河南省洛阳市2019年高三综合练习理科数学(一)(4月份)(解析版)

2019年河南省洛阳市高考数学模拟试卷（理科）（一）（4月份） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有符合题目要求的
1．（5分）已知x ，y ∈R ，集合A ＝{2，log 3x }，集合B ＝{x ，y }，若A ∩B ＝{0}，则x +y ＝（ ）
A ．
B ．0
C ．1
D ．3
2．（5分）若复数z 1＝1+i ，z 2＝1﹣i ，则下列结论错误的是（ ）
A ．z 1•z 2是实数
B ．
是纯虚数
C ．|z
|＝2|z 2|2
D ．z ＝4i
3．（5分）已知＝（﹣1，3），＝（m ，m ﹣4），＝（2m ，3），若，则（ ）
A ．﹣7
B ．﹣2
C ．5
D ．8
4．（5分）如图，
是以正方形的边AD 为直径的半圆，向正方形内随机投入一点，则该
点落在阴影区域内的概率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．（5分）已知双曲线C ：（a ＞0，b ＞0）的一个焦点坐标为（4，0），且双
曲线的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的方程为（ ）
A ．
＝1
B ．
C ．＝1
D ．＝1或＝1
6．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A ．8π+6
B ．6π+6
C ．8π+12
D ．6π+12
7．（5分）设x ，y 满足约束条件，则z ＝2x +y 的取值范围是（ ） A ．[﹣2，2]
B ．[﹣4，4]
C ．[0，4]
D ．[0，2]
8．（5分）已知△ABC 中，sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，则的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．（5分）在印度有一个古老的传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人﹣﹣宰相宰相西萨•班•达依尔．国王问他想要什么，他对国王说：“陛下，请您在这张棋盘的第1个小格里，赏给我1粒麦子，在第2个小格里给2粒，第3小格给4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍．请您把这样摆满棋盘上所有的64格的麦粒，都赏给您的仆人吧！”国王觉得这要求太容易满足了，就命令给他这些麦粒．当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了那位宰相的要求．那么，宰相要求得到的麦粒到底有多少粒？下面是四位同学为了计算上面这个问题而设计的程序框图，其中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．（5分）若过点P（a，a）与曲线f（x）＝xlnx相切的直线有两条，则实数a的取值范围是（）
A．（﹣∞，e）B．（e，+∞）C．（0，）D．（1，+∞）
11．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，沿对角线BD将菱形ABCD折
起，使得二面角A﹣BD﹣C的余弦值为，则该四面体ABCD外接球的体积为（）
A．B．8πC．D．36π
12．（5分）已知函数f（x）＝e x﹣ln（x+3），则下面对函数f（x）的描述正确的是（）
A．∀x∈（﹣3，+∞），f（x）≥B．∀x∈（﹣3，+∞），f（x）
C．∃x0∈（﹣3，+∞），f（x0）＝﹣1D．f（x）min∈（0，1）
二、填空題（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）将函数f（x）＝2sin（2x+φ）（φ＜0）的图象向左平移个单位长度，得到偶函数g（x）的图象，则φ的最大值是．
14．（5分）已知a＞0，b＞0，（ax+）6展开式的常数项为，则a+2b的最小值为．
15．（5分）已知函数f（x）＝，若f（x）﹣（m+2）x≥0，则实数m 的取值范围是．
16．（5分）设过抛物线y2＝2px（p＞0）上任意一点P（异于原点O）的直线与抛物线y2＝8px（p＞0）交于A，B两点，直线OP与抛物线y2＝8px（p＞0）的另一个交点为Q，
