2.1 随机抽样

练习1：某校高中三年级的295名学生已经编号为1，
2，…295，为了了解学生的学习情况，要按1：5的比 例抽取一个样本，用系统抽样的方法进行抽取，并写 出过程。
解:样本容量为295÷5=59.
1、确定分段间隔k=5,将编号分段 1~5,6~10,…,291~295; 2、采用简单随机抽样的方法，从第一组5名学 生中抽出一名学生，如确定编号为3的学生。 3、依次取出的学生编号为3,8,13,…,288,293 , 这样就得到一个样本容量为59的样本.
第三步，从选定的数7开始向右读（读数的方向也
可以是向左、向上、向下等），得到一个三位数 785，由于785＜799，说明号码785在总体内， 将它取出；继续向右读，得到916，由于916＞ 799，将它去掉，按照这种方法继续向右读，又 取出567，199，507，…，依次下去，直到样本 的60个号码全部取出，这样我们就得到一个容量 为60的样本。
第三步:从号码为1~10的第一个间隔中用简单随机抽样 的方法确定第一个个体编号,假如为6号; 第四步:从第6号开始,每隔10个号码抽取一个,得到 6,16,26,36,…,496.这样就得到一个样本容量为 50的样本.
一.系统抽样的定义： 要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本， 可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制 定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需 要的样本，这种抽样的方法叫做系统抽样。
【探究】：某学校为了了解高一年级学生对教师 教学的意见，打算从高一年级500名学生中抽取 50名进行调查，除了用简单随机抽样获取样本 外，你能否设计其他抽取样本的方法？
我们按照下面的步骤进行抽样: 第一步:将这500名学生从1开始进行编号;
第二步:确定分段间隔k,对编号进行分段.由于 k=500/50=10,这个间隔可以定为10;
London Roosevelt
不合理、不公平
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阅读54页,回答下列问题
1:检验牛奶的细菌超标情况,可不可以普查?为什么? 2:①抽取样本过程中,最主要的原则是什么? ②这次抽样中,抽样所涉及的总体和变量是什么? ③如何得到高质量的样本?根本的出发点是什么?
定义:设一个总体含有N个个体，从中逐个不放
（1）将总体的每个个体编号; （2）在随机数表中任选一个数(确定这 个数的行数和列数); （3）从选定的数开始按一定的方向读数, 把适合总体编号的每个号码依次取出,直 到达到样本容量为止.
思考2：怎样利用随机数表产生样本呢？下
面通过例子来说明，假设我们要考察某公司生 产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从 800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数 表抽取样本时，可以按照下面的步骤进行。 第一步，先将800袋牛奶编号，可以编为000，
001，…799。 第二步，在随机数表中任选一个数，例如选出第8 行第7列的数7（为了便于说明，下面摘取了附表1的 第6行至第10行）。
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16 22 77 94 39 84 42 17 53 31 63 01 63 78 59 33 21 12 34 29 57 60 86 32 44 87 35 20 96 43 21 76 33 50 25 12 86 73 58 07 15 51 00 13 42 90 52 84 77 27
回地抽取n个个体的样本(n≤N)，如果每次抽取时 总体内的各个个体被抽取的机会都相等，这种抽 取方法就叫作简单随机抽样。 我们所要研 从总体中抽取的一 部分个体叫作总体 究的对象的 的一个样本。样本 全体，叫作 中个体的数量叫作 总体。
样本的容量。
一般地,设一个总体含有N个个体,从中逐个不 放回地抽取n个个体作为样本(n≤N),如果每次抽 取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等,就把 这种抽样方法叫做简单随机抽样. 这样抽取的样本,叫做简单随机样本。
总体中 的个体 数较多 总体由 差 57 24 55 06 88 16 95 55 67 19 78 64 56 07 82 09 47 27 96 54 84 26 34 91 64 83 92 12 06 76 44 39 52 38 79 99 66 02 79 54 08 02 73 43 28
17 37 93 23 78 77 04 74 47 67 98 10 50 71 75 52 42 07 44 38 49 17 46 09 62
【说明】简单随机抽样必须具备下列特点：
(1)总体个数 N有限。 (2)样本容量n≤N . (3)简单随机抽样是从总体中逐个抽取的。 (4)简单随机抽样是一种不放回抽样。 (5)简单随机抽样的每个个体入样的可能性相等， 均为n/N.
抽签法就是把总体中的N个个体编号,把号码写在 思考 1 ：假设要在我们班 55 个同学选派 号签上,将号签放在一个容器中,搅拌均匀后,每次 10 个人去参加某项活动，为了体现选派 从中抽取一个号签 ,连续抽取n次,就得到一个容量 为n的样本. 的公平性，你有什么办法确定具体人选 ? 【说明】抽签法的一般步骤： (1)将总体的所有N个个体从0到(N-1)编号; (2)准备N个号签分别标上这些编号,将号签放在 容器中搅拌均匀后,每次抽取一个号签,不放回地 连续取n次; (3)将取出的n个号签上的号码所对应的n个个体 作为样本.
