2020年中考数学基础题提分讲练专题26 应用能力提升

专题26 应用能力专题
（时间：90分钟满分120分）
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．（2020安徽初三）某零件长40厘米，若该零件在设计图上的长是2毫米，则这幅设计图的比例尺是（）A．1：2000B．1：200C．200：1D．2000：1
【答案】B
【解析】因为2毫米=0.2厘米，则0.2厘米：40厘米=1：200；
所以这幅设计图的比例尺是1：200．故选B．
【点睛】此题主要考查比例尺的计算方法，解答时要注意单位的换算．
2．（2019广东初二期中）如图，从一个大正方形中裁去面积为30cm2和48cm2的两个小正方形，则余下部分的面积为（）
A．78 cm2B．(2cm2
C．cm2D．cm2
【答案】D
【解析】
解:从一个大正方形中裁去面积为30cm2和48cm2的两个小正方形,
大正方形的边长是
留下部分(即阴影部分)的面积是：2-30-48=cm2
故选D.
【点睛】
本题主要考查的是二次根式的加减法运算,属于基础题目.解决本题的关键是: 首先求出大正方形的边长,然后求出面积, 再减去两个小正方形的面积,即可求得.
3．（2019湖南雅礼中学初一期中）《九章算术》是中国传统数学名著，其中记载：“今有牛五、羊二，直金
十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛，2只羊，值金10两；2头牛，5只羊，值金8两．问每头牛、每只羊各值金多少两？”若设每头牛、每只羊分别值金x 两、y 两，则可列方程组为（ ）
A ．5210258x y x y +=⎧⎨+=⎩
B ．5210258x y x y -=⎧⎨-=⎩
C ．5210258x y x y +=⎧⎨-=⎩
D ．5282510
x y x y +=⎧⎨+=⎩ 【答案】A
【解析】
由题意可得，
5210258x y x y +=⎧⎨+=⎩
， 故选A ．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找准等量关系列出相应的方程组．
4．（2019广东初三期中）已知点C 是线段AB 的黄金分割点（AC ＞BC ），AB =4，则线段AC 的长是（ ）
A ．2
B ．6-
C 1
D ．3【答案】A
【解析】
解：根据题意得AC AB ×4=2． 故选：A ．
【点睛】
此题主要考查对应线段的应用，解题的关键是熟知黄金分割的比例值.
5．（2019山东初三学业考试）在阳光下，一名同学测得一根长为1米的垂直地面的竹竿的影长为0.6米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，
测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.42米，则树高为（ ）
A ．6.93米
B ．8米
C ．11.8米
D ．12米
【答案】B
【解析】 根据题意画出图形如图所示，其中AB 为树高，EH 为树影在第一级台阶上的影长，AE 为树影在地上部分的长，ED 的长为台阶高，并且由光沿直线传播的性质可知AF 即为树影在地上的全长， ∵10.6
DE EH =， ∴EH=0.3×0.6=0.18，
∴AF=AE+EH+HF=4.42+0.18+0.2=4.8， ∵
10.6
AB AF =， ∴AB=4.80.6=8（米）, 故选B ．
【点睛】
本题考查了直角三角形的有关知识，同时渗透光学中光的传播原理，根据题意构造直角三角形是解决本题的关键．
6．（2020山东初三期末）如图是小玲设计用手电来测家附近“新华大厦”高度的示意图．点P 处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经平面镜反射后刚好射到大厦CD 的顶端C 处，已知,AB BD CD BD ⊥⊥，且测得 1.2AB =米， 1.8BP =米，24PD =米，那么该大厦的高度约为（ ）
A ．8米
B ．16米
C ．24米
D ．36米
【答案】B
【解析】
∵光线从点A 出发经平面镜反射后刚好射到大厦CD 的顶端C 处
∴APB CPD ∠=∠
∵,AB BD CD BD ⊥⊥
∴90ABP CDP ︒∠=∠=
∴∆V ABP ∽CDP ∴AB BP CD PD
= ∵ 1.2AB =米， 1.8BP =米，24PD =米 ∴
1.2 1.824CD = ∴CD=16（米）
【点睛】
本题考查的知识点是相似三角形的性质与判定，通过判定三角形相似得到对应线段成比例，构成比例是关键．
7．（2019浙江初三期末）如图，在△ABC 中，BC =8，高AD =6，点E ，F 分别在AB ，AC 上，点G ，F 在BC 上，当四边形EFGH 是矩形，且EF =2EH 时，则矩形EFGH 的周长为（ ）
A ．245
B ．365
C ．725
D ．2885
【答案】C
【解析】
∵EF ∥BC ，
∴△AEF ∽△ABC ， ∴-=EF AD EH BC AD
， ∵EF=2EH ，BC=8，AD=6， ∴2EH 6EH 86
-=
∴EH=12
5
，
∴EF=24
5
，
∴矩形EFGH的周长=
1272
5
24
2
55⎛⎫
⨯+=
⎪
⎝⎭
故选：C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用，根据相似三角形对应边成比例建立方程是解题的关键．
8．（2020安徽初三期末）如图，一同学在湖边看到一棵树，他目测出自己与树的距离为20m，树的顶端在水中的倒影距自己5m 远，该同学的身高为1.7m ，则树高为（）.