则＝
三、解答題：本大题共6个小題，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）若数列{a n}是公差为2的等差数列，数列{b n}满足b1＝1，b2＝2，且a n b n+b n ＝nb n+1．
（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{c n}满足c n＝，数列{c n}的前n项和为T n，若不等式（﹣1）nλ＜T n+
对一切n∈N*，求实数λ的取值范围．
18．（12分）如图，在五面体ABCDEF中，四边形EDCF是正方形，AD＝DE，∠ADE＝90°，∠ADC＝∠DCB＝120°．
（1）证明：平面ABCD⊥平面EDCF；
（2）求直线AF与平面BDF所成角的正弦值．
19．（12分）经销商第一年购买某工厂商品的单价为a（单位：元），在下一年购买时，购买单价与其上年度销售额（单位：万元）相联系，销售额越多，得到的优惠力度越大，具体情况如表：
为了研究该商品购买单价的情况，为此调查并整理了50个经销商一年的销售额，得到下面的
柱
状图
．
已知某经销商下一年购买该商品的单价为X （单位：元），且以经销商在各段销售额的频率作为概率．
（1）求X 的平均估计值．
（2）该工厂针对此次的调查制定了如下奖励方案：经销商购买单价不高于平均估计单价的获得两次抽奖活动，高于平均估计单价的获得一次抽奖活动．每次获奖的金额和对应的概率为
记Y （单位：元）表示某经销商参加这次活动获得的奖金，求Y 的分布列及数学期望.. 20．（12分）如图，已知椭圆
的离心率为
，E 的左顶点为A 、
上顶点为B，点P在椭圆上，且△PF1F2的周长为．
（I）求椭圆的方程；
（II）设C，D是椭圆E上两不同点，CD∥AB，直线CD与x轴、y轴分别交于M，N
两点，且的取值范围．
21．（12分）已知f′（x）为函数f（x）的导函数，f（x）＝e2x+2f（0）e x﹣f′（0）x．（1）求f（x）的单调区间；
（2）当x＞0时，af（x）＜e x﹣x恒成立，求a的取值范围．
请考生在第22、23题中任选多做则按所做第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。

[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），圆C
的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣3）2＝4．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求直线l和圆C的极坐标方程；
（2）若射线θ＝与l的交点为M，与圆C的交点为A，B，且点M恰好为线段AB的中点，求a的值．
[选修4一5：不等式选讲]
23．已知f（x）＝|mx+3|﹣|2x+n|．
（1）当m＝2，n＝﹣1时，求不等式f（x）＜2的解集；
（2）当m＝1，n＜0时，f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于24，求n的取值范围．
2019年河南省洛阳市高考数学模拟试卷（理科）（一）
（4月份）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有符合题目要求的
1．（5分）已知x，y∈R，集合A＝{2，log3x}，集合B＝{x，y}，若A∩B＝{0}，则x+y＝（）
A．B．0C．1D．3
【分析】根据A∩B＝{0}即可得出0∈A，0∈B，这样即可求出x，y的值，从而求出x+y 的值．
【解答】解：A∩B＝{0}；
∴0∈A，0∈B；
∴log3x＝0；
∴x＝1，y＝0；
∴x+y＝1．
故选：C．
【点评】考查列举法表示集合的概念，交集的概念及运算，以及元素与集合的关系．2．（5分）若复数z1＝1+i，z2＝1﹣i，则下列结论错误的是（）
A．z1•z2是实数B．是纯虚数
C．|z|＝2|z2|2D．z＝4i
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算及复数模的求法逐一判断得答案．
【解答】解：∵z1＝1+i，z2＝1﹣i，
∴z1•z2＝1﹣i2＝2，故A正确；
，故B正确；
，，故C正确；
，故D错误．
