2020年全国普通高等学校招生统一考试理科数学试卷全国Ⅲ卷(含答案)

2
2
9
3
A .(4
,0)
吒，0）
0.(1,0)
D.(2 ,0)
6.已知向量a , b 满足|a | 5 ,|b| 6, a
6，贝U cos(a , a b..
31 A.— 35
7.在 Z\AB0 中, 19 B.—
35
2 一 • cosC 一，AC 4 ,
3
17
C.—
19
D.—
35
B0
3，贝U cosB
1 A.— 1 B.- 1
2020年全国普通高等学校招生统一考试试卷 全国m 卷
理科数学
、选择题
1.
已知集合 A {(x, y)|x, y N , y , x} , B (( x , y) |x
则C 的焦点坐标为（
）
8｝，贝U A 。

B 中元素的个数为
A.2
B.3
C.4
D.6
1
2.复数——的虚部是（
）
1 3i 3 A. 10
1 B.
10
1 C.—
3.在一组样本数据中，1 , 2, 3, 4出现的频率分别为
P i ，
3 D.— 10
4
种情形中, 对应样本的标准差最大的一组是（
A. P 1 P 4 0.1 , P 2 P 3 0.4
B. P i P 4 0.4 P 2 P 3
0.1 C. P
P 4
0.2 , P 2
P 3
0.3
D. P i
P 4
0.3
P 2 P 3
0.2
4.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域,
有学者根据公布数据建立了某
地区新冠肺炎累计确诊病例数 I （t ） （t 的单位：天）的Logistic 模型：I （t ）
―K_苴
1 e 0.23(t 53)，八
中K 为最大确诊病例数.当I （t ） 0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则 t 约为（ln19 3）
A.60
B.63
C.66
D.69
5.
设O 为坐标原点，直线 x 2与抛物线C
:y 2
2PX (P
0)交于 D , E 两点，若 OD OE ,
8.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是(
x y 弘，
13. _______________________________________________________________ 若x, y 满足约束条件 2x y 》0，则z 3x 2y 的最大值为 __________________________________________
x<1,
14.------------------------------------------------------------------ (x 2歹的展开式中常数项是 (用数字作答) 15. 已知圆锥的底面半径为 1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为
.. ................................. 1 …
……
16.
关于函数f(x) sinx — 有如下四个命题：
sin x
①
f(x)的图像关于y 轴对称.
A.6 4.2
B.4 4.2
C.6
2 J3
D.4 23
9.已知2tan
tan(
兀、 一-，. -) 7,则 tan
()
4
A. 2
B. 1
C.1
D.2
10.若直线l 与曲线y
M 和圆
x 2 y 2 1
都相切，
5
' 则l 的方程为(
)
A. y 2x 1
1
B. y 2x
C.y
2
1 -x 1 2
D.y 1 -x 2
1
2
11.设双曲线
2
C 4 y
2
T
1(a 0, b 0)的左、右焦点分别为
• F 1 , F 2
,离心率为
5
上一点，且 * F 2
P
.若^PF^2的面积为4,则a ()
A.1
B.2
C.4
D.8
12.已知55 84, 134
85 .设 a log 5 3 , b log 8 5 , c log 13
8,则(
)
A.a b c
B.b a c
C.b
c a
D.c a b
.P 是C
二、填空题
②f(x)的图像关于原点对称.
③f(x)的图像关于直线x己对称.
2
④f(x)的最小值为2.
其中所有真命题的序号是 .
三、解答题
17.设数列｛a n｝满足a i 3 , a— 3a n 4n .
(1)计算a2, a3,猜想｛a n｝的通项公式并加以证明;
(2)求数列｛2n a n｝的前n项和& .
18.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人
(1)分别估计该市一天的空气质量等级为1, 2, 3, 4的概率；
(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为
代表)；
(3)若某天的空气质量等级为1或2,则称这天“空气质量好"；若某天的空气质量等级为3或4,则称这天“空气质量不好”.根据所给数据，完成下面的2 2列联表，并根据列联表,
判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关?
附：K2
BF 2FB1 .
(1)证明：点C i在平面AEF内;
(2)若AB 2 , AD 1 , AA 3 ,求二面角A EF A的正弦值.
20.已知椭圆C :—七 1(0 m 5)的离心率为匝,A, B分别为C的左、右顶点.
25 m 4
(1)求C的方程；
(2)若点P在C上，点Q在直线x 6上，且|BP| |BQ |, BP BQ ,求^APQ的面积.
21.设函数f(x) x3 bx c,曲线y f(x)在点(；，f(1))处的切线与y轴垂直.
(1)求b；
(2)若f(x)有一个绝对值不大于1的零点，证明：f(x)所有零点的绝对值都不大于 1.
_ 2
................................................ x 2 t t , . , ....... . •,
22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数万程为2 3t f2 (t为参数且t 1 ), C与坐标
轴交于A, B两点.
(1)求|AB|；
(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程
23.设a, b, c R , a b c 0 , abc 1.
(1)证明：ab bc ca 0 ；
(2)用max｛a, b, c｝表示a, b, c 的最大值，证明：max( a, b , c｝，幅.
参考答案
1.答案：C
解析：
2.答案：D
解析：
3.答案：B
解析：
4.答案：C
解析：
5.答案：B
解析：
6.答案：D
解析：
7.答案：A
解析：
8.答案：C
解析：
9.答案：D
解析：
10.答案：D
解析：
11.答案：A
解析：
12.答案：A
解析：
13.答案：7 解析：
14.答案：240 解析：
15. 答案：—兀
3
解析：
16. 答案：②③
解析：
17. 答案：解：(1) a ? 5, a 3 7.
猜想a n 2n 1.由已知可得
a n 1 (2n 3) 3[& (2n 1)],
a n (2n 1) 3[a n1 (2n 1)], a ? 5 3(a 1 3).
因为a 3，所以a ” 2n 1. n
n 2 3 n
(2)由(1)碍 2 a n (2n 1)2，所以 S n 3 2 5 2 7 2 \\\ (2n 1) 2 .①
从而 2S n 3 22 5 23 7 2」小(2n 1) 2n 1.② ①-②得 S n 3 2 2 22 2 23 M 2
2n
(2n 1)
2n 1.
所以 S (2n 1)2n 1 2. 解析：
18.
答案：解：(1)由所给数据，该市一
天的空气质量等级为 1,2,3,4的概率的估计值如下表:
1
(2) 一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为
——
(100 20 300 35 500 45) 350 100
(3)根据所给数据，可得 2 2列联表:
根据列联表得 K 2 100 (33 8 22 37)2 5.820.
55 45 70 30
7
7
A F
设n 1
n 1 2
) 由 已 知 得 A(2,1,3), E(2,0,2), F (0,1,1), A (2,1,0),
A E
(0,
1 (2,0, 2),AE
(x, y, z)为平面 n 1 AF
1, 1)
(0, 1,2),
A F ( 2,0,1).
AEF 的法向量，则
z 0, …
c c 可取 n 1 ( 1, 1,1).
设J 为平面AEF 的法向量，则
0, r
同理可取n 2
n 2 A 1F 0,
1 顷
2,1
).
因为 cos n 1,n 2.
n 〔 n 2 |n 11 |n 2 |
7 42
由于5.820 3.841 ,故有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量 有关. 解析:
19.答案：解:设AB
a,AD b,AA, c,如图，以G 为坐标原点,
建立空间直角坐标系 G xyz.
(1)
连结 GF ,则 C (0,0,0) , A(a,b,c) , E(a,0,2c) , F(0,b,-c) ,
E A 3
3
彳林赤),得EA G F, 3
—1、
(0,b,-c),
因此
EA/ZG I
F
，即A, E, F ,C i 四点共面，所以点 C i 在平面AEF 内.
的方向为x 轴正方向,
解析:
20.答案：解:
(2)设P(X p,y p),Q(6, Y Q
),根据对称性可设y Q
由已知可得B(5,0),直线BP的方程为y —(x
y Q
因为|BP| |BQ|,所以Y P 1,将
Y P 1代入C的方程，解得X p 3或3. 由直线BP的方程得Y Q 2或8.
所以点P, Q 的坐标分别为P (3,1)Q(6,2); P2 ( 3,1)Q(6,8).
..一......... 1 .一| PQ1 | 而，直线PQ I的方程为y -X，点A
3
的面积为1 M ..10 5.
2 2 2
——7
10
| P2Q2 | J130 ,直线P2Q2 的方程为y - X—
9 3
的面积为1 2卫.疏5.
2 26 2
综上，^AP Q的面积为5. 解析：
2 一
21.答案：解：(1) f (x) 3x b.
依题意得f (1) 0 ,即3 b 0.
2 ， 4
故b 3.
4
3 3 2 (2)由(1)知f (x) x - x c, f (x) 3x 4
(5,0)到直线PQ1的距离为寸10 ,故APQ I ,点A到直线P2Q2的距离为"13。