A．3.4m B．4.7 m C．5.1m D．6.8m
【答案】C
【解析】
解：由题意可得：∠BCA=∠EDA=90°，∠BAC=∠EAD，
故△ABC∽△AED，
由相似三角形的性质，设树高x米，
则
5 1.7 205x
=
-
，
∴x=5.1m．故选：C．
【点睛】
本题考查相似三角形的应用，关键是由入射光线和反射光线与镜面的夹角相等，得出两个相似三角形．9．（2019广东初三期中）在一次初三学生数学交流会上，每两名学生握手一次，统计共握手253次．若设参加此会的学生为x名，据题意可列方程为（）
A．x（x+1）=253B．x（x﹣1）=253C．1
2
x（x+1）=253D．
1
2
x（x-1）=253
【答案】D
【解析】
解：参加数学交流会的学生为x名，每个学生都要握手(x-1)次，
因此列方程为1
2
x(x-1)=253,
故选D.
【点睛】
本题考查用一元二次方程解决握手次数问题，得到总次数的等量关系是解决本题的关键.
10．（2019福建初三期中）某厂一月份生产某机器100台，计划三月份生产144台．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（）
A．100（1+x）2=144B．100（1﹣x）2=144
C．144（1+x）2=100D．144（1﹣x）2=100
【答案】A
【解析】
解：设二，三月份每月平均增长率为x，
100（1+x）2=144．
故选：A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的实际应用中的增长率问题，解题的关键是掌握增长率的意义．
11．（2018河南初三期中）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道
路，剩余的空地上种植草坪．若草坪的面积为570m2，道路的宽为xm，则可列方程为（）
A．32×20﹣2x2=570B．32×20﹣3x2=570
C．（32﹣x）（20﹣2x）=570D．（32﹣2x）（20﹣x）=570
【答案】D
【解析】
解：设道路的宽为xm，根据题意得：（32-2x）（20-x）=570，
故选D．
【点睛】
本题考查的知识点是由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程．
12．（2019四川初三）如图，一艘巡逻艇航行至海面B处时，得知正北方向上距B处20海里的C处有一渔船发生故障，就立即指挥港口A处的救援艇前往C处营救．已知C处位于A处的北偏东45°的方向上，港
≈≈）
（结果精确到0.1海里， 1.73
口A位于B的北偏西30°的方向上．求A、C之间的距离．
（）
A．7.3海里B．10.3海里C．17.3海里D．27.3海里
【答案】B
【解析】
作AD⊥BC，垂足为D，
由题意得，∠ACD=45°，∠ABD=30°，设CD=x，在Rt△ACD中，可得AD=x，
在Rt△ABD中，
BD=tan30
AD
=
︒
，
又∵BC=20，即
，
解得：x=10
1）
∴
AC=45
2
CD
cos
==
︒≈10.3（海里），
即：A、C之间的距离为10.3海里，
故选B．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据题意构造直角三角形，将实际问题转化为数学模型进行求解．
二、填空题（每小题3分，共18分）
13．（2019重庆巴川中学校初一期中）在某月内，李老师要参加三天的学习培训，现在知道这三天日期的数
字之和是42．且这三天是连续三周的周六，则培训的第一天
．．．的日期的数字是____．
【答案】7
【解析】
设培训的第一天日期是x日，则另外两天分别是(x+7)日和(x+14)日
根据题意可得，x+x+7+x+14=42
解得：x=7
故答案为7.
