江西省九江市2023届高三第三次高考模拟统一考试数学(文)试题

九江市2023年第三次高考模拟统一考试
数学试题（文科）
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.全卷满分150分，考试时间120分钟.考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名等内容填写在答题卡上.
2.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第II 卷用黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效.
第Ⅰ卷（选择题60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的.1.已知集合1{|}2
M x x =>
，{|N x y ==，则()M N = R ð（
）
A.1{|0}
2
x x ≤≤ B.1{|0}
2x x << C.1{|}2
x x ≤ D.{|0}
x x ≤2.已知复数z 满足(2i)4i z z ⋅+=-，则z =（）A.1
C.2
D.3.已知0.22a =，0.2log 0.5b =，2log 0.2c =，则（）
A.b a c
>> B.b c a
>> C.a b c >> D.a c b
>>4.为了强化节约意识，更好地开展“光盘行动”，某校组织社会实践小组对某块稻田的稻穗进行调研，小组随机抽取了20株稻穗，并统计了每株
稻穗的粒数，整理得到如右茎叶图，则每穗粒数的中位数和平均数分别是()A.174，175
B.175，175
C.175，174
D.174，17415816336
17
11233445688818378199A.1
15-
B.1315
-
C.41415
-
D.
21415
6.执行如图所示的算法框图，则输出的C 的值为（）
A.0B.1C.2D.3
5.已知π0π2<<<<αβ，且2sin 3α=
，7
cos 5
β=-，则cos()αβ-=（
）
7.若数列{}n a 满足
21
1n n n n
a a q a a +++-=-(q 为常数，且1q ≠)，则称{}n a 为差等比数列，其中q 为公差比.已知
差等比数列{}n a 中，12a =，26a =，且公差比为2，则10a =（）
A.1024
B.1022
C.2048
D.2046
8.已知椭圆22
:184x y C +=的左右焦点分别为12,F F ，,A B 为平面内异于12,F F 的两点.若AB 的中点P 在C 上，且12AC AF = ，22AD AF =
，则||||BC BD +=（
）
A.4
B. C.8
D.9.已知函数()sin()f x A x =+ωϕ(0,0,||A >><πωϕ
如图所示.若()()()g x f x f x =+-，则()g x 的最大值为()
A.2C.4
D.10.已知定义在R 上的函数()f x 在[0,1]上单调递增，(1)f x +1对称，则()f x （C ）
A．在[20202022]，上单调递减B．在[20212023]，
上单调递增C．在[20222024]，
上单调递减D．在[20232025]，上单调递增11.榫卯是一种中国传统建筑、家具的主要结构方式，它凝聚了中华文明的智慧.它利用材料本身特点自然连接，既符合力学原理，又重视实用和美观，达到了实用性和功能性的完美统一.右图是榫卯结构中的一种，当其合并在一起后，可形成一个正四棱柱.将合并后的榫卯对应拿开(如图1所示)，已知榫的俯视图如图2所示，则卯的主视图为（）
12.从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线
的反向延长线经过另外一个焦点.如图所示，已知双曲线22
221
x y a b
-=(,0a b >)的左右焦点分别为12,F F ，从右焦点2F 发出的两条方向相反的光线经双曲线上两点,A B 反射后，其中反射光线BC 垂直于AB ，
反射光线AD 满足3
sin 5
BAD ∠=，则该双曲线的离心率为（
）
D
A C
B 图2
图1
榫
卯
y
x A
B
O F 1F 2D
第Ⅱ卷（非选择题90分）
本卷包括必考题和选考题两部分.第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22-23题为选考题，
学生根据要求作答.
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.Rt ABC △中，90A =︒，2AB =，D 为BC 的中点，则AD AB ⋅=
.14.ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin ()sin sin a A c b C b B =-+，6bc =，则
B
A
C
D
C. D.
52
ABC △的面积为
.
15.已知函数2()e x f x ax =-(a ∈R )有两个极值点12,x x ，且122x x =，则a =.
