福建省泉州市2018届高三下学期质量检查(3月)数学(理)+Word版含答案

泉州市2018届普通中学高中毕业班质量检查
理科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合2{|log 0}A x x => ，{|13}B x x =-<< ，则A
B = （ ）
A ．(3-∞，）
B ．(1)-+∞，
C ．(11)-，
D ．(13)， 2.已知向量(32)a =， ，(23)b =， ,则下列结论正确的是（ ）
A ．a b ⊥
B ．()()a b a b -⊥+
C ．a b ∥
D ．()()a b a b -+∥ 3.已知函数()f x 是偶函数，且()(4)f x f x =+ ，(1)1f = ，则(9)f -= （ ） A ．1- B ．5- C ．1 D ．5 4.若22log a b c ==，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）
A ．a c b <<
B ．a b c << C.c b a << D ．b a c <<
5.已知实数x ，y 满足3240
02
x y x y x --⎧⎪
-⎨⎪⎩
≥≥≥ ，则1y z x =- 的最大值为（ ）
A ．1
B ．
43 C.3
2
D ．2 6.设函数()sin()f x x ωϕ=+ （0ω> ，0ϕ> ）的最小正周期为π ，且()()8
f x f π
≤ ，
则下列说法不正确的是（ ） A ．()f x 的一个零点为8
π
- B ．()f x 的一条对称轴为8
x π
=
C.()f x 在区间35(
)88ππ， 上单调递增 D ．()8
f x π
+ 是偶函数 7.执行如图所示的程序框图，则输出S = （ ）
A ．45-
B ．36 C.64 D ．204
8.惠安石雕是中国传统雕刻技艺之一，历经一千多年的繁衍发展，仍然保留着非常纯粹的中国艺术传统，左下图粗实虚线画出的是某石雕构件的三视图，该石雕构件镂空部分最中间的一块正是魏晋期间伟大数学家刘徽创造的一个独特的几何体——牟合方盖（如下右图），牟合方盖的体积3
23
V d =
（其中d 为最大截面圆的直径）.若三视图中网格纸上小正方形的边长为1 ，则该石雕构件的体积为（ ）
A ．451252π-
B ．5094542π- C.451432π- D ．451612
π
-
9.如图所示，正六边形ABCDEF 中，P 为线段AE 的中点，在线段DE 上随机取点Q ，入射光线PQ 经DE 反射，则反射光线与线段BC 相交的概率为（ ）
A ．
14 B ．13 C.512 D ．23
10.已知点P 是双曲线E ：22
221x y a b
-= （0a > ，0b > ）与圆2222x y a b +=+ 的一个
交点，若P 到x 轴的距离为a ，则E 的离心率等于（ ） A
．1+
B
11.现为一球状巧克力设计圆锥体的包装盒，若该巧克力球的半径为3 ，则其包装盒的体积的最小值为（ ）
A ．36π
B ．72π C. 81π D ．216π
12.不等式2ln (2)2x x x a x a ++-≤ 有且只有一个整数解，则a 的取值范围是（ ）
A ．[1)-+∞，
B ．(44ln 2][1)-∞---+∞，， C.(33ln3][1+)-∞---∞，
， D ．(44ln 233ln3][1)-----+∞，， 第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知复数(12)(2)z i i =+- ，则z = ． 14.4
4
1
(1)(1)x x
-+ 的展开式中，常数项是 ．
15.已知抛物线E ：2
4y x = 的焦点为F ，准线为l ，l 交x 轴于点T ，A 为E 上一
点，1AA 垂直于l ，垂足为1A ，1A F 交y 轴于点
S ，若ST AF ∥ ，则AF = ．
16.在平面四边形ABCD 中，=120ABC ∠︒
，AC =，23AB BC = ，2AD BD = ，
BCD △
的面积为，则AD = ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 记数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知1 ，n a ，n S 成等差数列. （1）求{}n a 的通项公式； （2）若1
12(1)(1)
n n n n a b a a +++=
-- ，证明：12213n b b b ++
+<≤ .
