18-19 第3章 3.2 3.2.4 二面角及其度量

3.2.4二面角及其度量学习目标：1.掌握二面角的概念，二面角的平面角的定义，会找一些简单图形中的二面角的平面角．(重点)2.掌握求二面角的方法、步骤．(重点、难点)[自主预习·探新知]1．二面角的概念(1)半平面：平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面．(2)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．棱为l，两个面分别为α，β的二面角，记作α-l-β，若A∈α，B∈β，则二面角也可以记作A-l-B，也可记作2∠l，二面角的范围为[0，π]．(3)二面角的平面角：在二面角α-l-β的棱上任取一点O，在两半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB叫做二面角α-l-β的平面角．思考：如何找二面角的平面角？[提示](1)定义法由二面角的平面角的定义可知平面角的顶点可根据具体题目选择棱上一个特殊点，求解用到的是解三角形的有关知识．(2)垂面法作(找)一个与棱垂直的平面，与两面的交线就构成了平面角．(3)三垂线定理(或逆定理)作平面角，这种方法最为重要，其作法与三垂线定理(或逆定理)的应用步骤一致．2．用向量的夹角度量二面角设二面角的大小为θ，n1，n2为两个非零向量．(1)当n1∥α，n2∥β，n1⊥l，n2⊥l，且n1，n2的方向分别与半平面α，β的延伸方向相同，则θ＝〈n1，n2〉．(2)当n 1⊥α，n 2⊥β，则θ＝〈n 1，n 2〉或θ＝π－〈n 1，n 2〉．[基础自测]1．思考辨析(1)二面角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.( )(2)若二面角α-l -β的两个半平面的法向量分别为n 1，n 2， 则二面角的平面角与两法向量夹角〈n 1，n 2〉一定相等．( ) (3)二面角的大小通过平面角的大小来度量．( ) [提示] (1)× 不是．是[0，π]． (2)× 不一定．可能相等，也可能互补． (3)√2．三棱锥A -BCD 中，平面ABD 与平面BCD 的法向量分别为n 1，n 2，若〈n 1，n 2〉＝π3，则二面角A -BD -C 的大小为( )A ．π3B ．2π3C ．π3或2π3D ．π6或π3C [当二面角A -BD -C 为锐角时，它就等于〈n 1，n 2〉＝π3； 当二面角A -BD -C 为钝角时，它应等于π­〈n 1，n 2〉＝π－π3＝2π3.]3．已知点A (1,0,0)，B (0,2,0)，C (0,0,3)，则平面ABC 与平面xOy 所成锐二面角的余弦值为________．【导学号：33242306】27 [由题得AB →＝(－1,2,0)，AC →＝(－1,0,3)．设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．由⎩⎨⎧n ·AB →＝0，n ·AC →＝0，知⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2y ＝0，－x ＋3z ＝0.令x ＝2，得y ＝1，z ＝23，则平面ABC 的一个法向量为n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1，23.平面xOy 的一个法向量为OC →＝(0,0,3)．由此易求出所求锐二面角的余弦值为|cos θ|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪OC →·n |OC →|·|n |＝23×73＝27.][合 作 探 究·攻 重 难]如图3-2-32所示，ABCD 是正方形，V 是平面ABCD 外一点，且VA＝VB ＝VC ＝AB ，求二面角A -VB -C 的余弦值．图3-2-32[思路探究] 先判断△VAB ，△VBC 为等边三角形，取VB 的中点E ，连接AE ，CE ，再证明∠AEC 是二面角的平面角．[解] 取VB 的中点为E ，连接AE ，CE . ∵VA ＝VB ＝VC ＝AB ， ∴AE ⊥VB ，CE ⊥VB .∴∠AEC 是二面角A -VB -C 的平面角．设AB ＝a ，连接AC ，在△AEC 中，AE ＝EC ＝32a ，AC ＝2a ，由余弦定理可知：cos ∠AEC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 2－(2a )22×32a ×32a ＝－13，∴所求二面角A -VB -C 的余弦值为－13.1．如图3-2-33所示，在四棱锥V -ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD .图3-2-33(1)证明AB ⊥平面VAD ；(2)求面VAD 与面VDB 夹角的正切．[解] (1)证明：∵平面VAD ⊥平面ABCD ，交线为AD .AB ⊂平面ABCD ，AB ⊥AD . ∴AB ⊥平面VAD .(2)如图，取VD的中点E，连接AE，BE. ∵△VAD是正三角形，∵AE⊥VD，AE＝32AD.∵AB⊥平面VAD，∴AB⊥AE.又由三垂线定理知BE⊥VD.因此，∠AEB是所求二面角的平面角．于是tan∠AEB＝ABAE＝23 3，即平面VAD与平面VDB夹角的正切为23 3.[1．构成二面角的平面角有几个要素？[提示](1)角的顶点在二面角的棱上；(2)角的两边分别在表示二面角的两个半平面内；(3)角的两边分别和二面角的棱垂直．2．二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角有何关系？[提示]1111AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．图3-2-34(1)证明：O1O⊥底面ABCD.(2)若∠CBA＝60°，求二面角C1-OB1-D的余弦值．【导学号：33242307】[思路探究](1)充分利用图形中的垂直关系，用传统的方法(综合法)可证．