2017-2018学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.6 微积分基本定理优化练习 新人教A版选修

1.6 微积分基本定理
[课时作业] [A 组 基础巩固]
1.⎠⎛241
x
d x 等于( )
A ．－2ln 2
B ．2ln 2
C ．－ln 2
D ．ln 2
解析：∵(ln x )′＝1
x
，
∴⎠⎛241x
d x ＝(ln x )| 4
2＝ln 4－ln 2＝ln 2.
答案：D
2．如图，阴影区域的边界是直线y ＝0，x ＝2，x ＝0及曲线y ＝3x 2
，则这个区域的面积是( )
A ．4
B ．8 C.13
D.12
解析：由定积分的几何意义，得S ＝⎠⎛0
23x 2
dx ＝x 3
| 2
0＝23
－0＝8，故答案为B.
答案：B
3．定积分⎠⎛0
1(2x ＋e x
)d x 的值为( )
A ．e ＋2
B ．e ＋1
C ．e
D ．e －1
解析：⎠⎛0
1(2x ＋e x
)d x ＝(x 2
＋e x
)| 1
0＝(1＋e)－(0＋e 0
)＝e ，因此选C.
答案：C
4．已知f (x )＝2－|x |，则⎠⎛-1
2f (x )d x 等于( )
A ．3
B ．4 C.72
D.92
解析：f (x )＝2－|x |＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
2－x ，x ≥0，
2＋x ，x <0，
∴⎠⎛-12f (x )d x ＝⎠⎛-10(2＋x )d x ＋⎠⎛0
2
(2－x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋x 2
2| 0－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －x 2
2| 20＝32＋2＝72. 答案：C
5．函数F (x )＝⎠⎛0
x t (t －4)d t 在[－1,5]上( )
A ．有最大值0，无最小值
B ．有最大值0和最小值－32
3
C ．有最小值－32
3，无最大值
D ．既无最大值也无最小值
解析：F (x )＝⎠
⎛0
x (t 2－4t )d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－2t 2|x 0＝13x 3－2x 2
(－1≤x ≤5)．
F ′(x )＝x 2－4x ，由F ′(x )＝0得x ＝0或x ＝4，列表如下：
∴极大值F (0)＝0，极小值F (4)＝－3
.
又F (－1)＝－73，F (5)＝－253，∴最大值为0，最小值为－32
3.
答案：B
6．(2015·高考湖南卷)⎠⎛0
2(x －1)d x ＝________.
解析：⎠
⎛0
2(x －1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x |2
0＝(2－2)－0＝0.
答案：0
7．若⎠⎛1
a (2x ＋1
x
)d x ＝3＋ln 2，则a ＝________.
解析：⎠⎛1
a (2x ＋1x
)d x ＝(x 2＋ln x )|a
1
＝a 2
＋ln a －1＝3＋ln 2， ∴a ＝2. 答案：2
8．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2
，x ∈[0，1]1
x
，x ∈，(e 为自然对数的底数)，则⎠⎛0e
f (x )d x 的值为
________．
解析：依题意得⎠⎛0e f (x ) d x ＝⎠⎛0
1x 2
d x ＋⎠⎛1
e 1x
d x
＝13x 3|10＋ln x |e
1＝43. 答案：43
9．计算下列定积分： (1)⎠⎛1
2(2x 2
－1x
)d x ；
(2)
30
π⎰
(sin x －sin 2x )d x .
解析：(1)函数y ＝2x 2
－1x 的一个原函数是y ＝23x 3－ln x .
所以⎠
⎛1
2(2x 2
－1x )d x ＝(23x 3－ln x )| 21＝163－ln 2－23＝143－ln 2.
(2)函数y ＝sin x －sin 2x 的一个原函数为y ＝－cos x ＋1
2cos 2x .
所以
30
π⎰
(sin x －sin 2x )d x ＝(－cos x ＋1
2
cos 2x )
30
π
＝(－12－14)－(－1＋12)＝－14
.
10．已知f (x )为二次函数，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛0
1
f x d x ＝－2. (1)求f (x )的解析式；
(2)求f (x )在[－1,1]上的最大值与最小值． 解析：(1)设f (x )＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b .由f (－1)＝2，f ′(0)＝0，
得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a －
b ＋
c ＝2b ＝0，即⎩
⎪⎨
⎪⎧
c ＝2－a
b ＝0.