【点睛】
本题考查的是一元一次方程在实际生活中的应用，难度适中，解题关键是设出每一天培训的日期的数字. 14．（2019广东中山一中初三） 如图所示，一架梯子AB 长2.5米，顶端A 靠在墙AC 上，此时梯子下端B 与墙角C 的距离为1.5米，当梯子滑动后停在DE 的位置上，测得BD 长为0.9米．则梯子顶端A 沿墙下移了______米．
【答案】1.3
【解析】
解：由题意得： 2.5AB =米， 1.5BC =米
∴在Rt ACB ∆中，AC 2=AB 2-BC 2=2.52-1.52=4，
∴AC=2米，
∵BD=0.9米，
∴CD=2.4米．
∵ED AB =
∴在Rt ECD ∆中，EC 2=ED 2-CD 2=2.52-2.42=0.49，
∴EC=0.7米，
∴AE=AC -EC=2-0.7=1.3米．
故答案为：1.3．
【点睛】
考查了勾股定理的应用，抓住梯子的长度不变并应用勾股定理计算是解题关键．
15．（2020广东初三期末）经过某十字路口的汽车，它可能直行，也可能向左转或向右转，假设这三种可能性大小相同，那么两辆汽车经过这个十字路口，一辆向左转，一辆向右转的概率是_____． 【答案】29
【解析】
一辆向左转，一辆向右转的情况有两种，则概率是
29
． 【点睛】 本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：可能性=所求情况数与总情况数之比．
16．（2019重庆第二外国语学校初二）2019年秋，重庆二外初2021级将开启“大阅读”活动，为了充实书吧藏书，学生会号召全年级学生捐书，得到各班的大力支持.同时，年级部分备课组的老师也购买藏书充实到年级书吧，其中数学组购买了甲、乙两种自然科学书籍若干本，用去699元；语文组购买了A 、B 两种文学书籍若干本，用去6138元，已知A 、B 的数量分别与甲、乙的数量相等，且甲种书与B 种书的单价相同，乙种书与A 种书的单价相同.若甲种书的单价比乙种书的单价多7元，则乙种书籍比甲种书籍多买了__________本．
【答案】777
【解析】
设乙种书与A 种书的单价为x 元，则甲种书与B 种书的单价为(x+7)元，
设甲种书与A 种书的数量为a 本，乙种书与B 种书的数量为b 本，
由题意得：()()()()76991761382a x bx ax b x ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩
()()21-得775439-=b a
∴777-=b a
故答案为：777．
【点睛】
本题考查方程组的应用，熟练掌握单价乘以数量等于总价，建立方程组是解题的关键．
17．（2019济宁市第十五中学初三月考）如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A 滑行至B ，
已知AB=500米，则这名滑雪运动员的高度下降了_____米．（参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67）
【答案】280．【解析】
试题解析：在RtΔABC中，sin34°=AC AB
∴AC=AB×sin34°=500×0.56=280米.
故答案为280.
18．（2019重庆第二外国语学校初二）如图，长方体的底面是边长为2cm的正方形，高为5cm.若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为__________cm．
【解析】
将长方体侧面展开如图所示，
线段PQ即为最短路径．
∵长方体的底面边长为2cm，高为5cm.
∴PA=2+2+2+2=8cm，QA=5cm，
∴
【点睛】
本题考查勾股定理与最短路径问题，画曲为直，利用两点之间线段最短是解题的关键．
三、解答题（每小题6分，共12分）
19．（2020陕西初二期中）王师傅有一根长40m的钢材，他想将这段钢材锯断后焊成三个面积分别为2
3m，22
12,48
m m的正方形铁框，问王师傅的钢材够用吗?请通过计算说明理由．
【答案】不够用，理由见详解.
