ，且1112
A E A
B ==
．
20. 解：（1）由(0.0270.0250.0220.010.001)101x +++++⨯=，解得0.015x =． 所以X 的分布列为
X 155 165 175 185 195 205 P
0.22
0.27
0.25
0.15
0.1
0.01
()0.221550.271650.251750.151850.11950.01205171.7E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
（2）设事件A 为任取一名本市市民的身高位于区间[180,210]， 事件B 为任取一名本市市民为高中生，则()10%P A =，
()()()31.2%0.150.100.01 3.1210P B A P A B -⋂=⋂=⨯++=⨯．
所以()
()()
0.0312P B A P B A P A ⋂=
=．
于是，此人是高中生的概率为0.0312．
（3）由于身高在区间[)170,180，[)180,190的人数之比为5：3， 所以分层抽样抽取80人，区间[)170,180，[)180,190内抽取的 人数分别为50人与30人．
在区间[)170,180中抽取的50个样本记为1x ，2x ，…，50x 其均值为176， 方差为10，即176x =，2110s =．
在区间[)180,190中抽取的30个样本记为1y ，2y ，…，30y ．其均值为184，
方差为16，即184y =，2
216s =；
所以这80人身高的均值为5017630184
17980
z ⨯+⨯==．
从而这80人身高的方差为
()()5030
222
11180i i i i s x z y z ==⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦∑∑
()()50302211180i i i i x x x z y y y z ==⎡⎤=-+-+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑ ()()112
250
5012(50(80i i i i x x x z x x x z ==⎡=∑-+-∑-+-⎢⎣
()()1
1
2
230
30
2()30()i i i i y y y z y y y z ==⎤+∑-+-∑-+-⎦
22221215050()3030(80
s x z s y z ⎡⎤=+-++-⎣⎦ 22
1501050(176179)301630(184179)27.2580
⎡⎤=
⨯+-+⨯+-=⎣⎦ 因此，这80人身高的方差为27.25．
21. 解：（1）解：由()()32f x x ax =--，x R ，可得()()232f x x a -'=-． 因0a >，由()0f x '=
，解得2x =±
当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：
所以，()f x 的单调递增区间为：,2⎛-∞ ⎝
与2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
；单调递减区间为：
22⎛ ⎝．
（2）方法1：因为()f x 存在极值点0x ，所以由（1）知：0a >，且02x ≠． 因为()()30002f x x ax =--，()()31112f x x ax =--，故由()()10f x f x =，得
()
()3
3
110022x ax x ax --=--即
()()()()()2
2
10110022220x x x x x x a ⎡⎤--+--+--=⎣⎦
．
因为10x x ≠，所以()()()()22110022220x x x x a -+--+--=（*） 由题意，得()()200320f x x a '=--=，即()2
0203
a
x -=>．
由（1）知，2x =和2x =是函数()f x 的极值点，
故当0
2x =-时，由（*）可得())2
1122203x x a ---=，
解得12x -=，即1
2x =+，
此时1022226x x ⎛⎛+=++-=
⎝⎝．
当0
2x =+*）可得())2
1122203
x x a -+--=，
解得12x -=-，即12x =-，此时1022226x x ⎛⎛
+=-+= ⎝⎝
．
综上，可得结论成立．
方法2：因为()f x 存在极值点0x ，所以由（1）知：0a >，且02x ≠． 因为()()30002f x x ax =--，()()31112f x x ax =--，故由()()10f x f x =， 得()()33110022x ax x ax --=--即
()()()()()22
10110
022220x x x x x x a ⎡⎤--+--+--=⎣⎦
．
因为10x x ≠，所以()()()()22110022220x x x x a -+--+--=（*） 由题意，得()()200320f x x a '=--=，即()2032a x =-，将其代入（*）， 得()()()()221100222220x x x x -+----=（**） 即()()()()1010222220x x x x ----+-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 亦即()()1010260x x x x -+-=． 由于10x x ≠，因此1026x x +=．
（3）解：因函数3()(2)g x x ax =--在闭区间[0,6]上最大值只有可能在0，6
，
2
，2这4处取得．
又(0)8g =，(6)646g a =-
，22g a ⎛
⎝
，
22222g a a a g ⎛⎛++=+= ⎝⎝
（因0a >）
①若22g a ⎛
=+ ⎝为()g x 在区间[]0,6上的最大值（等于40），
u =，则0u >，且23a u =
240a +=，得32320u u +=． 设32()3h u u u =+，则2()360h u u u '=+>恒成立，故()h u 在(0,)+∞上严格递增，
于是在(0,)+∞上存在唯一的0u ，使32
00320u u +=，易知02u =，进而相应的12a =．
而此时24[0,6]+
=∈，(6)646840g a =-=<，因此12a =符合题意． ②若(6)646g a =-为()g x 在区间[]0,6上的最大值（等于40），则4a =，或
523
． 的
（i ）当4a =时，2[0,6]+，22840g a ⎛+=+=< ⎝， (6)64640g a =-=为()g x 在区间[0,6]上的最大值，因此4a =符合题意．
（ii ）当523a =时，20-<，2[0,6]，22g a ⎛= ⎝104
403
=+>， 于是523a =
不符合题意，舍去． 综上所述，符合条件的a 的取值集合为{}4,12．。