最新版初中数学教案《分式的混合运算 》精品教案(2022年创作)

第2课时分式的混合运算
【知识与技能】
1.进一步掌握分式的加减法运算方法，能用它解决实际问题.
2.能进行分式的乘除、加减、乘方混合运算.
【过程与方法】
在具体问题情境的探索思考过程中，进一步增强学生的数学应用意识，锻炼分析问题、解决问题的能力.
【情感态度】
进一步培养学生严密的科学态度和良好的学习习惯.
【教学重点】
掌握分式乘除、加减、乘方混合运算.
【教学难点】
运用分式乘除、加减、乘方等解决实际问题.
一、情境导入，初步认识
问题1异分母分式的加减法的一般步骤有哪些？在运算过程中有哪些需要
注意的问题？
问题2在进行分式的乘除、加减，乘方混合运算时，你认为应该怎样做？谈谈你的想法.
【教学说明】问题1的设置在于稳固上节课学过知识，并能用它解决本节问题，起承上启下作用；问题2那么是让学生联想到分式乘除、分式加减法那么是类比分数而得到的，因而可类比得到分式混合运算法那么.在教学时，可让学生自主探究，相互交流，在探讨中形成认知.
教师讲课前，先让学生完成“自主预习〞.
二、思考探究，获取新知
【教学说明】
上述两个例题都应先让学生独立完成试试，然后教师再予以评讲，例1的〔1〕题侧重于展示分式的混合运算方法；先算乘方，再算乘除，最后算加减；而第〔2〕题进一步强调混合运算中的运算顺序：“先算乘方，再算乘除，最后算加减.有括号应先做括号内的运算，再算括号外的运算〞.
三、典例精析，掌握新知
【教学说明】教学时，可让学生自主探索，获得结论，教师再行讲解.例1中计算〔x2+xy+y2〕〔x-y〕时，假设已掌握公式〔a2+ab+b2〕〔a-b〕＝a3-b3，可直接写出结果x3-y3，如果不知道此公式，可利用多项式乘多项式的法那么计算.例2中含有一个开放性问题，这里教师应该强调：选择一个值代入时，一定要使原代数式有意义，即不能选x为0，1这两个值.
四、运用新知，深化理解
2.在一块a公顷的稻田上插秧，如果10个人插秧，要用m天完成；如果一台插秧机工作，需比10个人插秧提前3天完成.一台插秧机的工作效率是一个人工作效率的多少倍？
【教学说明】学生独立探究，教师巡视时，对有困难同学给予指导，最后予以评讲，让学生在自查中反思，积累解题经验和方法.
五、师生互动，课堂小结
1.通过这节课的学习，你有哪些收获？
2.你还有哪些疑问？与同伴交流.
【教学说明】让学生对照上述两个问题自我反思，既系统回忆本节所学知识，又查找问题所在，在与同伴交流中加深认识.
1.布置作业：从教材“〞中选取.
2.完成练习册中本课时的练习.
本课时要求学生理解并掌握分式的乘除、加减和乘方混合运算，为到达教学目标，本课时通过问题的提出，让学生类比前面不含乘方的混合运算.例题的讲解旨在引导学生把实际问题数学化.当然，无论是例题的分析还是练习题的落实，都以学生为中心，给予充分的时间让学生去演算并暴露问题，再指出问题所在，为后面的教学提供较好的比照分析材料.此外，教师还应引导学生发现并总结多种解题技巧，比较其优劣，通过分析题目的显著特点来灵活运用方法技巧解决问题，锻炼和培养他们的发散思维能力.
