超空间上几种连续对应间的关系

超空间上几种连续对应间的关系
马咸礼;陈桂秀
【摘要】给出了超空间上定义的几乎连续对应,δ-连续对应,弱δ-连续对应,θ-连续对应,几乎强θ-连续对应和弱连续对应之间的相互关系,并通过相应的反例加以说明.%This paper discusses the relationship of almost continuous correspondences, δ-continuous correspondences, weakly δ-continuous correspondences, θ-continuous correspondences, almost strong θ-continuous correspondences and weakly continuous correspondences on super-space, and then gives some corresponding opposite examples.【期刊名称】《计算机工程与应用》
【年(卷),期】2017(053)006
【总页数】3页(P57-59)
【关键词】拓扑空间;超空间;(连续)对应
【作者】马咸礼;陈桂秀
【作者单位】青海师范大学,西宁 810008;青海师范大学,西宁 810008
【正文语种】中文
【中图分类】O189
设X≠ϕ，P(X)={A:A⊂X}，P0(X)=P(X)-ϕ，称P0(X)为X上的超空间[1-2]。

设X,Y≠ϕ，映射f:X→P0(Y)，x∈X，f(x)∈P0(Y)称为X到Y的对应[1-2]，对
B∈P0(Y)，记f*(B)={x∈X:f(x)⊂B}，f*(B)={x∈X:f(x)⋂B≠ϕ}。

文中表示一般拓扑
空间，简记为X,Y。

Ux表示x的开邻域集，A-，A°与A′分别表示集合A的闭包，内部与补集。

定义1.1[2]设X,Y,Z是拓扑空间，f:X→P0(Y)与g:Y→P0(Z)是对应，
(g∘f)(x)=g(f(x))=⋃{g(y)|y∈f(x)}，对∀x∈X，定义的从X到Z的对应g∘f称为f 与g的复合。

定理1.1设X,Y,Z是拓扑空间，f:X→P0(Y)与g:Y→P0(Z)是对应，B∈P0(Z)，则(g∘f)*(B)=f*(g*(B))和(g∘f)*(B)=f*(g*(B))。

定义2.1设(X,ℑ1)是拓扑空间，如果∀x∈X，对x的任意正则开邻域U，存在x的正则开邻域V使得V-⊂U，则称拓扑空间X是几乎正则空间。

定义2.2设(X,ℑ1)是拓扑空间，如果X的每个开集的闭包是开集，则称拓扑空间X 是极不连通空间。

定理2.1设(X,ℑ1)，(Y,ℑ2)是拓扑空间，f:X→P0(Y)是对应，
（1）若f是上（下）半连续[3]，则f是上（下）几乎连续[4]，进而f是上（下）弱连续[5]。

（2）若f是上（下）θ-连续[6]，则f是上（下）弱δ-连续[7]。

（3）若f是上（下）几乎强θ-连续[8]，则f是上（下）δ-连续[9]。

（4）若f是上（下）几乎强θ-连续，则f是上（下）θ-连续。

（5）若f是上（下）δ-连续，则f是上（下）弱δ-连续。

（6）若f是上（下）弱δ-连续，则f是上（下）弱连续。

证明只证（1）设f为下半连续，x∈X，B∈ℑ2且x∈f*(B)，则存在x的开邻域V 使V⊂f*(B)，由于f*(B)⊂f*(B-°)⊂f*(B-)，所以对x的开邻域V有V⊂f*(B-°)与
V⊂f*(B-)，从而f是下几乎连续，进而f是下弱连续。

反过来，这种蕴含关系一般不成立。

注2.1文中有关的证明均在参考文献[10-13]的基础上进行的。

例2.1设X={a,b,c}，取X上的拓扑{a,c}}。

设是对应，定义则f在X上是下δ-连续，因为a∈X，对X中的开集，存在a的开邻域，同理可验证点b,c。

所以f在X上是下δ-连续，但f在X上不是下几乎强θ-连续，因为对b∈X，存在X中的开集，对b的开邻域X有
例2.2设，取X上的拓扑是对应，定义则f在X上是上δ-连续，因为a∈X，对X 中的开集，存在a的开邻域，同理可验证点b,c。

所以f在X上是上δ-连续，但f 在X上不是上几乎强θ-连续，因为对c∈X，存在X中的开集对c的开邻域X有例2.3设，取X上的拓扑是对应，定义，则f在X上是下θ-连续，因为a∈X，对X中的开集{a},X且，存在a的开邻域，同理可验证点b。

所以f在X上是下θ-连续，但f在X上不是下几乎强θ-连续，因为对b∈X，存在X中的开集，对b的开邻域X有X-=
例2.4设X={}a,b，取X上的拓扑设是对应，定义则f在X上是上θ-连续，因为b∈X，对X中的开集{b},X且，存在b的开邻域，同理可验证点a。

