第五章恒定磁场

的磁通为零。
与电流线一样，磁通密度线也是处处闭合的，这种特性称 为磁通连续性原理。
11
电磁场与电磁波
恒定磁场
由旋度定理获知 l B dl S ( B)dS
再考虑到 I SJ dS 及 l B dl 0 I ，求得
S ( B 0J ) dS 0
得
B 0J
此式表明，真空中某点磁通密度的旋度等于该点的 电流密度与真空磁导率的乘积。
4π l r r
B(r) 0
4π
S
J
S
(r)(r r r3
r
)
dS
B(r) 0
4π
Idl(r r) l r r 3
16
电磁场与电磁波
恒定磁场
对于某些分布特殊的恒定磁场，根据安培环路定 律计算磁通密度将十分简便。
l B dl 0 I
但是，必须找到一条封闭曲线，曲线上各点的磁 通密度大小相等，且磁通密度方向与该曲线的切 线方向一致，那么上式的矢量积分变为标量积分，
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电磁场与电磁波
恒定磁场
亚铁磁性。一种金属氧化物的磁化现象比 铁磁介质稍弱一些，但剩磁小，且电导率很低， 这类介质称为亚铁磁介质。例如铁氧体等。
单位体积中磁矩的矢量和称为磁化强度，
以 M 表示，即
N
mi
M i1 V
式中 mi 为 V中第 i 个磁偶极子具有的磁矩。
V为物理无限小体积。
33
电磁场与电磁波
15
电磁场与电磁波
恒定磁场
电流可以分布在体积中，表面上或细导线中。
面分布的电流称为表面电流，表面电流密度 JS
的单位为 A/m。 各种电流之间的关系为 JdV JSdS Idl 。
面电流和线电流产生的矢量磁位及磁通密度分别为
A(r) 0 JS (r) dS
4π S r r
A(r) 0 Idl
磁场。
21
电磁场与电磁波
恒定磁场
例2 计算半径为a ，电流为 I 的小电流环产生的
磁通密度。
z
解 取球坐标系，如图所
r
r r'
'
a
r' e'
x
示。由于结构对称，场量
y一定与 无关。
为了计算方便起见，令所求的场点位于xz 平面， 即 = 0 平面内。
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电磁场与电磁波
恒定磁场
经过一系列演算，求得
Φ S ( A) dS
再利用旋度定理，得 Φ l Adl
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电磁场与电磁波
在无源区中，J ，0 则 B 0
令
B 0m
式中标量 m 称为标量磁位。
恒定磁场
因 B 0
2m 0 标量拉普拉斯方程
根据边界条件，求解标量磁位满足的拉普拉斯方程， 可得标量磁位，然后即可求出磁通密度。
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电磁场与电磁波
恒定磁场
磁化介质中形成的新电流称为磁化电流，又称
为束缚电流。磁化电流密度以J 表示。
可以证明，矢量磁位与磁化强度 M 的关系为
A(r) 0 M (r) dV 0 M (r) en dS
4π V r r
4π S r r
z
dV'
S' 可见，体分布和面分布的磁化
r'
O x
V' r - r' 电流密度与磁化强度的关系为
6
电磁场与电磁波
恒定磁场
d F
l B
c
a S bF
F I lB
Bn
B
d F
F
c
a
S
b F Bt
l
当电流环平面与 B 垂直时，各边
受力方向指向外侧，相互抵消， 电流环受到的转矩为零。
当B 与电流环平面的法线方向 夹角为 时， 则 B 可分解为 Bn 及 Bt 两个分量。因此，小
环受到的转矩大小为
T ISBt ISB sin
表示为
A(r) e
0IS sin
4π r2
0m r
4π r3
z
此式适用于磁矩为m ，位
r
A(r)
于坐标原点的任何取向的
m
y
磁偶极子。
x
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电磁场与电磁波
恒定磁场
5.3 磁位
已知
B A
矢量磁位没有物理意义，仅是一个计算辅助量。 当电流分布未知时，必须求解恒定磁场方程式。
已知 A 0
A A 2 A = 2 A
又知
JS M en
因 M ezM ，所以JS 仅存在于 y 圆柱侧壁，上、下端面的磁化电
流密度为零。
J S M en Mez er Me
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电磁场与电磁波
恒定磁场
z P(0,0, z)
侧壁上磁化电流形成环形电流。
a
但是必须找到一条封闭曲线曲线上各点的磁但是必须找到条封闭曲线曲线上各点的磁通密度大小相等且磁通密度方向与该曲线的切线方向一致那么上式的矢量积分变为标量积分17恒定磁场电磁场与电磁波真空中恒定磁场方程式积分形式安培环路定律磁通连续性原理磁通连续性原理微分形式18恒定磁场电磁场与电磁波19恒定磁场电磁场与电磁波计算无限长的电流为i的线电流的磁通密度