(2)利用垂直关系建立空间直角坐标系，用法向量求二面角的余弦值．[解](1)因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形，所以CC1⊥AC，DD1⊥BD，又CC1∥DD1∥OO1，所以OO1⊥AC，OO1⊥BD，因为AC∩BD＝O，所以O1O⊥底面ABCD.(2)因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形ABCD为菱形，AC⊥BD，又O1O⊥底面ABCD，所以OB，OC，OO1两两垂直．如图，以O为原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．设棱长为2，因为∠CBA＝60°，所以OB＝3，OC＝1，所以O(0,0,0)，B1(3，0,2)，C1(0,1,2)，设平面OC 1B 1的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则由m ⊥OB 1→，m ⊥OC 1→，所以3x ＋2z ＝0，y ＋2z ＝0， 取z ＝－3，则x ＝2，y ＝23， 所以m ＝(2,23，－3)，所以cos 〈m ，n 〉＝m·n |m||n|＝2319＝25719.由图形可知二面角C 1-OB 1-D 的大小为锐角， 所以二面角C 1-OB 1-D 的余弦值为25719. 1,2)，B (3，0,0)，C (0,1,0)1C →＝(0,2，－2)，CD →＝(n ＝(x ，y ，z )，＝(x1，y1，z1)，＝0，1y1＝0，建系：依据几何条件建立适当的空间直角坐标系．求法向量：在建立的坐标系下求两个面的法向量＝6，BC ＝2AB ＝4，E ，F 分别在线段BC ，AD 上(异于端点)，EF ∥AB .将四边形ABEF 沿EF 折起，连接AD ，AC ，BC .图3-2-35(1)若BE ＝3，在线段AD 上取一点P ，使AP ＝12PD ，求证：CP ∥平面ABEF ； (2)若平面ABEF ⊥平面EFDC ，且线段F A ，FC ，FD 的长成等比数列，求平面EAC 和平面ACF 夹角的大小.【导学号：33242308】[解] (1)在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF ∥AB ，BE ＝3， ∴AF ＝3.又AD ＝6，BC ＝4，∴EC ＝1，FD ＝3，在线段AF 上取点Q ，使AQ ＝12QF ，连接PQ ，QE ， ∵AP ＝12PD ，∴PQ ═∥13DF ，∵CE ═∥13DF ，∴CE ═∥PQ ， ∴四边形ECPQ 为平行四边形，∴CP ∥EQ ，∵CP ⊄平面ABEF ，EQ ⊂平面ABEF ，∴CP ∥平面ABEF .(2)在梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，AB ∥EF ，∴EF ⊥AF ，EF ⊥FD ，∵平面ABEF ⊥平面EFDC ，平面ABEF ∩平面EFDC ＝EF ，AF ⊂平面ABEF ，∴AF ⊥平面EFDC .设F A ＝x (0＜x ＜4)，∵EF ＝AB ＝2，∴FD ＝6－x ，EC ＝4－x ，∴FC ＝4＋(4－x )2，∵线段F A ，FC ，FD 的长成等比数列， ∴FC 2＝F A ·FD ，即4＋(4－x )2＝x (6－x )， 化简得x 2－7x ＋10＝0，∴x ＝2或x ＝5(舍去)．以点F 为坐标原点，FE ，FD ，F A 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则F (0,0,0)，E (2,0,0)，C (2,2,0)，A (0,0,2)， ∴EC →＝(0,2,0)，EA →＝(－2,0,2)，设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面EAC 的法向量， 则⎩⎨⎧n 1·EC →＝0n 1·EA →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y 1＝0－2x 1＋2z 1＝0，取z 1＝1，则x 1＝1，y 1＝0， ∴平面EAC 的一个法向量为n 1＝(1,0,1)． 又FC →＝(2,2,0)，F A →＝(0,0,2)，设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面ACF 的法向量， 则⎩⎨⎧n 2·FC →＝0n 2·F A →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋2y 2＝02z 1＝0，取x2＝1，则y2＝－1，z2＝0，∴平面ACF的一个法向量为n2＝(1，－1,0)．∴cos〈n1，n2〉＝n1·n2|n1|·|n2|＝12×2＝12.∵平面EAC和平面ACF的夹角为锐角，∴平面EAC和平面ACF的夹角为60°.2．如图3-2-36所示，四棱锥P-ABCD中，ABCD为矩形，平面P AD⊥平面ABCD.图3-2-36(1)求证：AB⊥PD.(2)若∠BPC＝90°，PB＝2，PC＝2，问AB为何值时，四棱锥P-ABCD的体积最大？并求此时平面PBC与平面DPC夹角的余弦值．[解] (1)ABCD 为矩形，故AB ⊥AD ； 又因为平面P AD ⊥平面ABCD ， 平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ， 所以AB ⊥平面P AD ，故AB ⊥PD . (2)过点P 作PO ⊥AD 于点O ，则PO ⊥平面ABCD ，过点O 作OM ⊥BC 于点M ， 连接PM .则PM ⊥BC ，因为∠BPC ＝90°，PB ＝2，PC ＝2， 所以BC ＝6，PM ＝233， 设AB ＝t ，则在Rt △POM 中， PO ＝43－t 2， 所以V P -ABCD＝13·t ·6·43－t 2＝13－6⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2－232＋83， 所以当t 2＝23，即t ＝63时， V P -ABCD 最大为269.