故选：D．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
3．（5分）已知＝（﹣1，3），＝（m，m﹣4），＝（2m，3），若，则（）A．﹣7B．﹣2C．5D．8
【分析】根据平面向量的坐标运算与共线定理、数量积运算法则，计算即可．
【解答】解：＝（﹣1，3），＝（m，m﹣4），＝（2m，3），
若，则﹣1×（m﹣4）﹣3×m＝0；
解得m＝1；
∴＝（1，﹣3）
＝（2，3）；
＝1×2+（﹣3）×3＝﹣7．
故选：A．
【点评】本题考查了平面向量的坐标运算与共线定理、数量积运算问题，是基础题．
4．（5分）如图，是以正方形的边AD为直径的半圆，向正方形内随机投入一点，则该点落在阴影区域内的概率为（）
A．B．C．D．
【分析】根据图象的关系，求出阴影部分的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．
【解答】解：连结AE，结合图象可知弓形①与弓形②面积相等，
将弓形①移动到②的位置，则阴影部分将构成一个直角三角形，
则阴影部分的面积为正方形面积的，则向正方形内随机投入一点，则该点落在阴影区
域内的概率P＝，
故选：D．
【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的应用，求出阴影部分的面积是解决本题的关键．
5．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的一个焦点坐标为（4，0），且双曲线的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的方程为（）
A．＝1
B．
C．＝1
D．＝1或＝1
【分析】由题意可得c＝4，由双曲线的渐近线方程和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得a＝b，解方程可得a，b的值，即可得到所求双曲线的方程．
【解答】解：双曲线C：（a＞0，b＞0）的一个焦点坐标为（4，0），
可得c＝4，即有a2+b2＝c2＝16，
双曲线的两条渐近线互相垂直，
即直线y＝x和直线y＝﹣x垂直，
可得a＝b，
解方程可得a＝b＝2，
则双曲线的方程为﹣＝1．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的运用，以及两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
6．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）
A．8π+6B．6π+6C．8π+12D．6π+12
【分析】由题意判断几何体的形状，然后求解几何体的表面积即可．
【解答】解：几何体是组合体，上部是半圆柱，下部是半球，圆柱的底面半径与球的半径相同为1，圆柱的高为3，
几何体的表面积为：2π×12+12×π+2×3+3π＝6+6π．
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．
7．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝2x+y的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．[﹣4，4]C．[0，4]D．[0，2]
【分析】作出约束条件所对应的可行域，变形目标函数，平移直线y＝2x可
得结论．
【解答】解：作出约束条件所对应的可行域（如图阴影）
变形目标函数可得y＝﹣2x+z，平移直线y＝﹣2x可知
当直线经过点A（﹣2，0）时，目标函数取最小值﹣4
当直线经过点B（2，0）时，目标函数取最大值4，
故z＝﹣2x+y的取值范围为[﹣4，4]．
故选：B．
【点评】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．
8．（5分）已知△ABC中，sin A，sin B，sin C成等比数列，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
【分析】由sin A、sin B、sin C依次成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，利用正弦定理化简，再利用余弦定理表示出cos B，把得出关系式代入并利用基本不等式求出
