上海华东师大一附中实验中学必修第一册第五单元《三角函数》测试(含答案解析)

一、选择题
1．下列函数中，既是奇函数，又在区间()0,1上是增函数的是（ ） A ．3
2()f x x = B ．1
3()f x x -= C ．()sin 2f x x =
D ．()22x x f x -=-
2．若函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫
=+
> ⎪
⎝
⎭
的图象的相邻两条对称轴之间的距离为2
π
，且该
函数图象关于点()0,0x 成中心对称，00,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，则0x 等于（ ）
A ．
512
π B ．
4
π C ．
3
π D ．
6
π 3．sin 3
π
=（ ）
A ．
12
B ．12
-
C ．
3 D ．3-
4．函数πcos 24y x ⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的一条对称轴方程是（ ） A ．π
2
x =-
B ．π
4
x =-
C ．π8
x =-
D ．πx =
5．先将函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向左平移2
π
个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到函数()g x 的图象，若方程()()f x g x =有实根，则ω的值可以为（ ）
A ．
12
B ．1
C ．2
D ．4
6．已知函数()()sin 0,2f x A x πωϕωϕ⎛⎫
=+>< ⎪⎝
⎭
的部分图象如图所示，则()f x 的解析式为（ ）
A ．()2sin 26f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
B ．()2sin 26f x x π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
C ．()sin 23f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
D ．()sin 23πf x x ⎛⎫=-
⎪⎝
⎭
7．函数()()sin 0,0,22f x A x A ωϕωϕππ⎛⎫
=+>>-
<< ⎪⎝⎭
的部分图象如图所示，则()f x =（ ）
A ．sin 6x ππ⎛
⎫
+
⎪⎝
⎭
B ．sin 3x ππ⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
C ．sin 6x ππ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
D ．sin 3x ππ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
8．已知函数()2sin 46f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，则（ ）
A ．()f x 的最小正周期为π
B ．()f x 的单调递增区间为(),26212k k k ππππ⎡⎤
-+∈⎢⎥⎣⎦Z C ．()f x 的图象关于直线6
x π
=对称
D ．()f x 的图象关于点,024π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称 9．已知3sin 7a π=，4cos 7b π=，3tan()7
c π
=-
，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c <<
B ．b c a <<
C ．c b a <<
D ．c a b <<
10．已知函数()()π2tan 010,2f x x ωϕωϕ⎛
⎫=+<<<
⎪⎝
⎭，()230f =，π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭为()f x 图象的一个对称中心．现给出以下四种说法：①π
6
ϕ=
；②2ω=；③函数()f x 在区间5ππ,243⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增；④函数()f x 的最小正周期为π4．则上述说法正确的序号为
（ ） A ．①④
B ．③④
C ．①②④
D ．①③④
11．已知3πin 3
25
s α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，0απ<<，则tan α=（ ） A ．43-
B ．34
-
C ．
34
D ．
43
12．已知函数()()()cos >0,0<<f x x ωθωθπ=+的最小正周期为π，且
()()0f x f x -+=，若tan 2α=，则()f α等于（ ）
A ．45
-
B ．
45
C ．
35
D ．
35
二、填空题
13．若1sin 42
πθ⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭，则sin 2θ=____________ 14．将函数sin 24y x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移
4
π
单位，所得到的函数解析式是_________. 15．设函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫
=+
> ⎪⎝
⎭，若()4f x f π⎛≤⎫
⎪⎝⎭
对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为___________________.
16．已知ABC ∆不是直角三角形，45C =︒，则(1tan )(1tan )A B --=__. 17．已知α是第一象限角，且4
tan 3
α=，则sin 2α=_______ 18．已知1
cos 3
α=-
，则|sin |α=___________
19．在①a ，②S =2c
cos B ，③C =3
π这三个条件中任选-一个，补充在下面问题中，并对其进行求解.
问题:在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，
b cos A =a cos C +
c cos A ，b =1，____________，求c 的值.
