高考数学导数定积分复习学案

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2013 届高考数学导数、定积分复习教学设计
2013 年一般高考数学科一轮复习优选教学设计第38讲导数、定积分一．课标要求： 1 ．导数及其应用（1）导数见解及其几何意义①经过对大量实例的剖析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，认识导数见解的本质背景，知道瞬时变化率就是导数，领悟导数的思
想及其内涵；②经过函数图像直观地理解导数的几何意义。

（2）导数的运算①能依照导数定义求函数y=c，y=x，y=x2，y=x3，y=1/x ，y=x 的导数；②能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四
则运算法例求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f （a x+b））的导数；③会使用导数公式表。

（3）导数在研究函数中的应用① 结合实例，借助几何直观研究并认识函数的单一性与导数的关系；能利用导数研究函数的单一性，会求不高出三次的多项式函数的单一区间；② 结合函数的图像，认识函数在某点获取极值的必要条件和充足条件；会用导数求不高出三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不高出三次的多项式函数最大值、最小值；领悟导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。

（4）生活中的优化问题举例
比方，使收益最大、用料最省、效率最高等优化问题，领悟导数在解决实责问题中的作用。

（5）定积分与微积分基本定理
① 经过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中认识定积分的本质背景；借助几何直观领悟定积分的基本思想，初步认识定积分的见解；② 经过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与行程的关系），直观认识微积分基本定理的含义。

（6）数学文化收集相关微积分创办的时代背景和相关人物的资料，并进行沟通；领悟微积分的成立在人类文化发展中的意义和价值。

详细要求见本
《标准》中 " 数学文化 " 的要求。

二．命题走向导数是高中数学中重要的内容，是解决实责问题的强有力的数学工具，运用导数的相关知识，研究函数的性质：单一性、极值和最值是高考的热点问题。

在高考取察看形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式察看基本
见解、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其余数学知识结合
起来，综合察看利用导数研究函数的单一性、极值、最值，估计
2013 年高考连续以上面的几种形式察看不会有大的变化：（1）考
查形式为：选择题、填空题、解答题各样题型都会察看，选择题、填
空题一般难度不大，属于高考题中的中低档题，解答题有必然难度，
一般与函数及剖析几何结合，属于高考的中低档题；（2）2013 年高
考可能波及导数综合题，以导数为数学工具察看：导数的物理意义
及几何意义，复合函数、数列、不等式等知识。

定积分是新课标教材新
增的内容，主要包括定积分的见解、微积分基本定理、定积分的简单应用，由于定积分在实责问题中特别宽泛，所以 2013 年的高考展望会在
这方面察看，展望2013 年高考表现以下几个特点：（1）新课标察看，难度不会很大，注意基本见解、基本性质、基本公式的察看及简单的应用；高考取本讲的题目一般为选择题、填空题，察看定积分的基本见解
及简单运算，属于中低档题；（2）定积分的应用主若是计算面积，诸
如计算曲边梯形的面积、变速直线运动等实责问题要很好的转变为数学
模型。

三．要点精讲 1 ．导数的见解函数 y=f(x), 若是自变量 x 在 x 处
有增量，那么函数 y 相应地有增量 =f
（x + ）－ f （x ），比值叫做函数 y=f （x）在 x 到 x + 之间的平均变
化率，即 = 。

若是当时，有极限，我们就说函数 y=f(x) 在点 x 处可导，并把这个极限叫做 f （x）在点 x 处的导数，记作 f ’
（x ）或 y’| 。

即 f （x ）= = 。

说明：（1）函数 f （x）在点 x 处可导，是指时，有极限。

若是不存在极限，就说函数在点 x 处不可以导，或说无导数。

（2）是自变量 x 在 x 处的改变量，时，而是函数值的改变量，能够是零。

由导数的定义可知，求函数 y=f
（x）在点 x 处的导数的步骤（可由学生来概括）：（1）求函数的增
量 =f （x + ）－f （x ）；（2）求平均变化率 = ；（3）取极限，
得导数 f ’(x )=。

2．导数的几何意义函数y=f（x）在点x处的导数的几何意义是曲线y=f （x）在点 p（x ，f （x ））处的切线
的斜率。

也就是说，曲线y=f （x）在点 p（x ，f （x ））处的切线的
斜率是 f ’（x ）。

相应地，切线方程为 y－y =f/ （x ）（x－x）。

3 ．常见函数的导出公式．（１）（C为常数）（２）（３）（４） 4 ．两个函数的和、差、积的求导法例法例 1：两个函数的
和( 或差 ) 的导数 , 等于这两个函数的导数的和 ( 或差 ) ，即： (法例2：两个函数的积的导数 , 等于第一个函数的导数乘以第二个函数, 加
上第一个函数乘以第二个函数的数，即：若C常数,. 即常数与函数的的数等于常数乘以函数的数：法 3 两个函数的商的数，等于分子的数与分母的，减去分母的数与分子的，再除以分母的平方：‘= （v 0）。