18. 如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥ ，90BAD ∠=︒ ， AB =，4BC = ，
6AD = ，E 是AD 上的点，1
3
AE AD =
，P 为BE 的中点，将ABE △ 沿BE 折起到1A BE △ 的位置，使得14A
= ，如图2.
（1）求证：平面1ACP ⊥平面1A BE ； （2）求二面角1B A P D -- 的余弦值.
19. 某公司订购了一批树苗，为了检测这批树苗是否合格，从中随机抽测100 株树苗的高度，经数据处理得到如图的频率分布直方图，起中最高的16 株树苗高度的茎叶图如图所示，以这
100 株树苗的高度的频率估计整批树苗高度的概率.
（1）求这批树苗的高度高于1.60 米的概率，并求图19-1中，a ，b ，c 的值；
（2）若从这批树苗中随机选取3 株，记ξ 为高度在(1.40 1.60]，
的树苗数列，求ξ 的分布列和数学期望.
（3）若变量S 满足()0.6826P S μσμσ-<+>≤且
(22)0.9544P S μσμσ-<+>≤，则称变量S 满足近似于正态分布2()N μσ， 的概率
分布.如果这批树苗的高度满足近似于正态分布(1.50.01)N ， 的概率分布，则认为这批树苗是合格的，将顺利获得签收；否则，公司将拒绝签收.试问，该批树苗能否被签收？ 20. 过圆C ：224x y += 上的点M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足
3
NP NM =
.当M 在C 上运动时，记点P 的轨迹为E . （1）求E 的方程；
（2）过点(01)Q ， 的直线l 与E 交于A ，
B 两点，与圆
C 交于S ，T 两点，求AB ST ⋅ 的取值范围.
21. 已知函数()(2)()x f x x e ax =-- . （1）当0a > 时，讨论()f x 的极值情况； （2）若(1)[()]0x f x a e --+≥ ，求a 的值.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t α
α
=+⎧⎨
=+⎩ （t 为参数，0απ<≤ ）.
在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标中，曲线C ：=4cos ρθ . （1）当4
π
α=
时，求C 与l 的交点的极坐标；
（2）直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且两点对应的参数1t ，2t 互为相反数，求AB 的值.
23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()2f x x a x =-++.
（1）当1a = 时， 求不等式()f x ≤5 的解集； （2）0x ∃∈R ，0()21f x a +≤ ，求a 的取值范围.
泉州市2018届普通高中毕业班质量检查 理科数学试题参考答案及评分细则
一、选择题
1-5:BBCAB 6-10:CBCCD 11、12：BD
二、填空题
13.5 14. 6 （15）4； （16
）.
三、解答题
17.解：（1）由已知1，n a ，n S 成等差数列，得21n n a S =+…① 当1n = 时，1121a S =+，所以11a =； 当2n ≥时，1121n n a S --=+…②， ①②两式相减得122n n n a a a --=，所以
1
2n
n a a -=， 则数列{}n a 是以11a =为首项，2q =为公比的等比数列， 所以1111122n n n n a a q ---==⨯=．
（2）由（1）得()()()()11122 112121n
n n n n
n n a b a a ++++==---- 111
2121
n n +=
---， 所以，
12n b b b ++
+ 22311
1111
1212121212121n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+
+- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
11
121
n +=-
-
因为1
221213n +-≥-=，111021
3
n +<
≤
-， 所以
12111321n +≤-<-，即证得12213
n b b b ≤+++<．
18.解：（1）连结CE ．
在四边形ABCD 中，//AD BC ，90BAD ∠=︒
，AB =4BC =，6AD =，
1
3
AE AD =，
∴12A E AE ==，
4BE DE ==， 四边形BCDE 为菱形，且BCE ∆为等边三角形． 又∵P 为BE 的中点，∴CP BE ⊥. ∵1122
A P BE =
=
，CP =14AC =，满足222
11A P CP AC +=， ∴1CP A P ⊥， 又∵1A P
BE P =，∴CP ⊥平面1A BE .
