江苏省高三数学百校大联考苏教版
江苏省2025届高三数学第二次百校联考试题
2025届高三数学其次次考试试题留意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必需用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必需写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准运用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必需保持答题卡的整齐。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x |x 2－x －2＜0}，B ＝{－2，－1，0，1，2}，则A ∩B ＝( )A ．{0}B ．{0，1}C ．{－1，0}D ．{－1，0，1，2} 2．若复数z ＝(m ＋1)－2m i(m ∈R )为纯虚数，则z 的共轭复数是( )A ．－2iB ．－iC ．iD ．2i 3．设函数错误!未指定书签。
则f (f (－3))＝()A ．14B ．2C ．4D ．8 4．《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器----商鞅铜方升，其外形由圆柱和长方体组合而成．已知某组合体由圆柱和长方体组成，如图所示，圆柱的底面直径为1寸，长方体的长、宽、高分别为3．8寸，3寸，1寸，该组合体的体积约为12．6立方寸，若π取3.14，则圆柱的母线长约为()A ．0.38寸B ．1.15寸C ．1.53寸D ．4.59寸5．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2)，现有如下四个命题：甲：该函数的最大值为2；乙：该函数图象可以由y ＝sin2x ＋cos2x 的图象平移得到； 丙：该函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π；丁：该函数图象的一个对称中心为(2π3，0)． 假如只有一个假命题，那么该命题是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁 6．“0＜x sin x ＜π2”是“0＜x ＜π2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知双曲线C 的左、右焦点分别是为F 1，F 2，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若→AF 2＝3→F 2B ，|→AB |＝|→AF 1|，则C 的离心率为( )A ．2B ．3C ．4D ．58．已知角α与角β的顶点均与原点O 重合，始边均与x 轴的非负半轴重合，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝35，则cos(α＋β)cos(α－β)＝( )A ．725B ．15C ．15D ．－725二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9．已知x ＋y ＞0，且x ＜0，则( )A ．x 2＞－xy B ．|x |＜|y | C ．lg x 2＞lg y2D ．y x ＋x y＜－210．已知两点A (－4，3)，B (2，1)，曲线C 上存在点P 满意|PA |＝|PB |，则曲线C 的方程可以是( )A ．3x －y ＋1＝0B ．x 2＋y 2＝4 C ．x 22－y 2＝1 D ．y 2＝3x11．设错误!未指定书签。
江苏省2024-2025学年高三上学期10月百校联考数学试卷(解析版)
江苏省高三年级数学试卷一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设全集U =R ，集合{}14A x x =<<，集合{0B x x =<或xx >2}，则集合()UA B = （ ）A. (]1,2B. ()1,2C. ()0,4D. [)0,4【答案】D 【解析】【分析】求出集合U B ，利用并集的定义可求得集合()U A B ∪. 【详解】因为全集U =R ，集合{}14A x x =<<，集合{0B x x =<或xx >2}， 则{}02U Bx x =≤≤ ，所以，()[)0,4UA B = .故选：D.2. 设复数z 满足i 2i 2i z =++（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ）A.B.C.D. 【答案】C 【解析】【分析】根据复数的四则运算及模长公式化简可得z ，进而可得解.【详解】由已知2i +=，则i 2i z =+，所以2z =，所以2z =+，， 故选：C.3. 已知命题2:,10p x x ax ∃∈−+=R ，命题q :x ∀∈R ，220x ax ++≥，则“命题p 成立”是“命题q ¬成立”成立的（ ） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】由存在量词命题、全称量词命题为真，结合方程有解及一元二次不等式恒成立化简命题,p q ，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得.【详解】由命题2:,10p x x ax ∃∈−+=R ，得2140a ∆=−≥，解得2a ≤−或2a ≥， 由命题q :x ∀∈R ，220x ax ++≥，得2280a ∆=−≤，解得a −≤≤ 命题q ¬：a <−或a >q p ¬⇒，而p 不能推出q ¬， 所以“命题p 成立”是“命题q ¬成立”成立的必要不充分条件. 故选：B4. 塑料制品给人们来了极大的方便，但由于其难以自然降解，也给环境造成了不小的污染，某种塑料在自然界降解后的残留量y 与自然降解时间（年）之间的关系为0e kty y =⋅，其中0y 为初始量，k 为降解系数，已知该种塑料经过3年自然降解后的残留量为初始量的80%，则要使得其残留量不超过初始量的10%，该种塑料至少需要自然降解的年数为（ ）（参考数据：lg 20.301≈） A. 30 B. 31 C. 32 D. 33【答案】B 【解析】【分析】由已知当3t =时，00.8y y =，可知1ln 0.83k =，代入解析式，令00.1y y ≤，解不等式即可. 【详解】由已知当3t =时，00.8y y =， 即3008e0.ky y ⋅=，则1ln 0.83k =，令00.1y y ≤，即000.e 1kty y ⋅≤， 解得ln 0.1kt ≤，即1ln 0.8ln 0.13t ≤，解得ln 0.1ln1011333330.9283ln 2ln 0.8ln 8ln101lg 21ln10t −≥⋅=⋅=⋅=⋅≈−−−， 即至少需要自然降解31年， 故选：B.5. 已知向量(),2a x = ，()2,b y = ，()1,2c =− ，若//,a c b c ⊥ ，则向量2a b +在向量c 上的投影向量为（ ） A. ()2,4− B. ()2,4−C. 13,22−−D. 13,22【答案】A 【解析】【分析】由//,a c b c ⊥可确定x y ，，后由投影向量定义可得答案.【详解】因//,a c b c ⊥ ，由题2212201x x y y −==− ⇒ −== ，则()()1,22,1a b =−=，. 则()20,5a b += ，则向量2a b + 在向量c 上的投影向量为：2cos 2,a b a b c e c c ++⋅.又25a b += ，c = ，()2cos 2,2a b c a b c a b c +⋅+==+⋅. 则()22,4e c =−=−.故选：A6. 下列在同一坐标系中的图象，可以作出三次函数ff (xx )=aaxx 3+bbxx 2+ccxx +dd (aa ≠0)及其导函数的图象为（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】分析可知，ff ′(xx )的图象为抛物线，利用导函数的符号与原函数单调性之间的关系逐项判断，可得出合适的选项.【详解】因为ff (xx )=aaxx 3+bbxx 2+ccxx +dd (aa ≠0)，则()232f x ax bx c ′=++，则ff ′(xx)的图象为抛物线，对于A 选项，如下图所示：当1x x <或2x x >时，ff ′(xx )<0，则函数()f x 在区间()1,x ∞−、()2,x ∞+上均为减函数， 不合乎题意，A 错；对于B 选项，由图可知，x ∀∈R ，ff ′(xx )>0，则函数()f x 在(),∞∞−+上为增函数，不合乎题意，B 错；对于C 选项，由图可知，x ∀∈R ，ff ′(xx )>0，则函数()f x 在(),∞∞−+上增函数，合乎题意，C 对；对于D 选项，如下图所示：当1x x <或2x x >时，ff ′(xx )<0，则函数()f x 在区间()1,x ∞−、()2,x ∞+上均为减函数， 不合乎题意，D 错. 故选：C.7. 对于任意的0x >，0y >，21223377x y m m x y x y +≥−++恒成立，则m 的最大值为（ ）A.37B. 1−C. 1D. 3【答案】D 【解析】【分析】设23x m x y =+，3y n x y =+，可知172n m n −=+，所以27172n n m n n +++=+，结合基本不等式可得m n +的最小值为37，解不等式2123777m m −≤即可.【详解】设13232xmy x y x ==++，()10,1331y n x x y y=∈++， 则172nm n −=+，为所以27123372x y n n m n x y x y n +++=+=+++()()()2723729772n n n +−++=+()7293337772777n n ++−≥−=+， 当且仅当()7297772n n +=+，即17n =时等号成立， 所以2123777m m −≤，即()()223310m m m m −−=−+≤，解得13m −≤≤， 即m 的最大值为3， 故选：D.8. 已知函数()f x 的定义域为R ，()11f =，()31f x +为偶函数，且函数()122y f x =的图象关于点()1,1对称，则20251()k k f ==∑（ ）A. 4 048B. 4 049C. 4 051D. 4 054【答案】B 【解析】【分析】由题可得()f x 关于1x =，()2,2对称，据此可得()f x 的一个周期为4，即可得答案.【详解】因(31)f x +为偶函数，则()()3131f x f x −+=+，则()f x 图象关于1x =对称；因()122y f x =的图象关于点()1,1对称，则()()112121222f x f x ++−= ， ()()22224f x f x ⇒++−=，得()f x 图象关于()2,2对称； 则()()11f t f t −+=+，()()224f t f t ++−=()()134f t f t ⇒−+++=()()134f t f t ⇒+++=.则()()()()()3541435f t f t f t f t f t +++=⇒+=−+=+，则()f x 的一个周期为4.则()()()()()20251()50612341k f k f f f f f = =++++ ∑.又()()134f t f t +++=，令01t =，，可得()()()()13244f f f f +=+=.则20251()506814049k f k ==×+=∑.故选：B【点睛】结论点睛：()f x 的定义域为R.若()f mx t +为偶函数，则()f x 图象关于x t =对称（()0m ≠）； ()1f mx n关于(),a b 对称，则()f x 图象关于(),ma nb 对称()0m n ≠，； ()f x 图象关于x a =，(),b c 对称，则()f x 的一个周期为4a b −.二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9. 在复平面内，复数1z 、2z 对应的向量分别为1a 、2a，则（ ） A. 1212z z a a =++B. 1212z z a a =−−C. 1212z z a a ⋅=⋅D.()112220a z z z a =≠ 【答案】ABD 【解析】【分析】利用特殊值法可判断C 选项；设1i z m n =+，()2i ,,,z x y m n x y =+∈R ，则()1,a m n = ，()2,a x y =，利用平面向量以及复数的模长公式可判断ABD 选项.【详解】设1i z m n =+，()2i ,,,z x y m n x y =+∈R ，则()1,a m n = ，()2,a x y =， 对于A 选项，()()12i z z m x n y +=+++，(),a b m x n y +++，则1212z z a a +==+，A 对；对于B 选项，()()12i z z m x n y −=−+−，(),a b m x n y −−−，则1212z z a a −==−，B 对；对于C 选项，不妨取11i z =+，212i z =+，则()11,1a = ，()21,2a =，则()()121i 12i 13i z z =++=−+，则12z z ==，12123a a ⋅=+=，此时，1212z z a a ⋅≠⋅ ，C 错；对于D 选项，当20z ≠时，20a ≠，则11z a = ，22z a = ，()()()()()()1222i i i i ii i m n x y mx ny nx my z m n z x y x y x y x y +−++−+===++−+，所以，12z z12a a ，D 对. 故选：ABD.10. 已知函数()()πtan 04f x x ωω =−>的图象相邻两个对称中心之间的距离为π4，则（ ） A. 4ωB. ()f x 的最小正周期为π2C. ()f x 的图象的一条渐近线为直线3π8x = D. ()f x 的增区间为()ππ3ππ,164164k k k−++∈Z 【答案】BC 【解析】【分析】AB 选项；利用正切型函数的渐近线可判断C 选项；利用正切型函数的单调性可判断D 选项.【详解】对于AB 选项，因为函数()()πtan 04f x x ωω=−>的图象相邻两个对称中心之间的距离为π4， 则该函数的最小正周期为π2T =，所以，π2Tω==，A 错B 对； 对于C 选项，()πtan 24f x x =−，当3π8x =时，π3πππ24442x −=−=， 所以，()f x 的图象的一条渐近线为直线3π8x =，C 对； 对于D 选项，由()ππππ2π242k x k k −<−<+∈Z ， 可得()πππ3π2828k k x k −<<+∈Z ，所以，()f x 的增区间为()πππ3π,2828k k k−+∈Z ，D 错. 故选：BC.11. 已知函数()2141,21log ,2x x f x x x −< = ≥，若存在实数m 使得方程()f x m =有四个不同的实数解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则（ ）A. ()340f x x =B. 120x x +<C. ()231x f x +>D. ()321x f x +> 【答案】ABD 【解析】【分析】根据分段函数的性质及值域可得m 的范围，再结合函数值相等可知函数解的关系，进而判断各选项.【详解】由()22214,01141,41,02211log ,log ,122log ,1x xx x x x f x x x x x x x −< −<−≤< == ≥−≤< ≥ ， 作出函数图像如图所示，当0x <时，函数()f x 单调递减，此时()()0,1f x ∈； 当102x ≤<时，函数()f x 单调递增，此时()[)0,1f x ∈；当112x ≤<时，函数()f x 单调递减，此时()(]0,1f x ∈； 当1x >时，函数()f x 单调递增，此时()()0,f x ∞∈+；由方程()f x m =，有4个解，即函数yy =ff (xx )与函数y m =有4个交点， 即()0,1m ∈，且123410122x x x x <<<<<<<， 且124141xx −=−，2324log log x x =，即12442x x +=，()2324234log log log 0x x x x +==， 即341x x =，且1244x x +≥1244x x=即12x x =时取等号，即2<，120x x +<，B 选项正确；()()3410f x x f ==，A 选项正确；又()()23f x f x =，所以()()22322241xx f x x f x x +=+=+−，()()3233323log x f x x f x x x +=+=−， 设()41xg x x =+−，10,2x∈，()2log h x x x =−，1,12x∈， 则()41xg x x =+−在10,2 上单调递增，()()102g g x g<<，即()302g x <<，()23302x f x <+<，C 选项错误；又()11ln 2h x x =−′，且()h x ′在�12,1�上单调递增， 则()()1ln 21110ln 2ln 2h x h −<−′=′=<， 所以ℎ(xx )在�12,1�上单调递减，所以()()2log 11h x x x h =−>=， 即()321x f x +>，D 选项正确； 故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共 15 分12. 已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若45620a S ==，，则10S 的值为_______．【答案】90 【解析】分析】由等差数列通项，求和公式可得答案.【详解】设{}n a 首项为1a ，公差为d ，由等差数列通项，求和公式：41151360510202a a d a S a d d =+== ⇒=+== ，则101104590S a d =+=. 故答案为：90.13. 某超市要搭建一个底面为扇形的柱体展台（如图），用一张矩形的石墨烯显示屏（可弯曲）围成展台的侧面（两个矩形和一个曲面），商品放在展台上展示，显示屏播放商品广告．已知石墨烯显示屏的长度一定，为了使得展台底面扇形面积最大，扇形的圆心角应设计为______弧度．【答案】2 【解析】【分析】根据2r r l α+=，利用基本不等式可得228l r α≤，即可由扇形面积公式求解.【详解】设扇形的半径为r ，圆心角为α，石墨烯显示屏的长度为l ，则2r r l α+=，故2228l r r l r αα+=≥⇒≤，当且仅当2r r α=即2α=时等号成立，故扇形的面积为221216l S r α≤，故当2α=时，面积取到最大值216l .故答案为：214. 函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，人们习惯称其为“取整函数”，例如：[]3.54−=−，[]2.12=，若[]10x x = ，则x 的取值范围为_______．【答案】1011,33【解析】【【分析】由“取整函数”的定义可知[][]1x x x ≤<+，则[][][][]22x x x x x ≤<+，分0x >和0x <两种情况，解不等式即可.【详解】由“取整函数”的定义可知[][]1x x x ≤<+，且[][]1x x x ≤<−， 又[]10x x = ，所以[]1011x x ≤<， 易知0x ≠，且[]0x ≠，当0x >时，[]0x ≥，即[]0x >， 则[][][][]22x x x x x ≤<+，所以[][][][]221011x x x x > ≤ +>[]x <≤由249<<，所以23<<， 则[]3x =，所以10311x ≤<，即101133x ≤<， 当0x <时，[]0x <， 则[][][][]22x x x x x +<≤，即[][][][]221011x x x x < +< ≥[]x <≤又2916<<，即43−<<−， 此时[]x 不存在， 综上所述1011,33x∈， 故答案为：1011,33.四、解答题:本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. 已知ABC 的面积为O 为边BC 的中点，5OA =，20OA OB ⋅=．（1）求BC 的长； （2）求角C 的正弦值． 【答案】（1）16（2 【解析】【分析】（1）根据三角形面积及向量数量积可知tan AOB ∠，进而可得OB 与BC ； （2）在AOC △中，用余弦定理可知AC ，再由正弦定理可知角C 的正弦值. 【小问1详解】由已知O 为边BC 的中点，所以22ABC AOB S S AOB =∠ ，即sin OA OB AOB ⋅∠， 又()cos πcos 20OA OB OA OB AOB OA OB AOB ⋅=⋅⋅−∠=−⋅⋅∠=，则tan AOB ∠， 即2π3AOB ∠=， 又5OA = 则5202OB =， 即8OB =，216BC OB ==； 【小问2详解】由（1）得2π3AOB ∠=，8OC OB ==，则π3AOC ∠=，在AOC △中，由余弦定理可知2222cos AC OA OC OA OC AOC =+−⋅⋅∠， 即212564258492AC =+−×××=， 则7AC =，又由正弦定理可知sin sin OA AC CAOC =∠∠，则sin sin OA AOCCAC⋅∠∠==16. 已知数列{}n a 和{}n b 满足1n n n a b a +−=，n n a b λ+=（λ为常数，且1a λ≠）．（1）证明：数列{}n b 是等比数列；（2）已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且45S S =，记nn na cb =，n T 为数列{}n c 的前n 项和，求使得0n T >的n 的最大值．【答案】（1）证明见解析 （2）31 【解析】【分析】（1）由已知条件推到得出12n n a a λ+=−，利用等比数列的定义可证明出数列{}n a λ−为等比数列，求出n a λ−的表达式，再利用等比数列的定义可证得数列{bb nn }是等比数列； （2）根据（1）求出数列{aa nn }、{bb nn }的通项公式，可得出数列{}n c 的通项公式，可求出n T ，分析数列{}n T 的单调性，由310T >，320T <可得出满足0n T >的n 的最大值. 【小问1详解】证明：因为1n n n a b a +−=，n n a b λ+=（λ为常数，且1a λ≠）， 上述两个等式相加可得12n n a a λ+=+，则12n n a a λ+=−，所以，()12n n a a λλ+−=−， 因为1a λ≠，则10a λ−≠，所以，数列{}n a λ−是首项为1a λ−，公比为2的等比数列， 所以，()112n n a a λλ−−−⋅，所以，()112n n n b a a λλ−=−=−−⋅，则()()1111222n n n n a b b a λλ+−−−⋅==−−⋅，即数列{bb nn }是公比为2的等比数列. 【小问2详解】解：因为n S 为数列{aa nn }的前n 项和，且45S S =，则5540a S S =−=，由（1）可知，()()4511216a a a λλλλ−=−×=−=−，所以，11516a λ=， 所以，()115122216n n n n a a λλλλ−−−−=−⋅=−⋅=−⋅，则()512n n a λ−=−，由（1）可得()115122216n n n n b a λλλ−−−=−−⋅=⋅=⋅，所以，()555121122n n nnn na cb λλ−−−−===− ⋅，所以，43251161211111222212n n n T n n −−−− − =++++−=− −32322n n −−， 因为数列{}n c 单调递减，且当4n ≥且n ∗∈N 时，0n c >，且50c =， 所以，当5n ≥且n ∗∈N 时，0n T >， 当6n ≥且n ∗∈N 时，0n c <，所以，数列{}n T 从第6项开始单调递减，因为313132102T =−>，32323202T =−<， 当631n ≤≤且n ∗∈N 时，310n T T ≥>； 当32n ≥且n ∗∈N 时，320n T T ≤<. 所以，使得0n T >的n 的最大值为31.17.已知函数22()2sin cos f x x x x x +（1）求()f x 在区间π0,2上的最值；（2）已知π0,2α ∈，且8()5f α=，求tan α的值． 【答案】（1）答案见解析；（2）8−. 【解析】【分析】（1）由辅助角公式化简()f x ，后令π23x t +=，由题意结合函数单调性可得最值； （2）由可得πsin 6α +与πcos 6α +同号，即可令πsin 6n α+= ，由题可解得n ，即可得答案. 【小问1详解】()222sin cos 2sin 2f x x x x x x x =+=+π2sin 22sin 23x x x=+=+ .因π0,2x∈，则ππ2,π33x t+=∈ ，令()()2sin f x g t t ==注意到()g t 在ππ,32 上单调递增，在π,π2上单调递减.则max π()22f x g ==，πππ23212x t x +==⇒=； ()()min π()min ,ππ03f x g g g ===，此时ππ2π33x t x +==⇒=；故()f x 在π12x =时取最大值2，在π3x =时取最小值0；【小问2详解】 因π0,2α∈，则ππ2π,663α +∈ . 由题πππ()2sin 24sin cos 0366f αααα=+=++>则πsin 6α+ 与πcos 6α +同号，则πππ,662α +∈ 则令π1sin ,162n α+=∈，得4282425254055n n =⇒=⇒−+= ()()2251540n n ⇒−−=，则245n =或215n =（舍），.则ππsin cos 66αα +⇒+，πsin π6tan 2π6cos 6ααα+ +== +.则ππtan tan 866αα =+−=. 18. 已知函数()()2ln R f x x x a =+−∈． （1）当0a =时，证明：()0f x >．（2）若函数()y f x =的图象与x 轴相切，求a 的值 （3）若()f x 存在极大值点，求a 的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2）)ln 21a =−−（3）a > 【解析】【分析】（1）求导即可根据函数的单调性求解极值证明，（2）设出切点，求导，根据()120f m m=+−=′，()2ln 0f m m m =−=，即可求解12m =，进而可求解， （3）求导，将问题转化为()120f x x=+−=′有不相同的实数根，分离参数，构造函数()h x =.小问1详解】当0a =时，()2ln f xx x =−，则()1212x f x x x=′−=−， 当12x >时，()()0,f x f x ′>单调递增， 【当102x <<时，()()0,f x f x ′<单调递减， 故()f x 在12x =时取极小值也是最小值，故()12ln 1ln 202f x x x f=−≥=+>，得证. 【小问2详解】函数()y f x =的图象与x 轴相切，故设切点为(),0m ，()12f x x+−′=， 故()120f m m =+−=′，()2ln 0f m m m =+−=，因此1e m a=且e m a =，故e m a =()()1212ln 202m m m −−+=， 由（1）知2ln 0x x −>，故2ln 20m m −+>，因此210m −=，故12m =，所以)12e e ln 21m a ===−−【小问3详解】令()120f x x =+−=′，故()210x f x x−+′==， 故()121120x x x x − ⇒−−=， 当12x =时，()0f x ′=，当120,x −≠1x =，则a =， 记()h x =()e 2x h x x ==′， 当12x >时，()()0,h x h x ′>单调递增， 当102x <<时，()()0,h x h x ′<单调递减， 故ℎ(xx )在12x =时取极小值也是最小值，12h=， 且当x →+∞时，()h x ∞→+，当0x →时，()h x ∞→+， 故()f x存在极大值点，只需要a >.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 (1)作差或变形； (2)构造新的函数ℎ(xx )；(3)利用导数研究ℎ(xx )的单调性或最值； (4)根据单调性及最值，得到所证不等式．19. 已知集合{}123,,,,n A a a a a = ，k A 为集合A 的子集．定义1()ni i S A a ==∑，()0S ∅=． （1）取()*n a n n =∈N ．①若存在i j A A ≠且()()i j S A S A =，求n 的最小值；②对于给定的n ，若存在12,,,k A A A ⋅⋅⋅互不相同且12k A A A ⋅⋅⋅≠∅ ，求k 的最大值()k n 及此时()()1k n ii S A =∑的最大值()f n ．（2）取()*2,nn a qq n =≥∈N ，是否存在n 及,ijA A ，使得ijA A ≠，且()()i jS A S A =？若存在，请举例；若不存在，请证明． 