基于Markov链对股票价格走势的预测研究

CAIXUN 财讯
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基于Markov 链对股票价格走势的预测研究
□ 四川大学 肖泽浩 / 文
将Markov 过程应用于股票市场，利用该模型对川大智胜（002253）的部分历史数据进行处理做出预测，并分析预测结果。

得出运用马尔科夫模型预测未来变化趋势具有有效性，这种技术的关键是获得事物的初始向量和转移概率矩阵，同时它存在限制条件和局限。

马尔科夫过程 股价预测 转移概
率矩阵
股票交易是在许多随机因素的制约下实现的。

在一定基本面支撑下，股价随市场供求关系而涨跌。

正确预测股价变动趋势，可使投资收益极大化。

按道氏理论，股价运动具有一定趋势和历史再现性。

分析股价在过去一段交易日内的涨跌规律，可对其后的变化起到预测作用，从而使投资收益最大化。

Markov 过程分析及数学模型的建立
设xn 为某第n 日股票价格的涨跌幅，假设股票价格在某日的涨跌率仅与前一交易日的收盘价有关，而与其过去的运行态势无关，即具有“无后效性”，系统的状态转移在一定的时期内不变。

规定：xn ∈[－10%，－2%] 时为状态1，即大幅下跌；当xn ∈（－2%，－0.5%]时为状态2，即正常下跌；当xn ∈（－0.5%，0.5%]时为状态3，即小幅振荡；当xn ∈（0.5%，2%]时为状态4，即正常上涨；当xn ∈（2%，10%]时为状态5，即大幅上涨。

n 表示交易日，此时xn 成为有限状态Markov 过程，其状态空间E ＝{1，2，3，4，5}。

参数空间T ＝{0，1，2…，n ，…}。

其中n ＝0表示初始值。

记Pij ＝P{Xn ＋1＝j ｜Xn ＝i}，（i ，j ＝1，2，3，4，5）表示过程在n 时刻位于状态i 的条件下，下一时刻转移到状态j 的转移概率。

得其转移概率矩阵P ＝
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡555453525145,44,43,42,4135,34,33,32,3125,24,23,22,2115,14,13,12,11,,,,P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P 。

设{}=
===+j i i X j X P Pij n k n k ,(,|)(
)5,4,3,2,1，即系统由状态i 出发经k 步转
移到状态j 的转移概率。

根据CK 方程
∑=+⋅=
5
1
)
()()(m mj
l im
k ij
l k P P
P
及一步转移概率,ij P
)(ij l ij P P =，可计算系统的任意k 步转移概
率矩阵⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)
()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()
()()()()(55545352514544434241353433323125242322211514131211)
(,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P k 用)(k Sj 表示第k 个时期预测对象恰
好处于状态j 的概率，则向量,
()(1k S k S = )
2k
k n S S ⋅⋅⋅，称为第k 个时期的状态概率向量。

第0个时期的状态概率01S ，02S …
0Sn 称为初始状态概率，相应的向量S 0
称为初始状态概率向量。

可证明：)(0)1()(k k k P S P S S ⨯=⨯=-
上式即马尔科夫预测模型。

其中P 为一步概率转移矩阵。

由模型可知第k 期的状态概率取决于初始状态概率和一步转移概率矩阵的k 次方。

若已知S 0及P ，则可求出预测对象在任何时期处于任何状态的概率。

实例分析
以川大智胜为例，选取其自2015年10月8日到11月18日间共30个交易日的开盘价依次为29.88、30.19、31.3、32.39、33.22、33.28、35.3、35.41、33.5、36.26、36.6、39.1、39.5、39.3、38.86、37.7、37.01、36.1、36.35、36.06、38.79、38、39.4、40.2、47.69、54.12、48.61、48.49、55、53；收盘价依次为30.05、30.77、32.78、33.03、32.92、34.84、35.37、33.8、35.55、35.95、38.55、38.73、40、39.37、36.61、37.68、37.6、36.34、35.59、38.42、37.98、39.6、40.66、44.73、49.2、50、46.6、51.26、52.63、50.83；涨跌幅依次为＋4.7、＋2.4、＋6.53、＋0.76、－0.33、＋5.83、＋1.52、－4.44、＋5.18、＋1.13、＋7.23、＋0.47、＋3.28、－1.58、－7.01、＋2.92、－0.21、－3.35、－2.06、＋7.95、－1.15、＋4.27、＋2.68、＋10.01、＋9.99、＋1.63、－6.80、＋10.0、＋2.67、－3.42。

在30个数据中，状态1有6个，状态2有2个，状态3有3个，状态4有4个，状态5有15。

各个状态之间的转移情况为1→1有1次，1→2、1→3、1→4均为0次，1→
5为4次；2→1有1次，2→2、2→3、2→4均为0次，2→5有1次；3→1有1次，3→2、3→3、3→4均为0次，3→5有2次；4→1有2次，4→3、4→5均有1次，4→2、4→4为0次；5→1有1次，5→2、5→3均为2次，5→4为4次，5→5有6次。

计算得：
P11＝1/5；P15＝4/5；P21＝1/2；P25＝1/2；P31＝1/3；P35＝2/3；P41＝1/2；P43＝1/4；P45＝1/4；P51＝1/15；P52＝2/15；P53＝2/15；P54＝4/15；P55＝6/15。

其他ij P ＝0，得到转移矩阵。

令第30日的状态为初始状态，则概率向量为S 0＝（1，0，0，0，0），预测后一交易日的状态，用MATLAB 计算得概率向量：S 1＝S 0×P ＝（0.2，0，0，0，0.8）
处于状态5的概率最大，即涨跌幅应该在（2%，10%] 之间。

而后一日开盘价50.30，收盘价55.91，涨跌幅9.99%，与预测一致。

继续预测下一日，概率向量为：S 2
＝S 0×P 2＝（0.093 0.107 0.107 0.213 0.48）。

处于状态5的概率最大，即涨跌幅应该在（2%，10%]之间，实际当日开盘价57.40，收盘价58.00，涨跌幅3.74%，与预测一致。

总结
马尔科夫模型是应用马尔科夫链的基本原理与方法分析事物的变化规律并预测其未来变化趋势的一种技术。

基于马尔科夫模型的股票收盘价预测还是有一定的应用价值的。

它本质上是在条件概率下求期望值的问题，利用这种技术的关键是获得事物的初始向量和转移概率矩阵。

它也存在限制条件和局限性。

首先它建立在一定的假设条件之上，而实际市场中这些条件很难满足。

其次，文中的实例分析的数据区间的选择具有偶然性，会影响转移概率矩阵。

[1] 郝飞.马尔科夫预测法在股市预测中的应用[J].科学之友，2006（6）：62－63
[2] 侯增艳.基于马尔可夫链的我国CPI 走势分析[J].中国物价，2008（11）：39－43。