岩土弹塑性力学剖析

岩土弹塑性力学
1 塑性屈服准则
在组合应力状态下，材料所服从的屈服准则一般用下式表示：
f ij 0 (1)
函数 f 的特定形式是与材料有关的，其含有若干个材料常数。

根据材料塑性准则 是否与静水压力有关， 可以将材米分为两类： 与静水压力无关材料和与静水压力相关 材料，这两类材料一般分别称为无摩阻材料和摩阻材料。

通常情况下金属材料属于静 水压力无关材料，而土、岩石、混凝土等地质材料属于与静水压力相关材料。

与静水 压力不相关的材料是由剪切力控制着它的屈服， 在工程中一般采用 Tresca 准则和 von Mises 屈服准则， 而与静水压力相关的材料一般采用最大拉应力准则、 Mohr-Coulomb 准则和 Drucker-Prager 准则。

下面就开始讨论这些塑性屈服准则。

1.1 Tresca 屈服准则
Tresca 准则于 1864 年提出，该屈服准则假定，当一点的最大剪应力达到极限值 则发生屈服。

以主应力表达这一准则， 则在屈服时三个主应力两两之差值绝对值的一 半中的最大值达到 k ，这上准则的数学表达式为：
其中，为单轴加载屈服应力。

为了以图形表示二维空间中的屈服曲线形状， 假定一双轴应力状态， 其中仅 1和 为非零，在
1轴和第一区间两轴角平分线间的应力顺序为
1 2 0 ，所以，由式(2) 可以导出
1 k 或 1 0 (4)
2 1 max 1 2 11 2 , 2
3 , 3 1 k (2) 22
如果材料常数 k 由单轴试验确定，则可以得下述关系
k 0
2
(3)
在 1 2 坐标系中绘出服从Tresca 准则的屈服轨迹 (图1)。

利用主应力与应力不变量之间
的关系，可将式(2)变换为
1
f (J2, ) 2 J2 sin( ) 2k 0 (0 60 ) (5)
3
式中，式中成为相似角或Lode 角。

Tresca准则与无关，暗示不依赖于静水压力。

由
于Tresca 准则与无关，故可将屈服面演绎成主应力空间的规则平行六面棱柱体 (图 2)， 它就是 Tresca 准则屈服图形。

Tresca 准则的优点是表达式简单，道理清楚，即材料发生了剪切破坏，准侧参数 容易在实验室中得到。

但不足是是该准则在π平面上的图形中存在拐角点， 在数学处 理上存在不变，而且 Tresca 准则忽略了中间主应力对屈服准则的影响。

1.2 von Mises 准则
1913年提出的 von Mises 准则用八面体剪应力来代替最大剪切应力， 则将屈服准 则表示为以下方程：
其中 k 表示材料常数， 它代表纯剪试验中的屈服应力。

该屈服准则受中间主应力的影 响，于是该准则还可以写成
2 f (J 2) J 2 k 2 0
0 ， 2 3 0 ，联立以上方程可得 k 0 / 3
von Mises 准则可以用于对静水压力和相似角或 为主应力空间的圆柱面，其回转轴与 1 2 3 的静水压力轴一
致，屈服面与偏平 面相交所得的横截面为 2k 半径的圆。

von Mises 准则的优点是： von Mises 准则可以解决 Tresca 准则中存在拐点影响数 学计算的问题，同时 von Mises 准则考虑了第二主应力的影响。

1.3 最大拉应力准则( Rankine 准则) 最大拉应力准则现在已被普遍接受用于确定脆性材料是否会发生拉伸破坏。

最大 拉应力准则认为当最大应力达到拉伸强度时， 材料发生拉伸破坏。

与此准则相关的屈 服面为
max( 1, 2 , 3) f t (9)
为得到 Rankine 准则在π平面上的屈服曲线，可以进行如下换算，从而得到用、 和表示的屈服准则：
假定： 1 2 3
则方程 (9)可以表示为 1 f t
(6) (7)
2
12
2 2
3 6k 2 (8)
在单轴拉伸时，屈服发生于 1 Lode 角不敏感的材料。

屈服面变 oct
可以得到 23 J 2 cos 13
I 1 f t 0 于是用、和表示的屈服准则如下：
f (I 1,J 2, ) 2 3J 2 cos I 1 3f t 0 (0 60 ) 根据公式 (10)可绘出π平面上 Rankine 准则的屈服曲线
1.4 Mohr-Coulomb 准则
Mohr-Coulomb 准则是基于最大剪应力为屈服决定性因素的假设。