【答案】（1）①3；②()12n k n −=，()()2332n f n n n −=+⋅（2）不存在，证明见解析 【解析】【分析】（1）①结合子集定义与题目所给条件，分别计算1n =、2n =及3n =时的结果即可得；②由题意可得12,,,k A A A ⋅⋅⋅中存在公共元素，则集合12,,,k A A A ⋅⋅⋅去掉公共元素后的新的所有集合必为集合A 中去掉该公共元素后的子集，结合子集个数与元素个数的关系即可得解()k n ，再利用这些新集合中各元素出现次数，结合组合数计算公式与等差数列求和公式即可得()f n ；（2）借助反证法，假设存在符合要求的n ，由题意可设i j A A ∩=∅，,r s j i a a 分别为两者中最大元素，通过计算可得当2q ≥时，数列nn a q =的前n 项和1n n S a +<，则可得s r j i <，r s i j <，由两者矛盾，即可得.【小问1详解】①当1n =时，{}1A =，有两个子集，分别为∅、{}1，此时()0S ∅=，{}()11S =，不符合要求；当2n =时，{}1,2A =，有四个子集，分别为∅、{}1、{}2、{}1,2，此时()0S ∅=，{}()11S =，{}()22S =，{}()1,23S =，不符合要求；当3n =时，{}1,2,3A =，存在{}1,2A ⊆，{}3A ⊆， 有{}()1,23S=，{}()33S =，即n 的最小值为3；②{}1,2,3,,A n = ，*n ∈N ，由12,,,k A A A ⋅⋅⋅互不相同且12k A A A ⋅⋅⋅≠∅ ，设12k A A A B ⋅⋅⋅= ， 则B 中至少有一个元素，假设B 中元素个数()*1,m m m ≥∈N 个，又()12k A A A A ∪∪∪⊆ ，则()()12k A A A A B ∪∪∪∩ 中元素个数最多有n m −个，子集个数最多有2n m −个， 由1m ≥，故当1m =时，()()12k A A A A B ∪∪∪∩ 子集个数最多，且为12n −个， 故k 的最大值()12n k n −=，设此时B 中元素为t A ∈，则集合1A B 、2A B 、 、12n A B − 为集合()()12k A A A A B ∪∪∪∩ 的子集， 其中元素t 在1A 、2A 、 、12n A −中都有， 假设存在a t ≠，且a A ∈，此时2n ≥，则a 在1A 、2A 、 、12n A −中的双元素集合中出现1次，为若3n ≥，则在1A 、2A 、 、12n A −中的三元素集合中出现12C n −次，在1A 、2A 、 、12n A −中的四元素集合中出现22C n −次，在1A 、2A 、 、12n A −中的n 元素集合中出现22C n n −−次，即除t 外集合A 中所有元素都会出现12222221C C C 2n n n n n −−−−−++++=次， 则当t n =时，()()1k n ii S A =∑有最大，此时()()()()()()()11212211n n k n iii i f n S A S A S A S A S A −−=====+++∑∑ ()()()12122312121222322n n n n n n n n n n n n −−−−−−=⋅++++−⋅=⋅+⋅=+⋅ ，即()12n k n −=，()()2332n f n n n −=+⋅；【小问2详解】 不存在，理由如下：假设存在符合要求的n ，且{}11,,,s i i i i A a a a = ，{}11,,,r j j j j A a a a = ， 其中12s i i i <<< ，12r j j j <<< ，s n <，r n <，且*s ∈N ，*r ∈N ， 则s s i ≤，r r j ≤，若i j A A ∩≠∅，由()()i j S A S A =，则对()i A i j A A ∩ 、()j A i j A A ∩ ， 也满足()()()()i j A i j A i jS A A S A A ∩=∩ ，故不妨假设i j A A ∩=∅，则s r i j ≠， 由i j A A ≠，且()()i j S A S A =，由2q ≥，则有：()()12111211ss s s i i i i i i i i i q q S A a a a q q q q q q q−=+++=+++≤+++=−1111111s s s s s i i i i i q q q q q q q a q q q q +++=−<=≤=−−−−， 即()1s i i S A a +<，故1s r j i a a +<，即1s r j i <+，又s r i j ≠，故s r j i <，第21页/共21页 同理可得()1r j j S A a +<，故1r s i j a a +<，即1r s i j <+，又s r i j ≠，故r s i j <， 两者矛盾，故不存在这样的n 及,i j A A .【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于得到当2q ≥时，数列n n a q =的前n 项和1n n S a +<，从而可通过研究i A 、j A 的最大项的关系得到结果.。
江苏省百校大联考2024学年高三下学期第三次月考试数学试题
江苏省百校大联考2024学年高三下学期第三次月考试数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()xf x a =（0a >，且1a ≠）在区间[],2m m 上的值域为[],2m m ，则a =（ ）A ．2B ．14C ．116或2 D ．14或4 2．已知平面向量()4,2a →=，(),3b x →=，//a b →→，则实数x 的值等于（ ） A ．6B ．1C ．32D ．32-3．已知各项都为正的等差数列{}n a 中，23415a a a ++=，若12a +，34a +，616a +成等比数列，则10a =（ ） A ．19B ．20C ．21D ．224．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2550S =，则1115a a +=（ ） A ．4B ．8C ．16D ．25．定义在上的函数满足，且为奇函数，则的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6．设x ，y 满足约束条件34100640280x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =+的最大值是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．107．以下四个命题：①两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近1；②在回归分析中，可用相关指数2R 的值判断拟合效果，2R 越小，模型的拟合效果越好； ③若数据123,,,,n x x x x 的方差为1，则1232+1,2+1,2+1,,2+1n x x x x 的方差为4；④已知一组具有线性相关关系的数据()()()11221010,,,,,,x y x y x y ，其线性回归方程ˆˆˆy bx a =+，则“()00,x y 满足线性回归方程ˆˆˆybx a =+”是“1210010x x x x +++= ，1210010y y y y ++=”的充要条件；其中真命题的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．18．已知函数()(0x f x m m m =->，且1)m ≠的图象经过第一、二、四象限，则|(2)|a f =，384b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，|(0)|c f =的大小关系为( ) A ．c b a << B ．c a b << C ．a b c <<D ．b a c <<9．如图是国家统计局公布的年入境游客（单位：万人次）的变化情况，则下列结论错误的是（ ）A ．2014年我国入境游客万人次最少B ．后4年我国入境游客万人次呈逐渐增加趋势C ．这6年我国入境游客万人次的中位数大于13340万人次D ．前3年我国入境游客万人次数据的方差小于后3年我国入境游客万人次数据的方差10．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0,0a b >>）的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 与双曲线C 的左支交于A 、B 两点.若22,120=∠=AB AF BAF ，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．3y x = B ．6y x = C ．(32=±y x D ．)31=±y x11．已知集合{}1A x x =<，{}1xB x e =<，则（ ） A ．{}1A B x x ⋂=< B ．{}A B x x e ⋃=< C ．{}1A B x x ⋃=<D ．{}01A B x x ⋂=<<12．如图，四面体ABCD 中，面ABD 和面BCD 都是等腰直角三角形，2AB =，2BAD CBD π∠=∠=，且二面角A BD C --的大小为23π，若四面体ABCD 的顶点都在球O 上，则球O 的表面积为（ ）A ．223πB ．283πC ．2π D ．23π 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省百校联考2023届高三下学期4月第三次考试数学试题(解析版)
江苏省百校联考高三年级第三次考试数学试卷一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.1. 已知复数(12i)(1)2i z +−=−+，则||z =（ ）A.B. 2C.D. 3【答案】A 【解析】【分析】利用复数的除法运算法则求出复数，再利用复数模的公式求解即可.【详解】()()()()2i 12i 2i5i 1111i 12i 12i 12i 5z −+−−+=+=+=+=+++−，则z =. 故选：A.2. 已知集合{}{}121,20x Mx eN x xx −=>=−<，则M N ∪=（ ）A. (0,1)B. (1,2)C. (0,)+∞D. (2,)+∞【答案】C 【解析】【分析】根据指数函数的性质解出集合M ，再由二次不等式的解法求出集合N ，最后求并集即可. 【详解】由11x e −>得10x e e −>，函数x y e =在R 上单调递增，则10x −>，即{}1M x x =>，又由220x x −<得02x <<，即{}02Mx x =<<，所以{}0M N x x ∪=>.故选：C.3. 已知{}n a 是公差不为0的等差数列，{}n b 是等比数列，且111a b ==，22a b =，43a b =，设nn n c a b =+，则数列{}n c 的前10项和为（ ） A. 567 B. 568C. 1078D. 1079【答案】C 【解析】【分析】设{}n a 公差为d()0d ≠，{}n b 公比为q ，由111a b ==，22a b =，43a b =结合通项公式建立方程组解出d ，q ，即可分组利用求和公式求出结果. 【详解】设{}n a 公差为d()0d ≠，{}n b 公比为q ，由题，111a b ==，22a b =，43a b =，则111a d b q d q +⇒+， 2211313a d b q d q +⇒+，联立可解得1d =或0d =（舍）， 所以1d =，2q ，所以()111n a n n =+−×=，11122n n n b −−=×=， 因为nn n c a b =+，所以12n n c n −=+， 所以{}n c 的前10项和为：()()1012101210112110101078212a a ab b b ×−+×+++++++=+=− ，故选：C.4. 设ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为2，若2AB AC AO += ，且OA AC = ，则向量BA在向量BC上的投影为（ ）A. 3B.-3 C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据向量关系，即可确定ABC 的形状，再根据向量投影的计算公式，即可求得结果.【详解】因为圆O 为ABC 的外接圆，半径为2，若2AB AC AO +=，故可得ABC 是以角A 为直角的直角三角形.又因为OA AC =，且外接圆半径是2，故可得224BC OA AC ===，则AB cos AB ABC BC ∠=故向量BA 在向量BC 方向上的投影为cos 3AB ABC ×∠==.故选：A.5. 某学习小组八名学生在一次物理测验中的得分（单位：分）如下：83,84,86,87,88,90,93,96，这八人成绩的第60百分位数是n .若在该小组随机选取两名学生，则得分都比n 低的概率为（ ）A.37B.1528C.314D.914【答案】C 【解析】【分析】首先根据题意得到88n =，再利用古典概型公式求解即可.【详解】860% 4.8×=，故这8人成绩的第60百分位数是从小到大排列的第5个数，即88n =，在该小组随机选取两名学生共有28C 28=种情况，其中得分都比n 低的有24C 6=种，所以所求概率632814P ==故选：C6. 我国古代数学名著《九章算术》对立体几何问题有着深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面是矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥，“鳖臑”指四个面都是直角三角形的三棱锥.现有一如图所示的“堑堵”111ABC A B C ，其中AC BC ⊥，若14AA AB ==，则“阳马”11B A ACC −体积的最大（ ）A.163B.323C. 16D. 32【答案】B 【解析】【分析】设BC x =，()04x <<，即可表示出AC ，则11111433B A ACC A ACC V BC S −=⋅= 本不等式求出()112B A ACCV −的最大值，即可得解.【详解】由题意知平面11ACC A ⊥平面ABC ，平面11ACC A 平面ABC AC =，AC BC ⊥，BC ⊂平面ABC ，所以BC ⊥ 平面11A ACC ，设BC x =，()04x <<，则有AC ，所以11111144333B A ACC A ACC V BC S x −=⋅=× ()04x <<， 所以()()()112222221616161664169929B A ACCx x V x x − +−×=⋅−≤=， 当且仅当2216x x =−，即x =x =−所以11323B A ACC V −≤，即11B A ACC V −的最大值为323； 故选：B.7. 已知()()110tan πtan 2π3θθ+−=−，ππ,42θ ∈()2π22cos 4θθ ++−=（ ） A. 310−B. 25−C. 15−D. 0【答案】D 【解析】【分析】由()()110tan πtan 2π3θθ+−=−以及诱导公式求出tan 3θ=，再利用两角和的正弦公式、二倍()2π22cos 4θθ ++−化为tan θ的形式，代入tan 3θ=即可得解. 【详解】因为()()110tan πtan 2π3θθ+−=−，所以110tan tan()3θθ−=−，所以110tan tan 3θθ+=， 所以23tan 10tan 30θθ−+=， 所以1tan 3θ=或tan 3θ=， 因为ππ(,)42θ∈，所以tan 1θ>，所以tan 3θ=，()2π22cos4θθ++−ππsin2cos cos2sin44θθ+22cosθ+2sin2cos22cosθθθ=++222222sin coscos sin2cossin cosθθθθθθθ+−++222222tan3cos sintan1sin cosθθθθθθ−+++2222tan3tantan1tan1θθθθ−+++233991×+−=+=.故选：D8. 函数()sin()11xf x xxπ=+−−，则直线22y x=−与()=y f x的图象的所有交点的横坐标之和为（）A. 2 B. 1 C. 4 D. 0【答案】A【解析】【分析】由题意作出sin()y xπ=和11()2(1)h x xx=−−−的图象即可求解.【详解】令2sin()112xxxxπ+−=−−，得112(sin()1)xxxπ−=−−，令1()2,0g x x xx=−≠，21()20g xx′=+>，故()g x在(,0)−∞和(0,)+∞上是单调递增函数，令()0g x=，得x=11()2(1)h x xx=−−−的图象可由()g x的图象向右平移1个单位长度得到，易知sin()y xπ=和11()2(1)h x xx=−−−的图象都关于(1,0)中心对称，在同一个坐标系作出sin()y xπ=和11()2(1)h x xx=−−−的图象如图所示：易知它们有两个交点1122(,),(,)A x y B x y ，且,A B 关于(1,0)中心对称，所以122x x +=. 故选：A二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在毎小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选的得0分.9. 已知一组数据1213,,, x x x 构成等差数列，且公差不为0.若去掉数据7x ，则（ ） A. 平均数不变 B. 中位数不变C. 方差变小D. 方差变大【答案】ABD 【解析】【分析】根据平均数的概念结合等差数列的性质判断A ，由中位数的概念可判断B ，由方差计算公式即可判断CD.【详解】对于选项A ，原数据的平均数为()113121371311()13132x x x x x x x +=+++=×= ，去掉7x 后的平均数为1131268913712()11()12122x x x x x x x x x x x +′=+++++++=×== 即平均数不变，故选项A 正确；对于选项B ，原数据的中位数为7x ，去掉7x 后的中位数为7681()2x x x +=，即中位数没变，故选项B 正确；对于选项C ，则原数据的方差为()()22221727137]1[()13s x x x x x x =−+−++− ， 去掉7x 后的方差为()()()()()22222217276787137112s x x x x x x x x x x ′=−+−++−+−++−， 故2s 2s ′<，即方差变大，故选项C 错误，选项D 正确.故选：ABD.10. 设函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<，若()()23f x f x f x ππ=−=−−，且()f x 的最小正周期大于2π，则（ ）A.3ω=B. ()f x 偶函数C. ()f x 在区间0,3π上单调递增 D. ()f x 的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()2sin 3g x x =的图象【答案】AB 【解析】【分析】根据函数的性质求出ω、ϕ，即可得到函数解析式，再根据余弦函数的性质计算可得；【详解】解：对于A ，由()()23f x f x f x ππ=−=−−可知，直线3x π=是()f x 图象的一条对称轴，点,02π是()f x 图象的一个对称中心， 所以132k ππωϕπ+=+，22k πωϕπ+=，1k ，2k ∈Z ，两式相减得，63k ω=−，k ∈Z ，且21k k k =−．因为0ω>，且()f x 的最小正周期22T ππω=>，所以04ω<<，则3ω=，故A 正确．对于B ，将3ω=代入132k ππωϕπ+=+，1k ∈Z ，并结合0ϕπ<<，解得2ϕπ=，所以()2sin 32cos32f x x x π=+=，故B 正确．对于C ，由0,3x π ∈得()30,x π∈，所以函数()f x 在区间0,3π上单调递减，故C 错误． 对于D ，()2cos3f x x =的图象向左平移6π个单位长度后得到2cos32sin 36y x x π=+=−的图象，故D 错误， 故选：AB ．是11. 已知抛物线C ：214y x =的焦点为F ，P 为C 上一点，下列说法正确的是（ ） A. C 的准线方程为116y =−B. 直线1y x =−与C 相切C. 若()0,4M ，则PM的最小值为D. 若()3,5M ，则PMF △的周长的最小值为11 【答案】BCD 【解析】【分析】将抛物线方程化为标准式，即可求出焦点坐标与准线方程，从而判断A ，联立直线与抛物线方程，消元，由Δ0=判断B ，设点(),P x y ，表示出2PM ，根据二次函数的性质判断C ，根据抛物线的定义转化求出PMF △的周长的最小值，即可判断D. 【详解】解：抛物线C ：214y x =，即24x y =，所以焦点坐标()0,1F ，准线方程为1y =−，故A 错误；由2141y x y x= =− ，即2440x x −+=，解得()24440∆=−−×=，所以直线1y x =−与C 相切，故B 正确； 设点(),P x y ，所以()()22222441621212x P y y y y M =+−=−+=−+≥，所以minPM=C 正确；如图过点P 作PN 准线，交于点N ，NP PF =，5MF =，所以5611PFM C MF MP PF MF MP PN MF MN =++=++≥+=+= ， 当且仅当M 、P、N 三点共线时取等号，故D 正确；为故选：BCD12. 若函数()f x 是定义域为()0,∞+的单调函数，且对任意的()0,x ∈+∞，都有()()2log 6ff x x −=，且方程()32429125−=−+−+f x x x x t 在区间(]0.2上有两个不同解，则实数t 的取值可能为（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】BC 【解析】【分析】根据题意得到存在唯一的正实数a ，满足()2log f x x a −=且()6f a =，求得4a =，得到()24log f x x −=，转化为方程()32429125−=−+−+f x x x x t 在区间(]0,2上有两个不同的解，转化为方程322log 29125x x x x t =−+−+在区间(]0,2上有两个不同的解，设()3229125g x x x x =−+−，求得()6(1)(2)g x x x ′=−−，得出函数的单调性与极值，画出函数的图象，结合图象，即可求解t 的取值范围.【详解】函数()f x 是定义域为()0,∞+上的单调函数，且对任意的()0,x ∈+∞， 都有()()2log 6ff x x −=，所以存在唯一的正实数a ，满足()2log f x x a −=且()6f a =， 所以()2log f a a a −=，即2log 6a a =−，即62a a −=，所以4a =， 所以()2log 4f x x −=，所以()24log f x x −=， 因为方程()32429125−=−+−+f x x x x t 在区间(]0,2上有两个不同的解，所以方程322log 29125x x x x t =−+−+在区间(]0,2上有两个不同的解，设()3225291252(1)()2g x x x x x x =−+−=−−，可得()2612126(1)(2)g x x x x x ′=−+=−−，当(0,1)x ∈时，()0g x ′>，()g x 单调递增； 当(1,2)x ∈时，()0g x ′<，()g x 单调递减，当(2,)x ∈+∞时，()0g x ′>，()g x 单调递减，又由()()10,21g g ==−，画出2log y x =和()3229125g x x x x =−+−的图象，如图所示，又由函数()3229125g x x x x =−+−的图象相当于()y g x =的图象向上或向下平移t 个单位长度得到，要使得322log 29125x x x x t =−+−+在区间(]0,2上有两个不同的解，即函数2log y x =与322log 29125x x x x t =−+−+在区间(]0,2上有两个不同的解，所以02t <≤，所以实数t 的取值可能为1,2. 故选：BC.【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.13. 已知定义在R 上的函数()f x 为奇函数，且满足()()13+=+f x f x .当01x ≤≤时，()3f x x x =−，则()1162 +=f f __________. 【答案】38【解析】【分析】利用周期性和奇偶性可把11()2f 转化到已知范围[]0,1上，代入表达式可求，()()600f f ==，即可求出答案.【详解】函数()f x 为定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x −=−， ()()13+=+f x f x ，所以()()()312f x f x f x =+−=+，所以2为()f x 的周期，所以31111113()222228f f f=−=−=−−=，()()600f f ==， 故答案为：38.14. 已知620, >+a a x x 的展开式中所有项的系数和为64，则展开式中的常数项为__________.（用数字作答） 【答案】15 【解析】【分析】首先根据系数和求a ，再根据二项展开式通项公式求常数项. 【详解】依题意，令1x =，则()6164a +=，得1a =，621x x +的展开式的通项公式为()621231661C C rrrrr r T x x x −−+ =⋅⋅=⋅， 令1230r −=，得4r =，所有展开式的常数项为4266C C 15==. 故答案为：1515. 设R k ∈，直线1:0l kx y k +−=，直线2:230−+−=l x ky k ，记12,l l 分别过定点,A B ，且1l 与2l 的交点为C ，则AC BC +的最大值为__________. 【答案】4 【解析】【分析】根据题意得到直线1l 恒过定点(1,0)A ，直线2l 恒过定点(3,2)B ，以及直线1l 与2l 的斜率，得到12l l ⊥，求得228AC BC +=，结合2221()()22AC BC AC BC +≤+，即可求解. 【详解】由直线1:0l kx y k +−=，可化为(1)0k x y −+=，可直线1l 恒过定点(1,0)A ， 直线2:230−+−=l x ky k ，可化为3(2)0x k y −−−=，可得直线2l 恒过定点(3,2)B ， 又由直线1l 的斜率为k −，直线2l 的斜率为1k ，因为11k k−×=−，所以12l l ⊥， 因为1l 与2l 的交点为C ，所以2228AC BC AB +==，的又由2221()()422AC BC AC BC +≤+=，所以22AC BC +≤，即4AC BC +≤， 当且仅当AC BC =时，等号成立， 所以AC BC +的最大值为4. 故答案为：4.16. 小王自主创业开了一家礼品店，平常需要用彩绳对礼品盒做一个捆扎（要求扎紧绳子不能松动），其中一种长方体的礼品盒一般都是采用“十字捆扎”（如图1所示），后来他又学习了一种新的彩绳捆扎方法“对角捆扎”（如图2所示），并认为“对角捆扎”比一般的“十字捆扎”包装更节省彩绳.设长方体礼品盒的长､宽､高分别为,,x y z ，则“十字捆扎”所需绳长为__________；若采用“对角捆扎”，则所需绳长的最小值为__________.（注：长方体礼品盒的高小于长､宽，结果用含,,x y z 的式子表示）【答案】 ①. 224++x y z ②.【解析】【分析】利用长方体的结构特征计算即可得“十字捆扎”所需绳长；将长方体按照“对角捆扎”路径展开，求出两点间距离作答.【详解】依题意，“十字捆扎”所需绳长为224++x y z ； 当采用“对角捆扎”时，将长方体沿着捆绑路径展开，如图，观察图形知，“对角捆扎”所需绳长L AB BC CD DE EF FG GH HA AA ′=+++++++≥， 当且仅当展开图中，点,,,,,,,A B C D E F G H 共线时取等号，在Rt AOA ′ 中，22,22AO x z A O y z ′=+=+，因此AA ′=，所以“对角捆扎”故答案为：224++x y z【点睛】关键点睛：涉及空间图形中几条线段和最小的问题，把相关线段所在的平面图形展开并放在同一平面内，再利用两点之间线段最短解决是关键.四､解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17. 设各项均为正数的数列{}n a ，记{}n a 的前n 项和为21111,,33++=+=n n n n S a S S a . （1）求{}n a 通项公式； （2）设()11n nb n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）13n a n = （2）31n nT n =+ 【解析】【分析】（1）由2113n n n S S a +++=可得()2132nn n S S a n −+=≥，两式相减，即可证明数列{}n a 为等差数列，由等差数列的通项公式求解即可；（2）由（1）求出n b ，再由裂项相消法求和即可得出答案. 【小问1详解】由()211213,32,n n n n n n S S a S S a n ++− += +=≥ ，两式相减得()()()11132++++=+−≥n n n n n n a a a a a a n ， ()110,23n n n a a a n +>∴−=≥ ， 当1n =时，22123S S a +=，且113a =， 2229320∴−−=a a ，得223a =（2103a =−<舍去)，.21211333a a ∴−=−=， ∴数列{}n a 为等差数列，公差为13，13n a n ∴=. 