16.如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,P Q 为四边形11ABC D 内
的点(包括边界)，且点P 到AB 的距离等于到平面1111A B C D 的距离,点Q 到11C D 的距离等于到平面ABCD 的距离，则||PQ 的最小值为
.
A
B C
P
1
B 1
A 1
D 1
C Q
D 三、解答题:本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11
2
a =，10n n n a S S -+=(2n ≥).(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列2{(21)}n n a +的前n 项和.
18.(本小题满分12分）
直三棱柱111ABC A
B C -中，AB BC ⊥，D 为1CC 的中点，1
BB =.(1)求证：平面1AB C ⊥平面ABD ；
(2)若AB BD =1B ABD -的体积.
A
1
A C 1C
B 1
B
D
19.(本小题满分12分）
2023年，国家不断加大对科技创新的支持力度，极大鼓舞了企业投入研发的信心，增强了企业的创新动能.某企业在国家一系列优惠政策的大力扶持下，通过技术革新和能力提升，极大提升了企业的影响力和市场知名度，订单数量节节攀升，右表为该企业今年14 月份接到的订单数量.
(1)试根据样本相关系数r 的值判断订单数量y 与月份t 的线性相关性强弱（0.751r ≤≤，则认为y 与t 的线性相关性较强，0.75r <，则认为y 与t 的线性相关性较弱）.（结果保留两位小数）
(2)建立y 关于t 的线性回归方程，并预测该企业5月份接到的订单数量.
月份t
1234订单数量y （万件）
5.2 5.3 5.7 5.8
20.(本小题满分12分)
在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2
:2E y px
=(0p >)的焦点为F ，,A B 为E 上两点，且点A 的，F 恰好是AOB △的重心.(1)求E 的方程；
(2)若(1,2)N ，,P Q 为抛物线上相异的两个动点，且NP NQ ⊥，求||||PF QF +的最小值.21.(本小题满分12分）
已知函数e ()1
x
f x ax =
-(0a <)在1x =处的切线斜率为e 4-.(1)求a 的值；
(2)若1x ≥，(1)ln (1)1f x x m x -≤---，求实数m 的取值范围.
请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为2
22x t y t ⎧=⎨=⎩
(t 为参数).以O 为极点，x 轴正半轴为极轴
建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为πsin())4ραθα-=-，其中α为倾斜角,且ππ
(,)43
α∈.
(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；
(2)设l 与曲线C 相交于,P Q 两点，直线,OP OQ 的斜率为12,k k ，求12k k +的取值范围.23.(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲
设,,a b c 均为正数，已知函数()f x x a x b c =-+++的最小值为4.(1)求222a b c ++的最小值；
(2)证明:222222
8a b b c c a c a b
+++++≥.
九江市2023年第三次高考模拟统一考试
数学试题（文科）
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.全卷满分150分，考试时间120分钟.考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名等内容填写在答题卡上.
2.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第II 卷用黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效.
第Ⅰ卷（选择题60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的.1.已知集合1{|}2
M x x =>
，{|N x y ==，则()M N = R ð（A ）
A.1{|0}
2
x x ≤≤ B.1{|0}
2x x << C.1{|}
2
x x ≤ D.{|0}
x x ≤解：1{|}2
M x x =≤ R ð，{|02}N x x =≤≤，1(){|0}2
M N x x ∴=≤≤ R ð，故选A.2.已知复数z 满足(2i)4i z z ⋅+=-，则z =（B ）A.1
C.2
D.解:设i z a b =+(,a b ∈R )，则(i)(2i)i 4i a b a b ++=--，即(2)(2)i (4)i a b a b a b -++=-+，
224
a b a
a b b -=⎧∴⎨
+=--⎩，解得1a b ==-，1i z ∴=--
，z = B.3.已知0.22a =，0.2log 0.5b =，2log 0.2c =，则（C ）A.b a c
>> B.b c a
>> C.a b c
>> D.a c b
>>解：
0.2
0221a =>= ，0.20.20.20log 1log 0.5log 0.21b =<=<=，22log 0.2log 10c =<=，a b c ∴>>.
