中考最值问题讲义

中考最值问题讲义
“最值”问题：就是求一个变量在某范围内取最大或最小值的问题。

与几何有关的最小值（或最大值）问题，是几何计算问题的重要题型.由于这类问题具有很强的探索性(目标不明确)，解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、逻辑推理与合情想象相结合等思想方法． 1.求最值问题的基本方法：
（1）特殊位置与极端位置法； （2）利用函数模型求最值 （3）几何定理（公理）法；
① 三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； ② 两点间线段最短；
③ 连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短； ④ 定圆中的所有弦中，直径最长。

1.已知二次函数y=ax 2+bx 的图象经过点A （-1，1），则ab 有 A ．最大值 1 B ．最大值2 C ．最小值0 D ．最小值4
1
-
2.如图，点A 在半径为3的⊙O 内，OA=3，P 为⊙O 上一点，当∠OP A 取最大值时，P A 的长等于（ ）.
A ．
32
B ．6
C ．3
2 D ．23
3.在平面直角坐标系xOy 中，点P 在由直线3+-=x y ，直线4y =和直线1x =所围成的区域内或其边界上，点Q 在x 轴上，若点R 的坐标为(2,2)R ，则QP QR +的最小值为（ ）.
A ．17
B ．25+
C ．35
D ．4 4.如图，⊙O 的半径为2，点O 到直线l 的距离为3，点P 是直线 l 上的一个动点，PQ 切⊙O 于点Q ，则PQ 的最小值是 ．
5.如图，点P 在第一象限，△ABP 是边长为2的等边三角形，当点A 在x 轴的正半轴上运动时，点B 随之在y 轴的正半轴上运动，运动过程中，点P 到原点的最大距离是________；若将△ABP 的PA 边长改为22，另两边长度不变， 则点P 到原点的最大距离变为________.
6.如图，在△AOB 中，OA =OB =8，∠AOB =90°， 矩形CDEF 的顶点C 、D 、F 分别在边AO 、OB 、AB 上.
（1）若C 、D 恰好是边AO 、OB 的中点，矩形CDEF 的面积为_______； （2）若4
tan 3
CDO ∠=
，矩形CDEF 面积的最大值为___________. 7、在边长为2㎝的正方形ABCD 中，点Q 为BC 边的中点，点P 为对角线AC 上一动点，连接PB 、PQ ，则△PBQ 周长的最小值为_______㎝（结果不取近似值）. 8、如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE +的和最小，则这个最小值为（ ）
A ．23
B ．26
C ．3
D ．6 A C F
E
A D E P
B
A
M
O
N
P
9、如图，在锐角△ABC 中，AB ＝42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是____．
10、已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD =2，BC =DC =5，点P 在BC 上移动，则当P A +PD 取最小值时，△APD 中边AP 上的高为（ ） A 、17
17
2
B 、
17174 C 、 17178
D 、3
11. 如图，村庄A 、B 位于一条小河的两侧，若河岸a 、b 彼此平行，现在
要建设一座与河岸垂直的桥CD ，问桥址应如何选择，才能使A 村到B 村的路程最近？
★、如图，在三角形纸片ABC 中，已知∠ABC ＝90º，AC ＝5，BC ＝4，过点A 作直线l 平行于BC ，折叠三角形纸片ABC ，使直角顶点B 落在直线l 上的点P 处，折痕为MN ，当点P 在直线l 上移动时，折痕的端点M 、N 也随之移动，若限定端点M 、N 分别在AB 、AC 边上（包括端点）移动，则线段AP 长度的最大值与最小值的差为 ．
★、在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，将△ABC 绕顶点C 顺时针旋转，旋转角为θ(0°＜θ＜180°)，得到△A 1B 1C ．设AC 的中点为E ，A 1B 1的中点为P ，AC ＝a ，连接EP ．当θ＝ °时，EP 的长度最大，最大值为 ．
★、以数轴上的原点O 为圆心， 3为半径的扇形中，圆心角∠AOB =90°， 另一个扇形是以点P 为圆心， 5为半径，圆心角∠CPD =60°，点P 在数轴上表示实数a ，如图，如果两个扇形的圆弧部分( 弧AB 和弧CD )相交,那么实数 a 的取值范围是 ．
★如图，⊙O 的半径为1，点A 是半圆上的一个三等分点，点B 是AN
的中点，P 是直径MN 上的一个动点，则P A +PB 的最小值为__________.
★如图，△ABC 中，∠BAC =60°，∠ABC =45°，AB =2，D 是线段BC 上的一个动点，以AD 为直径画⊙O 分别交AB ，AC 于E ，F ，连接EF ，则线段EF 长度的最小值为 ．