【小问2详解】的由（1）及题意可得()11131113==− + +⋅nb n n n n . 123n n T b b b b ∴=++++111111********* =−+−+−++− +n n133111n n n=−= ++ . 18. 从①22cos a b B −=；②)222Sa b c =+−2)12sin 2C A B +=+这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并作答.记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c ABC 的面积为S ，已知__________. （1）求C 的值；（2）若4b =，点D 在边AB 上，CD 为ACB ∠的平分线，BCD △的面积为a 的值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1）π3（2）4 【解析】【分析】（1）选①，由余弦定理化简即可得出答案；选②，由余弦定理结合三角形的面积公式化简即可得出答案；选③，由二倍角的正弦公式、两角和的正弦公式结合三角恒等变换即可得出答案；（2）由题意可得ABCACD BCD S S S =+△△△，利用三角形的面积公式即可求出a 的值. 【小问1详解】选①，22cos −=a b c B ，则由余弦定理可得222222a c b a b c ac +−−=⋅，整理可得222a b c ab +−=，可得2221cos 22a b c C ab +−==.因为()0,πC ∈，所以π3C =.选②，)222Sa b c =+−.可得1sin 2=ab C sin C C .所以tan C =. 因为()0,πC ∈，可得π3C =.()212sin 2+=+CA B .2cos =−C C .可得π2sin 26C +=，可得πsin 16C+=. 因为()ππ7π0,π,,666C C ∈+∈ ，所以ππ62C +=，可得π3C =. 【小问2详解】在ABC 中，ABCACD BCD S S S =+△△△.可得111sin sin sin 222∠∠∠⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅BC CD BCD CA CD ACD CA CB ACB ，可得14CD a CD ×+ ①又14CDB S a CD =×= ② 由① ②可得2280a a −−=，解得4a =或2a =−（舍去）， 所以a 的值为4.19. 如图，在三棱锥A BCD −中，90ACB ∠= ，平面ACD ⊥平面ABC ，4AC BC ==，2,DC AD ==（1）证明：AD ⊥平面BCD ；（2）设点E 在线段AB 上，直线DE 与直线BC 所成的角为π4，求平面DCE 与平面ACD 所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2 【解析】【分析】（1）又面面垂直的性质、勾股定理逆定理证得线线垂直，再结合线面垂直的判定定理即可证明线面垂直；（2）以C 为坐标原点，CA 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，过C 垂直于平面ABC 的直线为z 轴､建立空间直角坐标系，根据空间向量的坐标运算得直线DE 与直线BC 所成的角的余弦值，即可得E 的坐标，再求解平面DCE 与平面ACD 得法向量，从而可得锐二面角的余弦值. 【小问1详解】证明：在ACD 中，因为4,2,AC DC AD ===所以222AC AD CD =+，所以AD CD ⊥. 因为90ACB ∠= ，所以BC AC ⊥.因为平面ACD ⊥平面ABC ，平面ACD 平面,ABC AC BC =⊂平面ABC ， 所以BC⊥平面ACD .因为AD ⊂平面ACD ，所以AD BC ⊥.又,,,AD CD BC CD C BC CD ⊥∩=⊂平面BCD ， 所以AD ⊥平面BCD . 【小问2详解】以C 为坐标原点，CA 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，过C 垂直于平面ABC 的直线为z 轴､建立空间直角坐标系､由题意得()()()(4,0,0,0,4,0,0,0,0,A B C D ，所以()()(4,4,0,0,4,0,AB CB CD =−=.设点E 的坐标为()[](),,,0,1x y z AE AB λλ=∈ ， 则()()4,4,04,,AE x y z λλ=−=−.所以44,4,0x y z λλ=−==， 所以点E 的坐标为()44,4,0λλ−，所以(34,4,DE λλ=−. 因为直线DE 与直线BC 所成的角为π4，cos ,⋅==DE CB DE CBDE CB ，解得12λ=， 所以点E 的坐标为()2,2,0，则()2,2,0CE =..设平面CDE 的法向量为()1111,,n x y z =， 111111002200CD n x x y CE n ⋅==⇒ +=⋅=取1x =)11− n .又平面ACD 的一个法向量为()20,1,0n =所以1cos ,n ， 所以平面DCE 与平面ACD . 20. 某学校为学生开设了一门模具加工课，经过一段时间的学习，拟举行一次模具加工大赛，学生小明､小红打算报名参加大赛.赛前，小明､小红分别进行了为期一周的封闭强化训练，下表记录了两人在封闭强化训练期问每天加工模具成功的次数，其中小明第7天的成功次数a 忘了记录，但知道3660a ≤≤，Z a ∈. 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 序号x12 3 4 5 6 7小明成功次数 16 20 20 25 30 36 a 小红成功次数 16 222526323535（1）求这7天内小明成功的总次数不少于小红成功的总次数的概率；（2）根据小明这7天内前6天的成功次数，求其成功次数y 关于序号x 的线性回归方程，并估计小明第七天成功次数a 的值.参考公式：回归方程ˆˆˆybx a =+中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为()()()1122211ˆˆˆ,.n ni i i ii i n ni ii i x x y y x y nx ybay bx x x xnx ===−−−===−−−∑∑∑∑ 参考数据：222222116220320425530636582;12345691×+×+×+×+×+×=+++++=. 【答案】（1）1725（2）27117y x =+，小明第七天成功次数为38 【解析】【分析】（1）根据古典概型算算即可；（2）先利用最小二乘法求出回归方程，再令7x =即可得解. 【小问1详解】因为3660a ≤≤，且Z a ∈，所以a 的取值共有25种情况，i y 、i z 分别表示小明、小红第i 天成功次数，又当小明成功的总次数不少于小红成功的总次数时，在6711iii i y a z=+≥∑∑，即16202025303616222526323535a ++++++≥++++++，得44a ≥， 所以小明成功的总次数不少于小红成功的总次数时，a 的取值共有17情况， 所以这7天内小明成功的总次数不少于小红成功的总次数的概率为1725； 【小问2详解】 由题设可知61(116220320425530636582)i ii x y ==×+×+×+×+×+×=∑，123456716202025303649,6262++++++++++====xy ，所以 7495826274927722ˆˆ,114972729164ba y bx −××===−=−×=−×， 所以y 关于序号x 的线性回旧方程为27117y x =+. 当7x =时，27711387y =×+=， 估计小明第7天成功次数a 的值为38.21. 已知椭圆C 的焦点为()11,0F −和()21,0F ，且椭圆C 经过点31,2M.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()21,0F 的直线l 与椭圆C 交于,P Q 两点，则在x 轴上是否存在定点N ，使得NP NQ ⋅的值为定值？若存在，求出点N 的坐标和该定值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=（2）存在，11,08N，定值为13564−【解析】【分析】（1）根据椭圆C 的焦点设椭圆C 的方程为222211x y a a +=−，代入点31,2 ，即可得a 的值，从而求得椭圆标准方程；（2）当直线l 斜率不为0时，设直线l 的方程为1x my =+，设定点(),0N t ，联立直线与椭圆求得交点坐标关系，再根据向量的坐标运算求NP NQ ⋅，消参即可确定定值，再检验直线l 的斜率为0时是否符合即可得结论. 【小问1详解】已知椭圆C 的焦点为()11,0F −和()21,0F ，设椭圆C 的方程为222211x y a a +=−，将点31,2代入椭圆方程，得()()224410a a−−=，解得214a =（舍去），24a =， 所以椭圆C 的方程为22143x y +=.的【小问2详解】当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为1x my =+，设定点(),0N t .联立方程组221,3412,x my x y =++=，消掉x 可得()2234690m y my ++−=，0∆>恒成立. 设()()1122,,,P x y Q x y ，可得12122269,3434m y y y y m m +=−=−++， 所以()()()()1212121211⋅=−−+=+−+−+NP NQ x t x t y y my t my t y y()()()()221212111my y m t y y t =++−++−()()()()()22222226159961111343434−−−−=++−+−=+−+++t m m m m t t t m m m .要使上式为定值，则615934t −−=，解得118t =，此时2911148 ⋅=−+− NP NQ 当直线l 的斜率为0时，()()2,0,2,0P Q −，此时，13564⋅=− NP NQ 也符合. 所以存在点11,08N，使得NP NQ ⋅ 为定值13564−. 22. 已知函数()()3213e 3=−−+xf x a x x x ，其中a ∈R . （1）若1ea =，判断()f x 的单调性； （2）设()f x 有且只有两个不同的极值点12,x x . （i ）求a 的取值范围； （ii ）当e4a >−时，设12x x <，证明：()149024≤<fx .【答案】（1）()f x 在(),2−∞上单调递减，在()2,+∞上单调递增（2）（i ）0a ≤；（ii ）证明见解析 【解析】【分析】（1）当1ea =时，对()f x 求导，讨论()f x ′的正负即可得出答案； （2）（i ）将函数()f x 有两个极值点转化为()e φ=−x x a x 只有一个实数根，且不为2，讨论0a >和0a ≤时，对()x φ求导，确定()x φ的单调性和最值，即可得出a 的范围；（ii ）利用（i ）中的结论和零点存在定理求出1x 的范围，再结合极值点满足的方程，化简可得()2211111233f x x x x =−+−，构造新函数()321123032h x x x x x =−+−−<≤，利用导数研究函数的单调性、最值，即可求得结果． 【小问1详解】()()()()()2e 22e x x f x a x x x x a x =−−−=−−′. 当1ea =时，()()()12e x f x x x −=′−−. 令()1e x g x x −=−，则()1e 1x g x −′=−， 令()0g x ′>，解得：1x >；令()0g x ′<，解得：1x <()g x 在(),1−∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增，则()()10g x g ≥=， 令()0f x '>，解得：2x >；令()0f x ′<，解得：2x <故()f x 在(),2−∞上单调递减，在()2,+∞上单调递增.【小问2详解】若()f x 有且只有两个不同的极值点12,x x ，则()f x ′有且只有两个不同的零点.（i ）()e φ=−x x a x 只有一个实数根，且不为()2,e 1φ=−′x x a ， 当0a >时，()x φ在1,ln a −∞ 上单调递减，在1ln ,a ∞ +上单调递增.则111ln 1ln 0,eφ=−== a a a . 由（1）知，当1ea =时，()f x 只有一个极值点2，舍去. 当0a ≤时，()()e 10,φφ−′=≤x x a x 为R 上的减函数. 又因为()()()200,e e 10m a a a a a φφ=≤=−=−≥， 所以存在00−≤≤a x ，使得()00x φ=.综上，0a ≤.（ii ）证明：当e 4>−a ，即e ,04 ∈−a 时，()x φ在R 上单调递减，又()1110,00222φφ −>−>=≤ a ， 所以121022−<≤<=x x . 又11e x a x =，所以()()()122222211111111111113e 32333=−−+=−−+=−+x f x a x x x x x x x x x 13−x . 令()321123,,032 =−+−∈−h x x x x x ，则()()()24313=−+−=−−−′h x x x x x ， ()h x 在1,02x ∈− 上单调递减，又()149,00294 −==h h ， 所以()149024≤<f x . 【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解函数的单调性、根据函数极值点个数求解参数范围、利用导数求解函数值域的问题；根据极值点个数求解参数范围的关键是能够将问题转化为方程根的个数问题，利用数形结合的方式来研究方程根的个数，进而确定参数范围.。
江苏省百校大联考2024学年数学高三上期末调研模拟试题含解析
江苏省百校大联考2024学年数学高三上期末调研模拟试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量a ，b 满足4a =，b 在a 上投影为2-，则3a b -的最小值为( ) A ．12B ．10C ．10D ．22．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若563a a =，则3132310log log log a a a +++=（ ）A ．31log 5+B ．6C ．4D ．53．高三珠海一模中，经抽样分析，全市理科数学成绩X 近似服从正态分布()285,N σ，且(6085)0.3P X <≤=．从中随机抽取参加此次考试的学生500名，估计理科数学成绩不低于110分的学生人数约为（ ） A ．40B ．60C ．80D ．1004．已知六棱锥P ABCDEF -各顶点都在同一个球（记为球O ）的球面上，且底面ABCDEF 为正六边形，顶点P 在底面上的射影是正六边形ABCDEF 的中心G ，若6PA =，2AB =，则球O 的表面积为（ ）A ．163πB ．94π C ．6πD ．9π5．已知棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面中，最大面积为（ ）A ．22B ．23C ．4D ．266．已知函数2sin ()1x f x x =+．下列命题：①函数()f x 的图象关于原点对称；②函数()f x 是周期函数；③当2x π=时，函数()f x 取最大值；④函数()f x 的图象与函数1y x=的图象没有公共点，其中正确命题的序号是（ ） A ．①④B ．②③C ．①③④D ．①②④7．阅读下侧程序框图，为使输出的数据为，则①处应填的数字为A ．B ．C ．D ．8．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，为真命题的是( )A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．②和④ 9．若()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()2f x f x +=-，则 A ．()f x 的值域为RB ．()f x 为周期函数，且6为其一个周期C ．()f x 的图像关于2x =对称D ．函数()f x 的零点有无穷多个10．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G 分别是棱AD ，1CC ，11C D 的中点，给出下列四个命题: ①1EF B C ⊥;② 直线FG 与直线1A D 所成角为60︒;③ 过E ，F ，G 三点的平面截该正方体所得的截面为六边形; ④ 三棱锥B EFG -的体积为56. 其中，正确命题的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．411．一小商贩准备用50元钱在一批发市场购买甲、乙两种小商品，甲每件进价4元，乙每件进价7元，甲商品每卖出去1件可赚1元，乙商品每卖出去1件可赚1.8元.该商贩若想获取最大收益，则购买甲、乙两种商品的件数应分别为（ ）A ．甲7件，乙3件B ．甲9件，乙2件C ．甲4件，乙5件D ．甲2件，乙6件12．已知条件:1p a =-，条件:q 直线10x ay -+=与直线210x a y +-=平行，则p 是q 的( ) A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省百校联考2023届高三下学期4月第三次考试数学试题含答案
江苏省百校联考2023届高三年级第三次考试数学试卷一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.1.已知复数z 满足()()12i 12i +-=-+z ，则=z （ ）B.2 D.32.设集合{}{}12e 1,20∣∣-=>=-<x M xN x x x ，则⋃=M N （ ）A.()0,1B.()1,2C.()0,∞+D.()2,∞+3.已知{}n a 是公差不为0的等差数列，{}n b 是等比数列，且1122431,,====a b a b a b ，设=+n n n c a b ，则数列{}n c 的前10项和为（ ）A.567B.568C.1078D.10794.设ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为2，若2+=AB AC AO ，且=OA AC ，则向量BA 在向量BC 上的投影为（ ）A.3B.-3 D.5.某学习小组8名同学在一次物理测验中的得分（单位：分）如下：83，84，86，87，88，90，93，96.这8名同学成绩的第60百分位数是n .若在该小组中随机选取2名同学，则这2名同学的得分均小于n 的概率为（ ） A.37 B.1528 C.314 D.9146.我国古代数学名著《九章算术》对立体几何问题有着深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面是矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥，“鳖臑”指四个面都是直角三角形的三棱锥.现有一如图所示的“堑堵”111-ABC A B C ，其中⊥AC BC ，若14==AA AB ，则“阳马”11-B A ACC 体积的最大（ ）A.163B.323C.16D.327.若()()110tan ,,tan 2342πππθθπθ⎛⎫+-=∈ ⎪-⎝⎭()222cos 4πθθ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭（ ）A.310-B.25-C.15- D.08.已知函数()sin 11π=+--xf x x x ，则直线22=-y x 与()f x 的图象的所有交点的横坐标之和为（ ）A.2B.1C.4D.0二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在毎小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选的得0分.9.已知一组数据1213,,,x x x 构成等差数列，且公差不为0.若去掉数据7x ，则（ ）A.平均数不变B.中位数不变C.方差变小D.方差变大 10.设函数()()()2sin 0,0ωϕωϕπ=+><<f x x ，若()()()2,3ππ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭f x f x f x f x ，且()f x 的最小正周期大于2π，则（ ）A.3ω=B.()f x 在区间0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 C.()f x 是偶函数 D.()f x 的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()2sin3=g x x 的图象 11.已知抛物线2:14=C y x 的焦点为,F P 为C 上一占，下列说法正确的是（ ） A.抛物线C 的准线方程为16=yB.战1=-y x 与C 相切C.若()0,4M ，则PM 的最小值为D.在()3,5M ，则PMF 的周长的最小值为1112.若函数()f x 是定义域为()0,∞+的单调函数，且对任意的()0,∞∈+x ，都有()()2log 6f f x x -=，且方程()32429125-=-+-+f x x x x t 在区间(]0.2上有两个不同解，则实籹t 的取值可能为（ ） A.0 B.1 C.2 D.3三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.13.已知定义在R 上的函数()f x 为奇函数，且满足()()13+=+f x f x .当01≤≤x 时，()3=-f x x x ，则()1162⎛⎫+= ⎪⎝⎭f f __________.14.已知620,⎛⎫>+ ⎪⎝⎭a a x x 的展开式中所存项的系数和为64，则展开式中的常数项为__________.（用数字作答）15.设∈k R ，直线1,0+-=l kx y k ，I 直线2:230-+-=l x ky k ，记12,l l 分別过定点1,,A B l 与2l 的交点为C ，则+AC BC 的最大值为__________.16.小王自主创业开了一家礼品店，平常需要用彩绳对礼品盒做一个捆扎（要求扎紧绳子不能松动），其中一种长方体的礼品盒一般都是采用“十字捆扎”（如图1所示），后来他又学习了一种新的彩绳捆扎方法“对角捆扎”（如图2所示），并认为“对角捆扎”比一般的“十字捆扎”包装更节省彩绳.设长方体礼品盒的长､宽､高分别为,,x y z ，则“十字捆扎”所需绳长为__________；若采用“对角捆扎”，则所需绳长的最小值为__________.（注：长方体礼品盒的高小于长､宽，结果用含,,x y z 的式子表示）四､解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）设各项均为正数的数列{}n a ，记{}n a 的前n 项和为21111,,33++=+=n n n n S a S S a . （1）求{}n a 的通项公式； （2）设()11=+n nb n a ，求数列{}n b 的前n 项和n T .18.（本小题满分12分）从①22cos -=a b B ；②)222=+-S a b c 2)12sin 2+=+C A B 这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并作答.记ABC 的内角,,A B C 的对边分別为,,,a b c ABC 的面积为S ，已知__________. （1）求C 的值；（2）若4=b ，点D 在边AB 上，CD 为∠ACB 的平分线，BCD 的面积为求a 的值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 19.（本小题满分12分）如图，在三棱锥-A BCD 中，90∠=ACB ，平面⊥ACD 平面,4,2,====ABC AC BC DC AD（1）证明：⊥AD 平面BCD .（2）设点E 在线段AB 上，直线DE 与直线BC 所成的角为4π，求平面DCE 与平面ACD 所成的锐二面角的余弦值. 20.（本小题满分12分）某学校为学生开设了一门模具加工课，经过一段时间的学习，拟举行一次模具加工大赛，学生小明､小红打算报名参加大赛.赛前，小明､小红分别进行了为期一周的封闭强化训练，下䘚记录了两人在封闭强化训练期问每天加工模具成功的次数，其中小明第7天的成功次数a 忘了记录，但知道3660≤≤a ，∈a Z .（2）根据小明这7天内前6天的成功次数，求其成功次数y 关于序号x 的线性回归方程，并估计小明第七天成功次数a 的值.参考公式：回归方程ˆˆˆ=+y bx a 中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为()()()1122211ˆˆˆ,.====---===---∑∑∑∑n niii ii i nni ii i x x y y x y nxybay bxx x xnx 参考数据：222222116220320425530636582;12345691⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=+++++=.21.（本小题满分12分）已知椭圆C 的焦点为()11,0-F 和()21,0F ，且椭圆C 经过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭M . （1）求椭圆C 的方程.（2）过点()21,0F 的直线l 与椭圆C 交于,P Q 两点，则在x 轴上是否存在定点N ，使得⋅NP NQ 的值为定值？若存在，求出点N 的坐标和该定值；若不存在，请说明理由.22.（本小题满分12分） 已知函数()()3213e 3=--+xf x a x x x ，其中∈a R . （1）若1e=a ，判断()f x 的单调性.（2）设()f x 有且只有两个不同的极值点12,x x . （i ）求a 的取值范围； （ii ）当4>-e a 时，设12<x x ，证明：()149024≤<f x .参考答案1-8 ACCACBDA 9ABD 10 AC 11BCD 12 BC13.3814.15 15.4 16.224++x y z17.【详解】（1）由()211213,32,++-⎧+=⎪⎨+=≥⎪⎩n n n n n n S S a S S a n ，两式相找得()()()11132++++=+-≥n n n n n n a a a a a a n ， ()110,2,3+>∴-=≥n n n a a a n 当1=n 时，2213+=z S S a ，且113=a ， 2229320∴--=a a ，得223a =（2103a =-<舍去)，. 21211,333∴-=-=a a ∴数列{}n a 为等差数列，公差为13，1.3∴=n a n（2）由（1）及题意可得()11131113⎛⎫==- ⎪+⎝⎭+⋅n b n n n n . 123∴=++++n n T b b b b111111131223341⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦n n 133111⎛⎫=-=⎪++⎝⎭n n n 18.【答案】（1）3π=C ；（2）4.【详解】（1）选①22cos -=a b c B ，则由余弦定理可得222222+--=⋅a c b a b c ac，整理可得222+-=a b c ab ，可得2221cos 22+-==a b c C ab .因为()0,π∈C ，所以3π=C .选②)222=+-S a b c .可得)2221sin 24+-=a b c ab C ，即)222sin 2+-==a b c C C ab.所以tan =C 因为()0,π∈C ，可得3π=C .()212sin2+=+CA B .2cos =-C C .可得2sin 26π⎛⎫+= ⎪⎝⎭C ，可得sin 16π⎛⎫+= ⎪⎝⎭C . 因为()70,,,666ππππ⎛⎫∈+∈ ⎪⎝⎭C C ，所以62ππ+=C ，可得3π=C . （2）在ABC 中，=+ABCACDBCDS SS.可得111sin sin sin 222∠∠∠⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅BC CD BCD CA CD ACD CA CB ACB ，可得 14⨯+=a CD CD ①又14CDB S a CD =⨯=②由①②可得2280--=a a ，解得4=a 或2=-a （舍去）， 所以a 的值为4.19.【答案】（1）见详解：（2）7.【详解】（1）证明：在ACD 中，因为4,2,===AC DC AD所以222=+AC AD CD ，所以⊥AD CD .因为90∠=ACB ，所以⊥BC AC . 因为平面⊥ACD 平面ABC ，平面⋂ACD 平面,=⊂ABC AC BC 平面ABC ， 所以⊥BC 平面ACD .因为⊂AD 平面ACD ，所以⊥AD BC .又,,,⊥⋂=⊂AD CD BC CD C BC CD 平面BCD ，所以⊥AD 平面BCD .