,故A AP2Q2
f (x)与f(x)的情况为:
1 1 令f (X) 0 ,解得X 一或x -.
2 2
(1)由题设可得(25 m25
16 ' 所以C的方程为25
2
匕1
25
16 0,由题意知Y P 0.
5)，所以| BP| yp j1 y Q,|BQ| J y Q
f(x) / 1 c —4 1 c —4 /
因为f (1)
因为f ( 1)
由题设可
知_ 1 1 ~ …
f( —) c—,所以当
2 4
一1、 1 一,
f (—) c 4 ,所以当
4悠「
1
c 一时f (x)只有大于1的写点.
4
1
c -时，f(x)只有小于1的岑点.
4
1 , 4时，f (x)只有两个零点
1 一和
1. 2
1 ,
4时,
当1
4 f (x)只有两个零点
1…C二时,
4 f (x)有三个零点
综上，若 f (X)有一个绝对值不大于解析:
22.答
案: X，X2，%，且
X i
…1、，. •、
(1, ),x2 (二，二)，
冷
2
1的零点，贝U f (X)所有零点的绝对值都不大于 1.
解：(1)因为t 1 ,由2 t t2 0得t 2,所以C与y轴的交点为(0,12);由2 3t t2 0得t 2,所以C与x轴的交点为(4,0).
x y (2)由(1)可知，直线AB的直角坐标方程为一』1,
4 12 将x cos ,y sin 代入,
得直线AB的极坐标方程3 cos sin 12 0
23.答案：解：(1)
ab bc ca 1
1/2 (a 2 b2c2)
解析:
0.由题设可
知,
b
a, b,c均不为零，所以
(2)不妨设max(a,b,c}
3
可得、，故
4
解析:
\2 / 2
c) (a
,所以max(a,b, c}/3 4 .
b2c2)]
a ,因为abc 1, a (
b c),所以a
，一、2
0,b 0,c 0 .由b《％2 ,
11。