§4.1 微分方程的基本概念

原方的通解为 y tan( x C ) x.
dx Q( x, y) 则称其为一阶微分方程的典则形式.
也可写为： P x, ydx Q x, ydy,
称为微分方程的对称形式。
“对称”指方程关于变量 x 和 y 对称。
y y x或 x x y
dy dx
P Q
x, x,
y y
Q x, y 0
或
dx dy
Q P
x, x,
y y
P x, y 0.
一、可分离变量的微分方程
形如 g( y)dy f ( x)dx
的微分方程称为可分离变量的微分方程.
例如
dy dx
2x2
4
y5
4
y 5dy
2 x 2dx,
解法 设函数g y 和 f x 是连续的,
g( y)dy f ( x)dx
分离变量法
设函数G y和F x 依次为g y 和 f x 的原函数,
故 x C1 coskt C2 sinkt是原方程的解.
x A, dx 0,
t0
dt t0
C1 A, C2 0. 所求特解为 x Acoskt.
一阶微分方程
一阶微分方程的一般形式：
F x, y, y 0.
若方程可解出 y′, 即
y f x, y dy P( x, y)
y 2x2 y sin x y 2
y y x3 y 0,
线性微分方程
x( y)2 2 yy x 0;
y y x3 y2 0,
d 2
dt 2
3sin
0.
非线性微分方程
三、微分方程的解及积分曲线
微分方程的解: 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.
设 y ( x)在区间 I 上有 n 阶导数,
微分方程的解为 sin y ln x C. x
例2
求解微分方程
x2
dx xy
y2
dy 2y2
xy
.
解
dy dx
2 y2 xy x2 xy y2
2 1
y x y
2
y x
y
2
,
x x
令u
y ,
则 dy xdu udx,
x
u
xu
2u2 1 u
u u2
,
du 2u2 u u x dx 1 u u2 ,
y y x
1
y x
2
,其通解为
-y
x2 y2 Cx2 .
利用变量代换求微分方程的通解
例5 求 dy ( x y)2的通解. dx
解 令 x y u, dy du 1 代入原方程 dx dx
du 1 u2 解得 arctanu x C,
dx
代回u x y,得 arctan( x y) x C,
的一次有理整式，则称该 微分方程为n阶线性 微分方程. n阶线性微分方程的一般形式为：
yn a1 x yn1 an1 x y an x y f x .
其中ai x i 1,2, n和 f x 都是 x的已知函数.
不是线性的微分方程称为非线性的微分方程.
y P( x) y Q( x),
dt ,
求函数 y(x).
解 两端对x求导可得
x
0
yt
dt
xy
x
0
ty
t
dt
x
1
xy
整理并注意积分变量为t ,得
x2
y
x
0
1
t
y
t
dt
.
上式两端再对x求导，有
2 xy x2 dy 1 x y
dx
整理可得
dy 1 3 x
y
x2 dx
两端积 分 得 ln y 1 3ln x ln C ,
一阶常微分方程 F( x, y, y) 0, y f ( x, y); 一般n阶常微分方程的形式：F( x, y, y, , y(n) ) 0, 若能从方程中解出 y(n) 则：
y(n) f ( x, y, y, , y(n1) ).
线性与非线性微分方程.
如果微分方程 F( x, y, y, , y(n) ) 0 的左端为未知函数 y 及它的各阶导数 y, y , y(n)
u(u 2)2
微分方程的解为 ( y x)2 Cy( y 2 x)3 .
例3 求通解
y( x cos y y sin y)dx x( y sin y x cos y)dy.
x
x
x
x
解 原方程可化为
dy dx
y x
cos y
(
y
x sin
y
y sin x cos
y
x y
),
xx x
显然 y cx c2 ,是 y'2 xy' y 0 的通解，但是
x2 y
也是 y'2 xy' y 0 的解而通解中不
4
管c取何值都不能得 y x2 ，我们把这种解称为
4
y'2 xy' y 0 的奇解
(2)特解: 确定了通解中任意常数的解. (不含任意常数的解).
例 y x2 c是微分方程 y 2x的通解; y x2 1是微分方程 y 2x的特解.
G( y) F ( x) C 为微分方程的解.
例1 求解微分方程 dy 2xy 的通解. dx
解 分离变量 dy 2xdx, y
两端积分
dy y
2
xdx,
ln y x2 C1
y eC1e x2 y eC1e x2
y Ce x2为所求通解.
or dy 2xdx ln y x2 lnC y Cex2 y
x A，dx 0的特解.
t0
dt t0
解
dx dt
kC1
sinkt
kC2
coskt,
d2 dt
x
2
k 2C1
cos kt
k 2C2
sin kt,
将
d2 dt
x
2
和x的表达式代入原方程
,
k 2(C1 cos kt C2 sin kt ) k 2(C1 cos kt C2 sin kt ) 0.
y xy x2 y2
若x
0,方程为
y
y x
1
y x
2
.
y xy
x2 y2
令u y ,则有y xu, y u xu x
分离 变量 du dx 解得 xu x2 x2u2 C. 1 u2 x
将u y 代回上式,得当x 0时的通解为 y x2 y2 C.
x 若x<0,方程为
dx
x
当 f (u) u 0时, 得
f
du (u)
u
1dx x
du f (u) u
ln x lnC
ln x C
即 x Ce (u) , （ (u)
du ）
f (u) u
将 u y 代入, x
得通解
x
( y)
Ce x ,
当 u0, 使 f (u0 ) u0 0, 则 u u0是新方程的解,
令 u y , y ux, y u xu.
x 代入原方程得 u xu u(cos u usinu),
usinu cos u
分离变量 cos u usin u du 2 dx,
ucos u
x
两边积分 ln(ucos u) ln x2 lnC,
ucos u C , x2
y cos y C , x x x2
y0 .
y x x0 y0 .