cos B的范围，再设sin B+cos B＝t，可得y＝t﹣，在（1，]上是增函数，即可求出．【解答】解：∵在△ABC中，sin A、sin B、sin C依次成等比数列，
∴sin2B＝sin A sin C，
利用正弦定理化简得：b2＝ac，
由余弦定理得：cos B＝＝＝（+）﹣≥2﹣
＝（当且仅当a＝c时取等号），
∴cos B≥，
∴B的范围为（0，]，
设y＝＝，
设sin B+cos B＝t，则2sin B cos B＝t2﹣1，
由于t＝sin B+cos B＝sin（B+），B∈（0，]，知t∈（1，]，
故y＝＝＝t﹣，t∈（1，]，
∵y＝t﹣，在（1，]上是增函数，
∴y∈（0，]，
故选：B．
【点评】本题考查了解三角形，辅助角公式与函数值域综合，考查了转化与化归思想，属于中档题．
9．（5分）在印度有一个古老的传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人﹣﹣宰相宰相西萨•班•达依尔．国王问他想要什么，他对国王说：“陛下，请您在这张棋盘的第1个小格里，赏给我1粒麦子，在第2个小格里给2粒，第3小格给4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍．请您把这样摆满棋盘上所有的64格的麦粒，都赏给您的仆人吧！”国王觉得这要求太容易满足了，就命令给他这些麦粒．当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了那位宰相的要求．那么，宰相要求得到的麦粒到底有多少粒？下面是四位同学为了计算上面这个问题而设计的程序框图，其中正确的是（）
A．B．
C．D．
【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．
【解答】解：由已知中程序的功能，可得循环变量的初值为1，终值为64，
由于四个答案均为直到条件不满足时退出循环，故循环条件应为n≤64，
而每次累加量构造一个以1为首项，以2为公式的等比数列，
由S n＝2n﹣1得：S n+1＝2n+1﹣1＝2S n+1，
故循环体内S＝1+2S，
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．
10．（5分）若过点P（a，a）与曲线f（x）＝xlnx相切的直线有两条，则实数a的取值范
围是（）
A．（﹣∞，e）B．（e，+∞）C．（0，）D．（1，+∞）
【分析】设切点为（m，mlnm），求出导数，求得切线的斜率，由两点的斜率公式可得
＝，设g（m）＝
，求出导数和单调区间，可得最大值，由题意可得0＜＜，解不等式即可得到所求范围．
【解答】解：设切点为（m，mlnm），f（x）＝xlnx的导数为f′（x）＝1+lnx，
可得切线的斜率为1+lnm，
由切线经过点P（a，a），可得1+lnm＝，
化简可得＝，（*），
由题意可得方程（*）有两解，
设g（m）＝，可得g′（m）＝，
当m＞e时，g′（m）＜0，g（m）递增；
当0＜m＜e时，g′（m）＞0，g（m）递减．
可得g（m）在m＝e处取得最大值，
即有0＜＜，解得a＞e．
故选：B．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查函数方程的转化思想，以及运算能力，属于中档题．
11．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，沿对角线BD将菱形ABCD折
起，使得二面角A﹣BD﹣C的余弦值为，则该四面体ABCD外接球的体积为（）
A．B．8πC．D．36π
【分析】正确作出图形，利用勾股定理建立方程，求出四面体的外接球的半径，即可求出四面体的外接球的体积．
【解答】解：如图所示，取BD中点F，连结AF、CF，
则AF⊥BD，CF⊥BD，∴∠AFC是二面角A﹣BD﹣C的平面角，
过A作AE⊥平面BCD，交CF延长线于E，
∴cos∠AFC＝﹣，cos，AF＝CF＝＝3，
∴AE＝2，EF＝1，
设O为球，过O作OO′⊥CF，交F于O′，作OG⊥AE，交AE于G，
设OO′＝x，∵O′B＝CF＝2，O′F＝＝1，
∴由勾股定理得R2＝O′B2+OO'2＝4+x2＝OG2+AG2＝（1+1）2+（2﹣x）2，
解得x＝，∴R2＝6，即R＝，
∴四面体的外接球的体积为V＝πR3＝＝8π．
故选：B．