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电磁场与电磁波
恒定磁场
5.2 真空中的恒定磁场方程式
真空中恒定磁场的磁通密度 B 满足下列两个方程
B dl l
0
I
S B dS 0
左式称为安培环路定律，真空磁导率 0 4π 1H0/7 m，
上两式表明，真空中磁通密度沿任一闭合曲线的环量等于
该曲线包围的电流与真空磁导率的乘积；通过任一闭合面
然自旋及轨道运动外，轨道还要围
绕外加磁场发生进动。
Ba
电子进动产生的附加磁矩方向总是与
外加磁场的方向相反，导致合成磁场
减弱。因此，称为抗磁性。
银、铜、铋、锌、铅及汞等为抗磁性介质。
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电磁场与电磁波
恒定磁场
顺磁性。在外加磁场作用下，除了引起电子进动以 外，磁偶极子的磁矩方向朝着外加磁场方向转动，导 致合成磁场增强，这种磁性能称为顺磁性。如铝、锡、 镁、钨、铂及钯等。
y B Be
显然，此时磁场分布以 z 轴对称， 且与 , z 无关。
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电磁场与电磁波
恒定磁场
沿半径为r 的磁场线上磁通密度的环量为
l B dl B2π r
由 l B dl 0 I ，求得磁通密度的大小为
B 0I
2π r
B(r)
0
2π
I r
e
此式也适用于具有一定截面，电流
I
为I 的无限长的圆柱导线外的恒定
P
r
y
J M JS M en
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电磁场与电磁波
恒定磁场
例 已知圆柱形磁性材料，沿轴线方向获得均匀磁化。
若磁化强度为M，试求位于圆柱轴线上距离远大于圆柱 半径 P 点处由磁化电流产生的磁感应强度。
z P(0,0, z)
解 取圆柱坐标系，如图所示。 由于是均匀磁化，因此
a
l
J S
O x
J M 0
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电磁场与电磁波
恒定磁场
由散度定理获知 S B dS V BdV
那么，根据磁通连续性原理， S B dS，求0 得
V BdV 0
B 0
此式表明，真空中磁通密度的散度处处为零。 真空中恒定磁场方程的微分形式为
B 0J
B 0
结论：真空中恒定磁场是有旋无散的。
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电磁场与电磁波
恒定磁场
求得 2 A B
2 A 0J 矢量泊松方程。
该方程在自由空间中的特解即是
A(r) 0 J (r) dV
4π V r r
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电磁场与电磁波
恒定磁场
在无源区中，J ，0 则
2 A 0J
2 A 0 矢量拉普拉斯方程
镜像法也可适用于求解恒定磁场的边值问题。
已知 Φ S B，d那S 么
A(r )
e
0IS sin
4π r2
式中， S π为a2小电流环的面积。
根据 B ， A求得
B(r)
0
4π
IS r3
er
2
cos
e sin
可见，矢量磁位 A 与距离 r 的平方成反比，磁通
密度B 与距离 r 的立方成反比。
两者均与场点所处的方位角 有关。
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电磁场与电磁波
恒定磁场
考虑到小电流环的磁矩 m ， e矢zIS量磁位可以
8
电磁场与电磁波
恒定磁场
磁通密度 B 通过某一表面 S 的通量称为磁通，以
表示，即
S B dS
Wb（韦伯）
磁通密度也可用一系列有向曲线来表示，曲线的切 线方向为磁通密度矢量的方向，这些曲线称为磁通 密度线。
9电Leabharlann 场与电磁波恒定磁场磁通密度线的矢量方程为 B dl 0 。
磁通密度线也不可相交。若以磁通密度线构成磁 通管，且规定相邻磁通管中的磁通相等，则磁通密 度线的疏密程度也可表示磁场的强弱。
d F
l
c B
a S bF
尺寸远小于观察距离的小电流环称 为磁偶极子。
F I lB
当磁通密度 B 与电流环平面平行时，则 ab 及 cd 两 条边不受力，ad 及 bc 两条边受力方向相反，因此， 电流环受到一个转矩 T ，其大小为
T Fl IlBl Il2B ISB 式中 S 为l 2 电流环的面积。
度，该矢量函数 A 称为矢量磁位。
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电磁场与电磁波
恒定磁场
B A
