湖南省浏阳一中高二数学下学期期中试题 理 新人教A版

浏阳一中2014年上学期高二年级期中考试试卷
理科数学
时量：120分钟 分值：150分
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．在复平面上，复数(2i)i z =-+的对应点所在象限是 A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程是20x y ±=，则其离心率为（ ）
A
B
． C
D ．5
3．下列有关命题的说法正确的是 A ．命题“,11a b a b >->-若则”的否命题是“,11a b a b >-≤-若则”． B ．“1x =-？”是一个命题． C ．命题“
R
x ∈∃0使得0102
0<++x x ”的否定是：
“x R ∀∈， 均有210x x ++<”．
D ．命题“若12
=x ，则1±=x ”的逆否命题为真命题．
4.已知ξ～B （n ，p ），且E （ξ）=7，D （ξ）=6，则p 等于
A.71
B.61
C.51
D.41
5．7个人站一队，其中甲在排头，乙不在排尾，则不同的排列方法有( )． A ．720 B ．600 C ．576 D ．324
6．某公司生产一种产品， 固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R 与年产量x 的关系是R(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧
－x3900
＋400x ，0≤x≤390，
90 090，x>390，则当总利润最大时，每年生产产品的单位数
是 ( )．
A ．150
B ．200
C ．250
D ．300
7．曲线3
11y x =+在点P(1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是（ ） A. -9 B. -3 C. 9 D.15 8．设X
则q 等于( )
A ．1
B ．1±
22 C ．1－2
2
D ．1＋
2
2
二、填空题:本大题共7小题，每小题5分，共35分．把答案填在答题卡相应位置．
9． 设x6＝a0＋a1(x －1)＋a2(x －1)2＋a3(x －1)3＋a4(x －1)4＋a5(x －1)5＋a6(x －1)6，则a3＝________.
10．第二十届世界石油大会将于2011年12月4日～8日在卡塔尔首都多哈举行，能源问题已经成为全球关注的焦点．某工厂经过技术改造后，降低了能源消耗，经统计该厂某种产品的产量x (单位：吨)与相应的生产能耗y(单位：吨)有如下几组样本数据：
根据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得回归直线的斜率为0.7.已知该产品的年产量为10吨，则该工厂每年大约消耗的汽油为______吨．
11. 如图所示，在四边形ABCD 中，
EF//BC ，FG//AD ，则EF FG +=
BC AD ． 12．在某项测量中，测量结果X 服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)．若X 在(0,1)内取值的概率为0.4，则X 在(0,2)内取值的概率为________．
13. 动点P 到点(2,0)F 的距离与它到直线20x +=的距离相等，则P 的轨迹方程为 ；
14. 盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是_ __ ；
15．给出下面的数表序列：
其中表n （n =1,2,3 L ）有n 行，
表中每一个数“两脚”的两数都是此数的2倍，记表n 中所有的
数之和为
n
a ，例如
25
a =，
317
a =，
449
a =.则
n
a = .
三、解答题：本大题共6小题，满分75分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16. （本小题满分12分）某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分．假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响．
(1)求这名同学回答这三个问题的总得分ξ的概率分布和数学期望．
A B C
D E F
G 22
22
22
122221 表3 表21 表1
(2)求这名同学总得分不为负分(即ξ≥0)的概率．
17．（本小题满分12分）已知(1
2
＋2x)n ，
(1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数； (2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．
18.（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面为直角梯形，AD ∥BC ，90BAD ∠=︒，
PA ⊥底面ABCD ，且2PA AD AB BC ===，M 、N 分别为PC 、PB 的中点.
(Ⅰ) 求证：PB DM ⊥；
(Ⅱ) 求BD 与平面ADMN 所成的角。

