高考数学压轴专题人教版备战高考《推理与证明》单元汇编及答案解析

【高中数学】数学《推理与证明》高考知识点
一、选择题
1．2019年10月1日，为了庆祝中华人民共和国成立70周年，小明、小红、小金三人以国庆为主题各自独立完成一幅十字绣赠送给当地的村委会，这三幅十字绣分别命名为“鸿福齐天”、“国富民强”、“兴国之路”，为了弄清“国富民强”这一作品是谁制作的，村支书对三人进行了问话，得到回复如下：
小明说：“鸿福齐天”是我制作的；
小红说：“国富民强”不是小明制作的，就是我制作的；
小金说：“兴国之路”不是我制作的，
若三人的说法有且仅有一人是正确的，则“鸿福齐天”的制作者是（）
A．小明B．小红C．小金D．小金或小明
【答案】B
【解析】
【分析】
将三个人制作的所有情况列举出来，再一一论证.
【详解】
依题意，三个人制作的所有情况如下所示：
123456
鸿福齐天小明小明小红小红小金小金
国富民强小红小金小金小明小红小明
兴国之路小金小红小明小金小明小红
若小明的说法正确，则均不满足；若小红的说法正确，则4满足；若小金的说法正确，则3满足.故“鸿福齐天”的制作者是小红，
故选：B.
【点睛】
本题考查推理与证明，还考查推理论证能力以及分类讨论思想，属于基础题.
2．我国南宋数学家杨家辉所著的《详解九章算法》一书中记录了一个由正整数构成的三角形数表，我们通常称之为杨辉三角.以下数表的构造思路就来源于杨辉三角.( )
从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数a ，则
a 的值为( )
A ．100820182⨯
B ．100920182⨯
C ．100820202⨯
D ．100920202⨯
【答案】C 【解析】 【分析】
根据每一行的第一个数的变化规律即可得到结果. 【详解】
解：第一行第一个数为：0112=⨯； 第二行第一个数为：1422=⨯； 第三行第一个数为：21232=⨯； 第四行第一个数为：33242=⨯；
L L ，
第n 行第一个数为：1
n 2n n a -=⨯；
一共有1010行，
∴第1010行仅有一个数：10091008a 1010220202=⨯=⨯； 故选C ． 【点睛】
本题考查了由数表探究数列规律的问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
3．观察下列各式：a+b=1.a 2+b 2=3，a 3+b 3=4 ，a 4+b 4=7,a 5+b 5=11,…，则a 10+b 10=（ ） A ．28 B ．76
C ．123
D ．199
【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 由题观察可发现，
347,4711,71118+=+=+=， 111829,182947+=+=， 294776,4776123+=+=，
即1010123a b +=, 故选C.
考点：观察和归纳推理能力.
4．观察下图：
12343456745678910
L
L
则第 行的各数之和等于22017（ ） A ．2017 B ．1009
C ．1010
D ．1011
【答案】B 【解析】 【分析】
由图可得：第n 行的第一个数为n ，有21n -个数，且这21n -个数成公差为1的等差数列，利用等差数列求和公式算出即可 【详解】
由图可得：第n 行的第一个数为n ，有21n -个数 且这21n -个数成公差为1的等差数列 所以第n 行的各数之和为：()()()()
2
2122211212
n n n n n ---+⨯=
-
令212017n -=，得1009n = 故选：B 【点睛】
本题考查的是推理和等差数列的知识，较简单.
5．设
a ，
b ，
c 都大于0，则三个数1a b +，1b c +，1
c a
+的值（ ） A ．至少有一个不小于2 B ．至少有一个不大于2 C ．至多有一个不小于2 D ．至多有一个不大于2
【答案】A 【解析】 【分析】
根据基本不等式，利用反证法思想，即可得出答案 【详解】
因为
a ，
b ，
c 都大于0
1111116a b c a b c b c a a b c +
++++=+++++≥ 当且仅当1a b c ===时取得最小值 若12a b +
<，12b c
+<，1
2c a +<
则111
6a b c b c a
+
++++<，与前面矛盾 所以三个数1a b +，1b c +，1
c a
+的值至少有一个不小于2 故选：A 【点睛】
本题是一道关于基本不等式应用的题目，掌握基本不等式是解题的关键.
6．观察2'()2x x =，4'3()4x x =，'(cos )sin x x =-，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -= A ．()f x B ．()f x -
C ．()g x
D ．()g x -
【答案】D 【解析】
由归纳推理可知偶函数的导数是奇函数，因为()f x 是偶函数，则()()g x f x '=是奇函数，所以()()g x g x -=-，应选答案D ．
7．《九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”（整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如：2n =及3n =时，如图：
记n S 为每个序列中最后一列数之和，则6S 为（ ） A ．147 B ．294
C ．882
D ．1764
【答案】A 【解析】 【分析】
根据题目所给的步骤进行计算，由此求得6S 的值. 【详解】 依题意列表如下：
所以6
603020151210147S =+++++=.
