山东省潍坊市高三数学11月质量检测 理

山东省潍坊市2011届高三11月质量检测数学（理）试题
本试卷共4页，分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共 150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
注意事项:
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.
2．每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净
后，再改涂在其它答案标号.
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的. 1．设全集U =R ，集合}02|{2
<-=x x x A ,{|1}B x x =>，则集合A U ðB = （ ）
A ．}10|{<<x x
B ．}10|{≤<x x
C ．}20|{<<x x
D ．}1|{≤x x 2．下列函数图象中不正确的是
（ ）
3．已知点(tan ,cos )P αα在第三象限, 则角α的终边在
（ ） A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 4．式子2
20
x dx ⎰
的值是
（ ）
A ．
23
B ．3
C ．
8
3
D ．8
5．给出如下四个命题： ① 若“p 且q ”为假命题，则p 、q 均为假命题； ②命题“若122,->>b
a b a 则”的否命题为“若a b ≤，则221a
b
≤-”;
③ “∀x ∈R ，x 2＋1≥1”的否定是 “∃x ∈R ，x 2＋1≤1”;
④ 在ABC ∆中，“A B >”是“sin sin A B >”的充要条件． 其中不正确．．．的命题的个数是 （ ）
A ．4
B ．3
C ． 2
D ． 1
6．三个数7.06，67.0，6log 7.0的大小顺序是
（ ）
A ．7.07.0666log 7.0<<
B ．6log 67.07.07.06<<
C ．67.07.07.066log <<
D ．7.067.067.06log <<
7．已知实数x 、y 满足0401x y x y x +⎧⎪
-+⎨⎪⎩
≥≥≤，则y x +2的最小值是
（ ）
A ．3-
B ．2-
C ．0
D ．1
8．函数sin 2y x =的图象经过适当变换可以得到cos 2y x =的图象，则这种变换可以是（ ） A ．沿x 轴向右平移4π
个单位 B ．沿x 轴向左平移
4π
个单位
C ．沿x 轴向左平移2
π
个单位
D ．沿x 轴向右平移2
π
个单位
9．若曲线x x x f -=4)(在点P 处的切线平行于直线03=-y x ，则点P 的坐标为（ ） A ．（1，0） B ．（1，5） C ．（1，－3） D ．（－1，2）
10．如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C,测出
AC 的距离为50m ，∠ ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A 、B 两点的距离为 （ ） A
．m B
．m
C
．m
D
m
11．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(0x R A ∈>，，
02
π
ωϕ><，）的图象（部分）如图所
示，则()x f 的解析式是（ ） A ．()()2sin 3f x x x ππ⎛⎫
=+∈ ⎪⎝
⎭R
B ．()()2sin 26f x x x ππ⎛⎫
=+∈ ⎪⎝
⎭R
C ．()()2sin 6f x x x ππ⎛⎫
=+
∈ ⎪⎝
⎭
R
D ．()()2sin 23f x x x ππ⎛⎫
=+∈ ⎪⎝
⎭R
12．已知函数(1)f x +是偶函数，当121x x <<时，[21()()f x f x -]（21x x -）>0
恒成立，
设a f =（-
1
2
）,(2)b f =,(3)c f =, 则a ,b ,c 的大小关系为 （ ） A ．b a c << B ．c b a << C ．b c a << D ．a b c <<
第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）
注意事项:
1． 第Ⅱ卷包括填空题和解答题共两个大题．
2．第Ⅱ卷所有题目的答案考生需用黑色签字笔答在 “数学”答题卡指定的位置． 二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分．
13．函数1sin 3)(++=x x x f ()x ∈R ，若2)(=t f ，则)(t f -的值为 ． 14．已知1
tan ,4
=
α则2cos 2sin αα+的值为 ． 15．已知⎩⎨⎧>+-≤=0
,1)1(0,cos )(x x f x x x f π，则4
()3f 的值为__________．
16．下列命题:
① 设a ，b 是非零实数，若a ＜b ,则b a ab 2
2
<; ② 若0a b <<,则11