12.如图，在△ABC 中，BC =3，AC =2，P 为BC 边上一个动点，过点P 作PD ∥AB ，交AC 于点D ，连结BD ．
（1）如图1，若∠C =45°，请直接写出：当
BP
PC
= 时，△BDP 的面积最大； （2）如图2，若∠C =α为任意锐角，则当点P 在BC 上 时，△BDP 的面积最大？
13.已知，如图，抛物线24(0)y ax bx a =++≠与y 轴交于点C ，与x 轴交
于点A B ，，点A 的坐标为(40)-，
，对称轴是1x =-． （1）求该抛物线的解析式；
（2）点M 是线段AB 上的动点，过点M 作MN ∥AC ，分别交y 轴、BC 于点P 、N ，连接CM ．当CMN △的面积最大时，求点M 的坐标；
（3）在（2）的条件下，求
CPN
ABC
S S ∆∆的值.
14. 如图，在直角坐标系中，梯形ABCD 的底边AB 在x 轴上，底边CD 的端点D 在y 轴上.直线CB 的表达式为3
16
34+-
=x y ，点A 、D 的坐标分别为（－4，0）
，（0，4）. 动点P 从A 点出发，在AB 边上匀速运动. 动点Q 从点B 出发，在折线BCD 上匀速运动，速度均为每秒1个单位长度. 当其中一个动点到达终
点时，另一动点也停止运动. 设点P 运动t （秒）时，△OPQ 的面积为S （不能构成△OPQ 的动点除外）.
（1）求出点C 的坐标；
（2）求S 随t 变化的函数关系式； （3）当t 为何值时，S 有最大值？并求出这个最大值.
15、定义一种变换：平移抛物线1F 得到抛物线2F ，使2F 经过1F 的顶点A ．设2F 的对称轴分别交12F F ，于点D B ，，点C 是点A 关于直线BD 的对称点． 图1A B C D P
图2A
B P
C D
O x y A B C D P Q
（1）如图1，若1F ：2
y x =，经过变换后，得到2F ：2
y x bx =+，点C 的坐标为(20)，， 则①b 的值等于______________；②四边形ABCD 为（ ） A ．平行四边形 B ．矩形C ．菱形 D ．正方形
（2）如图2，若1F ：2y ax c =+，经过变换后，点B 的坐标为(21)c -，，求ABD △的面积；
（3）如图3，若1F ：2127
333
y x x =-+，经过变换后，23AC =，点P 是直线AC 上的动点，求点P 到点D 的距离和到直线AD 的距离之和的最小值．
16、如图，已知点A (-4，8)和点B (2，n )在抛物线2y ax =上．
(1) 求a 的值及点B 关于x 轴对称点P 的坐标，并在x 轴上找一点Q ，使得AQ +QB 最短，求出点Q 的坐标；
(2) 平移抛物线2y ax =，记平移后点A 的对应点为A ′，点B 的对应点为B ′，点C (-2，0)和点D (-4，0)是x 轴上的两个定点．
① 当抛物线向左平移到某个位置时，A ′C +CB ′ 最短，求此时抛物线的函数解析式；
② 当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A ′B ′CD 的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．
17．如图，把△OAB 放置于平面直角坐标系xOy 中，90OAB ∠=︒，3
2,2
OA AB ==，把△OAB 沿x 轴的
B
C A x y F O
D
E 负方向平移2OA 的长度后得到△DCE .
（1）若过原点的抛物线2
+y ax bx c =+经过点B 、E ，求此抛物线的解析式；
（2）若点P 在该抛物线上移动，当点P 在第一象限内时，过点P 作x PQ ⊥轴于点Q ，连结OP .若以O 、
P 、Q 为顶点的三角形与以B 、C 、E 为顶点的三角形
相似，直接写出点P 的坐标；
（3）若点M (-4，n ) 在该抛物线上，平移抛物线，记平移后点M 的对应点为M ′，点B 的对应点为B ′．
当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形M ′B ′CD 的周长最短？若存在，求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
18．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2
y x bx c =++经
过A （2，0）、B （4，0）两点，直线1
22
y x =
+交y 轴于点C ，且过点(8,)D m ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x 轴上找一点P ，使CP DP +的值最小，求出点P 的坐标；
（3）将抛物线2
y x bx c =++左右平移，记平移后点A 的对应点为'A ，点B
的对应点为'B ，当四边形''A B DC 的周长最小时，求抛物线的解析式及此时四边形''A B DC 周长的最小值．
19、如图，已知直线112y x =
+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线21
2
y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。

