高数微积分公式大全(考试必考)

高等数学微积分公式大全
一、基本导数公式
⑴()0c '= ⑵1x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2
tan sec x x '= ⑹()2
cot csc x x '=-
⑺()sec sec tan x x x '=⋅ ⑻()csc csc cot x x x '=-⋅ ⑼()x
x
e e '= ⑽()ln x
x
a a
a '= ⑾()1
ln x x
'=
⑿(
)1
log ln x
a
x a
'= ⒀(
)arcsin x '= ⒁(
)arccos x '=⒂()21arctan 1x x '=
+ ⒃()2
1arc cot 1x x '=-+⒄()1x '=
⒅
'=
二、导数的四则运算法则
()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2
u u v uv v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭
三、高阶导数的运算法则 （1）()()()
()
()
()()n n n u x v x u x v x ±=±⎡⎤⎣⎦ （2）()()
()()n n cu x cu x =⎡⎤⎣⎦
（3）()()()
()n n n
u ax b a u
ax b +=+⎡⎤⎣⎦
（4）()()()
(
)
()()()0
n
n n k k k n k u x v x c u x v x -=⋅=⎡⎤⎣⎦
∑
四、基本初等函数的n 阶导数公式 （1）()
()
!n n
x
n = （2）()
()
n ax b n ax b e a e ++=⋅ (3)()
()
ln n x x n a a a =
(4)()()
sin sin 2n n ax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦
⎝⎭ (5) ()()cos cos 2n n
ax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝
⎭ (6)()
()
()
1
1!
1n n n
n a n ax b ax b +⋅⎛⎫
=- ⎪+⎝⎭
+ (7) ()()
()
()()
1
1!
ln 1n n n n
a n ax
b ax b -⋅-+=-⎡⎤⎣⎦
+
五、微分公式与微分运算法则
⑴()0d c = ⑵()
1
d x x dx μμμ-= ⑶()sin cos d x xdx =
⑷()cos sin d x xdx =- ⑸()2
tan sec d x xdx = ⑹()2
cot csc d x xdx =-
⑺()sec sec tan d x x xdx =⋅ ⑻()csc csc cot d x x xdx =-⋅
⑼()
x x d e e dx = ⑽()
ln x x
d a a adx = ⑾()1ln d x dx x
=
⑿(
)1log
ln x
a
d dx x a =
⒀()arcsin d x = ⒁()arccos d x =
⒂()21arctan 1d x dx x =
+ ⒃()2
1
arc cot 1d x dx x
=-+ 六、微分运算法则
⑴()d u v du dv ±=± ⑵()d cu cdu = ⑶()d uv vdu udv =+ ⑷2
u vdu udv
d v v -⎛⎫= ⎪⎝⎭
七、基本积分公式
⑴kdx kx c =+⎰ ⑵1
1
x x dx c μμ
μ+=++⎰ ⑶ln dx x c x =+⎰
⑷ln x
x
a a dx c a
=+⎰ ⑸x x e dx e c =+⎰ ⑹cos sin xdx x c =+⎰ ⑺sin cos xdx x c =-+⎰ ⑻2
21sec tan cos dx xdx x c x ==+⎰⎰
⑼2
21csc cot sin xdx x c x ==-+⎰⎰
⑽21arctan 1dx x c x =++⎰ ⑾
arcsin x c =+
八、补充积分公式
tan ln cos xdx x c =-+⎰ cot ln sin xdx x c =+⎰ sec ln sec tan xdx x x c =++⎰ csc ln csc cot xdx x x c =-+⎰
22
11arctan x dx c a x a a
=++⎰ 22
11ln 2x a
dx c x a a x a
-=+-+⎰
arcsin x
c a =+
ln x c =+
十、分部积分法公式
⑴形如n ax x e dx ⎰
，令n u x =，ax
dv e dx =
形如sin n x xdx ⎰令n
u x =，sin dv xdx =
形如cos n x xdx ⎰
令n
u x =，cos dv xdx =
⑵形如arctan n x xdx ⎰
，令arctan u x =，n
dv x dx =
形如ln n x xdx ⎰
，令ln u x =，n
dv x dx =
⑶形如sin ax e xdx ⎰，cos ax e xdx ⎰
令,sin ,cos ax