第4课时
教学内容
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P〔x，y〕，关于原点的对称点为P′〔-x，-y〕及其运用．
教学目标
理解P 与点P ′点关于原点对称时，它们的横纵坐标的关系，掌握P 〔x ，y 〕关于原点的对称点为P ′〔-x ，-y 〕的运用． 复习轴对称、旋转，尤其是中心对称，知识迁移到关于原点对称的点的坐标的关系及其运用．
重难点、关键
1．重点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P 〔x ，y 〕•关于原点的对称点P ′〔-x ，-y 〕及其运用．
2．难点与关键：运用中心对称的知识导出关于原点对称的点的坐标的性质及其运用它解决实际问题．
教具、学具准备
小黑板、三角尺
教学过程
一、复习引入
〔学生活动〕请同学们完成下面三题．
1．点A 和直线L ，如图，请画出点A 关于L 对称的点A ′．
2．如图，△ABC 是正三角形，以点A 为中心，把△ADC 顺时针旋转60°，画出旋转后的图形．
3．如图△ABO ，绕点O 旋转180°，画出旋转后的图形． 老师点评：老师通过巡查，根据学生解答情况进行点评．〔略〕 二、探索新知
〔学生活动〕如图，在直角坐标系中，A 〔-3，1〕、B 〔-4，0〕、C 〔0，3〕、•D 〔2，2〕、E 〔3，-3〕、F 〔-2，-2〕，作出A 、B 、C 、D 、E 、F 点关于原点O 的中心对称点，并写出它们的坐标，并答复：
这些坐标与点的坐标有什么关系？ 老师点评：画法：〔1〕连结AO 并延长AO 〔2〕在射线AO 上截取OA ′=OA
〔3〕过A 作AD ′⊥x 轴于D ′点，过A ′作A ′D ″⊥x 轴于点D ″． ∵△AD ′O 与△A ′D ″O 全等 ∴AD ′=A ′D ″，OA=OA ′ ∴A ′〔3，-1〕
同理可得B 、C 、D 、E 、F 这些点关于原点的中心对称点的坐标． 〔学生活动〕分组讨论〔每四人一组〕：讨论的内容：关于原点作中心对称时，•①它们的横坐标与横坐标绝对值什么关系？纵坐标与纵坐标的绝对值又有什么关系？②坐标与坐标之间符号又有什么特点？
提问几个同学口述上面的问题．
老师点评：〔1〕从上可知，横坐标与横坐标的绝对值相等，纵坐标与纵坐标的绝对值相等．〔2〕坐标符号相反，即设P 〔x ，y 〕关于原点O 的对称点P ′〔-x ，-y 〕．
例1．如图，利用关于原点
对称的点的坐标的特点，作出与线段AB•关于原点对称的图形． 分析：要作出线段AB 关于原点的对称线段，只要作出点A 、点B 关于原点的对称点A ′、B ′即可．
解：点P 〔x ，y 〕关于原点的对称点为P ′〔-x ，-y 〕， 因此，线段AB 的两个端点A 〔0，-1〕，B 〔3，0〕关于原点的对称点分别为A ′〔1，0〕，B 〔-3，0〕．
连结A ′B ′．
那么就可得到与线段AB 关于原点对称的线段A ′B ′． 〔学生活动〕例2．△ABC ，A 〔1，2〕，B 〔-1，3〕，C 〔-2，4〕利用关于原点对称的点的坐
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反， 即点P 〔x ，y 〕关于原点O 的对称点P ′〔-x ，-y 〕．
标的特点，作出△ABC关于原点对称的图形．
老师点评分析：先在直角坐标系中画出A、B、C三点并连结组成△ABC，要作出△ABC 关于原点O的对称三角形，只需作出△ABC中的A、B、C三点关于原点的对称点，•依次连结，便可得到所求作的△A′B′C′．
三、稳固练习
教材练习．
四、应用拓展
例3．如图，直线AB与x轴、y轴分别相交于A、B两点，将直线AB绕点O顺时针旋转90°得到直线A1B1．
〔1〕在图中画出直线A1B1．
〔2〕求出线段A1B1中点的反比例函数解析式．
〔3〕是否存在另一条与直线AB平行的直线y=kx+b〔我们发现互相平行的两条直线斜率k值相等〕它与双曲线只有一个交点，假设存在，求此直线的函数解析式，假设不存在，请说明理由．
分析：〔1〕只需画出A、B两点绕点O顺时针旋转90°得到的点A1、B1，连结A1B1．
〔2〕先求出A1B1中点的坐标，设反比例函数解析式为y=k
x
代入求k．
〔3〕要答复是否存在，如果你判断存在，只需找出即可；如果不存在，才加予说明．这一条直线是存在的，因此A1B1与双曲线是相切的，只要我们通过A1B1的线段作A1、B1关于原点的对称点A2、B2，连结A2B2的直线就是我们所求的直线．