新浪微博上有5000多人转发了下面这条微博： 【臀部越大越聪明】美国心理学家史特纳斯发 现，这些聪明无比的杰出人物都是“宽臀族”， 由此推断出臀部大小与智商强弱成正比。在 276名成年人参加的智力测验中，有152名臀 部较大，这些“宽臀族”平均得分为137分， 比臀部尺寸小的平均得分106高出31分。研究 表明，确实人的臀部越大智力越高。
练习2、从编号为1～50的50枚最新研制的 某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射 实验，若采用每部分选取的号码间隔一样 的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号 可能是（ B） A．5，10，15，20，25 B、3，13，23，33，43 C、1， 2， 3， 4， 5 D、2， 4， 6， 16，32
〖说明〗(1)分段间隔的确定:
剔除几个个体,使得总体中剩余的个体数能被样
N 本容量整除.通常取k= n
N N 当 是整数时,取k= ; n n N 当 不是整数时,可以先从总体中随机地 n
(2)从系统抽样的步骤可以看出，系统抽样 是把一个问题划分成若干部分分块解决，从而 把复杂问题简单化，体现了数学转化思想。
方法 类别
共同 特点
抽样特征 从总体中 逐个不放 回抽取
相互联系
适应范围 总体中 的个体 数较少
简单随 机抽样
系统 抽样
分层 抽样
抽样过 程中每 将总体分成 个个体 均衡几部分， 被抽取 按规则抽取 的概率 相等； 将总体分 不放回 成几层， 抽取 按比例分 层抽取
用简单随 机抽样抽 取起始号 码 用简单随 机抽样或 系统抽样 对各层抽 样
缺点：当总体的个体数很多，需要的样本容量也很
大时，此法任不方便。
例：某车间工人加工一种轴100件,为了了解这种 轴的直径,要从中抽取10件轴在同一条件下测量, 如何采用简单随机抽样的方法抽取样本？ 解法1:（抽签法） 第一步:将100件轴编号为1,2,…,100; 第二步:做好大小、形状相同的号签,分别写 上这100个数; 第三步:将这些号签放在一个容器中进行均 匀搅拌,接着连续不放回地抽取10个号签,就 得到一个容量为10的样本.
当已知总体由差异明显的几部分组成 时，为了使样本更充分地反映总体的 情况，常将总体分成互不交叉的几部 分，然后按照各部分所占的比例，从 各层独立的抽取一定数量的个体，将 各层取出的个体合在一起作为样本， 这种抽样叫做分层抽样，其中所分成 各部分叫做层。
分层抽样的操作步骤: 第一步，计算样本容量与总体的个体数 之比. 第二步，将总体分成互不交叉的层，按 比例确定各层要抽取的个体数. 第三步，用简单随机抽样或系统抽样在 各层中抽取相应数量的个体. 第四步，将各层抽取的个体合在一起， 就得到所取样本.
①给总体中的每个个体编号； ②在随机数表中任选一个数（设定这个数的行数 和列数）； ③从选定的数开始按一定的方向（向左、向右、 向上、向下）读数，把适合总体编号的每个号码 依次取出，直到满足样本容量的数目为止； ④根据选定 的号码抽出样本。
优点：简单易行，解决了抽签法当总体中的个体数
较多时制签难的问题。
情境: 在1936年美国总统选举前，一份颇有名气的杂志
的工作人员做了一次民意测验，调查Alf London 和 Franklin Delano Roosevelt中谁将当选下一届总统。为 了了解公众意向，调查者通过电话簿和车辆登记簿上的 名单给一大批人发了调查表（注意在1936年电话和汽车 只有少数富人拥有），通过分析收回的调查表，显示 Alf London非常受欢迎。于是此杂志预测Alf London将在选 举中获胜。 实际选举结果正好相反，最后Franklin Delano Roosevelt在选举中获胜。其数据如下： 候选人 预测结果 57 选举结果 38
【说明】当总体容量N较大时，可采用系统抽样。
二、从容量为N的总体中抽取容量为n的样本,用 系统抽样的一般步骤为: （1）将总体中的N个个体编号.有时可直接利用 个体自身所带的号码,如学号、准考证号、门牌 号等； （2）将整体按编号进行分段，确定分段间隔 N k＝ ([x]表示不超过x的最大整数). n （3）在第一段用简单随机抽样确定起始个体的 编号L（L∈N,L≤k）。 （4）按照一定的规则抽取样本，通常是将起始 编号L加上间隔k得到第2个个体编号L+k，再加上 K得到第3个个体编号L+2K，这样继续下去，直到 获取整个样本.
例：某车间工人加工一种轴100件,为了了解这种 轴的直径,要从中抽取10件轴在同一条件下测量, 如何采用简单随机抽样的方法抽取样本？
解法2:（随机数表法） 第一步:将100件轴编号为00,01,…,99; 第二步:在随机数表中任选一数,例如第21 行第1列的数6; 第三步:从选定的数6开始向右读,依次取 出68,34,30,13,70,55,74,77,40,44这10个编 号,这10件即为所要抽取的样本.
练习：
1、某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵．为 调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个 容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为（ C ） A、30 B、25 C、20 D、15 2、 某单位共有老、中、青职工430人,其中青年职工 160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍。为解 职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽 取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职 工人数为（B） （A）9 （B）18 （C）27 (D) 36