通过剪应力来 定义材料发生屈服。

当材料最大剪应力达到极限值， 材料发生屈服。

而这里的剪应力 的极限值不再是一个定值，而是与在那一点上同一平面中正应力的函数。

h (11)
式中， h 是由试验确定的函数，根据 Mohr 圆可以得到，这是一系列 Mohr 圆的包络线，当表示应力的圆与包络线相切时，说明材料内应力已经达到临界状态。

当包络线采用曲线形式时， 计算上比较麻烦， 所以简化包络线方程为直线关系， 直线 包络线的方程就是 Coulomb 方程，其数学表达式为：
c tan (12) 式中， c 为材料的内聚力；φ值则是材料的内摩擦角。

这两个参数都可以在实验
室中通过实验测定。

与式( 12)相关的的屈服准则称为 Mohr-Coulomb 准则。

对于无 摩阻材料特的特例，其中 0 ，式( 12)退化为 Tresca 准则，其粘聚力等于纯剪切
时的屈服应力，因此， Mohr-Coulomb 准则可看作是 Tresca 准则的推广 通过 (12)式可以推
算出用应力不变量表示的 Mohr-Coulomb 准则：
由上式可以看出， Mohr-Coulomb 准则与应力不变量有关，在正应力坐标系下， Mohr-Coulomb 准则的图形将是锥型。

1.5 Drucker-Prager 准则
Drucker-Prager 准则是对 von Mises 准则的简单修正，它考虑了静水压力对屈服的 影响，该准则的数学表达式为：
f (I 1,J 2 ) I 1 J 2 k 0 (14) 式中，和 k 为材料常数。

当为零时， Drucker-Prager 准则退化为 von Mises 准则，所以 Drucker-Prager 准则也称为广义的 von Mises 准则。

此准则在主应力空间中的屈服面为 直立圆锥。

Mohr-Coulomb 准则存在拐点，所以这样可能导致其应用于塑性理论时数 学值计算的困难，但是采用 Drucker-Prager 准则时，就消除了拐点在计算上的困难。

2 塑性应力—应变关系
又根据
S 1
13I = 3 J 2COS 13I
(10)
f (I 1 ,J 2, )
I 1 sin 3 1 )sin ccos 0 (13)
J 2 sin(
要分析塑性应力—应变关系，就应该先分析推导应力—应变关系的前提条件进。

因为这些前提条件是得到塑性应力—应变关系的基础，根据这些条件可以推导得到各种准则下的应力—应变关系。

2.1 加载准则
要找到材料在塑性阶段的应力—应变关系，首先要判断材料在何种情况下进入塑性阶段。

在应力空间上的屈服面确定了当前的弹性区边界条件，如果一个应力点在此面的里面，就称之为弹性状态，表现出的就是弹性应力应变关系。

在屈服面上的应力状态为塑性状态，而进入塑性阶段的标准就是加载准则。

数学上，弹性状态和塑性状态作如下定义：
f 0 时，弹性状态
f 0 时，塑性状态
这里就是在应力空间定义了屈服面的屈服函数。

对于强化材料，如果应力状态趋向移出屈服面的趋势，则可获得一个加载过程，而且能观察到弹塑性变性；会产生附加的塑性应变且当前的屈服面也会发生改变，使应力状态总保持在后继加载面上。

如果应力状态有移进屈服服面以内的趋向，则为卸载过程，此时只有弹性变形发生，加载面仍然保持原样，应力从塑性状态开始改变的另一个过程就是应力点沿着当前屈服面移动，这个过程叫做中性变载，与其相关的变形是弹性的。

总的来说，材料在空间屈服面附近的行为直接反应了材料的弹塑性变化，当应力状态向屈服面外移动时，材料将产生塑性；当材料在屈服面上移动时，为中性加载；当应力状态向屈服面内移动时，材料产生弹性变形，即卸载。

具体的数学表达式如下： f 0 且f d ij 0时，加载ij
f 0 且f d ij 0时，中性变载
ij
f 0 且f d ij 0时，卸载
ij
对于理想弹塑性材料，当应力点沿着屈服面移动时，能观察到弹塑性变形。

但是，它不总是引起塑性变形而有可能被归到中性变载情况，因此对这种材料的加载准则定义如下：
f 0 且 d ij ij 0 时，加载或中性变载 d ij ij 0 时，卸载 是从应变来计算应力，所以在应变空间定义材料的屈服函数， 由于很多情况下， 于是有人提出用应变增量代替应力增量作出判断： 且 C ijkl d kl ij 0 时， 加载 且 C ijkl d kl
ij 0 时， 中性变载 且 C ijkl d kl ij 0 时， 卸载 jkl 表示弹性刚度张量。

