【成才之路】高中数学 第三章末归纳总结课件 新人教A必修1

2．函数与方程思想 函数与方程的思想是中学数学的基本思想． 函数思想，是用运动和变化的观点，集合与对应的思想， 去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造 函数，利用函数的图象和性质去分析问题和解决问题，使问 题获得解决． 方程思想，就是分析数学问题中的变量间等量关系，从 而建立方程或方程组，通过解方程或方程组，使问题获得解 决．
取(6.5,7)的中点 x＝6.75，计算 f(6.75)＝log36.75－6.75＋ 5≈－0.01<0，∴该根在(6.5,6.75)内；
取(6.5,6.75)的中点 x＝6.625，计算 f(6.625)＝log36.625－ 6.625＋5≈0.09>0，∴该根在(6.625,6.75)内；
[解析]
作出函数 y＝log3x，y＝x－5 的图象如图所示，当 x>0 时， 函数 y＝x－5 由－5 匀速增大，而函数 y＝log3x 由－∞增到＋ ∞，增长速度逐渐变慢，因此，两函数将在(0,1)内产生一个交 点．即方程 log3x＝x－5 将有 2 个实数解．
设 f(x)＝log3x－x＋5，∵f(5)＝log35>0，f(9)＝log39－9＋5 ＝－2<0，∴方程一个根在(5,9)内，下面用二分法求之．
[分析] 依题意将各次地震的地震强度设出，然后寻找它 们之间的关系．
[解析] 设日本 1923 年地震强度是 x，旧金山 1996 年地 震强度为 y,1989 年地震强度为 z，则 lgx＝8.9，lgy＝8.3，lgz ＝7.1，则 lgx－lgy＝8.9－8.3＝0.6＝2lg2＝lg4，
从而 lgx＝lg4＋lgy＝lg(4y)，∴x＝4y. lgx－lgz＝8.9－7.1＝1.8＝6lg2＝lg64， 从而 lgx＝lgz＋lg64＝lg(64z)，∴x＝64z. ∴8.9 级地震强度是 8.3 级地震强度的 4 倍，是 7.1 级地 震强度的 64 倍．
1
解法 3：取模型函数为 y＝kx 3 (k>0)，立即可排除 A，C， D，故选 B.
[答案] B
规律总结：该题是一道综合性较强的题目，意在考查学 生整体观察、直觉思维、取特殊值验证等多方面的能力．
根据解法 1、解法 2 的分析，亦可画出 A，C，D 三个图 形中的水瓶的容量 V 与高度 h 的函数关系曲线的草图分别如 下图所示．
第三章 章末归纳总结
[点评] 本题利用零点的存在性定理就可直接判断，但要 注意零点存在性定理不能判断零点个数．
[例 2] 函数 f(x)＝x2＋(m2＋2)x＋m 在(－1,1)上零点的个
数为( )
A．1
B．2
C．0
D．不能确定
[解析] f(－1)＝－m2＋m－1<0，f(1)＝m2＋m＋3>0. 函数 f(x)的对称轴为 x＝－m22－1≤－1， 故函数 f(x)在(－1,1)上为增函数， ∴函数 f(x)在(－1,1)上有且仅有一个零点．
[点评] 由题设知道是对数函数后利用对数的运算性质 即可解决．
专题四 数学思想方法 1．数形结合思想 数与形是数学中两个最古老的，也是最基本的研究对象， 它们在一定条件下相互转化，借助背景图形的性质可使那些 抽象的概念、复杂的数量关系变得直观，以便于探求解题思 路或找到问题的结论．精选形结合，不仅是一种重要的解题 方法，而且也是一种重要的思维方法，因此它在中学数学中 占有重要地位．
[答案] A
[点评] 单调函数至多存在一个零点．
专题二 二分法求方程的近似解 运用二分法求方程 f(x)＝0 的近似解可转化为求函数 y＝ f(x)零点的近似值． 要熟悉并掌握用二分法求方程近似解的过程与方法． [例 3] 比较函数的增长速度，从而判断 log3x＝x－5 解的 个数，并用二分法求之(精确到 0.1)．
(5)幂函数模型：y＝axn＋b(a≠0)；
f1x，x∈A1， (6)分段函数模型：y＝f…2x，，x∈A2，
fnx，x∈An.