（2）以C 为坐标原点，CA 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，过C 垂直于平面ABC 的直 线为z 轴､建立空间直角坐标系､由題意得()()()(4,0,0,0,4,0,0,0,0,A B C D ， 所以()()(4,4,0,0,4,0,=-==AB CB CD . 设点E 的坐标为()[](),,,0,1λλ=∈x y z AE AB ， 则()()4,4,04,,λλ=-=-AE x y z . 所以44,4,0λλ=-==x y z ， 所以点E 的坐标为()44,4,0λλ-，所以(34,4,λλ=-DE . 因为直线DE 与直线BC 所成的角为4π，cos ,24⋅===DE CB DE CB DE CB，解得12λ=， 所以点E 的坐标为()2,2,0，则()2,2,0=CE.. 设平面CDE 的法向量为()1111,,=n x y z ，111111002200⎧⎧⋅=+=⎪⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎪⎪⎩⎩CD n xx y CE n 取=x ()13,1=-n .又平面ACD 的一个法向量为()20,1,0=n所以121212cos ,713⋅-===⨯n n n n n n ，所以平面DCE 与平面ACD 所成的锐二面角的余弦值为7. 20.【答案】（1）1725（2）2711;387=+y x . 【详解】（1）因为3660≤≤a ，且∈a Z .所以a 的取值共有25种情况.又当小明成功的总次数不少于小红成功的总次数时，在5711==+≥∑∑iii i y a z .即16202025303616222526323535++++++≥++++++a ，得44≥a . 所以小明成功的总次数不少于小红成功的总次数时，a 的取值共有17情况.所以这7天内小明成功的总次数不少于小红成功的总次数的概率为1725. （2）由题设可知61116220320425530636582==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑i ii x y，123456716202025303649,6262++++++++++====x y .所以7495826274927722ˆˆ,114972729164-⨯⨯===-=-⨯=-⨯ba y bx ， 所以y 关于序号x 的线性回旧方程为27117=+y x . 当7=x 时，27711387=⨯+=y ， 估计小明第7天成功次数a 的值为38. 21.【答案】（1）22143+=x y ，（2）存在点11,08⎛⎫ ⎪⎝⎭N ，使得⋅NP NQ 为定值13564-. 【详解】（1）设椭圆C 的方程为222211+=-x y a a ，将点31,2⎛⎫⎪⎝⎭代入椭圆方程， 得()()224410--=a a ，解得214=a （舍去），24=a ， 所以椭圆C 的方程为22143+=x y .（2）当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为1=+x my ，设定点(),0N t .联立方程组221,3412,=+⎧⎨+=⎩x my x y ， 消掉x 可得()2234690++-=m y my . 设()()1122,,,P x y Q x y ， 可得12122269,3434+=-=-++m y y y y m m ， 所以()()()()1212121211⋅=--+=+-+-+NP NQ x t x t y y my t my t y y()()()()221212111=++-++-m y y m t y y t()()()()()22222226159961111343434----=++-+-=+-+++t m m m m t t t m m m . 要使上式为定值，则276154-=-t ，解得118=t ， 此时291113514864⎛⎫⋅=-+-=-⎪⎝⎭NP NQ . 当直线l 的斜率为0时，()()2,0,2,0-P Q ， 此时，13564⋅=-NP NQ 也符合. 所以存在点11,08⎛⎫⎪⎝⎭N ，使得⋅NP NQ 为定值13564-.22.【详解】（1）()()()()()2e 22e =--''-='--f x a x x x x a x . 当1e=a 时，()()()12-'=--f x x e x . 令()1e -=-g x x ，则()()1e 1,-'=-r g x g x 在(),1∞-上单调递减，在()1,∞+上单调逆增，则()()10≥=g x g ，故()f x 在(),2∞-上单调递战，在()2,∞+上单调递增. （2）若()f x 有且只有两个不同的极值点12,x x ， 则()'f x .（i ）()e φ=-xx a x 只有一个实数根，且不为()2,e 1φ=-'xx a ，当0>a 时，()φx 在1,ln∞⎛⎫- ⎪⎝⎭a 上单调递减，在1ln ,∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭a 上单调递增.则111ln1ln 0,eφ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭a a a . 由（1）知，当1e=a 时，()f x 只有一个极值点2，舍去. 当0≤a 时，()()e 10,φφ-'=≤xx a x 为R 上的减函数. 又因为()()()200,10φφ=≤=-=-≥ma a ae a a e ，所以存在00-≤≤a x ，使得()00φ=x . 综上，0≤a .（ii ）证明：当e 4>-a ，即e ,04⎛⎤∈- ⎥⎝⎦a 时，()φx 在R 上单调递减，又()1110,00222φφ⎛⎫-=+>=>=≤ ⎪⎝⎭a ， 所以121022-<≤<=x x . 又11e =x a x ，所以()()()122222211111111111113e 32333=--+=--+=-+x f x a x x x x x x x x x 13-x . 令()321123,,032⎛⎤=-+-∈- ⎥⎝⎦h x x x x x ，则()()()24313=-+-=---'h x x x x x ，()h x 在1,02⎛⎤∈- ⎥⎝⎦x 上单调递减，又()149,00294⎛⎫-== ⎪⎝⎭h h ，所以()149024≤<f x .。
2024届江苏省百校大联考高三上学期二模数学试题及答案
江苏省百校联考高三年级第二次考试数学试卷注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
选择题部分一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z满足z(1+i)=1-3i,则复数z的共轭复数−z的模长为( )A.2B.3C.D2.52.已知集合M={x|1x-1<-1},N={x|ln x<1},则M∪N=( )A.(0,1]B.(1,e)C.(0,e)D.(-∞,e)3.已知平面向量a=(-2,1),c=(2,t),“t>4”是“向量a与c的夹角为锐角”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.若函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示,A(3,0),B(12,-1),则f(x)的解析式是( )A.f(x)=sin(x+π6)B.f(x)=sin(x-π6)C.f(x)=sin(2x+π3)D.f(x)=sin(2x-π6)5.将一枚均匀的骰子独立投掷两次,所得的点数依次记为x,y,记A事件为“C x8>C y8”,则P(A)=( )A.1136B.13C.1336D.5126.若直线y=ax+b是曲线y=ln x(x>0)的一条切线,则2a+b的最小值为( )A.2ln 2B.ln 2C.12Dln 2.1+ln 27.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,且抛物线C过点P(1,-2),过点F的直线与抛物线C交于两点,A1,B1分别为A,B两点在抛物线C准线上的投影,M为线段AB的中点,O为坐标原点,则下列结论正确的是( )A.线段AB长度的最小值为2B.△A1FB1的形状为锐角三角形C.A,O,B1三点共线D.M的坐标不可能为(3,-2)8.设数列{a n}的前n项和为S n,且S n+a n=1,记b m为数列{a n}中能使a n≥2m+1(m∈N*)成立的最小项,则数列{b m}的前2023项和为( A.2023×B2024.22024-1C.6-327D.112-328二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1),则以下说法正确的是( )A.f(0)=0B.f(x)的一个周期为2C.f(2023)=D1.f(5)=f(4)+f(3)10.双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),左、右顶点分别为A,B,O为坐标原点,如图,已知动直线l与双曲线C左、右两支分别交于P,Q两点,与其两条渐近线分别交于R,S两点,则下列命题正确的是( )A.存在直线l,使得AP∥ORB.l在运动的过程中,始终有|PR|=|SQ|C.若直线l的方程为y=kx+2,存在k,使得S△ORB取到最大值D.若直线l的方程为y=-22(x-a),RS=2SB,则双曲线C的离心率为311.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=1,∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°,动点P在直线CD1上运动,以下四个命题正确的是( )A.BD⊥APB.四棱锥P-ABB1A1C.若M为BC的中点,则A1B=2AM-AC1D.PA·PC的最小值为-1412.已知函数f(x)=a(e x+a)-x,则下列结论正确的有( )A.当a=1时,方程f(x)=0存在实数根B.当a≤0时,函数f(x)在R上单调递减C.当a>0时,函数f(x)有最小值,且最小值在x=ln a处取得D.当a>0时,不等式f(x)>2ln a+32恒成立非选择题部分三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若关于x的不等式ax2-2x+a≤0在区间[0,2]上有解,则实数a的取值范围是 ▲ .14.已知{a n }是递增的等比数列,且满足a 3=1,a 1+a 3+a 5=919,则a 4+a 6+a 8= ▲ .15.如图,若圆台的上、下底面半径分别为r 1,r 2,且r 1r 2=3,则此圆台的内切球(与圆台的上、下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球)的表面积为 ▲ .16.设a>0,已知函数f (x )=e x -a ln (ax+b )-b ,若f (x )≥0恒成立,则ab 的最大值为 ▲ . 四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)锐角△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知1―cos A sin A=sin2B 1+cos2B .(1)证明:cos B=a2b .(2)求ab 的取值范围.18.(12分)受环境和气候影响,近阶段在相邻的甲、乙、丙三个市爆发了支原体肺炎,经初步统计,这三个市分别有8%,6%,4%的人感染了支原体肺炎病毒,已知这三个市的人口数之比为4∶6∶10,现从这三个市中任意选取一个人.(1)求这个人感染支原体肺炎病毒的概率;(2)若此人感染支原体肺炎病毒,求他来自甲市的概率.19.(12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=3,2S n =3a n -3.(1)证明数列{a n }为等比数列;(2)设数列{a n }的前n 项积为T n ,若1log )232)(21(13+∙>+--∑=n a T a S k n n k k kk λ对任意n ∈N *恒成立,求整数λ的最大值.20.(12分)设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A 1,A 2,右焦点为F ,已知A 1F =3FA 2.(1)求椭圆的离心率.(2)已知椭圆右焦点F 的坐标为(1,0),P 是椭圆在第一象限的任意一点,且直线A 2P 交y 轴于点Q.若△A 1PQ 的面积与△A 2FP 的面积相等,求直线A 2P 的斜率.21.(12分)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,平面PAD⊥平面ABCD,平面PCD⊥平面ABCD.(1)证明:PD⊥平面ABCD.(2)若PD=AD,M是PD的中点,N在线段PC上,求平面BMN与平面ABCD夹角的余弦值的取值范围.22.(12分)已知函数f(x)=x ln x-1ax2(a>0).2(1)若函数f(x)在定义域内为减函数,求实数a的取值范围;(2)若函数f(x)有两个极值点x1,x2(x1<x2),证明:x1x2>1.a江苏省百校联考高三年级第二次考试数学试卷参考答案1.D 【解析】法一:因为z (1+i )=1-3i ,所以z=1-3i 1+i =(1-3i)(1-i)(1+i)(1-i)=1-3-4i2=-1-2i ,所以|―z |=|z|=5,故选D .法二:两边取模|z (1+i )|=|1-3i |,得|z|·|1+i |=|1-3i |,所以|―z |=|z|=5,故选D .2.C 【解析】解不等式1x -1<-1,即xx -1<0,所以0<x<1,即M=(0,1),由ln x<1,得0<x<e ,所以N=(0,e ),所以M ∪N=(0,e ),故选C .3.C 【解析】a=(-2,1),c=(2,t ).若a ∥c ,t×(-2)=2×1,得t=-1,此时a 与c 互为相反向量;若a ·c=(-2)×2+t=t-4>0,得t>4,此时向量a 与c 的夹角为锐角.故“t>4”是“向量a 与c 的夹角为锐角”的充要条件,故选C .4.C 【解析】由图象知T=4×(7π12-π3)=π,故ω=2.将(7π12,-1)代入解析式,得sin (7π6+φ)=-1,所以7π6+φ=-π2+2k π,k ∈Z ,又|φ|<π2,即φ=π3,所以f (x )=sin (2x+π3).故选C .5.C 【解析】抛掷两次总的基本事件有36个.当x=1时,没有满足条件的基本事件;当x=2时,y=1满足;当x=3时,y=,2,6满足;当x=4时,y=1,2,3,5,6满足;当x=5时,y=1,2,6满足;当x=6时,y=1满足.总共有13种满足题意,所以P (A )=1336,故选C .6.B 【解析】设切点为(x 0,ln x 0),y'=1x ,则a =1x 0,ax 0+b =ln x 0,得b=ln x 0-1,∴2a+b=2x 0+ln x 0-1.设f (x )=2x +ln x-1(x>0),f'(x )=-2x 2+1x =x -2x 2,当x ∈(0,2)时,f'(x )<0,当x ∈(2,+∞)时,f'(x )>0,∴f (x )min =f (2)=ln 2,∴2a+b 的最小值为ln 2.7.C 【解析】因为抛物线C 过点P (1,-2),所以抛物线C 的方程为y 2=4x ,线段AB 长度的最小值为通径2p=4,所以A 错误;由定义知AA1=AF,AA1∥x轴,所以∠AFA1=∠AA1F=∠A1FO,同理∠BFB1=∠B1FO,所以∠A1FB1=90°,所以B错误;设直线与抛物线C交于AB:x=my+1,联立抛物线,得y2-4my-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1·y2=-4,k OA=y1x1=4y1=-y2,因为B1(-1,y2),所以kOB1=-y2=k OA,A,O,B1三点共线,所以C正确;设AB的中点为M(x0,y0),则y0=y1+y22=2m,x0=my0+1=2m2+1,取m=-1,M(3,-2),所以D错误.故选C.8.D 【解析】当n=1时,a1=12,由S n+1+a n+1=1,得2a n+1-a n=0,∴a n=12n,显然{a n}递减,要使得a n最小,即要使得n最大,令12n ≥12m+1,得2n≤2m+1.若m=1,则n≤1,b1=a1=12;若2≤m≤3,则n≤2,b m=a2=14;若4≤m≤7,则n≤3,b m=a3=18;若8≤m≤15,则n≤4,b m=a4=116;…;若1024≤m≤2047,则n≤11,b m=a11=1211.∴T1=b1=12,T3=b1+(b2+b3)=12+12=1,T7=b1+(b2+b3)+(b4+b5+b6+b7)=12+12+12=32,…,∴T2047=11×12=112,∴T2023=112-24211=112-328,故选D.9.ABD 【解析】f(x)是R上的奇函数,因此f(0)=0,A正确;由f(x-1)=f(x+1)得f(x)=f(x+2),所以2是它的一个周期,B正确;f(2023)=f(2×1011+1)=f(1),而f(1)=0,C错误;f(4)=f(0)=0,f(5)=f(3),因此f(5)=f(4)+f(3),D正确.故选ABD.10.BD 【解析】A选项,与渐近线平行的直线不可能与双曲线有两个交点,故A错误;B选项,易证明线段PQ与线段RS的中点重合,故B正确;C选项,当k越来越接近渐近线的斜率时,S△ORB会趋向于无穷,不可能有最大值,故C错误;D选项,联立直线l与渐近线y=ba x,解得S(a22b+a,ab2b+a),联立直线l与渐近线y=-ba x,解得R(a2-2b+a,ab2b-a),由题可知,RS=2SB,所以y S-y R=2(y B-y S),即3y S=y R+2y B,3ab 2b+a =ab2b-a,解得b=2a,所以e=3,故D正确.故选BD.11.BCD 【解析】对于A,假设BD⊥AP,则BD⊥平面ACD1,因为AC⊂平面ACD1,所以BD⊥AC,则四边形ABCD是菱形,AB=AD,A不正确;对于B,由平行六面体ABCD-A1B1C1D1得CD1∥平面ABB1A1,所以四棱锥P-ABB1A1的底面积和高都是定值,所以体积是定值,B正确;对于C ,AC 1=AB +AD +AA 1,AM =AB +1AD ,2AM -AC 1=AB -AA 1=A 1B ,故C 正确;对于D ,设PC =λD 1C ,PA ·PC =(PC +CB +BA )·PC=(λD 1C -AD -AB )·λD 1C =(λA 1B -AD -AB )·λA 1B =(λAB -λAA 1-AD -AB )·(λAB -λAA 1)=λ(λ-1)|AB |2-λ2AA 1·AB -λAD ·AB -λ(λ-1)AB ·AA 1+λ2|AA 1|2+λAD ·AA 1=λ(λ-1)|AB |2-(2λ2-λ)AA 1·AB -λAD ·AB +λ2|AA 1|2+λAD ·AA 1=λ(λ-1)×4-(2λ2-λ)×4cos 60°-λ×2cos 60°+4λ2+λ·2cos 60°=4λ2-2λ=(2λ-12)2-14≥-14,当且仅当λ=14时,等号成立,所以PA ·PC 的最小值为-14,故D 正确.故选BCD .12.BD 【解析】对于A ,因为a=1,所以方程f (x )=0即e x +1-x=0,又e x ≥x+1>x-1,所以e x +1-x>0恒成立,所以方程f (x )=0不存在实数根,所以A 错误.对于B ,因为f (x )=a (e x +a )-x ,定义域为R ,所以f'(x )=a e x -1,当a ≤0时,由于e x >0,则a e x ≤0,故f'(x )=a e x -1<0恒成立,所以f (x )在R 上单调递减,所以B 正确.对于C ,由上知,当a>0时,令f'(x )=a e x -1=0,解得x=-ln a.当x<-ln a 时,f'(x )<0,则f (x )在(-∞,-ln a )上单调递减;当x>-ln a 时,f'(x )>0,则f (x )在(-ln a ,+∞)上单调递增.当a>0时,f (x )在(-∞,-ln a )上单调递减,在(-ln a ,+∞)上单调递增.所以函数f (x )有最小值,即最小值在x=-ln a 处取得,所以C 错误.对于D ,由上知f (x )min =f (-ln a )=a (e -ln a +a )+ln a=1+a 2+ln a ,要证f (x )>2ln a+32,即证1+a 2+ln a>2ln a+32,即证a 2-12-ln a>0恒成立,令g (a )=a 2-12-ln a (a>0),则g '(a )=2a-1a =2a2-1a.令g'(a )<0,则0<a<22;令g '(a )>0,则a>22.所以g (a )在(0,22)上单调递减,在(22,+∞)上单调递增,所以g (a )min =g (22)=(22)2-12-ln 22=ln 2>0,则g (a )>0恒成立,所以当a>0时,f (x )>2ln a+32恒成立,D 正确.综上,故选BD .13.(-∞,1] 【解析】因为x ∈[0,2],所以由ax 2-2x+a ≤0,得a ≤2xx 2+1,因为关于x 的不等式ax 2-2x+a ≤0在区间[0,2]上有解,所以只需a 小于或等于2xx 2+1的最大值,当x=0时,2x x 2+1=0,当x ≠0时,2xx 2+1=2x +1x≤1,当且仅当x=1时,等号成立,所以2xx 2+1的最大值为1,故a ≤1,即实数a 的取值范围是(-∞,1].故答案为(-∞,1].14.273 【解析】设公比为q ,a 1+a 3+a 5=a 3q 2+a 3+a 3q 2=919,解得q 2=9或19,因为{a n }递增,所以q=3,则a 4+a 6+a 8=(a 1+a 3+a 5)q 3=919×33=273.故答案为273.15.12π 【解析】设圆台上、下底面圆心分别为O 1,O 2,则圆台内切球的球心O 一定在O 1O 2的中点处,设球O 与母线AB 切于M 点,∴OM ⊥AB ,∴OM=OO 1=OO 2=R (R 为球O 的半径),∴△AOO 1与△AOM 全等,∴AM=r 1,同理BM=r 2,∴AB=r 1+r 2,∴O 1O 22=(r 1+r 2)2-(r 1-r 2)2=4r 1r 2=12,∴O 1O 2=23,∴圆台的内切球半径R=3,∴内切球的表面积为4πR 2=12π.故答案为12π.16.e2 【解析】f (x )≥0⇔ax+e x ≥a ln (ax+b )+(ax+b ),设g (x )=a ln x+x ,易知g (x )在(0,+∞)上递增,且g (e x )=a ln e x +e x =ax+e x ,故f (x )≥0⇔g (x )≥g (ax+b )⇔e x ≥ax+b.法一:设y=e x 在点P (x 0,e x 0)处的切线斜率为a ,e x0=a ,即x 0=ln a ,切线l :y=ax+a (1-ln a ),由e x ≥ax+b 恒成立,可得b ≤a (1-ln a ),∴ab ≤a 2(1-ln a ),设h (a )=a 2(1-ln a ),a>0,h'(a )=2a (12-ln a ),当a ∈(0,e 12)时,h'(a )>0,当a ∈(e 12,+∞)时,h'(a )<0,∴h (a )max =h (e 12)=e2,∴ab 的最大值为e 2.故答案为e2.法二:设h (x )=e x -ax-b ,h'(x )=e x -a ,当x ∈(-∞,ln a )时,h'(x )<0,当x ∈(ln a ,+∞)时,h'(x )>0,∴h (x )min =h (ln a )=a (1-ln a )-b ≥0,即有b ≤a (1-ln a ),∴ab ≤a 2(1-ln a ),下同法一.17.【解析】(1)证法一:因为1-cos Asin A =sin2B 1+cos2B =2sin B cos B 2cos 2B=sin B cos B , 所以(1-cos A )·cos B=sin A ·sin B ,..............................................................................................................2分所以cos B=cos A cos B+sin A sin B ,即cos (A-B )=cos B ,而-π2<A-B<π2,0<B<π2,所以A-B=B ,即A=2B ,..........................................................................................4分所以sin A=sin 2B=2sin B cos B.由正弦定理得 a=2b cos B ,即cos B=a2b ..................................................................................................5分证法二:由1-cos A sin A =2sin 2A 22sin A 2cos A 2=sin A 2cos A 2=sin2B 1+cos2B ,所以sin A 2cos A 2=sin2B 1+cos2B,即sin A 2·(1+cos 2B )=cos A2·sin 2B ,所以sin A2=sin 2B ·cos A2-cos 2B ·sin A2=sin (2B-A2),又0<A<π2,0<B<π2且A+B>π2,所以A2=2B-A2或A2+(2B-A2)=2B=π,所以A=2B 或B=π2(与锐角△ABC 不合,舍去).综上知,A=2B.所以sin A=sin 2B=2sin B cos B ,由正弦定理得 a=2b cos B ,即cos B=a2b .(2)由上知A=2B ,则C=π-A-B=π-3B ,在锐角△ABC 中,π6<B<π4,.......................................................7分由正弦定理,得a b =sin A sin B =sin2B sin B =2sin B cos Bsin B=2cos B ∈(2,3),...............................................................9分所以ab 的取值范围是(2,3).....................................................................................................................10分18.【解析】(1)记事件D :选取的这个人感染了支原体肺炎病毒,记事件E :此人来自甲市,记事件F :此人来自乙市,记事件G :此人来自丙市..................................................................................................1分Ω=E ∪F ∪G ,且E ,F ,G 彼此互斥,由题意可得P (E )=420=0.2,P (F )=620=0.3,P (G )=1020=0.5,P (D|E )=0.08,P (D|F )=0.06,P (D|G )=0.04,..................................................................................................3分由全概率公式可得P (D )=P (E )·P (D|E )+P (F )·P (D|F )+P (G )·P (D|G )=0.2×0.08+0.3×0.06+0.5×0.04=0.054,.................5分所以从三市中任取一人,这个人感染支原体肺炎病毒的概率为0.054..........................................6分(2)由条件概率公式可得P (E|D )=P (DE )P (D )=P (E )·P (D |E )P (D )=0.2×0.080.054=827.................................................11分所以当此人感染支原体肺炎病毒时,他来自甲市的概率为827.........................................................12分19.【解析】(1)因为2S n -3a n +3=0,①当n ≥2时,2S n-1-3a n-1+3=0,②..................................................................................................................2分①-②得 a n =3a n-1(n ≥2),即a na n -1=3(n ≥2),所以数列{a n }是首项为3,公比为3的等比数列..................................................................................4分(2)由(1)知a n =3n ,所以S n =3(1-3n)1-3=3n +1-32,T n =a 1a 2a 3…a n=3×32×33×…×3n =31+2+3+…+n =3n (n +1)2,...........................................................................6分所以n k =1(1-2k )(S k -2a k+32)log 3T k=n k =1(1-2k )(3k +1-32-2·3k +32)log 33k (k +1)2=nk =1(2k -1)3k k (k +1)=nk =1(3k +1k +1-3k k )=3n +1n +1-3>λ·3nn +1对任意n ∈N *恒成立,..................................................8分故λ<3-n +13n -1恒成立,....................................................................................................................................9分令f (n )=3-n +13n -1,则f (n+1)-f (n )=3-n +23n -(3-n +13n -1)=2n +13n >0,...............................................................11分所以数列{f (n )}单调递增,所以f (n )min =f (1)=1,所以λ<1,故整数λ的最大值为0.........................12分20.