F
x, y, y,
yn 0
y x x0 y0 , y x x0 y0 ,
, yn1 x x0 y0n1 .
注：n阶方程应有n个初始条件.
例3 验证 : 函数x c1 cos kt c2 sin kt是微分
方程
d2x dt 2
k
2x
0的解，并求满足初始条件
lnC1 ln
xC1 1 x2
1.
2
ln 1
y2
2ln
C1 x
1
(1 x2 )2
1
y2
Cx 2 1 x2
C C12为常数 .
由初始条件 x=1, y=0代入通解，得 C＝２.
故方程的特解为：
1
y2
2x2 1 x2
.
例３若函数 y=y(x) 连续，且满足
x
x0
yt
dt
x
1
x
0
ty t
其中 c1,c2, ,cn 为相互独立的任意常数，
若上式表示为 y x,c1,c2, ,cn
则称为微分方程的显式解，否则称为隐式解 或通积分.
但微分方程的通解并不一定是它的所有解，因为 所有解还包括奇解。
例如：y cx c2 , 两边对x求导得 y ' c, 将它代
入原方程得到 y'2 xy' y 0,
所求通解为 xycos y C. x
例4 求一曲线，使得在其上任一点 P 处的切线在 y 轴
上的截距等于原点到点P的距y离. 解 设点P的坐标为（x, y）
所求曲线为y=f(x),切线上的
P(x,y)
动点为(X，Y )，则过点P
的切线方程为：
o
Y y y X x ,令X 0得
x
切线与y轴的截距为Y0 y xy,由题意可得
二、微分方程的基本概念
定义： 凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.
例 y xy,
y 2 y 3 y e x ,
(t 2 x)dt xdx 0,
z x y, x
微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最
高阶导数的阶数称为微分方程的阶.
常微分方程：未知函数是一元函数; 偏微分方程：未知函数是二元或二元以上函数.
dt t0
v
ds dt
0.4t
C1
s 0.2t 2 C1t C2
代入条件后知 C1 20, C2 0
v ds 0.4t 20, dt
故 s 0.2t 2 20t,
开始制动到列车完全停住共需 t 20 50(秒), 0.4
列车在这段时间内行驶了
s 0.2 502 20 50 500(米).
微分方程的解的曲线称为积分曲线. 含有任意常数的通解的曲线称为积分曲线族.
例 y x2 c是微分方程 y 2x的积分曲线族,
y x2 1为它的积分曲线.
初始条件: 用来确定任意常数的条件.
F x, y, y 0
y x x0 y0 .
……
F x, y, y, y 0
y
x x0
第四章 常微分方程
§4.1 微分方程的基本概念
一、引例
例1 一曲线过点1,2，且在该曲线上任一点 M x, y处的切线斜率为2x，求此曲线的方程.
解 设所求曲线为 y y(x) dy 2 x 其中 x 1时, y 2 dx
y 2xdx 即 y x2 C, 求得C 1,
所求曲线方程为 y x2 1 .
例2 求微分方程 xy x3 y dy 1 y2 dx 0
满足初始条件 y(1)=0的特解.
解 将原方程改写为
y x x3 dy 1 y2 dx 0,
y
dx
1
y2 dy
x
1
x2
,
y 1 y2 dy
dx x 1 x2
1 x
1
x x2
dx
ln x 1 ln 1 x2 2
F( x,( x),( x), , (n)( x)) 0.
微分方程的解: (1)通解: n阶微分方程的解中含有n个相互独立的
任意常数的解.
例 y y, 通解 y ce x ;
y y 0, 通解 y c1 sin x c2 cos x;
n阶微分方程的通解含有n个独立的任意常数，
它的一般形式为: x, y,c1,c2, ,cn 0,
x
故所求函数y(x)为
y
C x3
e
1 x
,
C为任意常数
.
二、齐次方程
定义 解法
形如 dy f ( y) 的微分方程称为齐次方程. dx x
作变量代换 u y ,即 y xu, x
dy u x du,
dx
dx
代入原式 u x du f (u), dx
即 du f (u) u . 可分离变量的方程
代回原方程 , 则 y u0 x也是原方程的一个解.
例 1 求解微分方程
( x y cos y)dx x cos y dy 0.
x
x
解 令u y， 则 dy xdu udx， x
( x ux cos u)dx x cos u(udx xdu) 0,
cosudu dx , sin u ln x C, x
x
du dx
u3 3u2 2u 1 u u2
1 u u2 du 1 dx u(u 1)(u 2) x
[1 ( 1 1) 2 1 ]du dx ,
2 u2 u u2 u1
x
ln(u 1) 3 ln(u 2) 1 lnu ln x lnC,
2
2
u 1 3 Cx.
例2 列车在平直的线路上以20米 / 秒的速度 行驶，当制动时列车获得加速度 0.4米 / 秒2， 问开始制动后多少时间列车才能停住？以及 列车在这段时间内行驶了多少路程？
解 设制动后t 秒钟行驶 s 米, s s(t)
d 2s dt 2 0.4,
且 s 0 0, v 0 ds 20,