[例 4] (对数函数模型)测量地震级别的里氏是地震强度 (即地震释放的能量)的常用对数值，显然级别越高，地震的强 度也越高，如日本 1923 年地震是 8.9 级，旧金山 1996 年地震 是 8.3 级，1989 年地震是 7.1 级，试计算日本 1923 年地震强 度是 8.3 级的几倍？是 7.1 级的几倍？(已知 lg2＝0.3)
g(x)＝xx22－＋22xx－－11，，xx≥<00，， 作出函数 g(x)的图象，如图所示． 当 a 在 R 上取值时，函数 h(x)的图象是一系列垂直于 y 轴的直线． ①当 a<－2 时，g(x)的图象与 h(x)的图象无交点，方程 x2 －2|x|－1＝a 无实根，即函数 f(x)无实点；
[答案] C
[点评] 方程 f(x)＝0 有实数解⇔函数 f(x)的图象与 x 轴有 交点⇔函数 y＝f(x)有零点⇔整为零，各个击破”．分 类讨论要弄清楚是依据哪个参数进行分类的，采用的标准是 什么．分类讨论的原则是：(1)不重不漏；(2)一次分类只能按 所确定的同一个标准进行．
取(5,9)的中点 x＝7，计算 f(7)＝log37－7＋5≈－0.23<0， ∴该根在(5,7)内；
取(5,7)的中点 x＝6，计算 f(6)＝log36－6＋5≈0.63>0，∴ 该根在(6,7)内；
取 (6,7) 的 中 点 x ＝ 6.5 ， 计 算 f(6.5) ＝ log36.5 － 6.5 ＋ 5≈0.20>0，∴该根在(6.5,7)内；
本章对于数形结合思想的应用主要体现在：一是读图识 图，二是由图求解析式．
[例 5] 向高为 H 的水瓶中注水，若注满为止，注水量 V 与水深 h 的函数关系图象如图所示，那么水瓶的形状是( )
[分析] 解决这道函数应用题，不可能列出 V 与 h 的精确 解析式，需要对图形整体把握，取特殊情况加以分析，或通 过观察已知图象的特征，取模型函数判断．
[点评] 用二分法求函数零点近似值，首先要选好计算的 初始区间，这个区间既包含所求根，又使长度尽量小．其次 要依据所给定的精确度，及时检验所得区间端点的近似值， 以决定是停止计算还是继续计算．
专题三 几种函数模型的应用 几类不同增长的函数模型 (1)一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)； (2)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)； (3)指数函数模型：y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，且 b≠1)； (4)对数函数模型：y＝mlogax＋n(a>0，且 a≠1，m≠0)；
[例 7] 试讨论函数 f(x)＝x2－2|x|－1－a(a∈R)的零点的 个数．
[分析] 函数 f(x)的零点的个数即为方程 x2－2|x|－1－a＝ 0 的根的个数．
[解析]
令 f(x)＝0，即 x2－2|x|－1＝a. 令 g(x)＝x2－2|x|－1，h(x)＝a，则问题转化为求函数 g(x) 与 h(x)图象交点的个数．
②当 a＝－2，或 a>－1 时，g(x)的图象与直线 h(x)的图象 有两个交点，即函数 f(x)有两个零点；
③当－2<a<－1 时，函数 g(x)的图象与直线 h(x)的图象有 四个交点，即函数 f(x)有四个零点；
④当 a＝－1 时，函数 g(x)的图象与直线 h(x)的图象有三 个交点，即函数 f(x)有三个零点．
方程的思想和函数的思想密切相关，是相互转化的．函 数与方程的思想方法，渗透到中学数学的各个领域，在解题 中有着广泛的应用．
本章函数与方程思想的应用，主要体现在：求方程 f(x) ＝0 的实数根，就是确定函数 y＝f(x)的零点，就是求函数 y＝ f(x)的图象与 x 轴的交点的横坐标；其次，在应用题中利用函 数建模，解决实际问题．
综上所述，当 a<－2 时，函数 f(x)无零点； 当 a＝－2，或 a>－1 时，函数 f(x)有两个零点； 当－2<a<－1 时，函数 f(x)有四个零点； 当 a＝－1 时，函数 f(x)有三个零点．
[规律方法] 分类讨论的一般步骤： (1)明确讨论对象，确定讨论范围； (2)确定分类标准，进行合理分类； (3)逐类讨论，获得阶段性成果； (4)归纳总结，得到结论．
取 (6.625,6.75) 的 中 点 x ＝ 6.6875 ， 计 算 f(6.6875) ＝ log36.6875－6.6875＋5≈0.04>0，∴该根在(6.6875,6.75)内；
∵|6.6875－6.75|≈0.06<0.1,6.6875≈6.7， ∴方程在区间(5,9)内的这个根的近似值为 6.7. 同样可求方程在(0,1)内的另一个根的近似值为 0.01.
[例 6] 方程 log2(x＋4)＝2x 的实数解的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
[解析]
要判断方程的实数解的个数，只需判断函数 y＝log2(x＋ 4)与 y＝2x 的图象的交点个数即可．
令 f(x)＝log2(x＋4)，g(x)＝2x，在同一坐标系中作出函数 f(x)与 g(x)的图象如图所示，据图象可知函数 f(x)与 g(x)的图象 有两个交点，所以方程 log2(x＋4)＝2x 有两个实数解．
[解析] 解法 1：很明显，从 V 与 h 的函数图象看，V 从 0 开始后，h 先增加较慢，后增加较快，因而应是底大口小的 容器，即应选 B.
解法 2：取特殊值 h＝H2 ，可以看出 C，D 图中的水瓶的 容量恰好是V2，A 图中的水瓶的容量小于V2，不符合上述分析， 排除 A，C，D，应选 B.
[答案] D
1成1、才凡之为教路者必·期高于中达到新不课须教程。对·人学以习诚信指，导人不·欺人我教;对A事版以诚·信数，事学无不·必成。修1
12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/1/102022/1/10January 10, 2022 14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 15、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 16、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。 17、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2022年1月 2022/1/102022/1/102022/1/101/10/2022 18、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。 2022/1/102022/1/10
[例 1] 实数 a，b，c 是图象连续不断的函数 f(x)定义域 中的三个数，且满足 a<b<c，f(a)·f(b)<0，f(b)·f(c)<0，则函数 y ＝f(x)在区间(a，c)上零点的个数为( )
A．2 B．奇数 C．偶数 D．至少是 2
[解析] 由 f(a)·f(b)<0，知在区间(a，b)上至少有一个零点， 由 f(b)·f(c)<0 知在区间(b，c)上至少有一个零点，故在区间(a， c)上至少有两个零点．
成才之路·数学
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第三章 函数的应用
第三章
章末归纳总结
专题一 函数的零点与方程根的关系 一般结论：函数 y＝f(x)的零点就是方程 f(x)的零点就是方 程 f(x)＝0 的实数根，也就是函数 y＝f(x)的图象与 x 轴的交点 的横坐标．所以方程 f(x)＝0 有实数根⇔函数 y＝f(x)的图象与 x 轴有交点⇔函数 y＝f(x)有零点．