形如 y=f 的函数称复合函数。

复合函数求步：分解――求――回代。

法： y＇| = y＇| ?u＇ | 5 ．数的用（1）一般地，函数在某个区可，若是，增函数；若是，减函数；若是在某区内恒有，常数；（2）曲在极点切的斜率 0，极点的数 0；
曲在极大点左切的斜率正，右；曲在极小点左切的斜率，右正；（3）一般地，在区 [a ，b] 上的函数 f 在[a ，b] 上必有最大与最小。

①求函数 ? 在(a ，b) 内
的极；②求函数?在区端点的?(a) 、?(b) ；③将函数 ? 的
各极与 ?(a) 、?(b) 比，其中最大的是最大，其中最小的是最
小。

6 ．定分（1）见解函数f(x)在区[a，b]上，用
分点 a＝x0<x1<⋯<xi －1<xi< ⋯xn＝ b 把区 [a ，b] 均分红 n 个小区
，在每个小区 [xi －1，xi] 上取任一点ξ i （i ＝1，2，⋯ n）作
和式 In ＝ ( ξi) △x（其中△x 小区度），把 n→∞即△ x→0 ，
和式 In 的极限叫做函数f(x) 在区 [a ，b] 上的定分，作：，即＝ ( ξi) △x。

里， a 与 b 分叫做分下限与分上限，区
[a ，b] 叫做分区，函数f(x) 叫做被函数， x 叫做分量，
f(x)dx叫做被式。

基本的分公式：＝C；＝＋C（m∈Q，m≠－1）； dx ＝ln＋C；＝＋C；＝＋C；＝sinx＋C；＝－cosx
＋C（表中 C均常数）。

（2）定分的性①（k 常数）；②；③（其中 a＜c ＜b 。

（3）定分求曲梯形面由三条直 x
＝a，x＝b（a<b），x 及一条曲 y＝f （x）(f(x) ≥0) 成的曲梯的面。

若是形由曲 y1＝f1(x) ，y2＝f2(x) （没关系
f1(x) ≥f2(x) ≥0），及直 x＝a，x＝b（a<b）成，那么所求形的面 S＝S 曲梯形 AMNB－S 曲梯形 DMNC＝。

四．典例剖析型 1：数的见解例
1．已知 s= ，（1）算 t 从 3 秒到 3.1 秒、 3.001 秒、 3.0001 秒⋯ . 各段内
平均速度；（2）求 t=3 秒是瞬速
度。

剖析：（1）指改量；指改量。

其余各段时间内的平均速度，起初刻在光盘上，待学生回答完第一时
间内的平均速度后，即用多媒体出示，让学生思虑在各段时间内的平
均速度的变化情况。

（2）从（1）可见某段时间内的平均速度随变化
而变化，越小，越凑近于一个定值，由极限制义可知，这个值就是时，的极限， V= = = （6+ =3g=29.4( 米/ 秒) 。

例 2．求函数 y= 的导数。

剖析：，， =- 。

议论：掌握切的斜率、瞬时速度，
它门都是一种特其余极限，为学习导数的定义确立基础。

题型 2：
导数的基本运算例 3．（1）求的导数；（2）求的导数；（3）求的
导数；（4）求 y= 的导数；（5）求 y＝的导数。

剖析：（1） , （2）
先化简 , （3）先使用三角公式进行化简 . （4）y’= = ；（5）y＝－x＋
５－y’＝３*（x ）＇－x＇＋５＇－９）＇＝３* －１＋０－９* （－）＝。

议论：（1）求导从前，应利用代数、三角恒
等式等变形对函数进行化简，尔后求导，这样能够减少运算量，提高
运算速度，减少差错；（2）有的函数诚然表面形式为函数的商的形式，
但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，尔后进行求
导．有时能够防范使用商的求导法例，减少运算量。

例 4．写出由
以下函数复合而成的函数：（1）y=cosu,u=1+ （2）y=lnu, u=lnx解析：（1）y=cos(1+ ) ；（2）y=ln(lnx)。

议论：经过对 y=（3x-2展
开求导及按复合关系求导，直观的获取= . . 给出复合函数的求导法
则，并指导学生阅读法例的证明。

题型 3：导数的几何意义例 5（．1）
若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（）A ．B ．C．D．（2）过点（－ 1，0）作抛物线的切线，则其中一条切线为（）（A）（B）（C）（D）剖析：（1）与直线垂直的直线为，即在某一点的导数
为 4，而，所以在(1 ，1) 处导数为 4，此点的切线为，应选 A；
（2），设切点坐标为，则切线的斜率为 2 ，且，于是切线方程
为，由于点（－ 1，0）在切线上，可解得＝0 或－ 4，代入可验正 D
正确，选D。