【点评】本题考查四面体的外接球的体积的求法，考查四面体、球等基础知识，考查运用求解能力、空间想象能力、探索能力、转化与化归思想、函数与方程思想，是中档题．12．（5分）已知函数f（x）＝e x﹣ln（x+3），则下面对函数f（x）的描述正确的是（）
A．∀x∈（﹣3，+∞），f（x）≥B．∀x∈（﹣3，+∞），f（x）
C．∃x0∈（﹣3，+∞），f（x0）＝﹣1D．f（x）min∈（0，1）
【分析】本题首先要对函数f（x）＝e x﹣ln（x+3）进行求导，确定f′（x）在定义域上的单调性为单调递增函数，然后再利用当x∈（a，b）时，利用f′（a）f′（b）＜0确
定导函数的极值点x0∈（﹣1，﹣）从而．得到x＝x0时是函数f（x）的最小值点．【解答】解：因为函数f（x）＝e x﹣ln（x+3），定义域为（﹣3，+∞），所以f′（x）
＝e x﹣，
易知导函数f′（x）在定义域（﹣3，+∞）上是单调递增函数，
又f′（﹣1）＜0，f′（﹣）＞0，
所以f′（x）＝0在（﹣3，+∞）上有唯一的实根，不妨将其设为x0，且x0∈（﹣1，﹣），
则x＝x0为f（x）的最小值点，且f′（x0）＝0，即＝，两边取以e为底的对数，得x0＝﹣ln（x0+3）
故f（x）≥f（x0）＝﹣ln（x0+3）＝﹣ln（x0+3）＝+x0，因为x0∈（﹣1，
﹣），所以2＜x0+3，
故f（x）≥f（x0）＝＞2+＝﹣，即对∀x∈（﹣3，+∞），都有
f（x）＞﹣．
故选：B．
【点评】本题表面考查命题的真假判断，实际上是考查函数的求导，求最值问题，准确计算是基础，熟练运用知识点解决问题是关键．
二、填空題（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）将函数f（x）＝2sin（2x+φ）（φ＜0）的图象向左平移个单位长度，得到
偶函数g（x）的图象，则φ的最大值是．
【分析】根据三角函数图象平移法则，结合函数的奇偶性求出φ的最大值．
【解答】解：函数f（x）＝2sin（2x+φ）（φ＜0）的图象向左平移个单位长度，
得f（x+）＝2sin[2（x+）+φ]＝2sin（2x+φ+）的图象，
∴g（x）＝2sin（2x++φ）；
又g（x）是偶函数，
∴+φ＝+kπ，k∈Z；
∴φ＝﹣+kπ，k∈Z；
又φ＜0，∴φ的最大值是﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．
14．（5分）已知a＞0，b＞0，（ax+）6展开式的常数项为，则a+2b的最小值为2．
【分析】写出二项展开式的通项，由x的指数为0求得r值，可得ab＝，再由基本不等式求a+2b的最小值．
【解答】解：（ax+）6展开式的通项为x6﹣2r，
由6﹣2r＝0，得r＝3．
∴，即．
∴a+2b，当且仅当a＝2b，即a＝1，b＝时，取“＝”．
∴a+2b的最小值为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查二项式定理的应用，考查二项式系数的性质，训练了利用基本不等式求最值，是基础题．
15．（5分）已知函数f（x）＝，若f（x）﹣（m+2）x≥0，则实数m 的取值范围是[﹣2，1]．
【分析】由题意可得f（x）≥（m+2）x，分别作出函数f（x）和直线y＝（m+2）x的图象，由直线与曲线相切于原点时，求出m＝1，通过图象观察，即可得到所求m的范围．【解答】解：若f（x）﹣（m+2）x≥0，
即有f（x）≥（m+2）x，
分别作出函数f（x）和直线y＝（m+2）x的图象，
由直线与曲线相切于原点时，
（x2+3x）′＝2x+3，
则m+2＝3，解得m＝1，
由直线绕着原点从x轴旋转到与曲线相切，满足条件．
即有0≤m+2≤3，
解得﹣2≤m≤1．
故答案为：[﹣2，1]．
【点评】本题考查函数恒成立问题的解法，注意运用数形结合的思想方法，考查运算能力，属于中档题
16．（5分）设过抛物线y2＝2px（p＞0）上任意一点P（异于原点O）的直线与抛物线y2＝8px（p＞0）交于A，B两点，直线OP与抛物线y2＝8px（p＞0）的另一个交点为Q，
则＝3
【分析】联立方程组求出P，Q的坐标，计算OP，PQ的比值得出结论．
【解答】解：设直线OP方程为y＝kx（k≠0），
联立方程组，解得P（，），
联立方程组，解得Q（，），
∴|OP|＝＝，|PQ|＝＝，
∴＝＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了抛物线的性质，属于中档题．