注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 20．若0,
2x π⎛
⎫
∀∈ ⎪⎝
⎭
，sin cos m x x ≥+恒成立，则m 的取值范围为_______________. 三、解答题
21．已知α，β为锐角，4
tan 3
α=，()tan 2αβ+=-. （1）求cos2α的值. （2）求()tan αβ-的值.
22．已知tan 1tan 1
α
α=--，求下列各式的值：
（1）
sin 3cos sin cos αα
αα
-+；
（2）2sin sin cos 2ααα++.
23．有一展馆形状是边长为2的等边三角形ABC ，DE 把展馆分成上下两部分面积比为1：2（如图所示），其中D 在AB 上，E 在AC 上.
（1）若D 是AB 中点，求AE 的值； （2）设AD x =，ED y =. ①求用x 表示y 的函数关系式；
②若DE 是消防水管，为节约成本，希望它最短，DE 的位置应在哪里？ 24．已知函数()2
2
sin 2sin cos cos f x x x x x =+-.
（1）求()f x 的最小正周期； （2）当0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，求()f x 的最小值. 25．已知向量a ＝3cos x ，－1)，b ＝(sin x ，cos 2x )，函数()f x a b =⋅． （1）求函数()f x 的单调递增区间；
（2）求函数()f x 在区间[2
π
-，0]上的最大值和最小值，并求出相应的x 的值． 26．如图，以Ox 为始边作角α与β(0)βαπ<<<)，它们的终边分别与单位圆相交于点
P ､Q ，已知点P 的标为34,
55⎛⎫
- ⎪⎝⎭
（1）求
sin 2cos 21
1tan ααα
+++的值;
（2）若0OP OQ ⋅=，求sin()αβ+的值
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一、选择题 1．D 解析：D 【分析】 A.根据332
()f x x x ==
[0,)+∞判断；B. 由幂函数的性质判断；C.由函数
sin y x =的性质判断；D.由指数函数2x y =的性质判断. 【详解】 A. 332
()f x x x ==
[0,)+∞，不关于原点对称，所以函数是非奇非偶，故错误；
B. 由幂函数知()11
3
3()()f x x x
f x ---=-=-=-是奇函数，在()0,1是减函数，故错误；
C. 因为()()sin 2sin 2()f x x x f x -=-=-=-，所以()f x 是奇函数，在0,4π⎛⎫
⎪⎝⎭
上是增函数，在,14π⎛⎫
⎪⎝⎭
上减函数，故错误； D. 因为()()2
222()x
x x x f x f x ---=-=--=-，所以()f x 是奇函数，因为
2,2x x y y -==-是增函数，()22x x f x -=-在区间()0,1上是增函数，故正确；
故选：D
2．A
解析：A
【分析】
由已知条件求得函数()f x 的最小正周期T ，可求得ω的值，再由已知可得
()026x k k Z π
π+
=∈，结合00,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
可求得0x 的值. 【详解】
由题意可知，函数()f x 的最小正周期T 满足
22
T π=，T π∴=，22T π
ω∴==，
()sin 26f x x π⎛
⎫∴=+ ⎪⎝
⎭，
由于函数()f x 的图象关于点()0,0x 成中心对称，则()026
x k k Z π
π+
=∈，解得
()0212
k x k Z ππ
=
-∈， 由于00,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，解得0512x π=
. 故选：A. 【点睛】
结论点睛：利用正弦型函数的对称性求参数，可利用以下原则来进行： （1）函数()()sin f x A x =+ωϕ关于直线0x x =对称()02
x k k Z π
ωϕπ⇔+=
+∈；
（2）函数()()sin f x A x =+ωϕ关于点()0,0x 对称()0x k k Z ωϕπ⇔+=∈.
3．C
解析：C 【分析】
根据特殊角对应的三角函数值，可直接得出结果. 【详解】
sin
3
π
=
. 故选：C.