解：〔1〕分别作出A、B两点绕点O顺时针旋转90°得到的点A1〔1，0〕，B1〔2，0〕，连结A1B1，那么直线A1B1就是所求的．
〔2〕∵A1B1的中点坐标是〔1，1
2
〕
设所求的反比例函数为y=k x
那么1
2
=
1
k
，k=
1
2
∴所求的反比例函数解析式为y=1 2 x
〔3〕存在．
∵设A1B1：y=k′x+b′过点A1〔0，1〕，B1〔2，0〕
∴
1`
02
b
k b
=
⎧
⎨
=+
⎩
∴
`1
1
`
2
b
k
=
⎧
⎪
⎨
=-
⎪⎩
∴y=-1
2
x+1
把线段A1B1作出与它关于原点对称的图形就是我们所求的直线．根据点P〔x，y〕关于原点的对称点P′〔-x，-y〕得：
A1〔0，1〕，B1〔2，0〕关于原点的对称点分别为A2〔0，-1〕，B2〔-2，0〕∵A2B2：y=kx+b
∴
1
02`
b
k b
-=
⎧
⎨
=-+
⎩
∴
1
2
1
k
b
⎧
=-
⎪
⎨
⎪=-
⎩
∴A2B2：y=-1
2
x-1
下面证明y=-1
2x-1与双曲线y=1
2x
相切
1121
2
y x y x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=
⎪⎩
-12x-1=12x ⇒x+2=-1x ⇒ x 2+2x+1=0，b 2-4ac=4-4×1×1=0
∴直线y=-1
2x-1与y=1
2x
相切
∵A 1B 1与A 2B 2的斜率k 相等
∴A 2B 2与A 1B 1平行 ∴A 2B 2：y=-
1
2
x-1为所求． 五、归纳小结〔学生总结，老师点评〕 本节课应掌握：
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P 〔x ，y 〕，•关于原点的对称点P ′〔-x ，-y 〕，及其利用这些特点解决一些实际问题． 六、布置作业
1．教材 复习稳固3、4． 2．选用作业设计．
作业设计
一、选择题
1．以下函数中，图象一定关于原点对称的图象是〔〕 A ．y=
1
x
B ．y=2x+1
C ．y=-2x+1
D ．以上三种都不可能 2．如图，矩形ABCD 周长为56cm ，O 是对称线交点，点O 到矩形两条邻边的距离之差等于8cm ，那么矩形边长中较长的一边等于〔〕
A ．8cm
B ．22cm
C ．24cm
D ．11cm 二、填空题
1．如果点P 〔-3，1〕，那么点P 〔-3，1〕关于原点的对称点P ′的坐标是P ′_______． 2．写出函数y=-
3x 与y=3
x
具有的一个共同性质________〔用对称的观点写〕． 三、综合提高题
1．如图，在平面直角坐标系中，A 〔-3，1〕，B 〔-2，3〕，C 〔0，2〕，画出△ABC•关于x 轴对称的△A ′B ′C ′，再画出△A ′B ′C ′关于y 轴对称的△A ″B ″C ″，那么△A ″B ″C ″与△ABC 有什么关系，请说明理由．
2．如图，直线AB 与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，且A 〔0，3〕，B 〔3，0〕，现将直线AB 绕点O 顺时针旋转90°得到直线A 1B 1． 〔1〕在图中画出直线A 1B 1；
〔2〕求出过线段A 1B 1中点的反比例函数解析式；
〔3〕是否存在另一条与直线A 1B 1平行的直线y=kx+b 〔我们发现互相平行的两条直线斜率k 相等〕它与双曲线只有一个交点，假设存在，求此直线的解析式；假设不存在，请说明不存在的理由． 答案:
一、1．A 2．B
二、1．〔3，-1〕 2．答案不唯一 参考答案：关于原点的中心对称图形． 三、1．画图略，△A ″B ″C ″与△ABC 的关系是关于原点对称． 2．〔1〕如右图所示，连结A 1B 1； 〔2〕A 1B 1中点P 〔1.5，-1.5〕，设反比例函数解析式为y=
k x ，那么y=-2.25
x
．
〔3〕A 1B 1：设y =k 1x+b 1113033b k =-⎧⎨=-⎩11
1
3k b =⎧⎨
=-⎩ ∴y=x+3
∵与A 1B 1直线平行且与y=2.25
x
相切的直线是A 1B 1•旋转而得到的． ∴所求的直线是y=x+3，
下面证明y=x+3与y=-2.25
x
相切， ⇒x 2+3x+2.25=0，b 2-4ac=9-4×1×2.25=0，
∴y=x+3与y=-2.25
x
相切．。