0 0
0 式中 C i 2.2 流动法则 在加载过程中会产生塑性应变， 定义出塑性应变增量 d ij p 的方向和大小，即：（1）各分量的比率；（2）它们相应于应 力增量 d ij 的大小。

先定义流动法则如下： 为了描述弹塑性变形德尔应力—应变关系， 必须 d ij p d g ij 式中， 为贯穿于整个塑性加载历史的非负标量函数， 它定义了塑性应变的大小， 而矢 (15) 量梯度 g 则是定义了塑性应变增量矢量 d ij p 的方向，也就是势能面 g 0在当前应 ij 力点的法线方向，因此，流动法则也称为正交条件。

函数则是势能面函数。

当势能函 数与相等时，流动法则与屈服条件相关联的，用表达式表示如下：
d ij p d ij (16) 2.3 理想弹塑性材料的增量应力—应变关系
理想塑性材料的加载准则要求应力增量矢量 d ij 相切与屈服面， 而流动性法则要 求塑性应变增量矢量 d ij p 是在势能面的法线方向。

接着确定 d ij p 的大小，即。

一旦确 定就能建立 d ij 和d ij p
之间的关系。

设主应变增量是弹性应变增量和塑性应变增量之和，即：
d ij d ij p d i
e j (17)
弹性应变增量和应力增量通过虎克定律来确定
d ij C ijkl d kl (18)
对于理想塑性材料来说，应力—应变关系可以表示为：
d ij C ijkl (d kl d ) (19)
kl
其中，是一个待确定的非负标量。

在逆性变形时， 应力点停留在屈服面上， 这个补充的条件叫一致性条件， 用增量 的开式写成
df f
d ij 0 (20) ij
把式( 19)带入式( 20)中计算可以得到为
1f
d
C ijkl d kl (21)
H ij 式中， H f C ijkl g
ij kl
这个等式表明，即使当应力增量 d ij 在屈服面上移动， ( f / ij )d ij 0 ，仍能为零， 也就是说，只要 ( f / ij )C ijkl d ij 0 ，就不会产生塑性应变，这是理想塑性材料的中 性加载过程。

对于一个给定的应变增量 d ij ，利用式( 19)和式( 21)计算出应力增量 d ij 。

联立式
( 19)和式( 21)用数学方法推导出应力增量 d ij 和应变增量 d ij 之间的明确 关系：
式中， C i e jk p l 是弹塑性刚度张量，表示为：
根据增值的条件， 有两种弹塑性应力应变关系， 分别
d ij
C ijkl d kl (22) ep
ijkl C ijkl 1
H ij H kl H (23) 其中 H i *j C ijmn g ,H kl
mn
C pqkl pq 在弹塑性应力应变关系中，
为Praandtl-Reuss 模型和Drucker-Prager 模型。

两种模型根据不同的屈服函数对弹塑性应力—应变关系进行增量型式的推导，从而得出两个值之间的相互关系。

在弹塑性应力—应变关系中，除了增量型式，还包括全量形式的应力—应变关系表达式。

这些是在增量应力—应变关系的基础上发展起来的。

3 岩土材料弹塑性与金属的特点
3.1 金属的典型特性
在分析金属材料的塑性变形时有以下三个基本特性：
（1）塑性变形与能量耗散有关，因此这个过程是不可逆的，并与加载历史有关。

（2）金属塑性变形对其速率不敏感且与时间无显式关系。

（3）金属的塑性变形对静水压力不敏感，塑性体积变化是不可压缩的。

金属的典型特性有：成正比增长的特性；重新拉伸时，加载使材料强化或屈服点升高，而在应力转向或重新压缩时，加载使材料软化或屈服点降低。

3.2 岩土材料的弹塑性力学特性
传统弹塑性理论亦称为经典塑性理论或金属塑性理论。

它的基本特征是材料的屈服和硬化都与静水压力无关；而且材料只可能产生硬化（或强化）不可能产生软化（或弱化）。

与传统塑性理论不同，广义塑性理论认为材料不仅可以屈服与硬化，而且可以产生软化；同时，屈服、硬化与软化都可以与静水压力相关，它主要适用于岩土类材料，同时也是用于金属类材料；因此称之为广义塑性理论。

