高中数学奥林匹克竞赛训练题(32)

数学奥林匹克高中训练题（32）
第一试
一、选择题（本题满分36分,每小题6分）
1．(训练题32)设k 为整数,则22221997199719971997(1)(1)(1)(1)k k k k k k k ++++++-+-+-+-的值为(B)．
(A) -4或-2 (B) -2或0 (C) 0或2 (D) 2或4
2．(训练题32)ABC ∆的三边长,,a b c 满足2,2b c a a c b +≤+≤. 则b a
取值范围是(C)． (A)(0,)+∞
(B)11(,)22 (C)1(,2)2
(D)(0,2) 3．(训练题32)正方体八个顶点的两两连线中,异面直线共有(C)对．
(A)114 (B)138 (C)174 (D)228
4．(训练题32)以椭圆22
221x y a b
+=的长轴为底的内接梯形最大面积是(A)． (A)ab 433 (B)ab 23 (C)263a (D)28
3a 5．(训练题32)集合{1,2,3,,18}S =的五元子集112345{,,,,}S a a a a a =中,任何两元素之差不为1．这样子集1S 的个数为(D)．
(A)417C (B)415C (C)513C (D)514C
6．(训练题32)如图,从A 到B （方向只能从左→右或从下→上或从左下→右
上）,不同走法路线种数为(D)．
(A)16 (B)18 (C)20 (D)22
二、填空题（本题满分54分,每小题9分）
1．(训练题32)能被9整除且商恰是各位数字平方和的三位数是 315 ．
2．(训练题32)方
程sin(3cos )sin(2cos )10x y -+=的实数解(,)x y = (2arccos ,2arccos ),64
k k k Z ππππ±±∈ ． 3．(训练题32)数列1,1,2,1,2,3,1,2,3,4,1,2,
,前1997项之和是 42654 ． 4．(训练题32)正三棱锥V ABC -底面边长为a ,侧棱长为b ,M 为高VO 上一点, VM a MO b
=．过M 作平行于侧棱VA 及底边BC 的平面,则平面截正三棱锥所得截面面积为 22
2(3)9()ab a b a b ++ ． A B
5．(训练题32)积乘712(12cos
)7
k k π=+=∏ 3 ． 6．(训练题32)已知543212345()P x x a x a x a x a x a =+++++,且1,2,3,4k =,时,()1997P k k =⋅．则(10)(5)P P --= 75315 ．
三、(训练题32)(本题满分20分)数列3211{}:1,32n n n n n x x x x x x +==++．数列
2
1{}:123n n n n y y x x =++．若{}n y 前n 项乘积为P ,{}n z 前n 项和为S ．求证：1S P +=． 四、(训练题32)(本题满分20分)椭圆22
22154
x y +=上有16个点,顺次为12316,,,,,P P P P F 为左焦点,每相邻两点与F 连线夹角都相等122334161()PFP P FP P FP P FP ∠=∠=∠=
=∠．设1P 到左准线的距离为(1,2,3,,16)i d i =．求i
i d 1161∑=．（3） 五、(训练题32)(本题满分20分)给定六个实数126.......a a a ≤≤≤．令
126 (6)
a a a x +++=,22
2
126......6a a a y +++=
．求证：61a a -≤
第二试
一、(训练题32)(本题满分50分)证明：存在一个1997的整数倍,它不超过11位,且各位数字不含有2,3,4,5,6,7．
二、(训练题32)(本题满分50分)正方形ABCD 的边长为1,以顶点C 为圆心,CB 为半径作圆,在AB 上取15
BP =,过P 作圆的切线交AD 于Q ,切点为E ,连CE 交对角线BD 于k ,连AK 交PQ 于M ．求AM 的长．（1330
）
三、(训练题32)(本题满分50分)证明：在任意22n +人中,可以找到两个人,A B ,使得其余2n 个人中,至少有n 个人,他们中的每一个,或者都认识,A B ；或者都不认识,A B ．。