议论：导数值对应函数在该点处的切线斜率。

例6．（1）半径为 r 的圆的面积 S(r) ＝ r2, 周长 C(r)=2 r ，若将 r 看作 (0 ，＋
∞)上的变量，则 ( r2)` ＝2 r ○1，○1式能够用语言表达为：圆的面积
函数的导数等于圆的周长函数。

对于半径为 R的球，若将 R 看作
(0 ，＋∞ ) 上的变量，请你写出近似于○1 的式子：○2；○2式能够
用语言表达为：。

（2）曲线和在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积是。

剖析：（1）V 球＝，又故○2式可填，用
语言表达为“球的体积函数的导数等于球的表面积函数。

”；（2）曲线和在它们的交点坐标是 (1 ，1) ，两条切线方程分别是 y=－x+2
和 y=2x－1，它们与轴所围成的三角形的面积是。

议论：导数的运算能够和几何图形的切线、面积联系在一同，对于较复杂问题有很
好的收效。

题型 4：借助导数办理单一性、极值和最值例 7．（1）对于 R上可导的随意函数 f （x），若知足（ x－1），则必有（）A．f （0）＋ f （2）（1） B. f（0）＋ f （2）（1） C．f （0）＋f （2）（1） D. f （0）＋f （2）（1）（2）函数的
定义域为开区间，导函数在内的图象以以下列图，则函数在开区
间
内有极小值点（） A．1个 B．2个 C．3个 D． 4个（3）已知函数。

（Ⅰ）设，讨论的单一性；（Ⅱ）若对随意恒有，求的取值范围。

剖析：（1）依题意，当时，（x），函数 f （x）在（1，＋）上是增函数；当时，（x），f （x）在（－，1）上是减函数，故 f （x）当 x＝1 时获取最小值，即有 f （0）（1），f （2）（1），应选 C；（2）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象以以下列图，函数在开区间内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有 1 个，选 A。

（3）：( Ⅰ)f(x) 的定义域为 ( －∞ ,1) ∪(1,+ ∞). 对 f(x) 求导数
得 f '(x)= ax2+2 －a(1 －x)2 e －ax。

( ?? ) 当 a=2 时, f '(x)=
2x2(1 －x)2 e －2x, f '(x)在(－∞ ,0), (0,1)和(1,+∞)均大于0,所以 f(x) 在( －∞ ,1), (1,+∞).为增函数；( ?? ) 当 0<a<2时, f
'(x)>0, f(x) 在( －∞ ,1), (1,+ ∞) 为增函数 . ；( ?? ) 当 a>2 时, 0<a －2a<1, 令 f '(x)=0 , 解得 x1= － a －2a, x2= a －2a ；当 x 变化时, f
'(x) 和 f(x) 的变化情况以下表 : x ( －∞ , －a－2a) ( －a－
2a,a －2a) (a －2a,1) (1,+ ∞) f '(x)＋－＋＋f(x)? J ? K ? J 在( －∞ , －a－2a), (a ? J f(x)－ 2a,1), (1,+∞ ) 为增函,数f(x)
在( －a－2a,a －2a) 为减函数。

( Ⅱ)( ?? ) 当 0<a≤2时, 由( Ⅰ) 知 :
对随意 x∈(0,1) 恒有 f(x)>f(0)=1 ； ( ?? ) 当 a>2 时, 取 x0= 12 a －
2a∈(0,1), 则由 ( Ⅰ) 知 f(x0)<f(0)=1 ； ( ?? ) 当 a≤0时, 对任
意 x∈(0,1), 恒有 1+x1－x >1 且 e－ax≥1，得： f(x)= 1+x1 －xe
－ax≥1+x1－ x >1. 受骗且当 a∈( －∞ ,2] , 随意 x∈(0,1) 恒有 f(x)>1 。

点：注意求函数
的性从前，必然要考函数的
定域。

函数的正原函数增减。

例 8．（1）在区上的最大是（） (A) －2 (B)0 (C)2 (D)4 （2）函数 f(x)= （Ⅰ）
求 f(x) 的区；（Ⅱ） f(x) 的极。

剖析：（1），令可
得 x＝0 或 2（2 舍去），当－，，当，，所以当x＝0 ，f （x）获取最大2。

C；（2）由已知得，令，解得。

（Ⅰ）当，，在上增；当，，随的化情况以下表：极大极小
从上表可知，函数在上增；在上减；在上增。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当，函数没有极；当，函数在获取极大，在获取极小。