故选C.
4.为了强化节约意识，更好地开展“光盘行动”，某校组织社会实践小组
对某块稻田的稻穗进行调研，小组随机抽取了20株稻穗，并统计了每株
稻穗的粒数，整理得到如右茎叶图，则每穗粒数的中位数和平均数分别是(A)A.174，175
B.175，175
C.175，174
D.174，174
解：中位数为174，平均数为
1
1741611118332110012444913142517520
+---------+++++++++++=（），故选A.
158
16336
17
11233445688818378199
A.
1
15
- B.
13
15
-
C.
15
-
D.
15
解:
π
0π
2
<<<<
αβ
，sin3
α=
，cos5
β=-
，
7
cos
3
∴==
α
，
32
sin
5
β==，
772321
cos()cos cos sin sin()
353515
∴-=+=⨯-+⨯-
αβαβαβ，故选A.
6.执行如图所示的算法框图，则输出的C的值为（C）
A.0
B.1
C.2
D.3
解:由题意，输入1,2,3
A B i
===，执行程序框图，
3,2,3,450
C A B i
====≤，执行循环体；
1,3,1,550
C A B i
====≤，执行循环体；
2,1,2,650
C A B i
====≤，执行循环体；
3,2,3,750
C A B i
====≤，执行循环体；
所以C是以3为周期的周期数列，
当50
i=时，执行循环体，2
C=，1,2,5150
A B i
===>，结束循环体，所以输出的C的值为2.故选C.
7.若数列{}n a满足21
1
n n
n n
a a q
a a
++
+
-
=
-
(q为常数，且1
q≠)，则称{}
n
a为差等比数列，其中q为公差比.已知差等比数列{}n a中，12
a=，
2
6
a=，且公差比为2，则
10
a=（D）
A.1024
B.1022
C.2048
D.2046
解：12
a=
，
2
6
a=，
21
40
a a
∴-=≠，21
1
2
n n
n n
a a
a a
++
+
-
=
-
，
∴数列1
{}
n n
a a
+
-是以4为首项，2为公比的等比数列，11
1
422
n n
n n
a a-+
+
∴-=⨯=，
12
112211
()()()2222
n n
n n n n n
a a a a a a a a-
---
∴=-+-++-+=++++
1
2(12)22
12
n
n+
-
==-
-
，
111022204822046a ∴=-=-=，故选D.
8.已知椭圆22
:184x y C +=的左右焦点分别为12,F F ，,A B 为平面内异于12,F F 的两点.若AB 的中点P 在C 上，且12AC AF = ，22AD AF =
，则||||BC BD +=（D ）
A.4
B. C.8
D.解：如图所示，连接1PF ，2PF ，12AC AF = ，22AD AF =
，12,F F ∴分别为线段,AC AD 的中点，P 为AB 的中点，
12,PF PF ∴分别是ABC △和ABD △的中位线，1||2||BC PF ∴=
2||2||BD PF =，P 在C 上，12||||2PF PF a ∴+==，|∴9.已知函数()sin()f x A x =+ωϕ(0,0,||A >><πωϕ如图所示.若()()()g x f x f x =+-，则()g x 的最大值为(D )A.2C.4
D.解：由图可知2A =，
2πππ2362
T =-=，πT =，则2ππω==()2sin(2)f x x ϕ∴=+，又ππ()2sin()063f ϕ=+=，且在(0,6
π单调递减，
π2,3k k ϕπ∴+=+π∈Z ，2,3
k k 2π∴=
+π∈ϕZ ，又||ϕ<π，3ϕ2π∴=
，2π()2sin(2)3f x x ∴=+，2π2π()()()2sin(22sin(2)233
g x f x f x x x x ∴=+-=++-+=.故()g x 的最大值为.故选
D.