【解析】(1)由题可知,|A 1A 2|=2a ,由A 1F =3FA 2,所以|A 1F |=3|FA 2|,所以|A 1F |=34|A 1A 2|=32a ,即a+c=32a ,所以椭圆的离心率e=c a =12....................................................................................................3分(2)法一:由题意知,c=1,a=2,所以椭圆方程为x 24+y 23=1,直线A 2P 的斜率存在,设直线A 2P 的斜率为k ,则直线方程为kx-y-2k=0且k<0,设A 1到直线A 2P 的距离为h 1,F 到直线A 2P 的距离为h 2,则h 1=|-4k |k2+1,h 2=|-k |k 2+1,............................................................................................................................5分又S △A1PQ =12h 1·|PQ|,S △A 2FP =12h 2·|A 2P|,S △A 1PQ=S △A2FP,所以|PQ ||A2P|=ℎ2ℎ1=14,............................................................................................................................................8分由图可得A 2P =4A Q ,A 2(2,0),Q (0,-2k ),所以P (25,-85k ),............................................................10分又P 在椭圆上,代入椭圆方程解得k 2=98,因为k<0,所以k=-324...................................................12分法二:由题意知,直线A 2P 的斜率存在,设直线A 2P 的斜率为k ,则直线方程为kx-y-2k=0且k<0,-y -2k =0,y 23=1,消去y 得到方程(3+4k 2)x 2-16k 2x+16k 2-12=0,所以x A 2·x P =16k 2-123+4k 2,所以x P =8k 2-63+4k 2,......................................................................................................5分代入直线方程得P (8k 2-63+4k 2,-12k 3+4k2),Q (0,-2k ),..........................................................................................7分S △A2FP =12|A 2F|·y P =yP2,S △A1PQ=S △QA1A2-S △PA1A2=12·4·(-2k )-12·4·y P ,又因为S △A 1PQ=S △A 2FP,所以52y P =-4k ,....................................................................................................10分所以52·-12k3+4k2=-4k ,解得k 2=98,因为k<0,所以k=-324.........................................................................12分21.【解析】(1)∵四边形ABCD 是正方形,∴AD ⊥CD.∵平面PCD ⊥平面ABCD ,平面PCD ∩平面ABCD=CD ,AD ⊂平面ABCD ,∴AD ⊥平面PCD ,∵PD ⊂平面PCD ,∴AD ⊥PD ,......................................................................................................................2分同理CD ⊥PD.∵AD ∩CD=D ,AD ⊂平面ABCD ,CD ⊂平面ABCD ,∴PD ⊥平面ABCD........................................................................................................................................4分(2)由(1)知AD ⊥PD ,CD ⊥PD ,AD ⊥CD ,∴DA ,DC ,DP 两两垂直,如图,以D 为原点,DA ,DC ,DP 所在直线分别为x ,y ,z 轴,建立空间直角坐标系.设PD=AD=2,则D (0,0,0),P (0,0,2),B (2,2,0),C (0,2,0),M (0,0,1).∵PD ⊥平面ABCD ,∴平面ABCD 的一个法向量为m=(0,0,1),.............................................................................................5分CN =λCP (0≤λ≤1),∴BM =(-2,-2,1),CP =(0,-2,2),∴BN =BC +CN =BC +λCP =(-2,0,0)+λ(0,-2,2)=(-2,-2λ,2λ),设平面BMN 的法向量为n=(x ,y ,z ),则BM ·n =-2x -2y +z =0,BN ·n =-2x -2λy +2λz =0,取x=λ,则y=1-2λ,z=2-2λ,∴平面BMN 的一个法向量为n=(λ,1-2λ,2-2λ)....................................................................................7分设平面BMN 与平面ABCD 的夹角为θ,则cos θ=|cos <n ,m>|=|n ·m|n ||m ||=|2-2λ|λ2+(1-2λ)2+(2-2λ)2=|2-2λ|9λ2-12λ+5,...........................................8分设t=1-λ,则0≤t ≤1.①当t=0时,cos θ=0..................................................................................................................................9分②当t ≠0时,cos θ=2|t |9t2-6t +2=2t29t 2-6t +2=212(1t )2-6×1t+9=212[(1t -32)2+92],当t=23时,cos θ=223,∴0<cos θ≤223.......................................................................................................11分综上,0≤cos θ≤223.∴平面BMN 与平面ABCD 夹角的余弦值的取值范围为[0,223]..............12分22.【解析】(1)f (x )的定义域为(0,+∞),f'(x )=ln x-ax+1,.........................................................................1分由题意,f'(x )≤0恒成立,即a ≥ln x +1x恒成立,..........................................................................................2分设h (x )=ln x +1x ,h'(x )=-ln x x 2,当x ∈(0,1)时,h'(x )>0,h (x )递增,当x ∈(1,+∞)时,h'(x )<0,h (x )递减,......................................................3分∴h (x )max =h (1)=1,∴a ≥1.................................................................................................................................4分(2)证法一:∵函数f (x )有两个极值点,由(1)可知0<a<1,设g (x )=f'(x )=ln x-ax+1,则x 1,x 2是g (x )的两个零点,∵g'(x )=1x -a ,当x ∈(0,1a )时,g'(x )>0,当x ∈(1a ,+∞)时,g'(x )<0,∴g (x )在(0,1a )上递增,在(1a ,+∞)上递减,∴0<x 1<1a <x 2,又∵g (1)=1-a>0,∴0<x 1<1<1a <x 2,.............................................................................................................................................6分要证x 1x 2>1a ,只需证x 2>1ax 1(>1a ),只需证g (x 2)<g (1ax 1),即证g (1ax 1)=-ln (ax 1)-1x 1+1>0,即证ln (ax 1)+1x 1-1<0,(*)..........................................................................8分由g (x 1)=ln x 1-ax 1+1=0,设ax 1=t ∈(0,1),则ln x 1=t-1,x 1=e t-1,则(*)⇔ln t+e 1-t -1<0,.........................10分设G (t )=ln t+e 1-t -1(0<t<1),G'(t )=1t -1e t -1=e t -1-t t e t -1,由(1)知ln x ≤x-1,∴e x-1≥x ,∴e t-1-t ≥0,即G'(t )≥0,G (t )在(0,1)上递增,G (t )<G (1)=0,故(*)成立,即x 1x 2>1a .......................................................................................12分证法二:先证明引理:当0<t<1时,ln t<2(t -1)t +1,当t>1时,ln t>2(t -1)t +1.设G (t )=ln t-2(t -1)t +1(t>0),G'(t )=1t -4(t +1)2=(t -1)2t (t +1)2≥0,∴G (t )在(0,+∞)上递增,又G (1)=0,当0<t<1时,G (t )<G (1)=0,当t>1时,G (t )>G (1)=0,∴引理得证.............................................................................5分∵函数f (x )有两个极值点,由(1)可知0<a<1,设g (x )=f'(x )=ln x-ax+1,则x 1,x 2是g (x )的两个零点,∵g'(x )=1x -a ,当x ∈(0,1a )时,g'(x )>0,当x ∈(1a ,+∞)时,g'(x )<0,∴g (x )在(0,1a )上递增,在(1a ,+∞)上递减,∴0<x 1<1a <x 2,即0<ax 1<1<ax 2................................................6分要证x 1x 2>1a ,只需证ln x 1+ln x 2>-ln a ,即证a (x 2+x 1)>2-ln a ,(*).........................................................7分由引理可得ax 2+ln a-1=ln (ax 2)>2(ax 2-1)ax 2+1,化简可得a 2x 22+a (ln a-2)x 2+ln a+1>0,① (9)分同理ax 1+ln a-1=ln (ax 1)<2(ax 1-1)ax 1+1,即有a 2x 21+a (ln a-2)x 1+ln a+1<0.② (10)分由①-②可得,a 2(x 2+x 1)(x 2-x 1)+a (ln a-2)(x 2-x 1)>0,即a 2(x 2+x 1)+a (ln a-2)>0,即a (x 2+x 1)>2-ln a ,故(*)得证,从而x 1x 2>1a .........................................................................................................................................12分。
江苏省百校大联考2025届高考仿真模拟数学试卷含解析
江苏省百校大联考2025届高考仿真模拟数学试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．三棱锥S ABC -的各个顶点都在求O 的表面上，且ABC ∆是等边三角形，SA ⊥底面ABC ，4SA =，6AB =，若点D 在线段SA 上，且2AD SD =，则过点D 的平面截球O 所得截面的最小面积为（ ） A ．3πB ．4πC ．8πD ．13π2．已知集合A={x|y=lg （4﹣x 2）}，B={y|y=3x ，x ＞0}时，A∩B=（ ） A ．{x|x ＞﹣2} B ．{x|1＜x ＜2} C ．{x|1≤x≤2} D ．∅ 3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长为（ ）A ．5B ．4C ．2D ．224．在棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 为A 1D 1的中点，若三棱锥P −ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ） A ．12πB ．21π2C ．41π4D ．10π5．函数1()ln ||1xf x x+=-的图象大致为A ．B ．C ．D ．6．已知集合{}|0A x x =<，{}2|120B x x mx =+-=，若{}2AB =-，则m =（ ）A ．4B ．－4C ．8D ．－87．将函数()cos2f x x =图象上所有点向左平移4π个单位长度后得到函数()g x 的图象，如果()g x 在区间[]0,a 上单调递减，那么实数a 的最大值为（ ） A ．8π B ．4π C ．2π D ．34π 8．设i 是虚数单位，若复数1z i =+，则22||z z z+=（ ）A ．1i +B ．1i -C ．1i --D ．1i -+9．过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点F 的直线过C 的上顶点B ，且与椭圆C 相交于另一点A ，点A 在y 轴上的射影为A '，若34FO AA ='，O 是坐标原点，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．32 B ．33C ．12D ．2210．已知三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，AD ⊥平面,120ABC BAC ︒∠=，2AD =，若球O 的表面积为20π，则三棱锥A BCD -的体积的最大值为（ ） A ．33B ．233C ．3D ．2311．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为A ．B ．C ．D ．12． “8πϕ=-”是“函数()sin(3)f x x ϕ=+的图象关于直线8x π=-对称”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2025届江苏省百校数学高三上期末统考试题含解析
2025届江苏省百校数学高三上期末统考试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．执行如图所示的程序框图，若输出的310S =，则①处应填写（ ）A ．3?k <B ．3?kC ．5?kD ．5?k <2．设复数z 满足(1)21z i i ⋅+=+（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．已知函数()ln ln(3)f x x x =+-，则（ ）A ．函数()f x 在()0,3上单调递增B ．函数()f x 在()0,3上单调递减C ．函数()f x 图像关于32x =对称D ．函数()f x 图像关于3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭对称4．正三棱锥底面边长为3，侧棱与底面成60︒角，则正三棱锥的外接球的体积为（ ）A ．4πB ．16πC ．163πD ．323π5．已知向量(2,4)a =-，(,3)b k =，且a 与b 的夹角为135︒，则k =（ ）A ．9-B ．1C ．9-或1D ．1-或96．已知数列{}n a 中，12a =，111n n a a -=-(2n ≥)，则2018a 等于（ ）A ．12B ．12-C ．1-D ．27．已知函数2()ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，若不等式()()()12122f x f x x x t +>++有解，则t 的取值范围是（ ）A ．(,2ln 2)-∞-B ．(],2ln 2-∞-C ．(,112ln 2)-∞-+D ．(],112ln 2-∞-+8．设双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的一个焦点为F （c ,0）（c ＞0）线被圆x 2+y 2﹣2cx ＝0截得的弦长为 ）A ．221205x y -= B ．22125100x y -= C ．221520x y -= D ．221525x y -= 9．若函数32()3f x ax x b =++在1x =处取得极值2，则a b -=（ ）A ．-3B ．3C ．-2D ．210．若[]1,6a ∈，则函数2x a y x+=在区间[)2,+∞内单调递增的概率是（ ） A ．45 B ．35 C ．25 D ．1511．已知甲盒子中有m 个红球，n 个蓝球，乙盒子中有1m -个红球，+1n 个蓝球(3,3)m n ≥≥，同时从甲乙两个盒子中取出(1,2)i i =个球进行交换，（a ）交换后，从甲盒子中取1个球是红球的概率记为(1,2)i p i =.（b ）交换后，乙盒子中含有红球的个数记为(1,2)i i ξ=.则（ ）A ．1212,()()p p E E ξξ><B ．1212,()()p p E E ξξC ．1212,()()p p E E ξξ>>D ．1212,()()p pE E ξξ<<12．有一圆柱状有盖铁皮桶（铁皮厚度忽略不计），底面直径为20cm ，高度为100cm ，现往里面装直径为10cm 的球，在能盖住盖子的情况下，最多能装（ ）2.236≈≈≈）A ．22个B ．24个C ．26个D ．28个二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省百校联考高三年级第一次试卷教师版(2)
江苏省百校联考高三年级第一次试卷数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U =R ，集合{}1,0A =-，{}|0B x x =≥，则()U A B = C （）A ．{}|0x x ≥B ．{}1-C ．{}|1x x ≤-D ．{}1,0-【答案】B2．设复数11i z =-，23i z a =+（i 是虚数单位，a ∈R ），若12z z ⋅∈R ，则a =（）A ．2B ．2-C ．3-D ．3【答案】D3．2020年7月，我国湖北、江西等地连降暴雨，造成严重的地质灾害.某地连续7天降雨量的平均值为26.5厘米，标准差为6.1厘米.现欲将此项统计资料的单位由厘米换为毫米，则标准差变为（）A ．6.1毫米B ．32.6毫米C ．61毫米D ．610毫米【答案】C4．若函数()sin()(02)4f x x πωω=-+<<的图象经过点3(,0)16π-，则(8f π=（）A ．64B ．264-C ．264+D ．264-【答案】D5．某班级8位同学分成,,A B C 三组参加暑假研学，且这三组分别由3人、3人、2分组成.若甲、乙两位同学一定要分在同一组，则不同的分组种数为（）A ．140B ．160C ．80D ．100【答案】A6．某传染病在流行初期，由于大部分人未感染且无防护措施，所以总感染人数以指数形式增长.假设在该传染病流行初期的感染人数为0P ，且每位已感染者平均一天会传染给r 位未感染这的前提下，n 天后感染此疾病的总人数P ，可以表示为0(1)nn P P r =+，其中01P ≥且0r >.已知某种传染病初期符合上述数学模型，且每隔16天感染此病的人数会增加为原来的64倍，则208121859P P P P P P ⋅⋅的值为（）A ．2B ．4C ．8D ．16【答案】C 7．若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在(,0]-∞上是增函数，且(1)0f =，则使得2(1)()0x f x -<的x 的取值范围是（）A ．∅B ．(,1)(1,)-∞-+∞ C ．(,1)(1,1)(1,)-∞--+∞ D ．R 【答案】C解：()x f 为偶函数，()x f 在(]0,∞-单调递增，()01=f 由此画出()x f 的图像()()012<-x f x 当012>-x 时，()0<x f ，此时1>x 或1-<x 当012<-x 时，()0>x f ，此时11<<-x 故本题选C.8．假设地球是半径为r 的球体，现将空间直角坐标系的原点置于球心，赤道位于xOy 平面上，z 轴的正方向为球心指向正北极方向，本初子午线（弧ASB ）是0度经线，位于xOz 平面上，且交x 轴于点(,0,0)S r ，如图所示.已知赤道上一点13(,,0)22E r r 位于东京60度，则地球上位于东经30度、北纬60度的空间点P 的坐标为（）A．13,,)442r r r B．13,,)222r r r C ．131(,,)222r r r D ．133(,,)442r r r 【答案】A解：法一：图中r OP =，P 在赤道上的射影点为P '，︒='∠60P PO ，r P P 23='∴，2r P O ='︒='∠30P SO ，图中x M P ⊥'轴，y N P ⊥'轴r N P 23='∴，4r M P ='，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴r r r P 23,4,43，故选A.法二：东经︒30应在AB 中选择，r OP =，应在A ，D 中选择，所以选A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．已知曲线E 的方程为22(,)ax by ab a b +=∈R ，则下列选项正确的是（）A ．当1ab =时，E 一定是椭圆B ．当1ab =-时，E 是双曲线C ．当0a b =>时，E 是圆D ．当0ab =且220a b +≠时，E 是直线【答案】BCD10．设,,O A B 是平面内不共线的三点，若(1,2,3)n OC OA nOB n =+= ，则下列选项正确的是（）A ．点123,,C C C 在同一直线上B ．123OC OC OC == C ．123OC OB OC OB OC OB⋅<⋅<⋅ D ．123OC OA OC OA OC OA⋅<⋅<⋅ 【答案】AC11．若23,34x y ==，则下列选项正确的是（）A ．32y >B ．x y >C ．2xy =D ．2x y +>【答案】BCD解：43=y，则4log 3=y 2716< ，27log 16log 33<∴，34log 23<∴23<∴y ，A 错误32=x 则3log 2=x 89> ，8log 9log 22>∴，33log 22>∴，即23>x ，y x >∴，B 正确24log 4log 3log 232===xy ，C 正确222=>+xy y x ，D 正确故本题选BCD.12．在直角坐标系内，由,,,A B C D 四点所确定的“N 型函数”指的是三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，其图象过,A D 两点，且()f x 的图象在点A 处的切线经过点B ，在点D 处的切线经过点C .若将由(0,0)A ，(1,4)B ，(3,2)C ，(4,0)D 四点所确定的“N 型函数”记为()y f x =，则下列选项正确的是（）A ．曲线()y f x =在点D 处的切线方程为28y x =-+B ．1()(4)(8)8f x x x x =--C ．曲线()y f x =关于点(4,0)对称D ．当46x ≤≤时，()0f x ≥【答案】ABC解：()x f y =在0处切线为CD 所在直线()2,3C ，()0,4D ，CD 直线为82+-=x y ，A 正确.由题意知()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-==⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-='=='=04238124044040d c b a f f f f ()()()84814238123--=+-=∴x x x x x x x f ，B 正确()43832+-='x x x f ，()0343=-=''x x f ，4=x ，拐点为()0,4()x f 关于()0,4对称，C 正确64≤≤x 时，()0≤x f ，D 错误故本题选ABC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知点(,1)A m 是抛物线22(0)x py p =>上一点，F 为抛物线的焦点，且3AF =，则p =__________.【答案】414．已知一圆锥的母线长为5，高为4，则该圆锥的体积为__________.【答案】π1215．“一湾如月弦初上，半壁澄波镜比明”描述的是敦煌八景之一的月牙泉.某中学开展暑期社会实践活动，学生通过测量绘制出月牙泉的平面图，如图所示.图中，圆弧QRT 是一个以O 点为圆心、QT 为直径的半圆，3QT =米.圆弧QST 的圆心为P 点，60PQ =米.圆弧QRT 与圆弧QST 所围成的阴影部分为月牙泉的形状，则该月牙泉的面积为__________平方米.【答案】3900150+π解：360=QT ，则半圆的半径为330半圆QRT 的面积()ππ1350330212=圆P 的半径为602360330sin ==∠QPO ，3π=∠∴QPO ，32π=∠QPT 390023606021=⨯⨯⨯=∴∆QPT S ，ππ120032606021=⨯⨯⨯=QPT S 弧()3900150390012001350+=--=πππS .16．假设苏州肯帝亚球队在某赛季的任一场比赛中输球的概率都等于p ，其中01p <<，且各场比赛互不影响.令X 表示连续9场比赛中出现输球的场数，且令k p 代表9场比赛中恰有k 场出现输球的概率()P X k =.已知456458p p p +=，则该球队在这连续9场比赛中出现输球场数的期望为__________.【答案】518解：()()k k k p p C k X P --==991，654845p p p =+()()()366945595449184511p p C p p C p p C -=-+-∴52=∴p 或32-=p （舍）()518529=⨯=∴X E .