点：本小主要考利用数研
究函数的最大和最小的基知，以及运用数学知解决的能力。

型 5：数合例 9．函数分在获取极小
、极大 . 平面上点的坐分、，平面上点足 ,
点是点对于直的称点 . 求 (I) 求点的坐； (II)求点的迹方程. 剖析： (Ⅰ)令解得；当 , ，当 ,，当，。

所以 , 函数在获取极小 , 在获取极大 , 故 , 。

所以 , 点 A、B
的坐。

（Ⅱ），，，，所以。

又PQ的中点在上，
所以，消去得。

点：是数与平面向量合的合。

例10．（06 湖南卷）已知函数 , 数列 { } 足 : 明 :( ?? )；(?? ) 。

明 : （I ）．先用数学法明，ｎ＝ 1,2,3, ⋯ (i).当 n=1 ,由已知然成立。

(ii).假当 n=k 成立 , 即。

因
0<x<1 ，, 所以 f(x) 在(0,1)上是增函数。

又 f(x) 在[0,1] 上，进而 . 故 n=k+1 , 成立。

由(i) 、(ii) 可知，所有正整数都成立。

又因，，所以，上所述。

（II ）．函数，，由（I ）知，当，，进而所以 g (x) 在(0,1) 上是增函数。

又 g (x)
在[0,1] 上 , 且 g (0)=0 ，所以当，g (x)>0 成立。

于是．故。

点：是数
列知和数合到一。

型 6：数用例 11．您一个篷。

它下部的形状是
高 1m的正六棱柱，
上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。

试问当帐篷的
极点O终究面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？本小题主要察
看利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知
识解决实责问题的能力。

剖析：设 OO1为 x m, 则由题设可得正六
棱锥底面边长为（单位： m）。

于是底面正六边形的面积为（单位：
m2）：。

帐篷的体积为（单位：m3）：求导数，得；令解得 x=-2( 不
合题意，舍去 ),x=2 。

当 1<x<2时，,V(x)为增函数；当2<x<4时，,V(x)
为减函数。

所以当x=2时,V(x)最大。

答：当OO1为2m时，帐篷的
体积最大。

议论：结合空间几何体的体积求最值，理解导数的工具
作用。

例12．已知函数f(x)=x+ x ，数列｜ x ｜(x＞0)的第一项
x ＝1，今后各项按以下方式取定：曲线x=f(x) 在处的切线与经过
（0，0）和（ x ,f (x ) ）两点的直线平行（如图）求证：当 n 时， ( Ⅰ)x （Ⅱ）。

证明：（I ）由于所以曲线在处的切线斜率由于过和两点
的直线斜率是所以 . （II ）由于函数当时单一递加，而，所以，即所以
又由于令则由于所以所以故议论：此题主要察看函数的导数、数列、不等
式等基础知识，以及不等式的证明，同时察看逻辑推理能力。

题型 7：
定积分例13．计算以下定积分的值（1）；（2）；（3）；（4）；剖析：（1）（2）由于，所以；（3）（4）例 14．（1）一物体按规律 x＝bt3 作直线运动，式中 x 为时间 t 内经过的距离，媒质的阻力正
比于速度的平方．试求物体由 x＝0 运动到 x＝a 时，阻力所作的功。

（2）抛物线 y=ax2＋ bx 在第一象限内与直线 x＋y=4 相切．此抛物线与
x 轴所围成的图形的面积记为 S．求使 S 达到最大值的 a、b 值，并求Smax．剖析：（1）物体的速度。

媒质阻力，其中 k 为比率常数，
k>0。

当 x=0 时， t=0 ；当 x=a 时，，又 ds=vdt ，故阻力所作的功为：（2）依题设
可知抛物线为凸形，它与 x 轴的交点的横坐标分别为 x1=0，x2=－b/a ，
所以 (1) 又直线 x＋y=4 与抛物线 y=ax2＋bx 相切，即它们有唯一的公共点，由方程组得 ax2＋(b ＋ 1)x －4=0，其鉴别式必定为 0，即
(b ＋1)2 ＋16a=0．于是代入（ 1）式得：，；令 S'(b)=0 ；在b＞
0 时得唯一驻点 b=3，且当 0＜ b＜3 时， S'(b) ＞0；当 b＞3 时，
S'(b) ＜0．故在 b=3 时， S(b) 获取极大值，也是最大值，即a=－1，
b=3 时， S 获取最大值，且。

议论：应用好定积分办理平面地区内的面积。

五．思想总结 1 ．本讲内容在高考取以填空题和解答题为主
主要察看：（1）函数的极限；（2）导数在研究函数的性质及在解决实责问题中的应用；（3）计算曲边图形的面积和旋转体的体积。

2 ．考生应立足基础知识和基本方法的复习，以课此题目为主，以熟练技术，坚固见解为目标。