10.已知定义在R 上的函数()f x 在[0,1]上单调递增，(1)f x +是奇函数，(1)f x -的图像关于直线1x =对称，则()f x （C ）
A．在[20202022]，
上单调递减B．在[20212023]，
上单调递增C．在[20222024]，
上单调递减D．在[20232025]，
上单调递增解：(1)f x + 是奇函数，(1)(1)f x f x ∴+=--+，即()f x 的图像关于点(1,0)对称，又()f x 在[0,1]上单调递增，()f x ∴在[1,2]上单调递增，即()f x 在[0,2]上单调递增.由(1)(1)f x f x +=--+可得
(2)()f x f x -=-，由(1)f x -图像关于直线1x =对称可知()f x 为偶函数，
(2)(2)()f x f x f x ∴-=-=-，(4)()f x f x ∴+=，()f x ∴是周期函数，最小正周期为4，()f x ∴在[20222024]，上单调递减，故选C.
11.榫卯是一种中国传统建筑、家具的主要结构方式，它凝聚了中华文明的智慧.它利用材料本身特点自然连接，既符合力学原理，又重视实用和美观，达到了实用性和功能性的完美统一.右图是榫卯结构中的一种，当其合并在一起后，可形成一个正四棱柱.将合并后的榫卯对应拿开(如图1所示)，已知榫的俯视图如图2所示，则卯的主视图为（C ）
12.从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线
的反向延长线经过另外一个焦点.如图所示，已知双曲线22
221
x y a b
-=(,0a b >)的左右焦点分别为12,F F ，从右焦点2F 发出的两条方向相反的光线经双曲线上两点,A B 反射后，其中反射光线BC 垂直于AB
，
反射光线AD 满足3
sin 5
BAD ∠=，则该双曲线的离心率为（B ）
B.
2D.
52
解：如图，连接11,AF BF ，由双曲线的光学性质可知，
1π2ABF ∠=
，13
sin 5
F AB ∠=.设1||3BF t =，则1||5AF t =，||4AB t =，由双曲线定义可知21||||252AF AF a t a =-=-，
21||||232BF BF a t a =-=-，844t a t ∴-=，t a ∴=，
1||3BF a ∴=，2||BF a =，1π2ABF ∠=
，122||c F F ∴==，102
c e a ∴==，故选B.
第Ⅱ卷（非选择题90分）
本卷包括必考题和选考题两部分.第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22-23题为选考题，
学生根据要求作答.
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.Rt ABC △中，90A =︒，2AB =，D 为BC 的中点，则AD AB ⋅= 2.
解：如图，211||||||||||cos 222
AD AB AB AD DAB AB AB AB ⋅=∠=⨯==
.
14.ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin ()sin sin a A c b C b B =-+，6bc =，则
B
A C
D
D
A C
B 图2
图1
榫
卯
y
x A
B
O F 1F 2C
D
y
A
x O F 1
F 2
D
B
C
ABC △的面积为
33
2
.解:由sin ()sin sin a A c b C b B =-+及正弦定理，得2
2
2
a c bc
b =-+，2
2
2
b c a bc ∴+-=,
2221cos 22b c a A bc +-∴==，0πA << ，π3
A ∴=，11333
sin 62222ABC S bc A ∴==⨯⨯=△.
15.已知函数2()e x f x ax =-(a ∈R )有两个极值点12,x x ，且122x x =，则a =1ln 2
.
解:()e 2x f x ax '=- ，12,x x ∴是()f x '的两个零点，即是方程e 20x ax -=的两个不相等的实数根，
12,0x x ≠ ，12,x x ∴是方程e 2x
a x
=的两个不相等的实数根.
令e ()x g x x =，则2(1)e ()x x g x x
-'=.当0x <或01x <<时，()0g x '<；当1x >时，()0g x '>，()g x ∴在(,0)-∞和(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，且当0x <时，()0g x <；当0x >时，()0g x >.2(1)e a g ∴>=，且12,0x x >.
由122x x =，得1222122e e e 2x x x x x x ==，2e 2x ∴=，2ln 2x =，由2
2e 22ln 2x a x ==，即1ln 2
a =.