【解析】
解：∵正方形的面积是3m2，
∴所耗费的钢材是m），
∵正方形的面积是12m2，
∴它的边长是
∴所耗费的钢材是：4⨯m），
∵正方形的面积是48m2，
∴它的边长是
∴所耗费的钢材是：4⨯m），
∴所耗费的钢材的总长度是：+=m），
>，
∵48.5
≈，48.540
∴王师傅的钢材不够用．
【点睛】
此题考查了二次根式的应用，关键是根据正方形的面积公式求出各边的长，每个正方形有4条边，求出每个正方形耗费的钢材．
20．（2020广东初三期末）网络购物已成为新的消费方式，催生了快递行业的高速发展，某小型的快递公司，今年5月份与7月份完成快递件数分别为5万件和5.832份万件，假定每月投递的快递件数的增长率相同．（1）求该快递公司投递的快递件数的月平均增长率；
（2）如果每个快递小哥平均每月最多可投递0.8万件，公司现有8个快递小哥，按此快递增长速度，不增
加人手的情况下，能否完成今年9月份的投递任务？
【答案】（1）该快递公司投递的快递件数的月平均增长率为8%；（2）按此快递增长速度，不增加人手的情况下，不能完成今年9月份的投递任务，见解析
【解析】
(1)设该快递公司投递的快递件数的月平均增长率为x ，
根据题意，得：25(1) 5.832x +=，
解得：1x =0.08=8%，2x =﹣2.08(舍)，
答：该快递公司投递的快递件数的月平均增长率为8%；
(2)9月份的快递件数为25.832(10.08) 6.8⨯+≈(万件)，
而0.8×8=6.4＜6.8，
所以按此快递增长速度，不增加人手的情况下，不能完成今年9月份的投递任务．
【点睛】
本题主要了考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并据此列出方程．
四、解答题（每小题8分，共16分）
21．（2020山东初三期末）如图，某仓储中心有一斜坡AB ，其坡度为i=1：2，顶部A 处的高AC 为4m ，B 、C 在同一水平地面上．
（1）求斜坡AB 的水平宽度BC ；
（2）矩形DEFG 为长方体货柜的侧面图，其中DE=2．5m ，EF=2m ，将该货柜沿斜坡向上运送，当BF=3．
5m 时，求点D 离地面的高．（结果保留根号）
【答案】（1）BC=8m ；（2）．
【解析】
解：（1）∵坡度为i=1∶2，AC=4m ，
∴BC=4×2=8m．
（2）作DS⊥BC，垂足为S，且与AB相交于H．∵∠DGH=∠BSH，∠DHG=∠BHS，
∴∠GDH=∠SBH，
∴
1
2 GH
GD
=，
∵矩形DEFG为长方体
∴DG=EF=2m，
∴GH=1m，
∴=，BH=BF+FH=3.5+（2.5﹣1）=5m，
设HS=xm，则BS=2xm，
∴x²+(2x）²=5²，
∴
∴．
【点睛】
本题考查的是坡度定义和利用坡度求线段的长度，利用坡度相同坡度比相等来计算是解题的关键．22．（2019山东初二期末）如图，王华在晚上由路灯A走向路灯B,当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯A的底部，当他向前再步行12m到达点O时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯B 的底部，已知王华的身高是1.6m，如果两个路灯之间的距离为18m,且两路灯的高度相同，求路灯的高度.
【答案】路灯的高度是9.6m
【解析】
解：由题意知：()()12, 1.6,181223PO m MP NO m AP OB m =====-÷=
90APM ABD ︒∠=∠=Q
MAP DAB ∠=∠
AMP ADB ∴~V V
AP MP AB DB
∴
= 即3 1.618DB = 解得()9.6BD m =
答：路灯的高度是9.6m
【点睛】
本题主要考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形对应边成比例是解题关键
五、解答题（每小题9分，共18分）
23．（2019四川初三）上个月某超市购进了两批相同品种的水果，第一批用了2000元，第二批用了5500元，第二批购进水果的重量是第一批的2.5倍，且进价比第一批每千克多1元．
（1）求两批水果共购进了多少千克？
（2）在这两批水果总重量正常损耗10%，其余全部售完的情况下，如果这两批水果的售价相同，且总利润率不低于26%，那么售价至少定为每千克多少元？
（利润率=100%⨯利润进价
） 【答案】（1）这两批水果功够进700千克；（2）售价至少为每千克15元．
【解析】
解：（1）设第一批购进水果x 千克，则第二批购进水果2.5千克，依据题意得：
5500200012.5x x
-=， 解得x=200，
经检验x=200是原方程的解，
∴x+2.5x=700，
答：这两批水果功够进700千克；
（2）设售价为每千克a元，则：
()
70010.120005500
0.26
20005500
a
---
≥
+
，
630a≥7500×1.26，
∴
7500 1.26
630
a
⨯
≥，
∴15
a≥，
答：售价至少为每千克15元．
【点睛】
分式方程和不等式的应用；理解题意，分析关系是关键.