a b
>; ③ 函数2
)3(22
2++=
x x y 的最小值是4； ④ 若x , y 是正数，且1
4
1x y +=，则xy 有最小值16．
其中正确命题的序号是 ．
三、解答题:本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）
设函数()22cos 2f x x x =．
（I ）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间； （Ⅱ）当0,
3x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，求()f x 的最大值．
18．（本小题满分12分）
若关于x 的不等式[(3)](2)0x a x a ---<的解集是A ,2
ln(32)y x x =-+-的定义域是
B ,若A B A =,求实数a 的取值范围．
19．（本小题满分12分）
在ABC ∆中，a 、b 、c 分别为A ∠、B ∠、C ∠的对边，已知
tan tan 1tan tan A B
A B
+=-⋅
c =2
． （I ）求C ∠的大小； （Ⅱ）求a b +的值． 20．（本小题满分12分）
设命题p ：函数()f x ＝log a x 在(0,)+∞上单调递增；q ：关于x 的方程x 2＋2x ＋log a 3
2
＝0
无实数解．若“p ∨q ”为真，“p q ∧”为假，求实数a 的取值范围．
21．（本小题满分12分） 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的
能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：C （x ）=
(010),35
k
x x ≤≤+若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f （x ）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． （Ⅰ）求k 的值及f （x ）的表达式; （Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f （x ）达到最小，并求最小值．
22．（本小题满分14分） 已知函数22()ln ()f x x a x ax a =-+∈R ． （Ⅰ）当1a =时，证明函数()f x 只有一个零点；
（Ⅱ）若函数()f x 在区间()1,+∞上是减函数，求实数a 的取值范围．
参考答案
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分． BDBCC DBBAA CA
二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分． 13．0 14．
1617． 15．3
2
16．②④ 三、解答题:本大题共6小题，共74分．
17．（本小题满分12分）
解: （I ）
(
)22cos 22sin 21,6f x x x x π⎛
⎫=+=++ ⎪⎝
⎭……2分
∴函数()f x 的最小正周期22
T π
π==．…………………………4分 由2222
6
2
k x k π
π
π
ππ-
≤+
≤+ ,
,3
6
k x k k Z π
π
ππ-
≤≤+
∈,
所以函数的单调递增区间是 [,]()36
k k k Z π
π
ππ-+∈．……………………6分 （Ⅱ）当0,
3x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时， 52[,]666
x π
ππ
+
∈， ∴当26x π+
2π=,即6
x π
=,()f x 的最大值是3．…………………………12分 18．（本小题满分12分）
解:由2
32x x -+->0得12x <<,即(1,2)B =, ……………………………3分
,A B A A B =∴⊇，
(1)
若3-a <2a ,即a >1时，A =（3-a ,2a ）
(3,2)(1,2)a a -⊇
13122a a a >⎧⎪
∴-≤⎨⎪≥⎩
2a ∴≥ ……………………………6分 （2）若3-a =2a ,即a =1时，A =φ,不合题意； ……………………………8分 （3）若3-a >2a ，即a <1时，A =（2a ,3-a ）,
(2,3)(1,2)a a -⊇，
1
2132
a a a <⎧⎪
∴≤⎨⎪-≥⎩
12a ∴≤ ……………………………11分
综上，实数a 的取值范围是1
2.2
a a ≤≥或 ……………………………12分 19．（本小题满分12分）
解:（I ）
tan tan tan()1tan tan A B
A B A B
++=
=-…………………2分
又tan tan[()]tan()C A B A B π=-+=-+
∴tan C = ……………………………………4分 又
0C π<<，∴.3
C π
∠=
……………………………………6分
（Ⅱ）由题意可知：11sin sin 22342
ABC S ab C ab ab π∆=
===