四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在①()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B -+=-，②2cos cos cos c C a B b A =+，③ABC ∆的面积为1(sin sin sin )2c a A b B c C +-这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答.已知ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且__________.（1）求角C ；（2）若D 为AB 的中点，且2,3c CD ==,a b 的值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.解：选择条件①（1）()()()B A b C A c a sin sin sin sin -=+- ，()()()222b ab c a b a b c a c a -=-⇒-=+-∴212cos 222=-+=ab c b a C ，3π=∴C .选择条件②A bB aC c cos cos cos 2+=，∴由正弦定理得：)sin(cos sin cos sin cos sin 2B A A B B A C C +=+= 在ABC ∆中，π=++C B A ，∴C B A sin )sin(=+，∴CC C sin cos sin 2= 在ABC ∆中，),0(π∈C ，∴0sin ≠C ，则21cos =C ，∴3π=C 选择条件③ A bc C c B b A a c S ABC sin 21)sin sin sin (21=-+=∆，∴A b C c B b A a sin sin sin sin =-+∴由正弦定理得：ab c b a =-+222，∴由余弦定理得：212cos 222=-+=ab c b a C 在ABC ∆中，),0(π∈C ，∴3π=C（2）()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅++=⇒+=2124121222a b a b CD CB CA CD 1222=++ab b a 而442212222=-+⇒=⋅-+ab b a ab b a24822==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==+∴b a ab b a 18．（12分）在数列{}n a 中，已知12a =，2211440n n n n a a a a ++-+=，121n n n n T a a a +-=+++ .（1）求数列{}n T 的通项公式；（2）令22(1)log (4)n n n n b n T =-⋅+-，求数列{}n b 的前50项和50S .解：（1）0442121=+-++n n n n a a a a ()0221=-∴+n n a a ，n n a a 21=+{}n a ∴为等比数列且首项为21=a ，公比为2nn a 2=∴()n n n n n n n n n n T 2422212122222121-=-=--⋅=+++=∴-+ .（2）()()n n n b n n nn +⋅-=+⋅-=22212log 1，()()2822121222212-=++-+--=+-k k k k k b b k k ()()()22582282185049432150-⨯+-⨯+-⨯=++++++=∴b b b b b b S ()25505022526825225218=-⨯⨯=⨯-+++⨯= .19．（12分）王老师组织甲、乙、丙三位学生参与摸球实验，已知盒中共有3个红球、7个白球、摸球方法如下：当王老师掷出的骰子为1点时，甲从盒中摸一球；当王老师掷出的骰子为2或3点时，乙从盒中摸一球；当王老师掷出的骰子为其他点时，丙从盒中摸一球.该三位学生摸球后均不放回.假定学生从盒中摸到任何一球的可能性相等.本实验王老师共掷骰子2次.请解答下面的问题：（1）求学生甲恰好得到2个红球的概率；（2）求学生乙至少得到1个红球的概率.解：（1）由题意知王老师2次均掷出1点∴甲恰好得到2个红球的概率为1312161069540⨯⨯⨯=（2）①若乙得2个红球，则王老师2次均掷出2或3点此时乙得2个红球的概率为1312131039135⨯⨯⨯=②若乙得1个红球（i ）若王老师一次掷出1点，一次掷出2或3点则概率为：13121713131916103961039310627030⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯==（ii ）若王老师一次掷出其他点，一次掷出2或3点则概率为：1312171313112103921039310210⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯=（iii ）若王老师两次均掷出2或3点则概率为：13171713143103931039270⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=∴乙至少得到1个红球的概率11114261353010270135p =+++=20．（12分）如图，已知AC BC ⊥，DB ⊥平面ABC ，EA ⊥平面ABC ，过点D 且垂直于DB 的平面α与平面BCD 的交线为l ，1AC BD ==，3BC =，2AE =.（1）证明：l ⊥平面AEC .（2）设点P 是l 上任意一点，求平面PAE 与平面ACD 所成锐二面角的最小值.解：（1）过C 作CF ⊥平面ABC 且CF BD =，∵BD ⊥平面ABC∴ CF ，∴四边形CBDF 为矩形，∴BD DF ⊥，∵AE ⊥平面ABC ，∴AE BD过D 作DG AE ⊥于点G ，∴四边形ABDG 为矩形∴BD DG ⊥，∴BD ⊥平面FDG ，∴平面α即为平面FDG∴交线l 为直线DF ，∵1AG =，∴ CF ∴四边形ACFG 为矩形，∴GF AC ，又∵DF BC ，AC BC ⊥∴DF GF ⊥，又∵DF CF ⊥，GF CF F = ∴DF ⊥平面ACFG ，即l ⊥平面AEC .（2）如图建立空间直角坐标系，P 在DF 上设(,0,1)P m ，(0,1,0)A ，(0,1,2)E ，(0,0,0)C ，(3,0,1)D (,1,1)PA m =-- ，(0,0,2)AE = ，(0,1,0)AC =- ，3,0,1)CD = 设平面PAE 和平面ACD 的一个法向量分别为1111(,,)n x y z = ，2222(,,)n x y z = ∴111111100(1,,0)200n PA mx y z n m z n AE ⎧⋅=-+-=⎧⎪⇒⇒=⎨⎨=⋅=⎩⎪⎩ 22222200(1,0,3)300y n AC n x z n CD ⎧-=⎧⋅=⎪⎪⇒⇒=⎨+=⋅=⎪⎪⎩⎩ 设平面PAE 与平面ACD 所成锐二面角为θ，12,n n 所成角为ϕ∴122121cos cos 212n n n n m θϕ⋅===⋅+⋅ ，∴10cos 2θ<≤32ππθ≤<，∴所成锐二面角的最小值为3π.21．（12分）已知函数()cos (e 1)xf x x a =+-.（1）当1a =时，求()f x 在(0,)π上的单调性；（2）若0(0,)x ∃∈+∞，000()cos f x x x <+，求a 的取值范围.解：（1）当1a =时，()cos e 1,(0,)x f x x x π=+-∈()sin e 110x f x x '=-+>-=，∴()f x 在(0,)π上单调递增.（2）由0000000()cos cos (e 1)cos x f x x x x a x x <+⇒+-<+00(e 1)0x a x ⇒--<令()(e 1)xg x a x =--，∵存在0x 使0()0g x <，故只需min ()0g x <即可()e 1x g x a '=-①当0a ≤时，()0g x '<，()g x 在(0,)+∞ ，此时(1)(e 1)10g a =--<，满足题意②当1a ≥时，()0g x '>，()g x 在(0,)+∞上 ，此时()(0)0g x g >=，舍去③当01a <<时，令()0g x '=得1lnx a=且当10ln x a <<时，()0g x '<，()g x ；当1ln x a >时，()0g x '>，()g x ，∴min 1()(ln )g x g a =故只需111(ln (1)ln 01ln 0g a a a a a a =--<⇒-+<令()1ln h a a a =-+，1()10h a a'=->，∴()h a 在(0,1)上 ()(1)0h a h <=，此时01a <<符合题意综上：a 的取值范围为(,1)-∞.22．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点63,)22，且离心率为22.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知点A 的坐标是(2,1)，,M N 是椭圆C 上的两点，满足AM AN ⊥，证明：直线MN 过定点.解：（1）设椭圆的半焦距为c 由题意知222223924122a bc aa b c ⎧⎪+=⎪⎪⎪⎨=⎪⎪⎪⎪=+⎩2263a b ⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩，椭圆C 的方程为22163x y +=.（2）①当MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为y kx m =+，1122(,),(,)M x y N x y 2222222(2)626y kx m xh k x kmx m x y =+⎧⇒+++=⎨+=⎩222222(12)4260(4)4(12)(26)0k x kmx m km k m +++-=⇒∆=-+->12221224122612km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩由0AM AN AM AN ⊥⇒⋅= ，而11(2,1)AM x y =-- ，22(2,1)AN x y =-- ∴1212(2)(2)(1)(1)0x x y y --+--=121212122()4()10x x x x y y y y -+++-++=[]121212122(04()()()210x x x x kx m kx m k x x m -+++++-+++=221212(1)(2)()250k x x km k x x m m ++--++-+=22222264(1)(2)2501212m km k km k m m k k --++--⋅+-+=++22348210m k km m ⇒++--=21(231)(21)03k k m k m m --⇒+++-=⇒=或12m k =-当213k m --=时，满足0∆>，2121(333k y kx k x +=-=--恒过定点21(,33-当12m k =-时，12(2)1y kx k k x =+-=-+恒过定点(2,1)与A 重合，舍去②当MN 斜率不存在时，设直线MN 方程为：x t=设0(,)M t y ，∴0(,)N t y -，(2,1)A 0(2,1)AM t y =-- ，0(2,1)AN t y =--- ，∵AM AN⊥220(2)10AM AN t y ⋅=--+= ，而220163y t +=∴22(2)3(1)106t t ---+=，234202t t -+=23840t t -+=，(32)(2)0t t --=，23t =或2t =（舍去）∴23t =，此时MN 也过21(,33-.综上：直线MN 过定点21(,33-.。
江苏省百校联考2023届高三下学期4月第三次考试数学试题
一、单选题二、多选题1. 已知圆截两坐标轴所得弦长相等，且圆过点和，则圆的半径为A．B．C．D．2. 已知函数为偶函数，且函数在上单调递增，则关于x 的不等式的解集为（ ）A．B．C．D．3.已知等差数列的前n 项和为，若，见（ ）A ．4B ．5C ．6D ．124. 和e 是数学上两个神奇的无理数．产生于圆周，在数学中无处不在，时至今日，科学家借助于超级计算机依然进行的计算．而当涉及到增长时，e 就会出现，无论是人口、经济还是其它的自然数量，它们的增长总是不可避免地涉及到e ．已知，，，，则a ，b ，c ，d 的大小关系是（ ）A．B．C．D．5. 如图，棱长为1的正方体中，P 为内一点（包括边界），且线段的长度等于点P 到平面ABCD 的距离，则线段长度的最小值是（）A．B．C．D．6. 已知定义域为的函数在区间上单调递减，且为偶函数，则关于的不等式的解集为A．B．C．D．7.已知数列满足，且，则的最小值是（ ）A ．-15B ．-14C ．-11D ．-68. 已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA |–|PB |=2，且P 为函数y =图像上的点，则|OP |=（ ）A．B．C．D．9. 已知函数，为的导函数，则下列判断正确的是（ ）A ．存在，使得B ．函数无零点C ．直线是曲线的切线D．对任意的，都有10.已知函数的定义域为，且满当时，，λ为非零常数，则下列说法正确的是（ ）江苏省百校联考2023届高三下学期4月第三次考试数学试题江苏省百校联考2023届高三下学期4月第三次考试数学试题三、填空题四、解答题A ．当时，B．当时，在单调递增C ．当时，在的值域为D ．当时，且时，若将函数与的图象在的m 个交点记为（，2，3，…m），则11.已知函数，则下列说法正确的是（ ）A ．函数在处取得极大值B．方程有两个不同的实数根C．D ．若不等式在上恒成立，则12. 现安排甲､乙､丙､丁､戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译､导游､礼仪､司机四项工作可以安排，则以下说法错误的是（ ）A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为B ．若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为C ．每项工作至少有1人参加，甲､乙不会开车但能从事其他三项工作，丙､丁､戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是D ．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为13. 设，则______.14. 在△ABC 中，D 在线段AC上，，则△ABC 的面积是___．15. 已知函数的部分图象如图所示，则时，函数的值域为___________.16. 冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征(MERS )和严重急性呼吸综合征(SARS )等较严重疾病，而新型冠状病毒(nCoV )是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株人，感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状，发热、咳嗽、气促和呼吸困难等在较严重病例中，感染可导致肺炎，严重急性呼吸综合征，肾衰竭，甚至死亡．假如某医药研究机构合成了甲、乙两种抗“新冠病毒”的药物．经试验，服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别为，现已进入药物临床试用阶段．每个试用组由4位该病毒的感染者组成．其中2人试用甲种抗病毒药物，2人试用乙种抗病毒药物．如果试用组中，甲种抗病毒药物治愈人数超过乙种抗病毒药物的治愈人数，则称该组为“甲类组”．（1））求一个试用组为“甲类组”的概率；（2）观察3个试用组，用表示这3个试用机组“甲类组”的个数，求的分布列和数学期望．17. 已知函数．(1)求图像的对称轴方程；(2)当时，求的最大值以及取得最大值时的值．18.甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得利润是元.(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.19.如图，四棱锥中，，，，，，，为中点.(1)证明：；(2)求直线与平面所成角的正弦值.20. 如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC＝B1C，O为四边形ACC1A1对角线交点，F为棱BB1的中点，且AF⊥平面BCC1B1.（1）证明：OF∥平面ABC；（2）证明：四边形为矩形.21. 已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若有且仅有2个零点，求实数a的取值范围；(3)证明：.。
2023届江苏省百校联考高三上学期第一次考试数学试题(解析版)
2023届江苏省百校联考高三上学期第一次考试数学试题一、单选题1． 设集合{}11A x x =-<<，{}220B x x x =-≤，则A B ⋃=（ ）A ． (]1,2-B ．()1,2-C ．[)0,1D ．(]0,1【答案】A【分析】先求解二次不等式得{}02B x x =≤≤，再根据集合运算法则算A B 即可 【详解】由题，{}02B x x =≤≤，则{}12A B x x ⋃=-<≤， 故选：A2． 已知i 为虚数单位，复数z 满足()1i 43i z +=-，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ． 第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ． 第四象限【答案】D【分析】根据复数运算求得z ，即可得到结果. 【详解】43i (43i)(1i)17i1i 22z ----===+，故z 位于第四象限， 故选:D.3． 设向量a ，b 是互相垂直的单位向量，则与向量a b -垂直的一个单位向量是（ ） A ． a b + B ．)2a b - C ．)a b -- D ．)2a b + 【答案】C【分析】由向量a ，b 是互相垂直的单位向量，得=1a b =，且0a b ⋅=，设与向量a b -垂直的单位向量为(,R)ka b k μμ+∈，列式求解,k μ的值即可得. 【详解】解：因为a ，b 是相互垂直的单位向量， 则=1a b =，且0a b ⋅=设向量(,R)ka b k μμ+∈是与向量a b -垂直的单位向量，则()()01ka b a b ka b μμ⎧+⋅-=⎪⎨+=⎪⎩，所以222222220()0121k ka k a b b k k a ka b b μμμμμμ-=⎧+-⋅-=⎧⇒⎨⎨+=+⋅+=⎩⎩解得：22k μ==± 则向量()22a b --与向量()22a b +是与向量a b -垂直的单位向量. 故选：C.4． 埃拉托斯特尼是古希腊亚历山大时期著名的地理学家，他最出名的工作是计算了地球（大圆）的周长.如图，在赛伊尼，夏至那天中午的太阳几乎正在天顶方向（这是从日光直射进该处一井内而得到证明的）.同时在亚历山大城（该处与赛伊尼几乎在同一子午线上），其天顶方向与太阳光线的夹角测得为7.2.因太阳距离地球很远，故可把太阳光线看成是平行的.埃拉托斯特尼从商队那里知道两个城市间的实际距离大概是5000斯塔蒂亚，按埃及的长度算，1斯塔蒂亚等于157.5米，则埃拉托斯特尼所测得地球的周长约为（ ）A ． 38680千米B ． 39375千米C ． 41200千米D ． 42192千米 【答案】B【分析】由题意可将赛伊尼和亚历山大城之间的距离看作圆心角为7.2的扇形的弧长，由此可计算地球半径，进而求得地球周长.【详解】由题意可知，赛伊尼和亚历山大城之间的距离可看作圆心角为7.2的扇形的弧长，设地球半径为r ，则7.25000157.5π180r ⨯=⋅， ∴地球周长为1802π25000157.5393750007.2r =⨯⨯⨯=（米）=39375（千米）， 故选：B.5．已知关于x 的不等式240ax bx ++>的解集为()4,,m m ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭，其中0m <，则4b a b+的最小值为（ ） A ．－4 B ．4C ．5D ．8【答案】C【分析】根据不等式240ax bx ++>的解集求出a 的值和b 的取值范围，在代入4b a b +中利用对勾函数的单调性求出它的最小值.【详解】由240ax bx ++>的解集为()4,,m m ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭，则0a >，且m ，4m是方程240ax bx ++=的两根， 由根与系数的关系知444b m m am m a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，解得1a =，()44b m m ⎛⎫=-+-≥ ⎪⎝⎭，当且仅当2m =-时等号成立，故44b b a b b+=+， 设4f b bb，4b函数f b 在4,b 上单调递增，所以min44454f bf所以4ba b +的最小值为5. 故选：C6． 在平面直角坐标系xOy 中，设抛物线24x y =的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，过点P 作PA l ⊥，交准线l 于点A ，若直线AF 的倾斜角为30，则点P 的纵坐标为（ ） A ． 3 B ． 2C ． 1D ．12【答案】A【分析】求出AF 的长，根据抛物线的定义可得．【详解】设准线与y 轴交于M 点，则2FM =，30FAM ∠=︒，∴4AF =， 连接PF ，则PF PA =，又903060PAF ∠=︒-︒=︒，所以PAF △是正三角形， ∴4PA =，准线l 的方程是1y =-， ∴P 点纵坐标为3. 故选：A7．若将整个样本空间想象成一个1×1的正方形，任何事件都对应样本空间的一个子集，且事件发生的概率对应子集的面积.则如图所示的涂色部分的面积表示（ ）A ．事件A 发生的概率B ．事件B 发生的概率C ．事件B 不发生条件下事件A 发生的概率D ．事件A 、B 同时发生的概率 【答案】A【分析】根据图示，表示出涂色部分的面积，利用条件概率的概率公式整理化简，即可求得答案.【详解】由题意可得，如图所示的涂色部分的面积为(|)()[1()](|)P A B P B P B P A B +- ()()(|)()()()P AB P B P A B P AB P AB P A =+=+= ,故选：A8． 已知sin 0.1a =，ln1.1b =，0.1e 1c =-，则（ ） A ． c b a << B ． a b c << C ． c a b << D ． b a c <<【答案】D【分析】构造函数()1s n e i xf x x =--以及函数()()ln 1sing x x x =+-，分别利用导数研究其单调性，进而根据单调性比较函数值的大小.【详解】令()1s n e i xf x x =--，()e cos x f x x '∴=-，当0x >时，e 1x >，e cos 0x x ∴->，()0f x '∴>，()f x 单调递增，()()0.10f f ∴>，即0.1e 1sin 0.10-->，0.1e 1sin 0.1∴->，即c a >，令()()ln 1sin g x x x =+-，()()11cos 11cos cos cos 111x x x x x g x x x x x -+--'∴=-==+++， 令()1cos cos h x x x x =--，()()1sin cos h x x x x '∴=+- 令()()1sin cos x x x x ϕ=+-，()()2sin 1cos x x x x ϕ'∴=++， 当π06x <<时，()0x ϕ'>，()h x '∴单调递增， ()(π61ππππ1sin cos 0666612h x h +⎛⎫⎛⎫∴<=+-=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭''()h x ∴在()0,0.1x ∈上单调递减，00h xh ，()0g x '∴<，()g x ∴在()0,0.1x ∈上单调递减，()()0.100g g ∴<=，即ln1.1sin0.10-<，b a ∴<综上：b a c <<. 故选：D.二、多选题9． 下列说法正确的有（ ）A ． 已知一组数据7，7，8，9，5，6，8，8，则这组数据的中位数为8B ． 已知一组数据1x ，2x ，3x ，…，10x 的方差为2，则12x +，22x +，32x +，…，102x +的方差为2C ． 具有线性相关关系的变量x ，y ，其线性回归方程为0.2y x m =-，若样本点的中心为(),3.2m ，则4m =D ． 若随机变量X 服从正态分布()22,N σ，()30.64P X ≤=，则()120.14P X ≤≤=【答案】BD【分析】对于A ，根据中位数的定义作答；对于B ，根据方差的计算公式作答； 对于C ，根据回归直线的性质作答；对于D ，根据正态分布的对称性作答. 【详解】5，6，7，7，8，8，8，9中位数为7.5，A 错； 1x ，2x ，…，n x 方差为2，设11ni i x x n ==∑，则()2112n i i x xn ==-∑，所以()1122ni i x x n =+=+∑，则()211222n i i x x n =+--=∑，即12x +，22x +，…，2n x +方差为2，B 正确；将(),3.2m 代入0.2y x m =-得3.20.2m m =-，则4m =-，C 错； ()2~2,X N σ，2x ∴=为分布曲线的对称轴，则()20.5P X ≤=，由()()3130.36P X P X >=-≤=，则()10.36P X <=， 因此，()()()12210.14P X P X P X ≤≤=≤-<=，D 正确. 故选：BD.10． 已知函数()()sin cos 0f x x x ωωω=+>图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π，则（ ）A ． ()f x 的图象关于点3,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称B ． 将()f x 的图象向左平移8π个单位长度，得到的函数图象关于y 轴对称C ． ()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[]1,1-D ． ()f x 在,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增【答案】ABD【分析】根据相邻两条对称轴之间的距离可的周期，然后可得解析式.由正弦函数的对称性可判断A ；由函数图象的平移变换，结合余弦函数的性质可判断B ；根据x 的范围和正弦函数的性质直接求解可判断C ；根据正弦函数单调性通过解不等式可判断D.【详解】()4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭相邻两对称轴间距离为2π，则22T π=，∴2T ππω==，∴2ω=，()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 3π3πsin 2sin 0884f ππ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴()f x 关于3,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称，A 对.2282f x x x ππ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴8f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭关于y 轴对称，B 对.当02x π≤≤时，有02x ≤≤π，则52444x πππ≤+≤，所以sin 2124x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，∴()f x ∈-⎡⎣，C 错误.由2422x πππ+-≤≤，得388x ππ-≤≤，所以()f x 的一个单调增区间为3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，而3,0,488πππ⎡⎤⎡⎤-⊂-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，∴()f x 在,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，D 对. 故选：ABD11． 在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N 分别是棱11A D ，AB 的中点，则（ ）A ． 异面直线MD 与AC 所成角的余弦值为15B ． 11MCD N ⊥C ． 四面体11CABD 的外接球体积为43π D ． 平面MNC 截正方体所得的截面是四边形 【答案】BC【分析】利用坐标法可判断AB ，利用正方体的性质可判断CD. 【详解】如图建立空间直角坐标系，则()()()()()()111,0,2,2,0,0,0,2,0,0,2,2,0,0,2,2,1,0M A C C D N ，∴()1,0,2DM =，()2,2,0AC =-，∴10cos ,522AC DM =⋅A 错误； ∴()11,2,0MC =-，()12,1,2D N =-，110MC D N ⋅=，∴11MC D N ⊥，B 正确； 由题可知四面体11CAB D 的外接球即为正方体的外接球，所以外接球半径满足223r =，3r =∴34433V r ππ==，C 正确；延长CN 交DA 延长线与P ，连接MP 交1AA 于Q ，延长PM 交1DD 延长线于K ，连接CK 交11D C 于J ，则五边形QMJCN 为平面MNC 截正方体所得的截面，D 错误. 