16.如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,P Q 为四边形11ABC D 内
的点(包括边界)，且点P 到AB 的距离等于到平面1111A B C D 的距离,点Q 到
11C D 的距离等于到平面ABCD 的距离，则||PQ
解:当,P Q 在线段1BC 上时，由P 到AB 的距离等于到平面1111A B C D 的距离知，P 到点B 的距离等于到11B C 的距离，故点P 在以B 为焦点，11B C 为准线的抛物线上；同理，点Q 在以1C 为焦点，BC 为准线的抛物线上.设这两条抛物线与1BC 的交点即分别为点00,P Q (如图1).
则,P Q 的轨迹分别为四边形11ABC D 内过点00,P Q 且平行于AB 的线段(如图2).则||PQ 的最小值即为
00||P Q .
如图3所示，建立平面直角坐标系，则1C 的坐标为(1,1)，:1BC l x =-，0Q 所在的抛物线方程为
2
(1)4,[1,1]x y x -=∈-，联立方程
{
2
(1)4x y y x
-==且[1,1]x ∈-
，得3x =
-
，
0||4OQ ==-=
，000||||28P Q OQ ∴==，即||PQ
的最小值为8.
三、解答题:本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分）
A
B
C
P
1
B 1
A 1
D 1
C Q
D B
C
1
C 1
B 0
P 0Q 图1
A
B
C
P
1
B 1
A 1
D 1
C Q
D
图2B
C
1
C 1
B 0
P 0
Q 图3
x
y
O
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11
2
a =，10n n n a S S -+=(2n ≥).(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列2{(21)}n n a +的前n 项和.解:(1)当1n =时，112
a =
，当2n ≥时，1n n n a S S -=-，110n n n n S S S S --∴-+=，即11n n n n S S S S ---=………1分
1,0n n S S -≠ ，1
11
1n n S S -∴-=………2分
1
{}n S ∴是首项为2，公差为1的等差数列………3分1
2(1)11n
n n S ∴
=+-⨯=+，11n S n =
+………4分11
(1)
n n n a S S n n -∴=-=-
+………5分
综上，1,1,2
1, 2.(1)n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥⎪+⎩
………6分
(2)222
1
(1)n a n n =
+ ………7分
22222
2111
(21)(1)(1)n n n a n n n
n +∴+=
=-++………9分记数列2{(21)}n n a +的前n 项和为n T ，
2222222222
111111111(2)
()()[][]11223(1)(1)(1)(1)n n n T n n n n n n +∴=-+-++-+=-=
-+++ ………12分18.(本小题满分12分）
直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，D 为1CC
的中点，1BB =.(1)求证：平面1AB C ⊥平面ABD ；
(2)若AB BD =1B ABD -的体积.解:(1)111ABC A B C - 为直三棱柱，1AB BB ∴⊥，
又AB BC ⊥，1BC BB B =，AB ∴⊥平面11BB C C ………1分
1B C ⊂平面11BB C C ，1B C AB
∴⊥①………2分
设BC t =
，则1BB =
，1tan BB C ∠=
112CD CC ==
tan CD CBD BC ∠==，1BB C CBD ∴∠=∠………3分
A
1
A C 1C
B 1
B
D
1190BB C B CB ∠+∠=︒，190CBD B CB ∴∠+∠=︒，故1B C BD
⊥②………4分
由①②，且AB BD B = ，知1B C ⊥平面ABD ………5分又1B C ⊂平面1AB C ，∴平面1AB C ⊥平面ABD ………6分(2)由222BC CD BD +=，得2
232
t t +
=
，解得t =………8分1BB D ∴△
的面积1112
BB D S BB BC =⋅=△分
由(1)知AB ⊥平面11BB C C ，∴三棱锥1A BB D -
的体积1113A BB D BB D V S AB -=⋅△………11分∴三棱锥1B ABD -
的体积11B ABD A BB D V V --==………12分
19.(本小题满分12分）
2023年，国家不断加大对科技创新的支持力度，极大鼓舞了企业投入研发的信心，增强了企业的创新动能.某企业在国家一系列优惠政策的大力扶持下，通过技术革新和能力提升，极大提升了企业的影响力和市场知名度，订单数量节节攀升，右表为该企业今年14 月份接到的订单数量.