所以f在X上是上θ-连续，但f在X上不是上几乎强θ-连续，因为对，存在X中的开集，对a 的开邻域X有X-=
例2.5设，取X上的拓扑设是对应，定义由例2.3知f在X上是下θ-连续，但f 在X上不是下半连续，因为对b∈X，存在X中的开集，对b的开邻域X有
例2.6设，取X上的拓扑设是对应，定义由例2.4知f在X上是上θ-连续，但f 在X上不是上半连续，因为对a∈X，存在X中的开集，对a的开邻域X有
同理可验证下面的例子：
例2.7设取X上的拓扑设是对应，定义，则f在X上是下半连续，但f在X上不是下θ-连续。

例2.8设，取X上的拓扑设是对应，定义，则f在X上是上半连续，但f在X上不是上θ-连续。

由例2.5，例2.6，例2.7，例2.8知，上（下）半连续对应与上（下）θ-连续对应是相互独立的两个概念。

例2.9设取X上的拓扑设是对应，定义，则f在X上是下弱δ-连续，但f在X上
不是下θ-连续。

例2.10设，取X上的拓扑是对应，定义则f在X上是上弱δ-连续，但f在X上不是上θ-连续。

例2.11设，取X上的拓扑是对应，定义则f在X上是下弱δ-连续，但f在X上不是下δ-连续。

例2.12设取X上的拓扑设是对应，定义则f在X上是上弱δ-连续，但f在X上不是上δ-连续。

例2.13设取X上的拓扑设是对应，定义则f在X上是下弱连续，但f在X上不是下弱δ-连续。

例2.14设取X上的拓扑是对应，定义则f在X上是上弱连续，但f在X上不是上弱δ-连续。

定理2.2设X是几乎正则空间，Y是拓扑空间，是上（下）δ-连续对应，则f是上（下）几乎强θ-连续。

证明设f为下δ-连续，x∈X，B是Y中的开集且，则存在x的开邻域V使，由于
V-°是X中的正则开集且X是几乎正则空间，从而存在x的正则开邻域U使这表
明f在x是下几乎强θ-连续，由x的任意性知f是下几乎强θ-连续。

定理2.3设X是拓扑空间，Y是几乎正则空间，f:X→P0(Y)是下θ-连续对应，则f 是下几乎强θ-连续。

证明设x∈X，B是Y中的开集且x∈f*(B)，即，于是B是y在Y中的开邻域，由
于Y是几乎正则空间，所以存在y的开邻域U使U⊂U-⊂B-°，即y∈U⊂U-⊂B-°，从而y∈f(x)⋂U≠ϕ，这表明x∈f*(U)且f*(U-)⊂f*(B-°)。

已知f为下θ-连续，则
存在x的开邻域V使V-⊂f*(U-)⊂f*(B-°)，因此f在x是下几乎强θ-连续，由x的任意性知f是下几乎强θ-连续。

定理2.4设X是极不连通空间，Y是拓扑空间，f:X→P0(Y)是上（下）弱δ-连续对应，则f是上（下）θ-连续。

证明设f为下弱δ-连续，x∈X，B是Y中的开集且x∈f*(B)，则存在x的开邻域V使V-°⊂f*(B-)，由于X是极不连通空间，所以V-°=V-，从而对x的开邻域V有V-⊂f*(B-)，这表明f在x是下θ-连续，由x的任意性知f是下θ-连续。

定理2.5设X,Y,Z是拓扑空间，f:X→P0(Y)与g:Y→P0(Z)是对应，则
（1）若f是上（下）半连续，g是上（下）几乎连续，则g∘f是上（下）几乎连续。

（2）若f是下弱δ-连续，g是下θ-连续，则g∘f是下弱δ-连续。

（3）若f是下δ-连续，g是下弱δ-连续，则g∘f是下弱δ-连续。

（4）若f是上（下）δ-连续，g是上（下）几乎强θ-连续，则g∘f是上（下）δ-连续。

证明只证（1）设B是Z中的δ-开集，由于g在Y上是上几乎连续，所以g*(B)是Y中的开集，又由f在X上是上半连续知f*(g*(B))是X中的开集，由定理1.1知(g∘f)*(B)=f*(g*(B))，从而g∘f是上几乎连续对应。

对于超空间中连续对应的研究与应用受到了众多学者越来越多的关注。

也曾在超空间上讨论了几乎半连续对应[14]和较弱δ-连续对应具有的相关性质[15]。

本文研究了超空间中多种连续对应之间的相互关系，并通过相应的反例加以说明。

【相关文献】
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[3]程吉树，陈水利.LF下与上半连续对应多值映射[J].陕西师范大学学报，1994，22（1）：5-8.
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[7]陈桂秀.超空间上的弱δ-连续对应[J].数学季刊，2010，25（2）：287-292.
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[14]陈桂秀.超空间上的几乎半连续对应[J].青海大学学报，2001，29（1）：63-65.
[15]马咸礼.超空间上的较弱δ-连续对应[J].青海师范大学学报，2011（1）：1-4.。