故选：BC.12． 已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，21n n S S n +=-+，则（ ） A ． 121(2)n n a a n n ++=-≥ B ． 22n n a a +-=C ． 当10a =时，501225S =D ． 当数列{}n a 单调递增时，1a 的取值范围是11,44⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】ACD【分析】A 选项，根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，得到()1212n n a a n n ++=-≥，A 正确；1221a a +=与323a a +=得到3122a a -=，当10a ≠时，22n n a a +-=不成立，B 错误；当10a =时，得到n 为奇数时为等差数列，n 为偶数时也是等差数列，利用等差数列求和公式得到答案；D 选项，方法一：根据21a a >，32a a >，43a a >，54a a 依次类推可知11144a -<<； 方法二：写出21221n a n a =--，()21312122n a a n n a +=+-=+，根据22212n n n a a a ++>>且21a a >求出答案.【详解】21n n S S n ++=，①2n ≥时，21(1)n n S S n -+=-，②①－②，()1212n n a a n n ++=-≥，A 正确；当1n =时，1211a a a +=-+，即1221a a +=； 当2n =时，323a a +=，∴3122a a -=，10a ≠时，不满足条件，B 错误；10a =时,因为1221a a +=，所以21a =，则121211a a +==⨯-，满足121n n a a n ++=-，故此时()1211n n a a n n ++=-≥①，又()21211n n a a n +++=+-②，两式相减得：22n n a a +-=，n 为奇数时是首项为0，公差为2的等差数列，共25项； n 为偶数时是首项为1，公差为2的等差数列，共25项，所以502524252425022512122522S ⨯⨯=⨯+⨯+⨯+⨯=， C 正确；{}n a 是单调递增数列，∴21a a >，即1121a a -+>，即113a <； 32a a >，即112221a a +>-+，即114a >-；43a a >，即21222a a +>+，即112322a a -+>+，即114a <， 54a a ，即3222a a +>+，依次类推可知11144a -<<，D 正确. 对于D ，法二：由211122(1)221n a a n n a =-+-=--，()2131121222222n a a n a n n a +=+-=++-=+，要使{}n a 单调递增，则必有22212n n n a a a ++>>且21a a >，∴111222122221n a n a n a +-->+>--且111111244a a a ->⇒-<<，D 正确，故选：ACD.【点睛】数列单调性问题或不等式问题，要充分挖掘题干条件，通常由递推公式求通项公式，或研究出数列的性质，结合等差数列或等比数列的性质进行求解.三、填空题13． 6211(1)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中3x 的系数为______.【答案】26【分析】运用二项展开式的通项公式求()61x +展开式中的35x x 、项即可.【详解】()61x +展开式第1r +项16C r rr T x +=，3r =时， 3336C 20x x =，=5r 时，55566C x x =，∴6211(1)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中3x 系数26. 故答案为：26.14． 已知角α的顶点在坐标原点O ，始边与x 轴的非负半轴重合，将角α的终边绕O 点逆时针旋转π12后，经过点()1,3-，则πcos 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭______.【分析】根据三角函数的定义可得πcos 12α⎛⎫+ ⎪⎝⎭、πsin 12α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，然后πππcos cos 3124αα⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，展开计算出答案即可.【详解】因为将角α的终边绕O 点逆时针旋转π12后，经过点()1,3-，所以πcos 12α⎛⎫+= ⎪⎝⎭πsin 12α⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以πππππππcos cos cos cos sin sin 312121222444αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+-+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，15． 已知函数()232,02,0x x x f x x x ⎧-+≥⎪=⎨+<⎪⎩，()1g x kx =+.若函数()()()h x f x g x =-的图象经过四个象限，则实数k 的取值范围是______. 【答案】11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】问题转化为直线1y kx =+与函数()y f x =的图象在y 轴两侧都有两个交点，作函数()y f x =的图象，作出直线1y kx =+，求出直线1y kx =+与函数223y x x =-+（0x ≥）相切时的切线斜率，再求出直线1y kx =+过点(2,0)-的斜率，由图象可得结论．【详解】直线1y kx =+过定点()0,1P ，()h x 过四个象限()f x ⇔与()g x 在y 轴的左右两边都有两个交点，过()0,1P 作()2320y x x x =-+≥的切线，切点设为()2000,32M x x x -+，23y x '=-，023k x =-，切线方程为()()()200003223y x x x x x --+=--，切线过()0,1，解得01x =或01x =-（舍去），此时1k =-，10x -<<时()2f x x =+，线段所在直线斜率为1，2x <-时，()2f x x =--，射线所在直线斜率为1-，2y x =+与x 轴交于()2,0N -，12PN k =， 由图象知满足题意的k 的范围是：112k -<<. 故答案为：1(1,)2-．四、双空题16． 祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家，他于5世纪末提出了“幂势既同，则积不容异”的体积计算原理，即“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”.现已知直线2y =±与双曲线224x y -=及其渐近线围成的平面图形G 如图所示.若将图形G 被直线()22y t t =-≤≤所截得的两条线段绕y 轴旋转一周，则形成的旋转面的面积S =______；若将图形G 绕y 轴旋转一周，则形成的旋转体的体积V =______.【答案】 4π 16π【分析】由直线y t =，其中22t -≤≤，分别联立方程组y x y t =⎧⎨=⎩和224x y y t ⎧-=⎨=⎩，求得,A B的坐标，进而求得圆环的面积，再结合题意得到该几何体的体积与底面面积为4π，高为4的圆柱的体积相同，利用圆柱的体积公式，即可求解【详解】如图所示，双曲线224x y -=，其中一条渐近线方程为y x =， 由直线y t =，其中22t -≤≤，联立方程组y xy t =⎧⎨=⎩，解得(,)A t t ，联立方程组224x y y t⎧-=⎨=⎩，解得2(4,)B t t +，所以截面圆环的面积为222(4)4S t t πππ=+-=，即旋转面的面积为4π， 根据“幂势既同，则积不容异”，可得该几何体的体积与底面面积为4π，高为4的圆柱的体积相同， 所以该几何体的体积为4416V ππ=⨯=. 故答案为：4π，16π.五、解答题17．从①()()13132n n n a n a +-=+，②25a =，122n n n a a a ++=+这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答.已知数列{}n a 满足12a =，______. (1)求{}n a 的通项公式；(2)设12na nb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求数列{}n n a b +的前n 项和n T .注：若选两个条件分别作答，则按第一个解答计分. 【答案】(1)选①，31n a n =-；选②，31n a n =-(2)(31)211278nn n n T ⎡⎤+⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦【分析】（1）选①，由递推式可得13231n n a n a n ++=-，利用累乘法可求得数列通项公式； 选②，根据等差中项性质可判断数列为等差数列，即可求得数列通项公式（2）由（1）可得12na nb ⎛⎫= ⎪⎝⎭的表达式，继而得到n n a b +的表达式，利用分组求和法，结合等差等比数列的前n 项和公式，即可求得答案.【详解】(1)选①，由1(31)(32)n n n a n a +-=+及12a =，可知0n a ≠，所以13231n n a n a n ++=-， 当2n ≥时，有1342112321n n n n n a a a a a a a a a a a a ---=⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 313411852313437852n n n n n --=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=---. 当1n =时，131131a n =⨯-=-适合上式，故31n a n =-.选②，由122n n n a a a ++=+，得211n n n n a a a a +++-=-，所以{}n a 为等差数列， 由12a =，25a =，得该数列的公差12532d a a =-==-， 所以()()1123131n a a n d n n =+-=+-=-.(2)3112n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴311312n n n a b n -⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，则3111[258(31)][(]431)22n n T n -=++++-++++ ， ∴11148(231)(31)2111227818nn nn n n n T ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭+-+⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+=+-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-. 18．在ABC 中，内角,,A BC 的对边分别为a ，b ，c ，且23B π=，b(1)若ABC的周长为a ，c 的值； (2)若ABC sin sin A C 的值. 【答案】(1)a c ==(2)1sin sin 6A C =【分析】（1）根据周长可求a c +，根据余弦定理可求ac ，解方程组可得结果； （2）利用面积可求ac ，根据正弦定理可求sin sin A C .【详解】(1)因为a b c ++=，ba c += 在ABC 中，由余弦定理得2222cosb ac ac B =+-，即26()a c ac =+-② 由①②得2ac =③. 由①③得a c ==(2)由1sin 2ABC S ac B ===△43ac =，由正弦定理sin sin sin a b cA B C===a A =，c C =，所以48sin sin 3ac A C A C =⨯==，即1sin sin 6A C =.19．近年来，师范专业是高考考生填报志愿的热门专业.某高中随机调查了本校2022年参加高考的90位文科考生首选志愿（第一个院校专业组的第一个专业）填报情况，经统计，首选志愿填报与性别情况如下表：（单位：人）(1)根据表中数据.能否有95%的把握认为首选志愿为师范专业与性别有关？(2)用样本估计总体，用本次调研中首选志愿样本的频率代替首选志愿的概率，从2022年全国文科考生中随机抽取3人，设被抽取的3人中首选志愿为师范专业的人数为X ，求X 的分布列、数学期望()E X 和方差()D X .附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，n a b c d =+++.【答案】(1)有95%的把握认为首选志愿为师范专业与性别有关； (2)分布列见解析，()1E X =，2()3D X =. 【分析】（1）求出2χ，比较临界值可得； （2）求得某个考生首选志愿为师范专业的概率301903P ==，X 的所有可能取值为0，1，2，3，由二项分布求得概率得分布列，再由二项分布的期望公式、方差公式计算期望与方差．【详解】(1)2290(2525355) 5.625 3.84160303060χ⨯-⨯==>⨯⨯⨯，∴有95%的把握认为首选志愿为师范专业与性别有关. (2)某个考生首选志愿为师范专业的概率301903P ==， X 的所有可能取值为0，1，2，3，1~3,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭328(0)327P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2131241C 339P X ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭， ()2231222C 339P X ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭，311(3)327P X ⎛⎫===⎪⎝⎭， ∴X 的分布列如下： X0 1 23 P8274929127()1313E X ⨯==，112()31333D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭.20．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，AD AB ⊥，侧面PAB ⊥底面ABCD ，122PA PB AD BC ====，且E ，F 分别为PC ，CD 的中点.(1)证明：//DE 平面PAB .(2)若直线PF 与平面PAB 所成的角为60︒，求平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析； (2)55. 【分析】（1）取PB 中点M ，可得//DE AM ，利用线面平行的判定定理即得； （2）取AB 中点G ，由题可得FG ⊥平面PAB ，进而可得3PG =，建立坐标系，利用坐标法即得.【详解】(1)取PB 中点M ，连接AM ，EM ，∵E 为PC 的中点， ∴1//,2ME BC ME BC =，又∵1//,2AD BC AD BC =， ∴//,ME AD ME AD =， ∴四边形ADEM 为平行四边形， ∴//DE AM ，∵DE ⊄平面PAB ，AM ⊂平面PAB ， ∴//DE 平面PAB ；(2)∵平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，AD ⊂平面ABCD ，AD AB ⊥，∴AD ⊥平面PAB ，取AB 中点G ，连接FG ， ∴FG AD ∥，FG ⊥平面PAB ， ∴60GPF ∠=︒，3GF =， ∴3tan 60PG︒=，3PG = ∴1AG GB ==，2AB =，如图建立空间直角坐标系，则(3P ，()1,4,0C ，()1,2,0D -，∴(1,4,3PC =，()2,2,0CD =--， 设平面PCD 的一个法向量()1,,n x y z =， ∴1100n PC n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，430220x y z x y ⎧+=⎪⎨--=⎪⎩，令1y =，则(13n =-， 平面PAB 的一个法向量()20,1,0n =， 设平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角为θ， ∴121215cos 5n n n n θ⋅=== 即平面PAB 与平面PCD 521．设F 为椭圆C ：2212x y +=的右焦点，过点F 且与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点.(1)当2BF FA =时，求FA ；(2)在x 轴上是否存在异于F 的定点Q ，使QA QBk k 为定值（其中QA k ，QB k 分别为直线QA ，QB 的斜率）？若存在，求出Q 的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)328FA =(2)存在，定点()2,0Q【分析】（1）设出直线l 的方程1x my =+，联立直线和椭圆的方程，得到关于y 的一元二次方程，利用根与系数的关系及2BF FA =得到114y =FA 的值；（2）设出直线l 的方程1x my =+，联立直线和椭圆的方程，得到关于y 的一元二次方程，利用根与系数的关系得到12122y y my y +=，再利用直线的斜率公式进行求解. 【详解】(1)设直线l 的方程为1x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立22122x my x y =+⎧⎨+=⎩，得()222210m y my ++-=， 又因为2BF FA =，所以1221222122122m y y m y y m y y ⎧+=-⎪+⎪-⎪=⎨+⎪=-⎪⎪⎩，解得227m =，1222m y m ==+，所以11FA =+= 即328FA =(2)假设在x 轴上存在异于点F 的定点()(),01Q t t ≠，使得QA QBk k 为定值.设直线AB 的方程为1x my =+，联立22121x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()222210m y my ++-=，则12222m y y m -+=+，12212y y m -=+，所以12122y y my y +=.所以()()()()11212122121211QA QB y k y x t y my t x t y k y x t y my t x t⋅-+--===⋅-+--1211211212212212(1)22(1)(32)(1)22(1)(32)my y t y my y t y t y y my y t y my y t y y t y +-+--+===+-+-+-.要使QA QBk k 为定值，则321132t t-=-， 解得2t =或1t =（舍去），此时1QA QBk k =-.故在x 轴上存在异于F 的定点()2,0Q ，使得QA QBk k 为定值.22．已知函数()()12e ln 12x f x a x x x -=----，()1,x ∈+∞.(1)当0a =时，求曲线()y f x =在2x =处的切线方程； (2)若()0f x >，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)(22)2y e x e =--； (2)(],2-∞.【分析】（1）求出()'f x ，得切线斜率(2)f '，由点斜式得切线方程，整理即可； （2）先证明ln 10x x -->，然后分离参数得12e 2ln 1x x a x x --<--，再用导数证明21(1)e2x x x ---≥，2(1)ln 12x x x ---<，然后由不等式性质得12e 2ln 1x x x x ----的范围，从而得参数a 范围．【详解】(1)0a =时，1()2e 2x f x x -=-，1()2e 2x f x -'=-，(2)2e 2k f '==-， 切点()2,2e 4-，切线方程为(2e 2)(2)2e 4y x =--+-，即(22)2y e x e =--； (2)设()g x =ln 1(1)x x x -->，则1()1g x x'=-，1x >时，()0g x '>，()g x 递增，所以()(1)0g x g >=，即ln 10x x -->，所以12e(ln 1)20x a x x x ----->12e 2ln 1x xa x x --⇒<--，设2(1)()ln 12x h x x x -=-++(1)x >，21(1)()1(1)0x h x x x x -'=-+-=>， 所以()h x 在(1,)+∞上递增，()(1)0h x h >=，即2(1)ln 102x x x --++>，2(1)ln 12x x x ---<，设21(1)()e(1)2x x p x x x --=-->，11()e 1(1)e x x p x x x --'=---=-，再设1()e x q x x -=-，则1()e 1x q x -'=-，1x >时，()0q x '>，()q x 递增，()(1)0q x q >=， 即()0p x '>，所以()p x 是增函数，()(1)0p x p >=， 所以21(1)e2x x x --->，∴12(e )ln 1x x x x ----22(1)222(1)2x x -⋅>=-，∴2a ≤. 【点睛】方法点睛：不等式恒成立的常用方法是用参数分离法分离参数，然后引入新函数，利用导数求得新函数的最值，或取值范围，从而得参数范围．。
江苏省百校联考2023届高三下学期4月第三次考试数学试题(1)
一、单选题二、多选题1. 在某次学科知识竞赛中（总分100分），若参赛学生成绩服从，若在(70，90)内的概率为0.8，则落在[90，100]内的概率为（ ）A ．0.05B ．0.1C ．0.15D ．0.22. 我国古代数学家赵爽利用弦图巧妙地证明了勾股定理，弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）.如果内部小正方形的内切圆面积为，外部大正方形的外接圆半径为，直角三角形中较大的锐角为，那么（ ）A．B．C．D．3. 我国享誉世界的数学大师华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径.若，则的取值范围为（ ）A．B．C．D．4. 已知i为虚数单位，若，则（ ）A ．1+iB．C ．2D．5.已知等差数列的前n项和为，对任意的，均有成立，则的值的取值范围是（ ）A．B．C．D．6. 在平面直角坐标系中，双曲线与圆相切，，若圆上存在一点满足，则点到轴的距离为( )A．B．C ．D．7. 已知，则（ ）A．B．C．D．8. 已知，，其中，若函数在区间内没有零点，则的取值范围是A．B．C．D．9. 某企业对目前销售的A ，B ，C ，D 四种产品进行改造升级，经过改造升级后，企业营收实现翻番，现统计了该企业升级前后四种产品的营收占比，得到如下饼图：下列说法正确的是（ ）A ．产品升级后，产品A 的营收是升级前的4倍江苏省百校联考2023届高三下学期4月第三次考试数学试题(1)江苏省百校联考2023届高三下学期4月第三次考试数学试题(1)三、填空题四、解答题B ．产品升级后，产品B 的营收是升级前的2倍C ．产品升级后，产品C 的营收减少D ．产品升级后，产品B ､D 营收的总和占总营收的比例不变10. 下列命题中为真命题的是（ ）A ．用最小二乘法求得的一元线性回归模型的残差和一定是0．B．一组数按照从小到大排列后为：，，…，，计算得：，则这组数的25%分位数是．C ．在分层抽样时，如果知道各层的样本量、各层的样本均值及各层的样本方差，可以计算得出所有数据的样本均值和方差．D ．从统计量中得知有97%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指推断有3%的可能性出现错误．11.将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，给出下列关于的结论：①它的图象关于直线对称；②它的最小正周期为；③它的图象关于点对称；④它在上单调递增.其中正确的结论的编号是A ．①B ．②C ．③D ．④12. 某市为了更好的支持小微企业的发展，对全市小微企业的年税收进行适当的减免，为了解该地小微企业年收入的变化情况，对该地小微企业减免前和减免后的年收入进行了抽样调查，将调查数据整理，得到如下所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是（）A ．推行减免政策后，某市小微企业的年收入都有了明显的提高B ．推行减免政策后，某市小微企业的平均年收入有了明显的提高C ．推行减免政策后，某市小微企业的年收入更加均衡D ．推行减免政策后，某市小微企业的年收入没有变化13. 已知为非零常数，数列与均为等比数列，且，则__________．14. 《九章算术》卷第三中有个关于织布的问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”，意思为“今有一女子善于织布，每天所织布是前一天的两倍，她五天织布五尺，试问她每天各织布多少”，则该女子第三天织布___________尺.15. 已知函数（e 为自然对数的底数），若关于x 的方程有且仅有四个不同的解，则实数k 的取值范围是______.16.已知函数(1)求函数的最小值，并写出取得最小值时自变量的取值集合；(2) 若，求函数的单调递增区间．17.已知在中，其角、、所对边分别为、、，且满足．(1)若，求的外接圆半径；(2)若，且，求的内切圆半径18.已知椭圆:经过点，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线交椭圆于，两点，为椭圆的左焦点，若，求直线的方程.19. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且．(1)求的外接圆半径R；(2)求内切圆半径r的取值范围．20. 在中，角，，所对的边分别为，，，.(1)若角，求角的大小；(2)若，，求.21. 为践行“绿水青山，就是金山银山”，我省决定净化闽江上游水域的水质．省环保局于2018年年底在闽江上游水域投入一些蒲草，这些蒲草在水中的蔓延速度越来越快，2019年2月底测得蒲草覆盖面积为，2019年3月底测得蒲草覆盖面积为，蒲草覆盖面积（单位：）与月份（单位：月）的关系有两个函数模型与可供选择．(1)分别求出两个函数模型的解析式；(2)若2018年年底测得蒲草覆盖面积为，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，试估算至少到哪一年的几月底蒲草覆盖面积能超过？（参考数据：，）。
江苏省百校联考2023届高三下学期4月第三次考试数学试题
一、单选题二、多选题1.已知三棱锥所在顶点都在球的球面上，且平面，若，则球的体积为（ ）A．B．C．D．2. 已知复数z满足，则（ ）A．B．C ．2D ．33.已知函数，如果关于的方程()有四个不等的实数根，则的取值范围（ ）A．B．C．D．4. 设为两个平面，则的充要条件是（ ）A ．垂直于同一条直线B ．内有两条直线与内无数条直线垂直C ．内有一条直线与垂直D．垂直于同一平面5. 已知直线过抛物线：的焦点，与交于，两点，过点，分别作的切线，交于点，则点的轨迹方程为（ ）A．B．C．D．6.设，随机变量X 的分布列是（ ）X01Pb 则当a 在内增大时，（ ）A ．增大B ．减小C ．先增大再减小D ．先减小再增大7. “三个实数成等差数列”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8. 已知单位向量，满足，则向量，的夹角为（ ）A．B．C．D．9.某班级学生开展课外数学探究活动，将一杯冷水从冰箱中取出后静置，在的室温下测量水温单位随时间（单位：）的变化关系，在测量了15个数据后，根据这些实验数据得到如下的散点图：现需要选择合适的回归方程进行回归分析，则根据散点图，合适的回归方程类型有（ ）A．B．江苏省百校联考2023届高三下学期4月第三次考试数学试题三、填空题四、填空题五、填空题六、解答题七、解答题C．D．10.在正四面体中，为的中点，点满足，则下列结论正确的是（ ）A ．若平面，则B．若，则二面角的余弦值为C．若，则异面直线与所成角的正切值为D ．若，点到平面的距离为，则11.某人记录了自己一周内每天的运动时长（单位：分钟）：.若这组数据的第40百分位数与第20百分位数的差为3，则的值可能为（ ）A ．47B ．45C ．53D ．6012. 已知实数a ≠1，函数f (x )＝，若f (1－a )＝f (a －1)，则a 的值为________.13. 函数的定义域是___________.14.不等式的解集用区间表示为______.15. 已知，则_________，=__________．16.已知数列的前项和为，且，记，则________；若数列满足，则的最小值是________．17. 直线与轴交于点，交圆于，两点，过点作圆的切线，轴上方的切点为，则__________；的面积为__________．18. 设分别为椭圆: 的左、右焦点，是椭圆短轴的一个顶点，已知的面积为.(1)求椭圆的方程；(2)如图， 是椭圆上不重合的三点，原点是的重心（i ）当直线垂直于 轴时，求点 到直线的距离；（ii ）求点到直线 的距离的最大值.19. 已知函数．八、解答题九、解答题十、解答题⑴求函数的最小正周期；⑵在给定的坐标系内，用“五点作图法”画出函数在一个周期内的图象．20.如图，矩形和菱形所在的平面相互垂直，，为的中点.(1)求证：平面；(2)求，，求直线与面所成角的正弦值.21. 2022年2月4日至20日，第24届冬季奥林匹克运动会在北京和张家口成功举办.为了普及冬奥知识，某社区举行知识竞赛，规定：①每位参赛选手共进行3轮比赛，每轮比赛从A ､B 难度问题中限选1题作答，取其中最好的2轮成绩之和作为最终得分；②每轮比赛中答对A 难度问题得10分，答对B 难度问题得5分，答错则得0分.已知某选手在比赛中答对A 难度问题的概率为，答对B难度问题的概率为，且每轮答题互不影响.(1)若该选手3轮比赛都选择A 难度问题，求他最终得分为10分的概率；(2)若该选手3轮比赛中，前2轮选择B 难度问题，第3轮选择A 难度问题，记他的最终得分为X ，求X 的分布列和数学期望.22. 如图，在平面直角坐标系中，直线，与椭圆： 分别交于、两点，且.（1）证明：为定值；（2）点满足，直线与椭圆交于点，设，求的值.。