4．C
解析：C 【分析】
根据余弦函数的对称轴可得π
22π4
x k +=，解方程即可求解. 【详解】
π22π4x k +
=，k Z ∈，则有π
π8
x k =-+，k Z ∈
当0k =时，πcos 24y x ⎛⎫=+ ⎪
⎝
⎭的一条对称轴方程为π
8
x =-． 故选：C
5．C
解析：C 【分析】
先根据三角函数图象的变换得出()g x 的解析式，然后根据三角函数的图象性质分析
()()f x g x =的条件并求解ω的值.
【详解】
由题意可知()sin 22
g x x π
ωω⎛⎫=+
+ ⎪⎝
⎭
，则函数()g x 的最大值为3，最小值为1，
又()sin (0)f x x ωω=>的最大值为1，
所以当()()f x g x =有实根时，()f x 的最大值点与()g x 的最小值点重合，
故应平移(21),2T n n N +∈个单位，所以()212n ππω
=+， 得42,n n N ω=+∈，故只有C 选项符合.
故选：C. 【点睛】
本题考查根据三角函数图象的平移变换、考查根据函数图象有交点求参数的取值范围，难度一般. 解答的关键在于： （1）得出函数()g x 的解析式；
（2）分析出()()f x g x =时，()f x 的最大值点与()g x 的最小值点重合.
6．A
解析：A 【分析】
利用图象可得出()max A f x =，求出函数()f x 的最小正周期，可求得ω的值，再将点
,26π⎛⎫
⎪⎝⎭
代入函数()f x 的解析式，结合ϕ的取值范围，求出ϕ的值，进而可得出函数()f x 的解析式.
【详解】
由图象可得()max 2A f x ==，函数()f x 的最小正周期为2236T πππ⎛⎫=⨯-=
⎪⎝⎭
， 22T
π
ω∴=
=，()()2sin 2f x x ϕ∴=+， 又2sin 2266f ππϕ⎛⎫⎛⎫
=⨯+=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，可得sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，
2
2
π
π
ϕ-
<<
，56
3
6π
π
πϕ∴-
<
+<
，32ππϕ∴+=，解得6
π=ϕ， 因此，()2sin 26f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭.
故选：A. 【点睛】
方法点睛：根据三角函数()()sin f x A x b ωϕ=++的部分图象求函数解析式的方法： （1）求A 、()()max min
:2
f x f x b A -=
，()()max min
2
f x f x b +=
；
（2）求出函数的最小正周期T ，进而得出2T
π
ω=； （3）取特殊点代入函数可求得ϕ的值.
7．C
解析：C 【分析】
由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，从而得到函数的解析式. 【详解】
解：由图象可得1A =，再根据3513
4362
T =-=，可得2T =， 所以22
π
ωπ=
=， 再根据五点法作图可得1,6k k Z πϕπ⨯
+=∈，求得6πϕ=-， 故函数的解析式为()sin 6f x x ππ⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
. 故选：C.
8．B
解析：B 【分析】
对A ，根据解析式可直接求出最小正周期；对B ，令
242,262k x k k Z πππ
ππ-+≤+≤+∈可求出单调递增区间；对C ，计算6f π⎛⎫ ⎪⎝⎭
可判断；
对D ，计算24f π⎛⎫
⎪⎝⎭
可判断.