三、解答題：本大题共6个小題，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）若数列{a n}是公差为2的等差数列，数列{b n}满足b1＝1，b2＝2，且a n b n+b n ＝nb n+1．
（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{c n}满足c n＝，数列{c n}的前n项和为T n，若不等式（﹣1）nλ＜T n+对一切n∈N*，求实数λ的取值范围．
【分析】（I）数列{b n}满足b1＝1，b2＝2，且a n b n+b n＝nb n+1．可得a1+1＝2，解得a1．利用等差数列的通项公式可得a n．
可得2nb n＝nb n+1，化为2b n＝b n+1，利用等比数列的通项公式可得b n．
（Ⅱ）设数列{c n}满足c n＝＝＝，利用“错位相减法”可得数列{c n}的前n项和为T n，再利用数列的单调性与分类讨论即可得出．
【解答】解：（I）∵数列{b n}满足b1＝1，b2＝2，且a n b n+b n＝nb n+1．
∴a1+1＝2，解得a1＝1．
又数列{a n}是公差为2的等差数列，
∴a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1．
∴2nb n＝nb n+1，化为2b n＝b n+1，
∴数列{b n}是等比数列，公比为2．
∴b n＝2n﹣1．
（Ⅱ）设数列{c n }满足c n ＝＝＝，
数列{c n }的前n 项和为T n ＝1++…+，
∴
＝
+…+
+
，
∴＝1+++…+﹣＝﹣＝2﹣，
∴T n ＝4﹣
．
不等式（﹣1）n λ＜T n +，化为：（﹣1）n λ＜4﹣
，
n ＝2k （k ∈N *）时，λ＜4﹣
，∴λ＜3．
n ＝2k ﹣1（k ∈N *）时，﹣λ＜4﹣
，∴λ＞﹣2．
综上可得：实数λ的取值范围是（﹣2，3）．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、数列的单调性、数列递推关系、“错位相减法”，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题． 18．（12分）如图，在五面体ABCDEF 中，四边形EDCF 是正方形，AD ＝DE ，∠ADE ＝90°，∠ADC ＝∠DCB ＝120°． （1）证明：平面ABCD ⊥平面EDCF ； （2）求直线AF 与平面BDF 所成角的正弦值．
【分析】（1）推导出AD ⊥DE ，DC ⊥DE ，从而DE ⊥平面ABCD ．由此能证明平面ABCD ⊥平面EDCF ．
（2）以D 为原点，以DA 为x 轴，建立空间直角坐标系D ﹣xyz ，利用向量法能求出直线AF 与平面BDF 所成角的正弦值．
【解答】证明：（1）因为AD ⊥DE ，DC ⊥DE ，AD 、CD ⊂平面ABCD ，且AD ∩CD ＝D ，
所以DE ⊥平面ABCD ．
又DE ⊂平面EDCF ，故平面ABCD ⊥平面EDCF ． 解：（2）由已知DC ∥EF ，所以DC ∥平面ABFE ． 又平面ABCD ∩平面ABFE ＝AB ，故AB ∥CD ． 所以四边形ABCD 为等腰梯形．
又AD ＝DE ，所以AD ＝CD ，由题意得AD ⊥BD ， 令AD ＝1，
如图，以D 为原点，以DA 为x 轴， 建立空间直角坐标系D ﹣xyz ， 则D （0，0，0），A （1，0，0），
F （﹣，，1），B （0，
，0），
∴
＝（，﹣
，﹣1），
＝（0，
，0），
＝（﹣，
，1）．
设平面BDF 的法向量为＝（x ，y ，z ），
则，取x ＝2，得＝（2，0，1），
cos ＜，＞＝＝＝．
设直线与平面BDF 所成的角为θ，则sin θ＝．
所以直线AF 与平面BDF 所成角的正弦值为
．
【点评】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
19．（12分）经销商第一年购买某工厂商品的单价为a（单位：元），在下一年购买时，购买单价与其上年度销售额（单位：万元）相联系，销售额越多，得到的优惠力度越大，具体情况如表：
为了研究该商品购买单价的情况，为此调查并整理了50个经销商一年的销售额，得到下面的柱状图．
已知某经销商下一年购买该商品的单价为X（单位：元），且以经销商在各段销售额的频率作为概率．
