2021届河北省衡水中学高三上学期期中考试数学试卷(理)

河北省衡水中学2021届高三上学期期中考试数学试卷（理）
本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。

共150分，时间120分钟。

I 卷
一.选择题：本题共12个小题，每小题均只有一个正确选项，每小题5分，共60分。

1.集合M ＝{x |2x 2－x －1<0}，N ＝{x |2x ＋a >0}，U ＝R ，若M ∩U N ＝∅，则a 的取值范围是( )
A.a >1
B.a ≥1
C.a <1
D.a ≤1 2.若直线y ＝kx 与双曲线22
94
x y -＝1相交，则k 的取值范围是( ) A.(0，23) B.(－23，0) C.(－23，23) D.(－∞，－23)∪(23
，＋∞) 3.在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，1BD BC 2=
，则AD BD ⋅＝( ) A.－52 B.52 C.－54 D.54
4.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－n ，正项等比数列{b n }中，b 2＝a 3，b n ＋3b n －1＝4b n 2(n ≥2，n ∈N ＋)，则log 2b n ＝( )
A.n －1
B.2n －1
C.n －2
D.n
5.已知直线ax ＋y －1＝0与圆C ：(x －1)2＋(y ＋a )2＝1相交于A ，B ，且△ABC 为等腰直角三角形，则实数a 的值为( ) A.17
或－1 B.－1 C.1 D.1或－1 6.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若a 2＋b 2＝2014c 2，则
()2tanA tanB
tanC tanA tanB ⋅+的值为( )
A.2013
B.1
C.0
D.2014
7.已知点M (a ，b )(ab ≠0)是圆C ：x 2＋y 2＝r 2内一点，直线l 是以M 为中点的弦所在的直线，直线m 的方程为bx －ay ＝r 2，那么( )
A.l ⊥m 且m 与圆C 相切
B.l //m 且/W 与圆C 相切
C.l ⊥m 且m 与圆C 相离
D.l //m 且w 与圆C 相离
8.若圆x 2＋y 2－ax ＋2y ＋1＝0和圆x 2＋y 2＝1关于直线y ＝x －1对称，过点C (－a ，a )的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程是( )
A.y 2－4x ＋4y ＋8＝0
B.y 2＋2x －2y ＋2＝0
C.y 2＋4x －4y ＋8＝0
D.y 2－2x －y ＋1＝0
9.平行四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，AB AD ⋅＝－1，点M 在边CD 上，则MA MB ⋅的最大值为( )
－1 1 C.0 D.2
10.已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF ⊥BF ，设∠ABF ＝α，且α∈『6π，4
π』，则该椭圆的离心率e 的取值范围是( )
A.『2，1』
B.『21』
C.『2
D. 11.已知点A 是抛物线x 2＝4y 的对称轴与准线的交点，点B 为抛物线的焦点，P 在抛物线上且满足|P A |＝m |PB |，当m 取最大值时，点P 恰好在以A ，B 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( )
A.12
B.12
＋1 －1 12.已知在R 上的函数f (x )满足如下条件：①函数f (x )的图象关于y 轴对称；②对于任意x ∈R ，f (2＋x )－f (2－x )＝0；③当x ∈『0，2』时，f (x )＝x ；④函数f (n )(x )＝f (2n －1·x )，n ∈N *，若过点(－1，0)的直线l 与函数f (4)(x )的图象在x ∈『0，2』上恰有8个交点，在直线l 斜率k 的取值范围是( )
A.(0，811)
B.(0，118)
C.(0，819)
D.(0，198
) II 卷
二.填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。

13.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知sin (2A ＋6
π)＝12，b ＝1，△ABC
sin sin b c B C
++的值为 。

14.已知平面上有四点O ，A ，B ，C ，向量OA OB OC ，，满足：OA OB OC 0=++ OA OB OB OC OC OA 1⋅=⋅=⋅=-，则△ABC 的周长是 。

15.已知F 1.F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝3π，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为 。

16.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －2n ＋1，若不等式2n 2－n －3<(5－λ)an n 对∀n ∈N ＋恒成立，则整数λ的最大值为 。

三.解答题：本大题共6题，共70分。

17题10分，其余大题各12分解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤。

17.在△ABC 中，角A .B .C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量3A 3A m (cos ,sin )22=，A A n (cos sin )22=，，且满足m n 3+=。

(1)求角A 的大小；
(2)若b ＋c ，试判断△ABC 的形状。

18.已知圆C 经过原点O (0，0)且与直线y ＝2x －8相切于点P (4，0)。

(I)求圆C 的方程；
(II)在圆C 上是否存在两点M ，N 关于直线y ＝kx －1对称，且以线段MN 为直径的圆经过原点？若存在，写出直线MN 的方程；若不存在，请说明理由。

19.各项均为正数的数列{a n }中，a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，对任意n ∈N *，有2S n ＝2pa n 2＋pa n －p (p ∈R )；
(1)求常数p 的值；
(2)求数列{a n }的通项公式；
(3)记b n ＝n n 4S
2n 3
⋅+，求数列的{b n }的前n 项和T n 。

20.已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的离心率e ＝2，原点到过点A (a ，0)，B (0，－b )
(1)求椭圆C 的方程；
(2)如果直线y ＝kx ＋1(k ≠0)交椭圆C 于不同的两点E ，F ，且E ，F 都在以B 为圆心的圆上，求k 的值。

21.已知定点F(0，1)，定直线m：y＝－1，动圆M过点F，且与直线m相切。

(I)求动圆M的圆心轨迹C的方程；
(II)过点F的直线与曲线C相交于A，B两点，分别过点A，B作曲线C的切线l1，l2，两条切线相交于点P，求△P AB外接圆面积的最小值。

22.设函数f(x)＝ln x－1
2
ax2－bx。

(I)当a＝b＝1
2
时，求函数f(x)的最大值；
(II)令F(x)＝f(x)＋1
2
ax2＋bx＋
a
x
，(0<x≤3)其图象上任意一点P(x0，y0)处切线的斜率k≤
1
2
恒
成立，求实数a的取值范围；
(III)当a＝0，b＝－1，方程2mf(x)＝x2有唯一实数解，求正数m的值。

——★参考答案★——
期中考试数学试卷
11。