江苏省百校联考2022届高三年级第一次考试数学试卷 - 含解析09
C．bn＋cn的最小值为 2 cn bn
D．b1＋2b2＋3b3＋…＋nbn＜2
11．某电视台的一档栏目推出有奖猜歌名活动，规则：根据歌曲的主旋律制作的铃声来猜歌
名，猜对当前歌曲的歌名方能猜下一首歌曲的歌名．现推送三首歌曲 A，B，C 给某选手，
已知该选手猜对每首歌曲的歌名相互独立，且猜对三首歌曲的歌名的概率以及猜对获得
|AF|＝|BF|，则双曲线 C 的渐近线方程为 ▲ ．
15．《中国制造 2025》提出，坚持“创新驱动、质量为先、绿色发展、结构优化、人才为本”
的基本方针，通过“三步走”实现制造强国的战略目标：第一步，到 2025 年迈入制造强
国行列；第二步，到 2035 年中国制造业整体达到世界制造强国阵营中等水平；第三步，
样本平均数 x ，σ2 近似为样本方差 s2．设 X 表示从该种产品中随机抽取 10 件，其质量指标
值位于(11.6，35.4)的件数，则 X 的数学期望＝ ▲ ．(精确到 0.01)
注：①同一组数据用该区间的中点值作代表，计算得样本标准差 S≈11.9；②若 Z~N(μ，σ2)，
则 P(μ－σ＜Z＜μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ＜Z＜μ＋2σ)＝0.9544．
相应的奖金如下表所示．
歌曲
A
B
C
猜对的概率
0.8
0.6
0.4
获得的奖金金额/元
1000
2000
下列猜歌顺序中获得奖金金额的均值超过 2000 元的是( )
3000
A．A→B→C
B．C→B→A
C．C→A→B
D．B→C→A
12．如图，已知圆锥的轴截面 PAB 为等腰直角三角形，底面圆 O 的直径为 2．C 是圆 O 上
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江苏省2014年高三百校大联考数学试卷参考答案与评分标准数学Ⅰ参考公式：样本数据12,,,n x x x L 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应的位．．．．．．．置上．．． 1．已知集合{}1,0A =-，则满足{}1,0,1A B =-U 的集合B 的个数是 ▲ ． 【答案】4【解析】本题考查集合的概念与运算．由题意，1B ∈，集合B 的个数即{}1,0-的子集个数，共4个．2. 已知2(,)a ib i a b R i+=-∈，其中i 为虚数单位，则a b += ▲ ． 【答案】3【解析】本题考查复数的四则运算．因为22(,)a iai b i a b R i+=-=-∈，所以，a ＝1，b ＝2，所以a b +＝3．3． 从1,2,3,4中随机取出两个不同的数，则其和为奇数的概率为 ▲ ．【答案】23【解析】本题考查古典概型．基本事件总数为6，符合要求的事件数为4，故所求概率为23．4．已知单位向量,i j r r 满足(2)j i i -⊥r r r ，则,i j r r的夹角为 ▲ ．4．【答案】3π【解析】本题考查平面向量的垂直和数量积的计算．因为(2)j i i -⊥r r r ，所以(2)0j i i -=r r r g ，即22 i j i ⋅-r u r r ＝0，所以，2||||cos 10i j θ-=r r ，即1cos 2θ=，则,i j r r 的夹角为3π．5. 设五个数值31，37，33，a ，35的平均数是34，则这组数据的方差是 ▲ ．【答案】4 【解析】由31373335345a ++++=，可得34a =，所以方差2222221(3134)(3734)(3334)(3434)(3534)45S ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦ 6．已知实数x ，y 满足11y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2x y +的最大值是 ▲ ．【答案】32【解析】本题考查线性规划．可行域为三角形区域，最优解为11(,)22．S 的值为 ▲ ．【答案】420【解析】本题考查流程图和循环结构．20(240)246404202S +=++++==L ． 8．已知直线l 、m 与平面α、β，,l m αβ⊂⊂，则下列命题中正确的是 ▲ （填写正确命题对应的序号）．①若//l m ，则//αβ ②若l m ⊥，则αβ⊥ ③若l β⊥，则αβ⊥ ④若αβ⊥，则m α⊥【答案】③【解析】本题考查线面及面面位置关系的判断．由面面垂直的判定定理可得答案为③． 9．已知cos()4πθ+=(0,)2πθ∈，则sin(2)3πθ-= ▲ ． 【答案】410+【解析】本题考查同角三角函数的基本关系和两角和（差）的正弦、余弦．根据题意，3(,)444πππθ+∈，所以sin()4πθ+=，故24sin 2sin[2()]cos2()12cos ()42445ππππθθθθ=+-=-+=-+=，3cos2cos[2()]sin 2()2sin()cos()424445πππππθθθθθ=+-=+=++=-，因此4134sin(2)()3525210πθ+-=⋅--⋅=．（第6题）10．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 与x 轴交于A (1,0)，B (3,0)两点，且与直线x －y －3＝0相切，则圆C 的半径为 ▲ ．解析：可设圆心为(2，b )，半径r ＝b 2＋1，则|－1－b |2＝b 2＋1，解得b ＝1．故r ＝2．答案： 211．已知椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，A 、B 分别是椭圆长轴的两个端点，M 、N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线,AM BN 的斜率分别为12,k k ，若1214k k ⋅=，则椭圆的离心率为 ▲． 11． 【解析】本题考查椭圆的标准方程和几何性质．设00(,)M x y ，则00(,)N x y -，2222200012222220000(1)14x b y y y b a k k x a a x a x a x a -⋅=⋅====+---，可得2234a c =，从而c e a ==． 12．若0,0ab >>，且21a b +=，则22(4)S a b =+ 的最大值是 ▲． 12． 【解析】由22a b+≥得12≤，22142a b +≥，所以22221(4)(2)2S a b a b ⎡⎤=+=+-⎣⎦，当且仅当122a b ==时取到等号．13．已知数列{}n a 为等差数列，首项11a =，公差0d ≠，若123,,,,,n k k k k a a a a L L 成等比数列，且11k =，22k =，35k =，则数列{}n k 的通项公式n k = ▲ ．【答案】1312n -+【解析】本题考查等差数列和等比数列．由题意，2215a a a =⋅，2(1)1(14)d d +=⋅+，得2d =，即21n a n =-，所以21n k n a k =-．又等比数列125,,a a a 的公比为3，所以13n n k a -=．根据1213n n k --=可得1312n n k -+=．14．若函数ln ()ln(1)2kxf x x =-+不存在零点，则实数k 的取值范围是 ▲ ．14．【答案】[0,4)【解析】本题考查函数的性质与方程思想及数形结合思想．解法一：由题意可知01012kx x k x x ⎧⎪>⎪+>⎨⎪⎪=++⎩，可设1()2,(1,0)g x x x x x =++>-≠，函数图象(图1)与直线y k =没有交点，则04k ≤<．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知平面向量(sin(),cos )m C C π=-u r，(sin(),sin )2n B B π=+r ，且sin 2m n A ⋅=u r r ．（1）求sin A 的值；（2）若1,cos cos 1a B C =+=，求边c 的值． 15．【解析】（1）由题意，sin2sin cos sin cos A C B B C =+ …………………………2分得2sin cos sin()sin A A B C A =+= ………………………………………………4分由于ABC ∆中sin 0A >，2cos 1A ∴=，1cos 2A =………………………………5分 ∴23sin 1cos A A =-=………………………………………………………6分 （2）由cos cos 1B C +=得cos()cos 1A C C -++= ………………………………7分 即sin sin cos cos cos 1A C A C C -+=，31sin cos 12C C ∴+=…………9分 得sin()16C π+=，250,3666C C ππππ<<∴<+<Q ，平方得3C π∴=……………12分 所以ABC∆为正三角形，1c ∴=………………………………………………… 14分 16．（本小题满分14分）如图，四棱锥E －ABCD 中，EA ＝EB ，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝2CD ． （1）求证：AB ⊥ED ；（2）线段EA 上是否存在点F ，使得DF ∥平面BCE ？请说明你的理由． 解析：（1）证明：如图，取AB 中点O ，连结EO ，DO .因为EA ＝EB ，所以EO ⊥AB . …………………………1分 因为AB ∥CD ，AB ＝2CD ，所以BO ∥CD ，BO ＝CD .又因为AB ⊥BC ，所以四边形OBCD 为矩形，所以AB ⊥DO . ……………………………………………4分 因为EO ∩DO ＝O ，所以AB ⊥平面EOD . ……………………………………5分 又因为ED ⊂平面EOD ，所以AB ⊥ED . ……………………………………………6分 （2）当点F 为EA 中点时，有DF ∥平面BCE .证明如下：取EB 中点G ，连结CG ，FG . 因为F 为EA 中点，（第16题）所以FG ∥AB ，FG ＝12AB . ………………………………8分因为AB ∥CD ，CD ＝12AB ，………………………………9分所以FG ∥CD ，FG ＝CD . ………………………………10分 所以四边形CDFG 是平行四边形， ……………………11分 所以DF ∥CG . ……………………………………………12分 因为DF ⊄平面BCE ，CG ⊂平面BCE ，所以DF ∥平面BCE . ………………………………………14分 17．（本小题满分14分）如图，ABCD 是边长为1百米的正方形区域，现规划建造一块景观带△ECF ，其中动点E 、F 分别在CD 、BC 上，且△ECF 的周长为常数a （单位：百米）．（1）求景观带面积的最大值；（2）当a=2时，请计算出从A 点欣赏此景观带的视角（即∠EAF ）．17．解析：（1）设,EC x CF y ==，则x y a +=（※）由基本不等式，(2x y +≥=……… 3分所以，△ECF的面积221122S xy =≤=……………… 5分当且仅当22x y ==时等号成立故景观带面积的最大值为234a -……………………………………… 6分 （2）记,EAD FAB αβ∠=∠=，,(0,),(0,)22ππαβαβ∈+∈,则tan 1,tan 1x y αβ=-=- 故22()tan()1(1)(1)x y x y x y x y xyαβ---++==---+-FE D C BA（第17题）由（※）可得，2()2a xy a x y =+-，即2()2xy x y =+-………………… 10分代入上式可得，2()tan()2()x y x y αβ-++=-+=1所以()24EAF ππαβ∠=-+=故当2a =时，视角EAF ∠为定值4π……………………………………………… 14分 18．（本小题满分16分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，右焦点为(1,0)F ，A 、B 是椭圆C 的左、右顶点，P 是椭圆C 上异于A 、B 的动点，且△APB面积的最大值为． （1）求椭圆C 的方程；（2）直线AP 与直线2x =交于点D ，证明：以BD 为直径的圆与直线PF 相切．18．解析：（1）由题意可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>．由题意知2221221, .a b c a b c ⎧⋅⋅=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得2,a b ==故椭圆C 的方程为22143x y +=．……………………6分（2）由题意，设直线AP 的方程为(2)y k x =+(0)k ≠.则点D 坐标为(2, 4)k ，BD 中点E 的坐标为(2, 2)k ．由22(2),143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(34)1616120k x k x k +++-=．设点P 的坐标为00(,)x y ，则2021612234k x k --=+． 所以2026834k x k -=+，00212(2)34ky k x k =+=+．………………………………………10分 因为点F 坐标为(1, 0)，当12k =±时，点P 的坐标为3(1, )2±，点D 的坐标为(2, 2)±.直线PF x ⊥轴，此时以BD 为直径的圆22(2)(1)1x y -+=m 与直线PF 相切．…11分当12k ≠±时，则直线PF 的斜率0204114PF y kk x k ==--.所以直线PF 的方程为24(1)14ky x k =--． …………………………………………13分点E 到直线PF的距离d =322228142||14|14|k k k k k k +-==+-．…………15分 又因为||4||BD k = ，所以1||2d BD =． 故以BD 为直径的圆与直线PF 相切．综上得，以BD 为直径的圆与直线PF 相切． ………………………………………16分 19．（本小题满分16分）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足等式23n n a S +=. （1）求数列{}n a 的通项n a ；（2）能否在数列{}n a 中找到这样的三项，它们按原来的顺序构成等差数列？说明理由； （3）令131log 2n n b a =+，记函数212()2(*)n n n f x b x b x b n N ++=++∈的图象在x 轴上截得的线段长为n c ，设122311()4n n n T c c c c c c -=+++L (2)n ≥，求n T ，并证明：12342n n T T T T n ->L ．【解析】（1）当1n =时，1123a a +=，则11a =.又23n n a S +=，所以1123n n a S +++=，两式相减得113n n a a +=，即 {}n a 是首项为1，公比为13的等比数列，所以113n n a -=…………………………………………4分 （2） 假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为,,,()p q r a a a p q r << 则111211333q p r ---=+，即211333q p r =+， 所以2331r q r p --⋅=+，即2331r q r p --⋅-=，即3(23)1r q q p ---=又p q r <<Q ，*,r q r p N ∴--∈，所以33,230r q q p -->-< 所以3(23)0r q q p ---<∴假设不成立，所以不存在三项按原来顺序成等差数列……………………9分 （3）设()f x 与x 轴交点为12(,0),(,0)x x122n n n b b b ++=+Q ，∴当()f x =0时有2(1)()0n n x b x b +++=21221,n n n n b b x x b b ++∴=-=-=- 1222|||1|||n n n n b c x x b b +∴=-=-+=又1311log 022n n b a n =+=->Q ， 2n nc b ∴=11122114()n n n n n nc c b b b b ---∴=⨯=- 1223111111114[()()()]4n n nT b b b b b b -∴=⨯-+-++-L111112(1)111222n n b b n n -=-=-=--………………………………14分 2(1)2(1)12n n n T n n --∴=>- 123422223242(1)22345n n n T T T T n n-⋅⋅⋅-∴>⋅⋅⋅=L L ………………………………16分 20．（本小题满分16分）已知函数32()f x x x b =-++，()ln g x a x =． （1）若()f x 的极大值为427，求实数b 的值； （2）若对任意[]1,x e ∈，都有2()(2)g x x a x -++≥恒成立，求实数a 的取值范围；（3）当0b =时，设()(),1(),1f x x F xg x x ⎧<⎪=⎨⎪⎩≥，对任意给定的正实数a ，曲线()y F x =上是否存在两点,P Q ，使得POQ ∆是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上？请说明理由．20．解析：（1）由32()f x x x b =-++，得2()32(32)f x x x x x '=-+=--，令()0f x '=，得0x =或23． 当x 变化时，()f x '及()f x 的变化如下表：所以()f x 的极大值为24()327f b =+=427， 0b ∴=．…………………………………………………………………………………4分（2）由2()(2)g x x a x ≥-++，得2(ln )2x x a x x -≤-．[1,],ln 1x e x x ∈∴≤≤Q ，且等号不能同时取，ln x x ∴<，即ln 0x x ->22ln x x a x x -∴≤-恒成立，即2min 2()ln x xa x x -≤-……………………………………………6分令22(),([1,])ln x x t x x e x x-=∈-，求导得，2(1)(22ln )()(ln )x x x t x x x -+-'=-， 当[1,]x e ∈时，10,0ln 1,22ln 0x x x x -≥≤≤+->，从而()0t x '≥，()t x ∴在[1,]e 上为增函数， min ()(1)1t x t ∴==-，1a ∴≤-．………………………………………………………………………………8分（3）由条件，32,()ln ,x x F x a x ⎧-+=⎨⎩11x x <≥，假设曲线()y F x =上存在两点P ，Q 满足题意，则P ，Q 只能在y 轴两侧，……9分 不妨设(,())(0)P t F t t >，则32(,)Q t t t -+，且1t ≠．POQ ∆Q 是以O 为直角顶点的直角三角形，0OP OQ ∴⋅=u u u r u u u r，232()()0t F t t t ∴-++= （*），是否存在P ，Q 等价于方程()*在0t >且1t ≠时是否有解．………………………11分 ①若01t <<时，方程()*为()()232320t t t t t -+-++=，化简得4210t t -+=，此方程无解；…………………………………………………………………………………………12分②若1t >时，方程()*为()232ln 0t a t t t -+⋅+=，即()11ln t t a=+， 设()()()1ln 1h t t t t =+>，则()1ln 1h t t t'=++， 显然，当1t >时，()0h t '>， 即()h t 在()1,+∞上为增函数，()h t ∴的值域为()()1,h +∞，即()0,+∞，∴当0a >时，方程（*）总有解． ∴对任意给定的正实数a ，曲线()y F x = 上总存在两点P ，Q ，使得POQ ∆是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上．……………16分数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题．．卡指定区域．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修41-：几何证明选讲如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O 上一点，AE ＝AC ，求证：∠PDE ＝∠POC .【解析】因AE ＝AC ，AB 为直径，故∠OAC ＝∠OAE . ………………………………………………2分所以∠POC ＝∠OAC ＋∠OCA ＝∠OAE ＋∠OAC ＝∠EAC . …………………………6分 又∠EAC ＝∠PDE ，…………………………………………………………………… 8分 所以∠PDE ＝∠POC . ………………………………………………………………… 10分B ．选修42-：矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1，向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12．求向量α，使得A 2α＝β．【解析】∵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 121，∴A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3243．……………………………………3分设α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则A 2α＝β⇔⎣⎢⎡⎦⎥⎤324 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⇔⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋2y 4x ＋3y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12.即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝1，4x ＋3y ＝2，…………8分解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，∴α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2． (10)分（第21(A)题）C ．选修44-：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12t ，y ＝22＋32t (t 为参数)，若以直角坐标系xOy 的O 点为极点，Ox 为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4．若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长度．【解析】直线l 的直角坐标方程为y ＝3x ＋22，…………………………………………3分 ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4的直角坐标方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －222＝1，…………………………6分∴圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22到直线l 的距离d ＝64， (8)分∴AB ＝102．……………………………………………………………………………10分D ．选修45-：不等式选讲若正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，求13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2的最小值．【解析】因为正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2[(3a ＋2)＋(3b ＋2)＋(3c ＋2)] ≥(1＋1＋1)2， (6)分即13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2≥1，…………………………………………………………8分 当且仅当3a ＋2＝3b ＋2＝3c ＋2，即a ＝b ＝c ＝13时，原式取最小值1. …………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）甲、乙、丙三人商量周末自驾游，甲提议去六朝古都南京，乙提议去江南水乡无锡，丙表示随意．最终，商定以抛硬币的方式决定结果．规则是：由丙抛掷硬币若干次，若正面朝上，则甲得一分、乙得零分；若反面朝上，则乙得一分、甲得零分，先得4分者获胜．三人均执行胜者的提议．记所需抛掷硬币的次数为X ． （1）求6X =的概率；（2）求X 的分布列和数学期望．【解析】（1）()323511156222216P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭………………………………4分（2）分布列为:……………………………8分∴115593456784161616EX =⨯+⨯+⨯+⨯=………………………………………………10分 23．（本小题满分10分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ， EF // AB ，∠BAF =90º， AD = 2，AB =AF =2EF =1，点P 在棱DF 上．（1）若P 是DF 的中点， 求异面直线BE 与CP 所成角的余弦值； （2）若二面角D -AP -C PF 的长度．23. 解析：（1）因为∠BAF=90º，所以AF⊥AB，因为 平面ABEF⊥平面ABCD ，且平面ABEF ∩平面ABCD= AB ， 所以AF⊥平面ABCD ，因为四边形ABCD 为矩形， 所以以A 为坐标原点，AB ，AD ，AF 分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -所以 (1,0,0)B ，1(,0,1)2E ，1(0,1,)2P ，(1,2,0)C ．所以 1(,0,1)2BE =-u u u r ，1(1,1,)2CP =--u u u r ，所以cos ,||||BE CP BE CP BE CP ⋅<>==⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u u r u u u r ， 即异面直线BE 与CP ． --------------------------5分 P FED CAB（2）因为AB⊥平面ADF ，所以平面APF 的法向量为1(1,0,0)n =u u r．设P 点坐标为(0,22,)t t -，在平面APC 中，(0,22,)AP t t =-u u u r ，(1,2,0)AC =u u u r，所以 平面APC 的法向量为222(2,1,)t n t-=-u u r ，所以，121212||cos ,||||n n n n n n ⋅<>===⋅u u r u u ru u r u u r u u r u u r 解得23t =，或2t =（舍）．所以||PF =． -------------------------10分∴115593456784161616EX =⨯+⨯+⨯+⨯=………………………………………………10分。