所以在岩土材料的弹塑性力学中，主要包括以下几方面特性，压硬性、剪胀性、等向屈服特性、拉压不等性、硬化软化特性等。

岩土材料的双强度特征对其硬化与软化有重要关系，由于粘聚力先发挥，摩擦力随变形逐渐发挥，这就决定了岩土材料具有硬化性质。

对于黏聚力很强，尤其是土体内部存在结构力的情况，岩土材料的黏聚力会随着变形增大而衰减，这又形成了岩土材料的软化。

岩土类材料的应力—应变—强度关系主要有以下一些特征：
（1）应力—应变关系的非线性与硬化或软化特征。

土无论在压缩或剪切时，其应力—应变关系从加载开始就表现为非线性的特性，没有明显的弹性阶段和初始屈服点；而且非线性的应力—应变曲线具有应变硬化或软化的特性。

这与传统金属材料在受力状态下反应的应力应变关系不同，金属材料在受力初期显示的是明显的闲谈性关系。

（2）压硬性与剪涨性。

压硬性指的是静水压力与剪变形之间的耦合作用；剪胀性指的是剪应力与体应变之间的耦合作用。

在岩石力学中，剪胀性称为“扩容” ，意指剪切应力引起的体积（容积）扩大。

如果剪切引起岩土体的体积收缩，就称之为剪缩性或负的剪胀性。

这样，对于岩土材料来说，静水压力不仅产生弹性的和塑性的体积应变，而且由于静水压力的存在，还会引起剪变形刚度的增大而使剪应变变化；而剪应力不仅会产生弹性的与塑性的应变，而且还会引起剪胀或者剪缩。

（3）一般的岩土属于与静水压力有关的摩擦型材料，因此对于土在中、低压下剪切时，屈服与破坏一般服从Mohr-Coulmb 准则，但在高压下，强度较Mohr-Coulmb 准则有所下降。

（4）静压力屈服特性，单纯的静水压力或平均应力不仅可以产生弹性体应变，而且可以产生塑性体应变，这就是岩土类材料的静压屈服特性。

（5）弹塑性耦合作用。

当岩石进入塑性阶段后，塑性变形的增加引起弹性性质的变化（弹性模量下降）。

这种现象就成为弹塑性耦合。

（6）岩土还存在初始各向异性和应力导致的各向异性。

岩土的初始各向异性一般是在沉积或地质作用过程中形成的，例如天然粘性土一般表现为在水平方向上的横向各向同性。

同时由于应力的作用，可以引起类似于金属的Bauschinger 效应的材料的各向异性。

（7）岩土材料的拉压强度不同。

砂土不能承受拉力。

粘性土能够承受很小的拉力，而且很不可靠。

岩石虽有一定的抗拉强度，但与其抗压强度相比，要小许多倍。

这种拉、压强度不同的性质，力学中称之为SD 效应（Rength Difference Effect）。

（8）塑性应变增量的方向一般的说不服从正交法则。

即塑性应变增量方向与屈服或破坏面的外法线不正交。

（9）土的应力—应变—强度关系与应力路径（应变路径）应力历史（应变历史）无关。

（10）岩土的应力—应变—强度还与时间有关，即岩土具有流变特性或粘滞性。

3.2 岩土塑性力学理论岩土弹塑性力学是从金属弹塑性力学发展过来的，但是针对岩土材料本身的特点，在进行弹塑性分析时，对岩土材料做了一定的假设。

这些假设通常包括以下几方面：（1）小变形假设，即应变和位移之间为几何上线性相关的。

（2）不计时间或应变速率对本构关系的影响。

（3）一般不考虑弹塑性耦合作用。

（4）在进行岩土体强度或稳定性问题的极限分析时，假设岩土材料为摩擦型或无摩擦型理想塑性材料。

在这些假设的基础上，发展了岩土弹塑性力学的理论。

而做了这些假设之后，简化了岩土弹塑性的分析过程，但是却使得岩土材料的弹塑性特点没有得到反应，反而使得岩土材料更加接近了金属类的材料。

岩土类材料的内摩擦力与剪应力的方向是相反的，所以在材料受力的过程中，内摩擦力对材料的强度是有提高的。

有人通过实验验证了岩土类材料在荷载作用下其内摩擦力的体现，主要反映为内摩擦系数随着正应力的变化而发生的变化。

最终，通过计算公式得到岩土类材料有别于金属类材料弹塑性的弹塑性方程，这其中主要考虑了内摩擦力的影响。