⑴求该抛物线的解析式；
⑵动点P 在x 轴上移动，当△PAE 是直角三角形时，求点P 的坐标P 。

⑶在抛物线的对称轴上找一点M ，使||AM MC -的值最大，求出点M 的坐标。

20、如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，直角梯形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA ＝AB ＝2，OC ＝3，过点B 作BD ⊥BC ，交OA 于点D ．将∠DBC 绕点B 按顺时针方向旋转，角的两边分别交y 轴的正半轴、x 轴的正半轴于点E 和F ．
（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；
（2）当BE 经过（1）中抛物线的顶点时，求CF 的长；
（3）在抛物线的对称轴上取两点P 、Q （点Q 在点P 的上方），且PQ ＝1，
要使四边形BCPQ 的周长最小，求出P 、Q 两点的坐标． A O
x
B
C
D y
E
21.在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，tan ∠BAC =
1
2
. 点D 在边AC 上（不与A ，C 重合），连结BD ，F 为BD 中点.
（1）若过点D 作DE ⊥AB 于E ，连结CF 、EF 、CE ，如图1． 设CF kEF =，则k = ；
（2）若将图1中的△ADE 绕点A 旋转，使得D 、E 、B 三点共线，点F 仍为BD 中点，如图2所示．求证：BE -DE =2CF ；
（3）若BC =6，点D 在边AC 的三等分点处，将线段AD 绕点A 旋转，点F 始终为BD 中点，求线段CF 长度的最大值．
22.已知抛物线C ：()112
++-=x m x y 的顶点在坐标轴．．．
上． （1）求m 的值；
（2）0>m 时，抛物线C 向下平移()0>n n 个单位后与抛物线1C ：c bx ax y ++=2关于y 轴对称，且1C 过点()3,n ，求1C 的函数关系式；
（3）03<<-m 时，抛物线C 的顶点为M ，且过点()0,1y P ．问在直线1-=x 上是否存在一点Q 使得△QPM 的周长最小，如果存在，求出点Q 的坐标， 如果不存在，请说明理由．
23. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线42
++=bx ax y 经过A （－3,0）、B （4,0）两点，且与y 轴交于点C ，点D 在x 轴的负半轴上，且BD ＝BC ，有一动点P 从点A 出发，沿线段AB 以每秒1个单位长度的速
度向点B 移动，同时另一个动点Q 从点C 出发，沿线段CA 以某一速度向点A 移动. （1）求该抛物线的解析式；
（2）若经过t 秒的移动，线段PQ 被CD 垂直平分，求此时t 的值；
（3）该抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使MQ ＋MA 的值最小？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.
24. （1）如图，要在燃气管道l 上修建一个泵站分别向A 、B 两镇供气. 泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？请你在所给图中画出泵站P 的位置，并保留作图痕迹；
（2）已知a >0，b >0，且a +b =2，写出22
14m a b =++的最小值； （3）已知a >0，b >02
2
a b +2
2
4a b +2
2
4a b +三角形的面积. B
C A D
E F B D E A F C B A C 1图2图备图B
A
l
25．已知：在平面直角坐标系xoy 中，抛物线2
45y ax x =++过点A （－1，0），对称轴与x 轴交于点C ，顶点为B ．
（1）求a 的值及对称轴方程； （2）设点P 为射线BC 上任意一点（B 、C 两点除外），过P 作BC 的垂线交直线AB 于点D ，连结PA ．设△APD 的面积为S ，点P 的纵坐标为m ，求S 与m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围； （3）设直线AB 与y 轴的交点为E ，如果某一动点Q 从E 点出发，到抛物线对称轴上某点F ，再到x 轴上某点M ，从M 再回到点E ．如何运动路径最短？请在直角坐标系中画出最短路径，并写出点M 的坐标和运动的最短距离．
26．如图，二次函数y =ax 2+2ax +4的图象与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，∠CBO 的正切值是2．
(1)求此二次函数的解析式．
(2)动直线l 从与直线AC 重合的位置出发，绕点A 顺时针旋转，与直线AB 重合时终止运动，直线l 与BC 交于点D ，P 是线段AD 的中点． ①直接写出点P 所经过的路线长．
②点D 与B 、C 不重合时，过点D 作DE ⊥AC 于点E 、作DF ⊥AB 于点F ，连接PE 、PF ，在旋转过程中，∠EPF 的大小是否发生变化？若不变，求∠EPF 的度数；若变化，请说明理由． ③在②的条件下，连接EF ，求EF 的最小值．
27. 如图，在平面直角坐标系xOy 中,二次函数2
3y x bx c =++的图象与x 轴交于A （-1,0）、B （3,0）两点, 顶点为C .
(1) 求此二次函数解析式；
(2) 点D 为点C 关于x 轴的对称点，过点A 作直线l ：33y x =+交BD 于点E ，过点B 作直线BK ∥AD