故选：A 【点睛】
本小题主要考查合情推理，考查中国古代数学文化，属于基础题.
8．小赵、小钱、小孙、小李四位同学被问到谁去过北京时，
小赵说：我没去过；小钱说：小李去过；小孙说；小钱去过；小李说：我没去过．假定四人中只有一人说的是假话，由此可判断一定去过北京的是（ ） A ．小钱 B ．小李
C ．小孙
D ．小赵
【答案】A 【解析】
由题意的，如果小赵去过长城，则小赵说谎，小钱说谎，不满足题意；
如果小钱去过长城，则小赵说真话，小钱说谎，小孙、小李说真话，满足题意，故选A.
9．二维空间中圆的一维测度(周长)2l
r π=，二维测度(面积)2S r π=；三维空间中球的二
维测度(表面积)24S r π=，三维测度(体积)3
43
V r π=
.若四维空间中“超球”的三维测度38V r π=，猜想其四维测度W =（ ）
A ．42r π
B ．43r π
C ．44r π
D ．46r π
【答案】A 【解析】
分析：由题意结合所给的性质进行类比推理即可确定四维测度W .
详解：结合所给的测度定义可得：在同维空间中，1n +维测度关于r 求导可得n 维测度， 结合“超球”的三维测度38V r π=，可得其四维测度42W r π=. 本题选择A 选项.
点睛：本题主要考查类比推理，导数的简单应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
10．甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知．3人作出如下预测：甲说：我不是第三名；乙说：我是第三名；丙说：我不是第一名．若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第三名的是 A ．甲 B ．乙
C ．丙
D ．无法预测
【答案】A 【解析】 【分析】
若甲的预测正确，则乙、丙的预测错误，推出矛盾！若乙的预测正确，甲、丙的预测错误，推出矛盾！若丙的预测正确，甲、乙的预测错误，可推出三个人的名次。

【详解】
若甲的预测正确，乙、丙的预测错误，则丙是第一名，甲不是第三名，则甲是第二名，乙是第三名，矛盾！
若乙的预测正确，甲、丙的预测错误，则乙是第三名，甲的预测错误，那么甲是第三名，矛盾！
若丙的预测正确，则甲、乙的预测错误，则甲是第三名，乙不是第三名，丙是第一名，则乙是第二名。

因此，第三名是甲，故选：A 。

【点睛】
本题考查合情推理，突出假设法在推理中的应用，通过不断试错来推出结论，考查推理分析能力，属于中等题。

11．用数学归纳法证明“1112n n ++++…111()24
n N n n +≥∈+”时，由n k =到1n k =+时，不等试左边应添加的项是( )
A ．1
2(1)
k +
B ．
11
2122
k k +++ C ．
11121221k k k +-+++ D ．1111
212212k k k k +--++++ 【答案】C 【解析】 【分析】
分别代入,1n k n k ==+，两式作差可得左边应添加项。

由n=k 时，左边为
11112k k k k
+++++L ， 当n=k+1时，左边为11111
231(1)(1)
k k k k k k k k +++++++++++++L 所以增加项为两式作差得：111
21221
k k k +-+++，选C. 【点睛】
运用数学归纳法证明命题要分两步，第一步是归纳奠基(或递推基础)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立，第二步是归纳递推(或归纳假设)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立，只要完成这两步，就可以断定命题对从n 0开始的所有的正整数都成立，两步缺一不可．
12．学校艺术节对同一类的A 、B 、C 、D 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下： 甲说：“是C 或D 作品获得一等奖” 乙说：“B 作品获得一等奖” 丙说：“A 、D 两项作品未获得一等奖” 丁说：“是C 作品获得一等奖” 若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品为（ ） A ．C 作品 B ．D 作品 C ．B 作品 D ．A 作品 【答案】C
【解析】分析：根据学校艺术节对同一类的A ，B ，C ，D 四项参赛作品，只评一项一等奖，故假设A ，B ，C ，D 分别为一等奖，判断甲、乙、丙、丁的说法的正确性，即可判断．
详解：若A 为一等奖，则甲，丙，丁的说法均错误，故不满足题意， 若B 为一等奖，则乙，丙说法正确，甲，丁的说法错误，故满足题意， 若C 为一等奖，则甲，丙，丁的说法均正确，故不满足题意， 若D 为一等奖，则只有甲的说法正确，故不合题意，
故若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是B 故答案为：C.