(1)试根据样本相关系数r 的值判断订单数量y 与月份t 的线性相关性强弱（0.751r ≤≤，则认为y 与t 的线性相关性较强，0.75r <，则认为y 与t 的线性相关性较弱）.（结果保留两位小数）
(2)建立y 关于t 的线性回归方程，并预测该企业5月份接到的订单数量.
附：相关系数()
n
i
i
x x y y r --=
∑，回归方程 y a
bx =+ 中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为1
2
1
()
()
n
i
i
i n
i
i x x y y b
x x ==--=-∑∑ ， a
y bx =-
1.14≈.解:(1)1234
2.54t +++=
=，1
(5.2 5.3 5.7 5.8) 5.54
y =+++=………2分
4
1
()(1.5)(0.3)(0.5)(0.2)0.50.2 1.50.3 1.1i
i i t
t y y =--=-⨯-+-⨯-+⨯+⨯=∑………3分
月份t
1234订单数量y （万件）
5.2 5.3 5.7 5.8
4
222221((1.5)(0.5)0.5 1.55i
i t
t =-=-+-++=∑，
42
22221
((0.3)(0.2)0.20.30.26i
i y y =-=-+-++=∑ (4)
分
4
()
1.1
0.960.751.14
i
i t
t y y r --∴=
≈>∑………5分∴订单数量y 与月份t 的线性相关性较强………6分(2)4
14
2
1
()
1.1
0.225
(i
i i i
i t
t y y b
t
t ==--==
=-∑∑ ………8分 5.50.22 2.5 4.95a
y bt ∴=-=-⨯= ………9分∴线性回归方程为0.22 4.95y t =+………10分
令5t =，0.225 4.95 6.05y =⨯+=(万件)………11分即该企业5月份接到的订单数量预计为6.05万件………12分
20.(本小题满分12分)
在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2
:2E y px =(0p >)的焦点为F ，,A B 为E 上两点，且点A 的
纵坐标为，F 恰好是AOB △的重心.(1)求E 的方程；
(2)若(1,2)N ，,P Q 为抛物线上相异的两个动点，且NP NQ ⊥，求||||PF QF +的最小值.
解:(1)由已知可得3(
A p
，(,0)2p
F ，设00(,)B x y ………1分
F 恰好是AOB △的重心，00332603
x p p y ⎧+⎪=⎪∴⎨⎪+⎪=⎩
，解得0
0332p x p y ⎧
=-⎪⎨
⎪=⎩………2分
将0y =代入2
2y px =，得03x p =
，333
2p p p
∴=
-，解得2p =………3分E ∴的方程为24y x =………4分
(2)设直线PQ 的方程为x my n =+，11(,)P x y ，22(,)Q x y ，由方程组2
4x my n
y x
=+⎧⎨
=⎩，得2
440y my n --=………5分
2(4)160m n ∴∆=-+>，即20m n +>，且124y y m +=，124y y n =-………6分
2
121212()()()242x x my n my n m y y n m n ∴+=+++=++=+，22
2121244
y y x x n =⋅=………7分
NP NQ ⊥ ，0NP NQ ∴⋅=
，
1122(1,2)(1,2)0x y x y ∴--⋅--=，即1212(1)(1)(2)(2)0x x y y --+--=，12121212()2()50x x x x y y y y ∴-++-++=………8分
22(42)4850n m n n m ∴-+--+=，22(3)(22)n m ∴-=+，25n m ∴=+或21n m =-+………9分
若21n m =-+，直线PQ 过N 点，不合题意，舍去，
25n m ∴=+，此时0∆>，2124410x x m m +=++………10分
则2
2
121||||244124()112
PF QF x x m m m +=++=++=++………11分
∴当1
2
m =-时，||||PF QF +有最小值为11………12分
21.(本小题满分12分）
已知函数e ()1
x
f x ax =-(0a <)在1x =处的切线斜率为e 4-.