∵CP ⊂平面1ACP ，∴平面1
ACP ^平面1A BE ． （2）以P 为原点，向量,PB PC 的方向分别为x 轴、y 轴的正方向建立空间直角坐标系P xyz -（如图）
， 则()0,0,0
P C
，(D -
，(1A -，
所以(1PA =-
，(PD =-， 设(),,x y z =n 是平面1A PD 的一个法向量，
则10,0,PA PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n
即0,40,x x ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩
取1z =
，得=n ．
取平面1A BE 的一个法向量()0,1,0=m ．
∵cos ,2
=
==
n m n m n m ， 又二面角1B A P D --的平面角为钝角， 所以二面角1B A P D --
的余弦值为
D
19.解：（1）由图19-2可知，100株样本树苗中高度高于1.60的共有15株， 以样本的频率估计总体的概率，可得这批树苗的高度高于1.60的概率为0.15. 记X 为树苗的高度，结合图19-1可得：
2
(1.20 1.30)(1.70 1.80)0.02100f X f X <≤=<≤=
=， 13
(1.30 1.40)(1.60 1.70)0.13100f X f X <≤=<≤==，
1
(1.40 1.50)(1.50 1.60)(120.0220.13)0.352f X f X <≤=<≤=-⨯-⨯=，
又由于组距为0.1，所以0.2, 1.3, 3.5a b c ===．
（2）以样本的频率估计总体的概率，可得：从这批树苗中随机选取1株，高度在[1.40,1.60]的概率(1.40 1.60)(1.40 1.50)(1.50 1.60)0.7P X f X f X <≤=<≤+<≤=. 因为从这批树苗中随机选取3株，相当于三次重复独立试验， 所以随机变量ξ服从二项分布(3,0.7)B ，
故ξ的分布列为：33()C 0.30.7(0,1,2,3)n
n n P n n ξ-==⋅⋅=， 8分
即：
()00.02710.18920.44130.343 2.1E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=
（或()30.7 2.1E ξ=⨯=）.
（3）由(1.5,0.01)N ，取 1.50μ=，0.1σ=，
由（Ⅱ）可知，()P X μσμσ-<≤+=(1.40 1.60)0.7>0.6826P X <≤=， 又结合（Ⅰ），可得：
(22)P X μσμσ-<≤+=(1.30 1.70)P X <≤ 2(1.60 1.70)(1.40 1.60)f X P X =⨯<≤+<≤ 0.96>0.9544=，
所以这批树苗的高度满足近似于正态分布(1.5,0.01)N 的概率分布，应认为这批树苗是合格的，将顺利获得该公司签收．
20.解：（1）设M 点坐标()00,x y ，N 点坐标()0,0x ，P 点坐标(),x y ，
由32NP NM =
可得00
=,
,x x y y ⎧⎪
⎨=⎪⎩
因为M 在圆C :224x y +=上运动，
所以点P 的轨迹E 的方程为22143
x y +=． （2）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =
，此时AB =，4ST =，
所以AB ST ⋅=
当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为1y kx =+，()11,A x y ，()22,B x y ，
联立方程组22114
3y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，
，消去y ，整理得()22
43880k x kx ++-=，
因为点()0,1Q 在椭圆内部，所以直线l 与椭圆恒交于两点， 由韦达定理，得122843k x x k -+=+，12
28
43
x x k -=+， 所以
AB =
=
2
43k =+， 在圆C :22
4x y +=，圆心()0,0
到直线l 的距离为d =
，
所以ST ==
所以AB ST ⎡⋅=⎣．
又因为当直线l 的斜率不存在时，AB ST ⋅=
所以AB ST ⋅的取值范围是⎡⎣．