点睛：本题考查推理的应用，意在考查学生的分析、推理能力．这类题的特点是：通过几组命题来创设问题情景，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.对于逻辑推理问题，应耐心读题，找准突破点，一般可以通过假设前提依次验证即可.
13．对于实数a ，b ，已知下列条件：①2a b +=；②2a b +>；③2a b +>-；④1ab >；⑤log 0a b <．其中能推出“a ，b 中至少有一个大于1”的条件为（ ） A ．②③④ B ．②③④⑤ C ．①②③⑤ D ．②⑤
【答案】D
【分析】
根据条件分别利用特殊值以及反证法进行判断即可． 【详解】
①当a ＝b ＝1时，满足a +b ＝2，但此时推不出结论，
②若a ≤1，b ≤1，则a +b ≤2，与a +b ＞2，矛盾，即a +b ＞2，可以推出，
③当a 12=
，b 1
2
=时，满足条件a +b ＞﹣2，则不可以推出， ④若a ＝﹣2，b ＝﹣1．满足ab ＞1，但不能推出结论，
⑤由log a b ＜0得log a b ＜log a 1，若a ＞1，则0＜b ＜1，若0＜a ＜1，则b ＞1，可以推出结论．
故可能推出的有②⑤， 故选：D ． 【点睛】
本题主要考查合情推理的应用，利用特殊值法以及反证法是解决本题的关键．比较基础．
14．设函数()()02x f x x x =
>+，观察下列各式：()()12
x
f x f x x ==
+，()()()2134x f x f f x x ==
+，()()()3278x f x f f x x ==+，()()()431516
x
f x f f x x ==+，…，()()()1n n f x f f x -=，…，根据以上规律，若1122018n f ⎛⎫
> ⎪⎝⎭
，则整数n 的最大值为( )
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
【答案】C 【解析】
分析：由已知所给的前几函数的特点：分子都是x ，分母是关于x 的一次式，其常数项为2n ，一次项的系数比常数项小1，据此即可得出答案． 详解：观察：()()12x f x f x x ==
+，()()()2134
x
f x f f x x ==+，()()()3278x f x f f x x ==
+，()()()431516
x f x f f x x ==+，…，()()()1n n f x f f x -=，…可知：分子都是x ，分母是关于x 的一次式，其常数项为2n ，一
次项的系数比常数项小1，故f n （x ）=
(21)2n n
x
x -+，所以
11
1112()(21)2212201822
n n n n n
f +==>--++，即
12122018n n +-+<2019
2673103
n
n ⇒<
=⇒<，故n 的最大值为9，选C. 点睛：善于分析、猜想、归纳所给的式子的规律特点是解题的关键．然后再结合函数的最值分析思维即可解决问题.
15．数列{}1212:1
,(2)n n n n F F F F F F n --===+>，最初记载于意大利数学家斐波那契
在1202年所著的《算盘全书》.若将数列{}n F 的每一项除以2所得的余数按原来项的顺序构成新的数列{}n a ，则数列{}n a 的前50项和为（ ） A ．33 B ．34
C ．49
D ．50
【答案】B 【解析】 【分析】
根据{}n a 为{}n F 除以2的余数，依次写出{}n F 的各项，从而可得{}n a 是按1,1,0的周期排列规律，即可求出结论. 【详解】
依次写出{}n F 的各项1234561,1,2,3,5,8F F F F F F ======L ，
{}n a 为{}n F 除以2的余数，依次写出{}n a 各项为
1234561,1,0,1,1,0a a a a a a ======L ，
{}n a ∴各项是按1,1,0的周期规律排列，
1234950162234a a a a a +++++=⨯+=L .
故选：B. 【点睛】
本题考查归纳推理、猜想能力，考查分析问题、解决问题能力，属于中档题.