(1)求a 的值；
(2)若1x ≥，(1)ln (1)1f x x m x -≤---，求实数m 的取值范围.
解:(1)2e (1)
()(1)x ax a f x ax --'=
- ………1分2e e
(1)(1)4
f a '∴=-
=-
-………2分2(1)4a ∴-=，0a < ，12a ∴-=-，1a =-………3分
(2)e ()1
x
f x x =-
+，1e (1)x f x x --=-………4分
由(1)ln (1)1f x x m x -≤---，得1
e (1)ln 10x m x x x ---+-≥………5分
令1
e ()(1)ln 1x g x m x x x -=--+-(1x ≥)，则12(1)e 1()x x g x m x x --'=
+-，()0g x ≥ ，且(1)0g =，∴存在01x >，使得当0[1,)x x ∈时，()0g x '≥………6分(1)10g m '∴=-≥，即1m ≤………7分
下面证明当1m ≤时，()0g x ≥………8分
11e e ()(1)ln 1ln x x g x x x x x x x --≥--+-=-+ ，且
1
1ln e e x x x x
---=，1ln ()e ln x x g x x x --∴≥-+………9分
设()e 1x
F x x =--，()e 1x
F x '∴=-，可知()F x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，
()(0)0F x F ∴≥=，e 1x x ∴≥+，1ln e ln x x x x --∴≥-………10分()ln ln 0g x x x x x ∴≥--+=………11分
综上，实数m 的取值范围为(,1]-∞………12分
请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.(本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为2
22x t y t ⎧=⎨=⎩
(t 为参数).以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l
的极坐标方程为πsin()4ραθα--，其中α为倾斜角,且ππ
(,)43
α∈.
(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；
(2)设l 与曲线C 相交于,P Q 两点，直线,OP OQ 的斜率为12,k k ，求12k k +的取值范围.解:(1)曲线C 的普通方程为22y x =………2分
由πsin())4
ραθα-=-，得sin cos cos sin sin cos ραθραθαα-=-
，即sin cos sin cos x αy ααα-=-，即(1)1y k x =-+(k ∈)………4分
(2)设211(2,2)P t t ，2
2
2(2,2)Q t t ，将222x t y t
⎧=⎨=⎩代入直线l 方程中，得22210kt t k -+-=………5分则121t t k
+=
，1212k t t k -=………7分
12121222
12121222112
221t t t t k k t t t t t t k
+∴+=+=+==-………8分y P O x
Q
k ∈
，
12(,1)k k ∴+∈-∞-………10分
23.(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲
设,,a b c 均为正数，已知函数()f x x a x b c =-+++的最小值为4.(1)求222a b c ++的最小值；
(2)证明:222222
8a b b c c a c a b
+++++≥.解:(1)()()()f x x a x b c x a x b c a b c a b c =-+++≥--++=++=++ ………1分
min ()4f x = ，4a b c ∴++=………2分
222a b ab +≥ ，222a c ac +≥，222b c bc +≥，2222()222a b c ab bc ac ∴++≥++………3分
22223()()16a b c a b c ∴++≥++=………4分
即22216
3a b c ++≥
，当且仅当a b c ==时取等号，故222a b c ++的最小值为163
………5分(2)222a b ab c c +≥ ，222b c bc a a +≥，222c a ac
b b +≥………6分222222222a b b
c c a ab bc ac c a b c a b +++∴++≥++………7分
又
()22ab bc a c b b c a c a +=+≥=，同理2ab ac a c b +≥，2bc ac c a b
+≥………8分2222()8ab bc ac a b c c a b
∴
++≥++=，当且仅当c b a ==时等号成立………9分即222222
8a b b c c a c a b +++++≥………10分。