【详解】 对于A ，
()2sin 46f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭，∴()f x 的最小正周期为242
T ππ==，故A 错误；
对于B ，令242,2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
+≤+
≤
+∈，解得
,26212
k k x k Z ππππ-≤≤+∈，∴()f x 的单调递增区间为(),26212k k k Z ππππ⎡⎤
-+∈⎢
⎥⎣⎦
，故B 正确； 对于C ，
2sin 412666f πππ⎛⎫
⨯+=≠± ⎪⎝
=⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴()f x 的图象不关于直线6x π=对
称，故C 错误；
对于D ，2sin 4026244f πππ⎛⎫⨯⎛⎫= +=≠ ⎪⎭⎭⎪⎝⎝，∴()f x 的图象不关于点,024π⎛⎫
⎪⎝⎭
对
称. 故选B. 【点睛】
方法点睛：判断正弦型函数()()=sin f x A x ωϕ+对称轴或对称中心的方法： （1）利用正弦函数的性质求出对称轴或对称中心，令()2
x k k Z π
ωϕπ+=+∈可求得对
称轴，令()x k k Z ωϕπ+=∈可求得对称中心；
（2）代入求值判断，若()()00=sin f x A x A ωϕ+=±，则0x x =是对称轴；若
()()00=sin 0f x A x ωϕ+=，则()0,0x 是对称中心. 9．C
解析：C 【分析】
3sin
07
a π=>,4cos 07
b π
=<，a b >且均属于()1,1-，而1c <-，大小关系即可确定. 【详解】 解：3sin
07
a π
=>；42
7
π
π
π<
<， 4cos cos
cos 72
ππ
π∴<<，即10b -<<. 又正切函数在(0,
)2
π
上单调递增，
34
7
π
π<
； 3tan
tan 174
ππ
∴>=； 33tan()tan 177
c ππ
∴=-
=-<-， 01a b c ∴>>>->，
故选：C.
10．D
解析：D 【分析】
根据()03
f =
，代入数据，结合ϕ的范围，即可求得ϕ的值，即可判断①的正误；根据对称中心为π,012⎛⎫
⎪⎝⎭
，代入公式，可解得ω的表达式，结合ω的范围，即可判断②的正误；根据()f x 解析式，结合x 的范围，即可验证③的正误；根据正切函数的周期公式，即可判断④的正误，即可得答案. 【详解】
对于①：由()03f =
知2tan 3ϕ=，即tan 3
ϕ=，结合π2ϕ<，解得
π
6
ϕ=．故①正确；
对于②：因为π,012⎛⎫
⎪⎝⎭
为()f x 图象的一个对称中心，故πππ,1262k k Z ω+=∈，解得
62,k k Z ω=-∈，因为010ω<<，所以4ω=，故②错误；
对于③：当5ππ,243x ⎛⎫∈
⎪⎝⎭时，π3π4π,62x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故函数()f x 在区间5ππ,243⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递
增，故③正确；
对于④：因为4ω=，所以()f x 的最小正周期π
4
T =，故④正确． 综上，正确的序号为①③④． 故选：D ．
11．A
解析：A 【分析】
根据诱导公式，可得cos α的值，根据同角三角函数的关系，结合α的范围，可求得
sin α的值，即可求得答案. 【详解】
因为3πin 3
25
s α⎛⎫+=
⎪⎝⎭，所以3cos 5α=-，
所以4sin 5
α===±， 又0πα<<，所以α为第二象限角，所以4
sin 5
α
所以sin tan s 4
3
co ααα==-． 故选：A ．
12．A
解析：A 【分析】
利用三角函数的周期性和奇偶性得到()cos 2sin 22f x x x π⎛
⎫
=+=- ⎪⎝
⎭
，进而求出()f α 【详解】 由2π
πω
=，得2ω=，又()()0f x f x -+=，()()()cos cos 2f x x x ωθθ=+=+为奇
函数，()2
k k Z π
θπ∴=
+∈，，又0θπ<<，得2
π
θ=
，
()cos 2sin 22f x x x π⎛
⎫∴=+=- ⎪⎝
⎭，又由tan 2α=，可得
()2222sin cos 2tan 4
sin 2sin cos tan 15
f αααααααα-=-=
=-=-++
故选：A 【点睛】
关键点睛：解题关键在于通过三角函数性质得到()cos 2sin 22f x x x π⎛
⎫
=+=- ⎪⎝
⎭
，难度属于基础题
二、填空题
13．【分析】由题意结合诱导公式二倍角余弦公式直接运算即可得解【详解】若则故答案为：
解析：12
- 【分析】
由题意结合诱导公式、二倍角余弦公式直接运算即可得解. 【详解】 若π1sin 42θ⎛⎫+
= ⎪⎝
⎭，则2ππ11cos 2sin212sin 122442θθθ⎛⎫⎛⎫+=-=-+=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， ∴1
sin22
θ=-.