21.解：（1）()f x '()()()
e 2e x x ax x a =-+--
()()1e 21x x a x =---
()()1e 2x x a =--．
因为0a >，由()0f x '=得，1x =或ln 2x a =．
①当e 2a =
时，()()()1e e 0x
f x x '=--≥，()f x 单调递增，故()f x 无极值． ②当e
0a <<时，ln 21a <．x ,()f x ',()f x 的关系如下表：
故()f x 有极大值()()2
ln 2ln 22f a a a =--，极小值()1e f a =-． ③当e
a >
时，ln 21a >．x ,()f x ',()f x 的关系如下表：
故()f x 有极大值()1e f a =-，极小值()()2
ln 2ln 22f a a a =--． 综上：当e 02
a <<时，()f x 有极大值()2
ln 22a a --，极小值e a -； 当e
2
a =
时，()f x 无极值；
当e 2
a >时，()f x 有极大值e a -，极小值()2ln 22a a --． （2）令()()e g x f x a =-+，则()1()0x g x -≥．
（i ）当0a ≤时，e 20x a ->，
所以当1x <时，()()(1)(e 2)0x g x f x x a ''==--<，()g x 单调递减， 所以()()10g x g >=，此时()1()0x g x -<，不满足题意．
（ii ）由于()g x 与()f x 有相同的单调性，因此，由（Ⅰ）知： ①当e 2
a =时，()g x 在R 上单调递增，又()10g =， 所以当1x ≥时，()0g x ≥；当1x <时，()0g x <． 故当e 2
a =
时，恒有()1()0x g x -≥，满足题意． ②当e 02a <<时，()g x 在()ln 2,1a 单调递减， 所以当()ln 2,1x a ∈时，()(1)0g x g >=，
此时()1()0x g x -<，不满足题意． ③当e 2
a >时，()g x 在()1,ln 2a 单调递减， 所以当()1,ln 2x a ∈时，()(1)0g x g <=，
此时()1()0x g x -<，不满足题意． 综上所述：e 2
a =． 22.【试题简析】解法一：（Ⅰ）由4cos ρθ=，可得24cos ρρθ=， 所以22
4x y x +=，即2240x y x +-=， \当π4α=时，直线l
的参数方程1,21,x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），化为直角坐标方程为y x =， 联立22,40,
y x x y x =⎧⎨+-=⎩解得交点为(0,0)或(2,2)， 化为极坐标为(0,0)
，π)4
（2）由已知直线恒过定点(1,1)P ，又021=+t t ，由参数方程的几何意义知P 是线段AB 的
中
点，曲线C 是以(2,0)C 为圆心，半径r 2=
的圆，且||PC =
由垂径定理知：||AB ===． 解法二：（1）依题意可知，直线l 的极坐标方程为π(R)4
θρ=∈， 当0ρ>时，联立π,44cos θρθ,
⎧=⎪⎨⎪=⎩
解得交点π)4， 当0ρ=时，经检验(0,0)满足两方程，
当0ρ<时，无交点；
综上，曲线C 与直线l 的点极坐标为(0,0)
，π)4
． （2）把直线l 的参数方程代入曲线C ，得22(sin cos )20t t αα+--=， 可知120t t +=，122t t ⋅=-，
所以12||AB t t =-==
23.【试题简析】解：（1）当1a =时，()12f x x x =-++， ①当2x -≤时，()21f x x =--，
令()5f x ≤ 即215x --≤，解得32x --≤≤，
②当21x -<<时，()3f x =，
显然()5f x ≤成立，所以21x -<<，
③当1x ≥时，()21f x x =+，
令()5f x ≤ 即215x +≤，解得12x ≤≤，
综上所述，不等式的解集为{}|32x x -≤≤．
（2）因为()2()(2)2f x x a x x a x a =-++--+=+≥， 因为0R x ∃∈，有()21f x a +≤成立， 所以只需221a a ++≤，
化简可得21
0a -≥，解得11a a -≤或≥， 所以a 的取值范围为(,1][1,)-∞-+∞．。