（1）求X的平均估计值．
（2）该工厂针对此次的调查制定了如下奖励方案：经销商购买单价不高于平均估计单价的获得两次抽奖活动，高于平均估计单价的获得一次抽奖活动．每次获奖的金额和对应
的概率为
记Y （单位：元）表示某经销商参加这次活动获得的奖金，求Y 的分布列及数学期望.. 【分析】（1）由统计表和柱状图能得到X 的平均估计值．
（2）购买单价不高于平均估计单价的概率为0.24+0.12+0.04＝0.5＝．Y 的取值为5000，10000，15000，20000．分别求出相应的概率，由此能求出Y 的分布列和E （Y ）． 【解答】解：（1）由题可知：
X 的平均估计值为：
a ×0.2+0.9a ×0.36+0.85a ×0.24+0.8a ×0.12+0.75a ×0.1+0.7a ×0.04＝0.873a ． （2）购买单价不高于平均估计单价的概率为0.24+0.12+0.04＝0.5＝． Y 的取值为5000，10000，15000，20000． P （Y ＝5000）＝，
P （Y ＝10000）＝＝
， P （Y
＝15000）＝
＝，
P （Y ＝20000）＝＝
．
∴Y 的分布列为：
E （Y ）＝
+20000×
＝9375（元）．
【点评】本题考查学生对频率分布直方图的理解以及分布列的相关知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查分类与整合思想、必然与或然思想、化归与转化思想．
20．（12分）如图，已知椭圆的离心率为，E的左顶点为A、
上顶点为B，点P在椭圆上，且△PF1F2的周长为．
（I）求椭圆的方程；
（II）设C，D是椭圆E上两不同点，CD∥AB，直线CD与x轴、y轴分别交于M，N
两点，且的取值范围．
【分析】（I）由题意知：，由此能求出椭圆方程．
（II）由A（﹣2，0），B（0，1），知．由CD∥AB，设直线CD的方程为，
由已知，得M（﹣2m，0），N（0，m），设C（x1，y1），D（x2，y2），由，
得x2+2mx+2m2﹣2＝0，再由根的判别式和韦达定理知，同理，，由此能求出λ+μ∈（﹣∞，﹣2]∪（2，+∞）．
【解答】解：（I）由题意知：，
∴a2＝4，b2＝1，
∴椭圆方程为．
（II）∵A（﹣2，0），B（0，1），∴．
由CD∥AB，设直线CD的方程为，
由已知，得M（﹣2m，0），N（0，m），
设C（x1，y1），D（x2，y2），
由，得x2+2mx+2m2﹣2＝0，
△＝（2m）2﹣4（2m2﹣2）＞0，∴m2＜2，
∴x1+x2＝﹣2m，x1x2＝2m2﹣2，
由得（x1+2m，y1）＝λ（﹣x1，m﹣y1），
∴x1+2m＝﹣λx1，即，
同理，由，得，
∴＝，
由m2＜2，得，
∴λ+μ∈（﹣∞，﹣2]∪（2，+∞）．
【点评】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．
21．（12分）已知f′（x）为函数f（x）的导函数，f（x）＝e2x+2f（0）e x﹣f′（0）x．（1）求f（x）的单调区间；
（2）当x＞0时，af（x）＜e x﹣x恒成立，求a的取值范围．
【分析】（1）求出函数的导数，计算f（0），求出f′（0）的值，求出函数的单调区间即可；
（2）令g（x）＝af（x）﹣e x+x，求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的最值，从而确定a的范围即可．
【解答】解：（1）由f（0）＝1+2f（0），得f（0）＝﹣1．
因为f′（x）＝2e2x﹣2e x﹣f′（0），
所以f′（0）＝2﹣2﹣f′（0），解得f′（0）＝0．
所以f（x）＝e2x﹣2e x，f′（x）＝2e x（e x﹣1），
当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＜0，则函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减；
当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，则函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．
（2）令g（x）＝af（x）﹣e x+x＝ae2x﹣（2a+1）e x+x，