交直线l 于K 点.问：在四边形ABKD 的内部是否存在点P ，使得它到四边形ABKD 四边的距离都相等，若
存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；
(3) 在（2）的条件下，若M 、N 分别为直线AD 和直线l 上的两个动点，连结DN 、NM 、MK ，求DN NM MK ++和的最小值.
28.如图，抛物线2
6y ax ax a =+-与x 轴交于A 、B 两点(B 在A 右侧)，与y 轴交于点C . （1）求A 、B 两点坐标；
（2）若AD 平分∠CAB , 交CB 于D , 且AD ⊥CB ，求抛物线及直线AD 的解析式； （3）若点G 、C 关于x 轴对称，直线GB 交（2）中直线AD 于点K , M 、N
分别为直线 AC 和直线AK 上的两个动点，连接 CN 、NM 、MK ，求CN +NM +MK 的最小值. y x B A C O
29．已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，以点P （2，3）为圆心的圆与y 轴相切于点A ，与x 轴相交于B 、C 两点（点B 在点C 的左边）．
（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；
（2）在（1）中的抛物线上是否存在点M ，使△MBP 的面积是菱形ABCP 面积的
2
1
．如果 存在，请直接写出所有满足条件的M 点的坐标；如果若不存在，请说明理由；
（3）如果一个动点D 自点P 出发，先到达y 轴上的某点，再到达x 轴上某点，最后运动到（1）中抛物线的顶点Q 处，求使点D 运动的总路径最短的路径的长．.
30.在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数2
+2y ax ax c =+的图像与y 轴交于点(0,3)C ，与x 轴交于A 、B 两点，点B 的坐标为(-3,0)
（1） 求二次函数的解析式及顶点D 的坐标；
（2） 点M 是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM 把四边形ACDB 分成面积为1:2的两部分，求出此时点M 的坐标；
（3） 点P 是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P 在何处时△CPB 的面积最大？最大面积是多少？并求出 此时点P 的坐标.
31.已知：抛物线2
y ax bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ． 其
中点A 在x 轴的负半轴上，点C 在y 轴的负半轴上，线段OA 、OC 的长（OA <OC ）是方程2
540x x -+=的两个根，且抛物线的对称轴是
直线1x =．
（1）求A 、B 、C 三点的坐标；
（2）求此抛物线的解析式；
（3）若点D 是线段AB 上的一个动点（与点A 、B 不重合），过点D 作DE
∥BC 交AC 于点E ，连结CD ，设BD 的长为m ，△CDE 的面积为S ，求S 与m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围．S 是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时D 点坐标；若不存在，请说明理由．
32．已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 是菱形，顶点A ．C ．D 均在坐标轴上，且AB=5，sinB=
45
． （1）求过A ．C ．D 三点的抛物线的解析式； （2）记直线AB 的解析式为y 1=mx+n ，（1）中抛物线的解析式为y 2=ax 2+bx+c ，求当y 1＜y 2时，自变量x 的取值范围；
（3）设直线AB 与（1）中抛物线的另一个交点为E ，P 点为抛物线上A 、E 两点之间的一个动点，当P 点在何处时，△PAE 的面积最大？并求出面积的最大值． y x
A F O D B
E C
O D
A
y C
x
B (E )
F
J
33．如图，把两个全等的Rt △AOB 和Rt △ECD 分别置于平面直角坐标系xOy 中，使点E 与点B 重合，直角边OB 、BC 在y 轴上．已知点D (4，2)，过A 、D 两点的直线交y 轴于点F ．若△ECD 沿DA 方向以每秒2个单位长度的速度匀速平移，设平移的时间为t （秒），记△ECD 在平移过程中某时刻为△'''E C D ， ''E D 与AB 交于点M ，与y 轴交于点N ， ''C D 与AB 交于点Q ，与y 轴交于点P (注：平移过程中，点'D 始终在线段DA 上，且不与点A 重合). （1）求直线AD 的函数解析式；
（2）试探究在△ECD 平移过程中，四边形MNPQ 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及t 的取值；若不存在，请说明理由；
（3）以MN 为边，在''E D 的下方作正方形MNRH ，求正方形MNRH 与坐标轴有两个公共点时t 的取值范围．
34. 如图（1），抛物线35
18
532+-=x x y 和y 轴的交点为M A ,为OA 的中点，若有一动点P ，自M 点处出发，沿直线运动到x 轴上的某点（设为点E ），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F ），最后又沿直线运动到点A ，求使点P 运动的总路程最短的点E ，点F 的坐标，并求
出这个最短路程的长。