24．（2019保定市乐凯中学初三期中）嘉嘉和淇淇做一个游戏，他们拿出8张扑克牌，将数字为3,4,7,9的四张牌给嘉嘉，将数字为2,5,6,8的四张牌给淇淇，再从各自的四张牌中随机抽出一张．
（1）用列表法或树状图表示出所得数字的所有情况；
（2）如果比大小，谁抽出的数字大谁获胜，嘉嘉获胜的概率是多少？
（3）如果求和，抽出的两个数字和为奇数，嘉嘉获胜；和为偶数，淇淇获胜，谁获胜的概率大，为什么？
【答案】（1）详见解析；（2）P(嘉嘉获胜)=
9
16
；（3）嘉嘉获胜的概率大，理由详见解析
【解析】
（1）列表如下：
（2）∵嘉嘉比淇淇数字大的有3,2 4,27,27,57,6;9,29,59,69,8；
；；；；；；，共9种， ∴P (嘉嘉获胜)=916
； （3）嘉嘉获胜的概率大，理由如下：
∵和为奇数的有3,23,63,84,57,27,67,89,29,69,8；
；；；；；；；；，共10种，和为偶数的有3,54,24,64,87,59,5；；；；；共 6种，
∴P (嘉嘉获胜)=105168
=，P (淇淇获胜)=63168=， ∴嘉嘉获胜的概率大．
【点睛】
本题主要考查等可能事件的概率以及游戏的公平性，掌握列表格法和概率公式，是解题的关键．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（2019保定市乐凯中学初三期中）某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．
（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件25.6元，求两次下降的百分率；
（2）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，
①每天要想获得504元的利润，每件应降价多少元？
②能不能一天获得520元的利润？请说明理由．
【答案】（1）两次下降的百分率为20%；（2）①降价3元；②不能获得520元利润，理由详见解析
【解析】
（1）设两次降价的百分率为x ，
由题意得：()240125.6x -=，即：()216125x -=
， 解得：121
955
x x ==，（舍） 答：两次下降的百分率为20%；
（2）由题意得：该商品每降价1元，每天可多销售8件
①设每件应降价x 元，
由题意得：()()4030488504x x --+=，
解得：121
3x x ==，，
∵要尽快减少库存，
∴3x =，
答：每件应降价3元；
②不能获得520元利润，理由如下：
设每件降价x 元，
则()()4010488520x x --+=，
整理得：2450x x -+=，
∵()2
44540=--⨯=-<V ，
∴方程无解，
∴不能获得520元利润．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的实际应用，找出等量关系，列出一元二次方程，是解题的关键．
26．（2020安徽初三）如图是某品牌自行车的最新车型实物图和简化图，它在轻量化设计、刹车、车篮和座位上都做了升级．A 为后胎中心，经测量车轮半径AD 为30cm ，中轴轴心C 到地面的距离CF 为30cm ，座
位高度最低刻度为155cm ，此时车架中立管BC 长为54cm ，且∠BCA =71°．（参考数据：
sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.88）
（1）求车座B 到地面的高度（结果精确到1cm ）；
（2）根据经验，当车座B '到地面的距离B 'E '为90cm 时，身高175cm 的人骑车比较舒适，此时车架中立管BC 拉长的长度BB '应是多少？（结果精确到1cm ）
【答案】（1）车座B 到地面的高度是81cm ；（2）车架中立管BC 拉长的长度BB '应是6cm ．
【解析】
（1）设AC 于BE 交于H ，
∵AD⊥l，CF⊥l，HE⊥l，
∴AD∥CF∥HE，
∵AD=30cm，CF=30cm，
∴AD=CF，
∴四边形ADFC是平行四边形，
∵∠ADF=90°，
∴四边形ADFC是矩形，
∴HE=AD=30cm，
∵BC长为54cm，且∠BCA=71°，
∴BH=BC•sin71°=51.3cm，
∴BE=BH+EH=BH+AD=51.3+30≈81cm；
答：车座B到地面的高度是81cm；
（2）如图所示，B'E'=96.8cm，设B'E'与AC交于点H'，则有B'H'∥BH，
∴△B'H'C∽△BHC，得B H B C BH BC
=
'''
．
即9030
5154
B C
-
=
'
，
∴B'C=cm．
故BB'=B'C﹣BC=60﹣54=6（cm）．
∴车架中立管BC拉长的长度BB'应是6cm．
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用、切线的性质解解直角三角形的应用，解题的难点在于从实际问题中抽象出数学问题，难度较大．。