， ∴ 6.ab = ………………………………………………9分
由余弦定理可得：22222cos ()3c a b ab C a b ab =+-=+- ………10分
∴222()33625a b ab c +=+=⨯+=， 又
0,0a b >>，
∴ 5.a b += ………………………………………12分
20．（本小题满分12分）
解：当命题p 是真命题时，应有a >1；………………………………2 分
当命题q 是真命题时，关于x 的方程x 2＋2x ＋log a 3
2＝0无解，
所以Δ＝4－4log a 32<0，解得1<a <3
2 ． ………………………………5分
由于“p ∨q ”为真，所以p 和q 中至少有一个为真，………………7分
又“p q ∧”为假，则p 和q 中至少有一个为假，
故p 和q 中一真一假．………………………………………………9分 p 假q 真时，a 无解；p 真q 假时，3
2
a ≥ 综上所述，实数a 的取值范围是3
2
a ≥．……………………………12分 21．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）设隔热层厚度为xcm ，由题设，每年能源消耗费用为()35
k
C x x =+．
再由(0)8C =，得40k =， 因此40
()35
C x x =
+． ……………………3分
而建造费用为1()6C x x = ………………………………………4分 最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
140800
()20()()2066(010)3535
f x C x C x x x x x x =+=⨯
+=+≤≤++ ……6分
（Ⅱ）2
2400
'()6(35)
f x x =-
+， …………………………8分
令'()0f x =，即
2
2400
6(35)x =+．
解得 5x =，25
3
x =-
（舍去）． ……………………………………10分 当 05x <<时，'()0f x <， 当510x <<时， '()0f x >，
故5x =是()f x 的最小值点，对应的最小值为800
(5)6570155
f =⨯+
=+． 当隔热层修建5cm 厚时， 总费用达到最小值为70万元． ………………12分 22．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）当1a =时，2()ln f x x x x =-+，其定义域是(0,)+∞ ………………………1分
∴ 2121
()21x x f x x x x --'∴=-+=- ………………………2分
令()0f x '=，即2210x x x ---
=，解得1
2x =-或1x =． 0x >Q ，∴ 1
2
x ∴=-舍去．
………………………4分
当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<．
∴ 函数()f x 在区间()01,上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减 ∴ 当x =1时，函数()f x 取得最大值，其值为2
(1)ln1110f =-+=． 当1x ≠时，()(1)f x f <，即()0f x <．
∴ 函数()f x 只有一个零点． ………………………6分
（Ⅱ）显然函数22
()ln f x x a x ax =-+的定义域为(0,)+∞
∴ 222
121(21)(1)()2a x ax ax ax f x a x a x x x
-++-+-'=-+==……………8分
①当0a =时，1
()0,()f x f x x
'=
>∴在区间()1,+∞ 上为增函数，不合题意………9分
②当0a >时，()()00f x x '≤>等价于()()()21100ax ax x +-≥>，即1
x a
≥
此时()f x 的单调递减区间为1,a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
．
依题意，得11,
0.
a a ⎧≤⎪⎨⎪>⎩解之得1a ≥．
…………………11分
当0a <时，()()00f x x '≤>等价于()()()21100ax ax x +-≥>，即1
2x a
≥-
此时()f x 的单调递减区间为12,a ⎡⎫
-
+∞⎪⎢⎣⎭
，
∴1
120
a a ⎧-
≤⎪⎨⎪<⎩ 得12a ≤- ………………………13分
综上，实数a 的取值范围是
1
(,][1,)2
-∞-+∞U ………………………14分
法二：
①当0a =时，1
()0,()f x f x x '=
>∴
在区间()1,+∞上为增函数，不合题意……………9分
②当0a ≠时，要使函数()f x 在区间()1,+∞上是减函数，
只需()0f x '≤在区间()1,+∞上恒成立，
0x >∴只要22210a x ax --≥恒成立，
2
214210
a
a a a ⎧≤⎪
∴⎨⎪--≥⎩
解得1a ≥或12a ≤- ………………………13分 综上，实数a 的取值范围是
1
(,][1,)2
-∞-+∞U ………………………14分。