34.如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 三个顶点的坐标分别为
()6,0A -，()6,0B ，(0,43C ，延长AC 到点D,使CD=1
2
AC ,过点D 作DE ∥AB 交BC 的延长线于
点E.
（1）求D 点的坐标；
（2）作C 点关于直线DE 的对称点F,分别连结DF 、EF ，若过B 点的直线y kx b =+将四边形CDFE 分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；
（3）设G 为y 轴上一点，点P 从直线y kx b =+与y 轴的交点出发，先沿y 轴到达G 点，再沿GA 到达A 点，若P 点在y 轴上运动的速度是它在直线GA 上运动速度的2倍，试确定G 点的位置，使P 点按照上述要求到达A 点所用的时间最短。

（要求：简述确定G 点位置的方法，但不要求证明）
x
y
O
A
F
E
M
图1
B C 图2
D
A C
B P 36、如图（1），直线23+-=x y 与x 轴交于点
C ，与y 轴交于点B ，点A 为y 轴正半轴上的一点，⊙A 经过点B 和点O ，直线BC 交⊙A 于点
D 。

（1）求点D 的坐标； （2）过O ，C ，D 三点作抛物线，在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使线段PO 与PD 之差的值最大？若存在，请求出这个最大值和点P 的坐标。

若不存在，请说明理由。

37．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2
12
y x bx c =-
++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在原点的左侧，点B 在原点的右侧），与y 轴交于点C ，且OA ＝2，OC ＝3． （1）求抛物线的解析式；
（2）若点E 在第一象限内的此抛物线上，且OE ⊥BC 于D ，求点E 的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使线段P A 与PE 之差的值最大？若存在，请求出这个最大
值和点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
38．如图1，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =5，以点B 为圆心，以2为半径作圆.
⑴设点P 为☉B 上的一个动点，线段CP 绕着点C 顺时针旋转90°，得到线段CD ，联结DA ，DB ，PB ，如图2．求证：AD =BP ；
⑵在⑴的条件下，若∠CPB =135°，则BD =___________； ⑶在⑴的条件下，当∠PBC =_______° 时，BD 有最大值，且最大值为__________； 当∠PBC =_________° 时，BD 有最小值，且最小值为__________．
A O
x y
D C B
百度文库- 让每个人平等地提升自我
11。