∴f (x )＝ax 2
＋(2－a )．
又⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛0
1[ax 2
＋(2－a )]d x
＝[13ax 3＋ (2－a )x ]|1
0＝2－23a ＝－2，
∴a ＝6，∴c ＝－4.从而f (x )＝6x 2
－4. (2)∵f (x )＝6x 2
－4，x ∈[－1,1]， 所以当x ＝0时，f (x )min ＝－4； 当x ＝±1时，f (x )max ＝2.
[B 组 能力提升]
1．若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛0
1f (x )d x ＝( )
A ．－1
B ．－13
C.13
D ．1
解析：令m ＝⎠⎛01f (x )d x ，则f (x )＝x 2
＋2⎠⎛0
1f (x )d x ＝x 2
＋2m ，
所以m ＝⎠⎛0
1f (x )d x ＝⎠⎛0
1⎝
⎛⎭⎫x 2＋2⎠⎛01
f x d x d x ＝ ⎠⎛0
1(x 2＋2m )d x ＝⎠
⎛0
1
(x 2)d x ＋2m ＝13＋2m ， 所以m ＝－13⇒⎠⎛0
1f (x )d x ＝－13
.
答案：B
2. ⎠⎛-3
3(x 3
cos x )d x ＝________.
解析：∵y ＝x 3cos x 为奇函数，∴⎠⎛-3
3 (x 3
cos x )d x ＝0.
答案：0
3．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的导函数y ＝f ′(x )的部分图象如图所示，其中，P 为图象与y 轴的交点，A ，C 为图象与x 轴的两个交点，B 为图象的最低点．
(1)若φ＝π6，点P 的坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫
0，332，则ω＝________.
(2)若在曲线段ABC 与x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC 内的概率为
________．
解析：(1)y ＝f ′(x )＝ωcos(ωx ＋φ)，当φ＝π6，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
0，332时，
ωcos π6＝33
2
，所以ω＝3.
(2)由题图知AC ＝T 2＝πω，
S △ABC ＝12
AC ·ω＝π2
，
设A ，C 的横坐标分别为a ，b .
设曲线段ABC 与x 轴所围成的区域的面积为S ，则
S ＝⎪⎪⎪
⎪⎠⎛a
b
f x d x ＝|f (x )| b
a |
＝|sin(ωb ＋φ)－sin(ωa ＋φ)|＝2， 由几何概型知该点在△ABC 内的概率为P ＝S △ABC S ＝π
4
. 答案：(1)3 (2)π
4
4．设f (x )＝ax ＋b 且⎠⎛-1
1f 2
(x )d x ＝1，求f (a )的取值范围．
解析：∵⎠⎛-1
1f 2
(x )d x
＝⎠⎛-1
1 (a 2x 2＋2abx ＋b 2
)d x
＝(13a 2x 3＋abx 2＋b 2
x )| 1－1
＝23
a 2＋2
b 2
， ∴23a 2＋2b 2＝1，∴a 2＝32－3b 2
， 又∵f (a )＝a 2＋b ＝－3b 2
＋b ＋32
＝－3(b －16)2＋19
12，
∴当b ＝16时，f (a )max ＝19
12.
∴f (a )≤19
12
.
5．若f (x )是一次函数，且⎠⎛01
f (x )d x ＝5，⎠⎛01
xf x d x ＝176.求⎠⎛1
2f x x d x 的值．
解析：∵f (x )是一次函数，
∴设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，由⎠⎛0
1(ax ＋b )d x ＝5得
(12ax 2＋bx )|1
0＝12
a ＋
b ＝5.① 由⎠
⎛0
1xf (x )d x ＝176得⎠⎛0
1(ax 2
＋bx )d x ＝176，
即(13ax 3＋12bx 2)|10＝176，∴13a ＋12b ＝17
6.②
解①②得a ＝4，b ＝3，∴f (x )＝4x ＋3， 于是⎠⎛1
2
f x x d x ＝⎠⎛1
24x ＋3x d x ＝⎠
⎛1
2(4＋3
x )d x
＝(4x ＋3ln x )|2
1＝8＋3ln 2－4＝4＋3ln 2.
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