故答案为：12
-
. 14．【分析】利用三角函数图象的平移和伸缩变换即可得正确答案【详解】函
数的图象上各点的纵坐标不变横坐标伸长到原来的倍得到再向右平移个单位得到故最终所得到的函数解析式为：故答案为： 解析：()sin f x x =
【分析】
利用三角函数图象的平移和伸缩变换即可得正确答案. 【详解】
函数sin 24y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，
得到sin 4y x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
， 再向右平移
4π个单位，得到sin sin 44y x x ππ⎛
⎫=-+= ⎪⎝
⎭，
故最终所得到的函数解析式为：()sin f x x =. 故答案为：()sin f x x =.
15．【分析】由是最大值点结合正弦函数的最大值可得的表达式再求得的最小值即可【详解】由可知时函数取得最大值故有解得所以最小值为故答案为：
解析：4
3
【分析】 由4
x π
=
是最大值点，结合正弦函数的最大值可得ω的表达式，再求得ω的最小值即可．
【详解】 由()4f x f π⎛≤⎫
⎪
⎝⎭
可知4x π=时函数取得最大值. 故有
2()4
62k k Z π
ππ
ωπ+
=
+∈，解得48()3
k k Z ω=
+∈，所以最小值为43.
故答案为：4
3
．
16．2【分析】由已知可得利用正切函数的和角公式即可求解【详解】因为所以则整理得所以故答案为：2
解析：2. 【分析】
由已知可得135A B +=︒，利用正切函数的和角公式即可求解. 【详解】 因为45C =︒， 所以135A B +=︒，
则tan tan tan()11tan tan A B
A B A B
++=
=--，
整理得tan tan tan tan 1A B A B +=-，
所以(1tan )(1tan )tan tan 1(tan tan )A B A B A B --=+-+，
tan tan 1(tan tan 1)A B A B =+--，
2=，
故答案为：2.
17．【分析】根据同角三角函数的关系解出根据二倍角公式即可求出【详解】是第一象限角且则解得故答案为： 解析：
2425
【分析】
根据同角三角函数的关系解出43
sin ,cos 55
αα==，根据二倍角公式即可求出sin 2α. 【详解】
α是第一象限角，且4tan 3
α=
， 则22sin 4
cos 3sin cos 1αααα⎧=⎪
⎨⎪+=⎩
，解得43sin ,cos 55αα==，
∴24
sin 22sin cos 25
ααα==
. 故答案为：
2425
. 18．【分析】根据同角三角函数的关系即可求出【详解】故答案为：
解析：
3
【分析】
根据同角三角函数的关系即可求出. 【详解】
1
cos 3
α=-，
|sin |α∴==
.
. 19．答案见解析【分析】利用正弦定理进行边化角得到然后利用余弦定理以及正弦函数的两角和与差公式进行选择①②或③进行求解即可【详解】在中因
为所以根据正弦定理得所以因为所以选择①由余弦定理得解得选择②所以所以
解析：答案见解析. 【分析】
利用正弦定理进行边化角，得到cos 3
A =
，然后利用余弦定理以及正弦函数的两角和与差公式进行选择①，②或③，进行求解即可 【详解】
在ABC cos cos cos A a C c A =+，
cos sin cos sin cos B A A C C A =+
cos sin B A B =，因为sin 0B ≠，所以cos 3
A =
选择①，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得210c -=，解得c =选择②，1cos sin 2
2
c S B bc A ==，所以cos sin cos()2
B A A π
==-
所以2
B A π
=
-，即2
C π
=
，解得c =
选择③，3
C π
=，因为sin sin()sin cos cos sin 333B A A A π
π
π
=+=+
所以由
sin sin c b C B
=得sin 4sin b C
c B =
= 【点睛】
关键点睛：解题关键在于由正弦定理进行边化角，得到cos A =相关公式进行求解，难度属于中档题
20．【分析】根据三角函数的性质求得的最大值进而可求出结果【详解】因为由可得所以则因为恒成立所以只需故答案为：
解析：)
+∞
【分析】
根据三角函数的性质，求得sin cos x x +的最大值，进而可求出结果. 【详解】
因为sin cos 4x x x π⎛⎫+=
+ ⎪⎝⎭，由0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
可得3,
444x πππ⎛⎫
+∈ ⎪⎝⎭
，
所以sin 42x π⎛⎤⎛
⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦
，则(
sin cos 4x x x π⎛⎫+=+∈ ⎪⎝⎭，
因为0,
2x π⎛⎫
∀∈ ⎪⎝
⎭
，sin cos m x x ≥+
恒成立，所以只需m ≥
故答案为：)
+∞.