16．对大于1的自然数 m 的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：
33313
7
3152{3{94{517
11
19
L ，，,仿此，若3m 的“分裂数”中有一个是73，则m 的值为（ ） A ．8 B ．9
C ．10
D ．11
【答案】B 【解析】
由题意可得3m 的“分裂数”为m 个连续奇数，设3m 的“分裂数”中第一个数为m a ，则由题意可得：3273422a a -=-==⨯，43137623a a -=-==⨯，…，
12(1)m m a a m --=-，将以上2m -个式子叠加可得
2(422)(2)
(1)(2)2
m m m a a m m +---=
=+-
∴2
2(1)(2)1m a m m a m m =+-+=-+
∴当9m =时，73m a =，即73是39的“分裂数”中第一个数 故选B
17．三角形的三个顶点的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，33(,)x y ，则该三角形的重心（三边中线交点）的坐标为123123,33x x x y y y ++++⎛⎫
⎪⎝⎭
.类比这个结论，连接四面体的一个顶点及其对面三角形重心的线段称为四面体的中线，四面体的四条中线交于一点，该点称为四面体的重心.若四面体的四个顶点的空间坐标分别为111(,,)x y z ，222(,,)x y z ，
333(,,)x y z ，444(,,)x y z ，则该四面体的重心的坐标为（ ）
A ．()123412341234,,x x x x y y y y z z z z +++++++++
B ．123412341234,,222x x x x y y y y z z z z +++++++++⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．123413341234
,,
333x x x x y y y y z z z z +++++++++⎛⎫
⎪⎝
⎭
D ．123412341234,,444x x x x y y y y z z z z +++++++++⎛⎫
⎪⎝⎭
【答案】D 【解析】 【分析】
首先根据题意，三角形的重心的坐标是三个顶点坐标的算术平均数，从平面扩展到空间，从三角形扩展到四面体，得到四面体的重心的坐标是四个顶点的算术平均数，从而得到答案. 【详解】
根据题意，三角形重心的坐标是三个顶点的坐标的算术平均数， 从平面扩展到空间，从三角形推广到四面体， 就是四面体重心的坐标是四个顶点的算术平均数， 故选D. 【点睛】
该题考查的是类比推理，由平面图形的性质类比猜想得出空间几何体的性质，一般思路是：点到线，线到面，或是二维到三维，属于简单题目.
18．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为1S ，外接圆面积为2S ，则
121
4
S S =，推广到空间中可以得到类似结论：已知正四面体P ABC -的内切球体积为1V ，
外接球体积为2V ，则为12V V =（ ） A ．164 B ．127 C ．19
D ．18
【答案】B
【解析】
【分析】
平面图形类比空间图形,二维类比三维,类比平面几何的结论,确定正四面体的外接球和内切球的半径之比,即可求得结论.
【详解】
设正四面体P-ABC 的边长为a ，设E 为三角形ABC 的中心，H 为正四面体P-ABC 的中心，则HE 为正四面体P-ABC 的内切球的半径r,BH=PH 且为正四面体P-ABC 的外接球的半径R ，
所以BE=2223336,33a a PE a a a ⎛⎫⨯==-= ⎪ ⎪⎝⎭
， 所以在Rt BEH ∆中 ，22263a r r a ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
解得6
12r a =，所以R=PE-HE=6663124
a a a -=，所以13r R =， 根据的球的体积公式有，33132413427
3
r V r V R R ππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 故选：B.
【点睛】
本题考查类比推理，常见类型有：（1）等差数列与等比数列的类比；（2）平面与空间的类比；（3）椭圆与双曲线的类比；（4）复数与实数的类比；（5）向量与数的类比.
19．甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测：
甲预测说：获奖者在乙、丙、丁三人中；
乙预测说：我不会获奖，丙获奖
丙预测说：甲和丁中有一人获奖；
丁预测说：乙的猜测是对的
成绩公布后表明，四人的猜测中有两人的预测与结果相符.另外两人的预测与结果不相符，已知有两人获奖，则获奖的是（）
A ．甲和丁
B ．乙和丁
C ．乙和丙
D ．甲和丙
【答案】B
【解析】
【分析】
从四人的描述语句中可以看出，乙、丁的表述要么同时与结果相符，要么同时与结果不符，再进行判断
【详解】
若乙、丁的预测成立，则甲、丙的预测不成立，推出矛盾．故乙、丙预测不成立时，推出获奖的是乙和丁
答案选B
【点睛】
真假语句的判断需要结合实际情况，作出合理假设，才可进行有效论证
20．用数学归纳法证明
11151236n n n ++⋅⋅⋅+≥++时，从n k =到1n k =+，不等式左边需添加的项是（ ）
A ．
111313233k k k +++++ B ．112313233k k k +-+++ C ．11331
k k -++ D ．133
k + 【答案】B
【解析】 分析：分析n k =，1n k =+时，左边起始项与终止项，比较差距，得结果.
详解：n k =时，左边为111123k k k
++⋅⋅⋅+++, 1n k =+时，左边为111111233313233
k k k k k k ++⋅⋅⋅++++++++++, 所以左边需添加的项是
11111123132331313233k k k k k k k ++-=+-+++++++，选B. 点睛：研究n k =到1n k =+项的变化，实质是研究式子变化的规律，起始项与终止项是什么，中间项是如何变化的.。