根据题意，当x∈（0，+∞）时，g（x）＜0恒成立．
g′（x）＝（2ae x﹣1）（e x﹣1）．
①当0＜a＜，x∈（﹣ln2a，+∞）时，g′（x）＞0恒成立，
所以g（x）在（﹣ln2a，+∞）上是增函数，且g（x）∈（g（﹣ln2a），+∞），
所以不符合题意；
②当a≥，x∈（0，+∞）时，g′（x）＞0恒成立，
所以g（x）在（0，+∞）上是增函数，且g（x）∈（g（0），+∞），所以不符合题意；
③当a≤0时，因为x∈（0，+∞），所有恒有g′（x）＜0，
故g（x）在（0，+∞）上是减函数，
于是“g（x）＜0对任意x∈（0，+∞）都成立”的充要条件是g（0）≤0，
即a﹣（2a+1）≤0，解得：a≥﹣1，故﹣1≤a≤0．
综上，a的取值范围是[﹣1，0]．
【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题．
请考生在第22、23题中任选多做则按所做第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。

[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），圆C
的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣3）2＝4．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求直线l和圆C的极坐标方程；
（2）若射线θ＝与l的交点为M，与圆C的交点为A，B，且点M恰好为线段AB的中点，求a的值．
【分析】（1）直线l的参数方程消去t可得直线l的普通方程，将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入，能求出直线l的极坐标方程．由圆的标准方程能求出圆C的极坐标方程．
（2）设M（），A（），B（ρ3，）．联立
，得，从而ρ2+ρ3＝3+3，
进而M（，）．把M（，）代入，能求出a的值．
【解答】解：（1）∵直线l的参数方程为（t为参数），
∴在直线l的参数方程中消去t可得直线l的普通方程为x﹣y﹣＝0，
将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入以上方程中，
得到直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ﹣＝0．
∵圆C的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣3）2＝4，
∴圆C的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ﹣6ρsinθ+14＝0．
（2）在极坐标系中，由已知可设M（），A（），B（ρ3，）．
联立，得，
∴ρ2+ρ3＝3+3．
∵点M恰好为AB的中点，
∴，即M（，）．
把M（，）代入，
得×﹣＝0，
解得a＝．
【点评】本题考查直线和圆的极坐标方程的求法，考查实数值的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．[选修4一5：不等式选讲]
23．已知f（x）＝|mx+3|﹣|2x+n|．
（1）当m＝2，n＝﹣1时，求不等式f（x）＜2的解集；
（2）当m＝1，n＜0时，f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于24，求n的取值范围．
【分析】（1）代入m，n的值，得到关于x的不等式组，解出即可；
（2）求出A，B，C的坐标，表示出三角形的面积，得到关于n的不等式，解出即可．【解答】解：（1）当m＝2，n＝﹣1时，f（x）＝|2x+3|﹣|2x﹣1|，
不等式f（x）＜2等价于或或
，
解得：x＜﹣或﹣≤x＜0，即x＜0．
所以不等式f（x）＜2的解集是（﹣∞，0）．
（2）由题设可得，f（x）＝|x+3|﹣|2x+n|＝，
所以函数f（x）的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为：
A（﹣，0），B（3﹣n，0），C（﹣，3﹣），
所以三角形ABC的面积为（3﹣n+）（3﹣）＝，
由＞24，解得：n＞18或n＜﹣6．
【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．。