A(r) 0 J (r) dV
4π V r r
已知电流分布，利用上式可以先求出任一点的矢 量磁位，再计算该点的磁通密度 。
电流与磁通密度的直接关系为
B(r) 0
4π
V
J
(r
) r
(r r
3
r
)
dV
毕奥–萨伐定律
试验表明，运动电荷在磁场中受到的作用力不仅 与电荷量及运动速度的大小成正比，而且还与电 荷的运动方向有关。
2
电磁场与电磁波
恒定磁场
v
B
设最大作用力为 Fm ，沿 角
零线方向 度运动时，受力为 Fm sin 。
F
定义一个矢量 B ， 令其大小为 Fm ，其方向为零
qv
线方向。
F qv B
矢量 B 称为磁通密度，或磁感应强度，单位为T（特
4
电磁场与电磁波
恒定磁场
若电流元的电流为I，则
Idl
B
Idl dq dl dl dq vdq dt dt
那么，由 F qv求得B 电流元受到
F
的力
F Idl B
可见，若 dl // B，受力为零；若 dl B，受力最大。
此外 F dl 。
5
电磁场与电磁波
恒定磁场
小电流环受到的转矩。
B(r) 0
4π
V
J
(r) r
(r r
3
r
)
dV
毕奥–萨伐定律
l B dl 0 I
JdV JSdS Idl
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电磁场与电磁波
恒定磁场
例1 计算无限长的电流为I 的线电流的磁通密度。
z
dl
r' r r'
r e
x
I
解 取圆柱坐标系，如图所示。
令 z 轴沿电流方向，那么 e 方 向为B 的方向，
电磁场与电磁波
第五章 恒定磁场
1. 磁通密度 2. 真空中恒定磁场 3. 磁位 4. 介质磁化 5. 介质中的恒定磁场方程式 6. 恒定磁场边界条件
恒定磁场
1
电磁场与电磁波
5.1 磁通密度
磁场表现为对于运动电荷有力的作用。
恒定磁场
根据运动电荷或电流元受到的作用力，或者根据 小电流环在磁场中受到的力矩描述磁场的强弱。
7
电磁场与电磁波
恒定磁场
Bn
B
d F
F
c
a
S
b F Bt
l
T ISBt ISB sin
若定义有向面 S 的方向与电流方向构成右旋关系，
则上式可写成矢量形式
T I (S B)
乘积 IS 称为小电流环的磁矩，以 m 表示，即
m IS
则转矩又可表示为 T m B
可见，当 m // B 时，T 为零；当m B 时，T 最大。
顺 磁 质 的 磁 化
无外磁场
Is
B0
有外磁场
31
电磁场与电磁波
恒定磁场
铁磁性。内部存在“磁畴”，每个“磁畴”中磁 矩方向相同，但是各个“磁畴”的磁矩方向杂乱无章， 对外不显示磁性。在外磁场作用下，各个“磁畴”方 向趋向一致，且畴界面积还会扩大，因而产生很强的 磁性。例如铁、钴、镍等。
铁磁性介质具有非线性，且存在磁滞及剩磁现象。
且 B 可以由积分号移出，即可求出 B 值。
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电磁场与电磁波
真空中恒定磁场
1. 方程式
恒定磁场
积分形式
B dl l
0
I
微分形式
S B dS 0
B 0J
B 0
安培环路定律 磁通连续性原理
有旋 无散
18
电磁场与电磁波
恒定磁场
2. 场与源
B A
A(r) 0 J (r) dV
4π V r r
5.4. 介质磁化
恒定磁场
电子围绕原子核旋转形成闭合的环形电流，这 种环形电流相当于一个磁偶极子。电子及原子核 本身自旋也相当于形成磁偶极子。
在外加磁场的作用下，这些带电粒子的运动方 向发生变化，甚至产生新的电流，导致各个磁矩 重新排列，宏观的合成磁矩不再为零，这种现象 称为磁化。
28
电磁场与电磁波
介质磁化过程
恒定磁场
外加场Ba 合成场Ba+ Bs 介 质 二次场Bs 磁 化
磁化结果使介质中的合成磁场可能减弱或增强，此 与极化现象不同。
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电磁场与电磁波
恒定磁场
介质的磁性能分为抗磁性、顺磁性、铁磁性及亚 铁磁性等。
抗磁性。在 正 常 情 况 下 ， 原 子 中 的 合 成 磁 矩
为零。当外加磁场时，电子除了仍
斯拉）。
3
电磁场与电磁波
v
B F
恒定磁场
磁场力无法改变运动电荷速度的大小， 只能改变其运动方向，磁场与运动电 荷之间没有能量交换。
根据磁通密度 B 的定义，可以导出电流元在磁场
中受到的力以及小电流环在磁场中受到的转矩。
电流元是一小段载流导线，以矢量元 dl 的大 小表示电流元的长度，其方向表示电流 I 的方向。
根据亥姆霍兹定理，磁通密度B 应为
B A
(r) 1 B(r)dV
4π V r r
A(r) 1 B(r)dV
4π V r r
考虑到 B及 0 B 0J
求得 那么
(r) 0
A(r) 0 J (r) dV
4π V r r
B A
结论：某点磁通密度 B 等于该点矢量函数 A 的旋