u e x x =均可。

十一、第二换元积分法中的三角换元公式
s i n x a t = (2) t a n x a t
= sec x a t = 【特殊角的三角函数值】
（1）sin 00= （2）1sin
6
2π
=
（3）sin 3π= （4）sin 12π=） （5）sin 0π=
（1）cos 01= （2）cos
6
2
π
=
（3）1cos 32π= （4）cos 02π=） （5）cos 1π=-
（1）tan 00= （2）tan
6
3
π
=
（3）tan 3π=（4）tan 2π不存在 （5）tan 0π=
（1）cot 0不存在 （2
）cot 6
π
=（3
）cot
3
3
π
=
（4）cot 02π=（5）cot π不存在
十二、重要公式
（1）0sin lim
1x x
x
→= （2）()1
0lim 1x x x e →+= （3
）)1n a o >= （4
）1n = （5）lim arctan 2
x x π
→∞
=
（6）lim tan 2
x arc x π
→-∞
=-
（7）lim arc cot 0x x →∞
= （8）lim arc cot x x π→-∞
= （9）lim 0x
x e →-∞
=
（10）lim x x e →+∞
=∞ （11）0
lim 1x
x x +
→= （12）0
101101
lim
0n n n m m x m a n m
b a x a x a n m b x b x b n m
--→∞⎧=⎪⎪++
+⎪
=<⎨+++⎪
∞>⎪⎪⎩
（系数不为0的情况） 十三、下列常用等价无穷小关系（0x →）
sin x x tan x x a r c s i n x x arctan x
x 2
11c o s
2
x x - ()
ln 1x x + 1x e x - 1
l n x a x a - ()11x x ∂
+-∂
十四、三角函数公式
1.两角和公式
sin()sin cos cos sin A B A B A B +=+ s i n ()s i n c o s c o s s A B A B A B -=- cos()cos cos sin sin A B A B A B +=- c o s ()c o s
c o s
s i n s
A B A B A B -=+ tan tan tan()1tan tan A B A B A B ++=
- tan tan tan()1tan tan A B
A B A B --=+
cot cot 1cot()cot cot A B A B B A ⋅-+=+ cot cot 1
cot()cot cot A B A B B A
⋅+-=-
2.二倍角公式
sin 22sin cos A A A = 2222cos 2cos sin 12sin 2cos 1A A A A A =-=-=-
2
2tan tan 21tan A
A A
=
-
3.半角公式
sin
2A =
cos 2A
=sin tan
21cos A A A ==+
sin cot 21cos A A
A
==
-
4.和差化积公式
sin sin 2sin
cos 22a b a b a b +-+=⋅ sin sin 2cos sin 22a b a b
a b +--=⋅ cos cos 2cos cos 22a b a b a b +-+=⋅ cos cos 2sin sin 22
a b a b
a b +--=-⋅
()sin tan tan cos cos a b a b a b
++=
⋅
5.积化和差公式
()()1sin sin cos cos 2a b a b a b =-+--⎡⎤⎣⎦ ()()1
cos cos cos cos 2
a b a b a b =++-⎡⎤⎣⎦ ()()1s i n c o s s i n s i n 2a b a b a b =++-⎡⎤⎣⎦ ()()1
c o s s i n s i n s i n 2
a b a b a b =+--⎡⎤⎣⎦ 6.万能公式
22tan
2sin 1tan 2
a
a a
=
+ 2
2
1tan 2cos 1tan 2a a a -=+ 22t a n
2t a n 1t a n
2
a
a a
=- 7.平方关系
22sin cos 1x x += 22sec n 1x ta x -= 22csc cot 1x x -=
8.倒数关系
tan cot 1x x ⋅= sec cos 1x x ⋅= c sin 1cs x x ⋅=
9.商数关系
sin tan cos x x x =
cos cot sin x
x x
= 十五、几种常见的微分方程 1.可分 离变量的微分方程：
()()dy
f x
g y dx
= ， ()()()()11220f x g y dx f x g y dy += 2.齐次微分方程：dy y f dx x ⎛⎫= ⎪⎝⎭
3.一阶线性非齐次微分方程：
()()dy
p x y Q x dx
+= 解为：
()()()p x dx p x dx y e Q x e dx c -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦
⎰。