三、解答题
21．（1）7
25
-；（2）211-.
【分析】
（1）利用同角三角函数的关系以及二倍角公式即可求值； （2）先求出24
tan 27
α=-，再利用()()tan tan 2αβααβ-=-+⎡⎤⎣⎦即可求解. 【详解】
解：（1）由题意知：α为锐角，且22sin 4tan cos 3sin cos 1ααααα⎧
==⎪
⎨⎪+=⎩，
解得：4sin 5
3cos 5αα⎧
=⎪⎪⎨⎪=
⎪⎩，
229167
cos 2cos sin 252525
ααα∴=-=
-=-； （2）由（1）知，4324
sin 22sin cos 25525
ααα==⨯⨯
=， 则24
sin 224
25tan 27cos 27
25
ααα=
==--， ()()()
()
tan 2tan tan tan 21tan 2tan ααβαβααβααβ-+-=-+=
⎡⎤⎣⎦+⋅+，
()()24
10
22
77552411
127
7-
---
===-⎛⎫
+-⨯- ⎪⎝⎭
， 故()2tan 11
αβ-=-. 22．（1）5
3
-；（2）2.6. 【分析】
由
tan 1tan 1
αα=--求出1
tan 2α=.
（1）由
sin 3cos sin cos αα
αα
-+分子分母同除以cos α求解；
（2）将2
sin sin cos 2ααα++，变形为2222
3sin sin cos 2cos sin cos αααα
αα
+++，再分子分母同除以2cos α求解 【详解】
因为tan 1tan 1
α
α=--，
所以1
tan 2
α=.
（1）
sin 3cos tan 35
sin cos tan 13
αααααα--==-++；
（2）2sin sin cos 2ααα++，
2222
3sin sin cos 2cos sin cos αααα
αα
++=+， 22
3tan tan 2
tan 1
ααα++=+， 31242114
++=+， 2.6=
23．（1）43AE =；（2）
①2,23y x ⎡⎤
=∈⎢⎥⎣⎦
；②//DE BC . 【分析】
（1）利用三角形的面积公式，得到4
3
AD AE ⋅=，根据D 是AB 中点，即可求得AE 的长；
（2）对于①中，由（1）得到4433AE AD x
==，求得2
23x ≤≤，在ADE 中，由余弦
定理，即可求得函数的解析式；
②根据DE 是消防水管，结合基本不等式，即可求得x 的值，得到DE 的位置. 【详解】
（1
）依题意，可得21111
2sin 60sin 6033232
ADE ABC S S AD AE =
=⋅⋅⋅︒==⋅︒△△
解得43
AD AE ⋅=
， 又因为D 是AB 中点，则1AD =，所以43
AE =. （2）对于①中，由（1）得43AD AE ⋅=，所以44
33AE AD x
=
=， 因为2AE ≤，可得2
3x ≥
，所以223
x ≤≤， 在ADE 中，由余弦定理得
222222
164
2cos6093
y DE AD AE AD AE x x ==+-⋅⋅︒=+
-，
所以2,23y x ⎡⎤=
∈⎢⎥⎣⎦
.