如图， 此时PO ＝AB ＝63，且PO ，OA ，OM 两两垂直，以OA ，OM ，OP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系Oxyz ，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，63，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－263，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－263，63，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫63，63，0. 所以PD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－263，0，－63，PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－263，63，－63，PB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫63，63，－63.设平面PCD 的一个法向量m ＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎨⎧m ·PC →＝0，m ·PD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x 1＋y 1－z 1＝0，－2x 1－z 1＝0，令x 1＝1，则m ＝(1,0，－2)，|m |＝5； 同理设平面PBC 的一个法向量n ＝(x 2，y 2，z 2)， ⎩⎨⎧n ·PC →＝0，n ·PB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋y 2－z 2＝0，x 2＋y 2－z 2＝0，令y 2＝1，则n ＝(0,1,1)，|n |＝2，设平面PBC 与平面DPC 夹角为θ，显然θ为锐角， 且cos θ＝|m·n ||m||n |＝25×2＝105. [当 堂 达 标·固 双 基]1．如果一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系是( )A ．相等B ．互补C ．相等或互补D ．不能确定C [由二面角的概念，知这两个二面角大小相等或互补．]2．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，二面角A 1-BC -A 的余弦值为( )【导学号：33242309】A.12 B ．23 C.22 D ．33 C [易知∠A 1BA 为二面角A 1 -BC -A 的平面角， cos ∠A 1BA ＝AB A 1B ＝22.]3．若直线l 的方向向量a ＝(－2,3,1)，平面α的一个法向量n ＝(4,0,1)，则直线l 与平面α所成角的正弦值等于________．23834 [设直线l 与平面α所成角为θ，则 sin θ＝|cos 〈a ，n 〉|＝|a·n ||n||a|＝|－8＋1|14·17＝23834.]4．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，二面角A 1-BD -C 1的余弦值是________． 13 [如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，B (1,1,0)，A 1(1,0,1)，DA 1→＝(1,0,1)，DB →＝(1,1,0)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面A 1BD 的一个法向量， 则⎩⎨⎧n ·DA 1→＝0，n ·DB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋z ＝0，x ＋y ＝0，令x ＝1，则y ＝－1，z ＝－1，∴n ＝(1，－1，－1)． 同理，求得平面BC 1D 的一个法向量m ＝(1，－1,1)， 则cos 〈m ，n 〉＝m·n |m||n|＝13，所以二面角A 1-BD -C 1的余弦值为13.]5．如图3-2-37所示，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1的中点，求二面角A -A 1D -B 的余弦值．【导学号：33242310】图3-2-37[解] 如图，取B 1C 1的中点O 1，BC 的中点O ，以O 为原点，OB →，OO 1→，OA →的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则B (1,0,0)，D (－1,1,0)，A 1(0,2，3)，A (0,0，3)，B 1(1,2,0)，∴AB 1→＝(1,2，－3)，BD →＝(－2,1,0)，BA 1→＝(－1,2，3)．设平面A 1BD 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则 n 1·BD →＝0且n 1·BA 1→＝0，由此得⎩⎨⎧－2x ＋y ＝0，－x ＋2y ＋3z ＝0，令x ＝1，得，y ＝2，z ＝－3，故平面A 1BD 的一个法向量为n 1＝(1,2，－3)． 设平面A 1AD 的法向量为n 2＝(a ，b ，c )， ∵AD →＝(－1,1，－3)，AA 1→＝(0,2,0)， 由n 2·AD →＝0且n 2·AA 1→＝0得⎩⎨⎧－a ＋b －3c ＝0，2b ＝0，令c ＝－3，，得a ＝3， 故n 2＝(3,0，－3)为平面A 1AD 的一个法向量．因此cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝3＋38·12＝64.由于点B 在半平面A 1AD 内的射影在线段AC 上，故二面角A -A 1D -B 的平面角是锐角，故所求的二面角的余弦值是64.。