19. （本小题满分13分）在数列{}n a 中，1211,4a a ==，且1(1),(2)n n n n a a n n a +-=≥-.
（1）求
34
,a a ，
（2）猜想n
a 的表达式，并加以证明；
20. （本小题满分13分）已知椭圆22
22:1(0)
x y G a b a b +=>>的离心率为6,右焦点为
(22,0),斜率为1的直线l 与椭圆G 交于,A B 两点,以AB 为底边作等腰三角形,顶点为(3,2)P -.
(1)求椭圆G 的方程; (2)求PAB ∆的面积.
21. （本小题满分13分）设函数
x b x x f ln )1()(2
+-=，其中b 为常数． （1）当
21
>
b 时，判断函数()f x 在定义域上的单调性；
（2）若函数()f x 有极值点，求b 的取值范围及()f x 的极值点；
参考答案
一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题3分，满分24分． 1．C ； 2．A ； 3．D ； 4．A ； 5．B ； 6．D ； 7．C ； 8．c ； 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题3分，满分21分． 9．20； 10.7.35； 11．1； 12．0.8； 13 ．y2=8x ； 14．0.5； 15．
(1)21
n n a n =-+
三、解答题：本大题共5小题，满分55分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. 解 (1)ξ的可能取值为－300，－100,100,300. P(ξ＝－300)＝0.23＝0.008，
P(ξ＝－100)＝3×0.22×0.8＝0.096， P(ξ＝100)＝3×0.2×0.82＝0.384， P(ξ＝300)＝0.83＝0.512. 所以ξ的概率分布为
ξ －300 －100 100 300 P
0.008
0.096
0.384
0.512
根据ξ的概率分布，可得ξ的期望
Eξ＝(－300)×0.008＋(－100)×0.096＋100×0.384＋300×0.512＝180. (2)这名同学总得分不为负分的概率为 P(ξ≥0)＝0.384＋0.512＝0.896.
17.解：(1)∵C4n ＋C6n ＝2C5n ，∴n2－21n ＋98＝0， ∴n ＝7或n ＝14.
当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5， ∴T4的系数＝C37(12)423＝35
2，
T5的系数＝C47(1
2
)324＝70，
当n ＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T8. ∴T8的系数＝C714(1
2
)727＝3 432.
(2)∵C 0n ＋C1n ＋C2n ＝79，∴n2＋n －156＝0.
∴n ＝12或n ＝－13(舍去)．设Tk ＋1项的系数最大， ∵(12＋2x)12＝(1
2
)12(1＋4x)12， ∴⎩⎪⎨⎪⎧
Ck 124k≥Ck －1124k －1，Ck
124k≥Ck ＋1124k ＋1.
∴9.4<k<10.4，∴k ＝10.
∴展开式中系数最大的项为T11， T11＝C1012·(1
2
)2·210·x10＝16 896 x10.
18. 解：（Ⅰ）因为N 是PB 的中点，PA=AB, 所以AN⊥PB. 因为AD⊥面PAB, 所以AD⊥PB.
从而PB⊥平面ADMN.
DM ADMN ⊂因为平面
所以PB⊥DM. ……6分 （Ⅱ）连结DN ， 因为PB⊥平面ADMN ，
所以∠BDN 是BD 与平面ADMN 所成的角.
在Rt BDN ∆中,
1
sin ,2BN BDN BD ∠=
=
故BD 与平面ADMN 所成的角是30o
. ……12分
19.解：容易求得：
713=
a ，101
4=a ----------------------（2分）
故可以猜想
231
-=
n a n ，*∈N n -----------------（4分）
下面利用数学归纳法加以证明：
显然当4,3,2,1=n 时，结论成立，-----------------（5分） 假设当k n =；4≥k 时（也可以1≥k ），结论也成立，即
231
-=
k a k ，*∈N k
那么当1+=k n 时，由题设与归纳假设可知：
2
)1(31
131)1)(13(112312
31231
)1()1(21-+=
+=
-+-=
---=--
-⨯
-=
--=
+k k k k k k k k k k k k a k a k a k
k
k ------------（9分）
即当1+=k n 时，结论也成立，综上，对*
∈∀N n ,231
-=
n a n 成立。

--------（13分）
20. （本小题满分13分）
解:(1)
由已知得
c c a ==,
解得a =
于是
2224b a c =-= ∴求椭圆G 的方程为221
124x y += …… 4分
(2)设直线l 的方程为y x m =+,交点
1122(,),(,)A x y B x y ,AB 中点00(,)
E x y
联立22
1124y x m
x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,消元整理得22
463120x mx m ++-=
(5)
于是
222
(6)44(312)12(16)0m m m ∆=-⨯⨯-=⨯-> 可得
216m < 由212123312,24m x x m x x -+=-=
………………………………………………（9分）
可得
034x m =-,0014y x m m =+=,即31
(,)
44E m m - ∵AB 为等腰三角形的底边,∴PE AB ⊥
∴1241334PE
m
k m
-=
=--+,解得2m =,符合要求 [Z ……………………………（10分）
此时12123,0
x x x x +=-=
所以
AB ==
==
又点(3,2)P -到直线:20AB x y -+=
的距离
d =
=
故PAB ∆的面积
19
22S AB d =
⋅= ………………（13分）
21. （本小题满分13分）
解：（1）由题意知，()f x 的定义域为),0(+∞，
)0( 21
)21(22222)('22>-
+-=+-=+-=x x b x x b x x x b x x f
∴当
21
>
b 时， ()0f x '>，函数()f x 在定义域),0(+∞上单调递增．
（2） ①由（1）得，当
1
2b ≥
时，/
()0f x ≥,函数()f x 无极值点．
②当
1
2b <
时，()0f x '=有两个不同解，
221211b x --=22121 ,2b x -+
= 0 )≤∴b i 时，
，舍去),0(0221211+∞∉≤--=
b x ，),0(122121 2+∞∈≥-+=b
x 而,
此时 ()f x '，()f x 随x 在定义域上的变化情况如下表：
由此表可知：0b ≤时，()f x 有惟一极小值点
22121 ,b
x -+=
，
ii ） 当
1
02b <<
时，0<21x x <<1 此时，()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：
由此表可知：
1
02b <<
时，()f x 有一个极大值
221211b x --=和一个极小值点221212b x -+
=； 综上所述：当0≤b 时，()f x 有惟一最小值点
22121 ,b x -+=
；
当1
02b <<
时，()f x 有一个极大值点22121b x --=和一个极小值点22121b x -+
=。