②如果DE 是消防水管，可得3
y =≥=，
当且仅当2
43x =
，即3
x =，等号成立．
此时AE =，故//DE BC ，且消防水管路线最短为3DE =. 【点睛】
利用基本不等式求解实际问题的解题技巧：
利用基本不等式求解实际应用问题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围； 根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值； 在应用基本不等式求最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解. 24．（1）最小正周期π；（2）最小值为1-. 【分析】
（1）化简函数解析式，得()24f x x π⎛
⎫- ⎝
=
⎪⎭，可得最小正周期为π；（2）由
0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
得32,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，可得()f x 在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上的最小值为1-．
【详解】 （1）由已知，有
()
22sin 2sin cos cos f x x x x x =+-sin 2cos2x x =-24x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
所以，()f x 的最小正周期22
T π
π==. （2）当0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，32,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦
所以当24
4
x π
π
-
=-
，即0x =时，()f x 取得最小值1-.
所以，函数()f x 在0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
上的最小值为1-. 【点睛】
本题主要考查三角函数恒等变换，属中档题.通过展开三角函数关系式，利用正弦二倍角公
式和降幂公式，辅助角公式将函数化简为()24f x x π⎛
⎫- ⎝
=
⎪⎭，由周期公式可得
22T π
π=
=，由x 的范围求得相位的范围，进一步得出32,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦
，进而求得sin 24x π⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的范围，得出答案.
25．（1）,,63k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦
Z ；（2）=2x π-时，最大值为0；=6x π-时, 最小值
为3
2
-
. 【分析】
（1）由()f x a b =⋅，根据向量的数量积的运算可得()f x 的解析式，将内层函数看作整体，放到正弦函数的减区间上，解不等式得函数的单调递减区间. （2）在0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，可得出
()f x 的最大值和最小值.
【详解】
解:(1)2()=3sin cos cos f x a b x x x =⋅-
cos 21222
x x -- 1
=sin 2cos
cos 2sin
6
62
x x π
π
-- 1
=sin 2)62
x π--（
由2,262
k x k k π
ππ
ππ-
-+∈Z 2≤≤2， 解得：,6
3
k x k k π
π
ππ-
+
∈Z ≤≤，
所以函数()f x 的单调递增区间为：[,],63
k k k π
π
ππ-
+∈Z .
（2）因为02x π⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
，，所以72666x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，， 所以1sin
2)62x π
--1≤（≤，即31sin 2)0262
x π---≤（≤， 当=2x π-时，()f x 有最大值为0；当=6x π-时, ()f x 有最小值为3
2
-.
【点睛】
关键点睛：利用三角函数的二倍角公式，化简得到， 2()=3sin cos cos f x a b x x x =⋅-1
=sin
2)6
2
x π
--（， 进而利用复合函数的单调性进行求解，难度属于中档题 26．（1）1825
；（2）7
25. 【分析】
（1）根据终边上点的坐标，利用三角函数定义得到角α的正弦值与余弦值，利用二倍角的正弦公式、二倍角法余弦公式，切化弦，把要求的式子化简，约分整理，将所求三角函数值代入求解即可；
（2）以向量的数量积为0为条件，可得2
π
αβ-=
，从而可得3
sin 5
β=
，进而得4
cos 5
β=
，利用两角和的正弦公式可得结果. 【详解】 （1）由三角函数定义得3cos 5α=-
， 4
sin 5
α= ∴原式()222cos sin cos 2sin cos 2cos 2cos sin sin cos 1cos cos ααααααα
ααα
αα
++===++
2=·2
35⎛⎫- ⎪⎝⎭=18
25
（2）0OP OQ ⋅=，∴2
π
αβ-=
，
∴
2
π
βα=-
，∴3
sin sin cos 25
πβαα⎛⎫
=-
=-= ⎪⎝
⎭ 4cos cos sin 25πβαα⎛
⎫=-== ⎪⎝
⎭，
∴()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+
44337
555525
⎛⎫=
⋅+-⋅= ⎪⎝⎭.。