基于XFEM与SVR的正交各向异性材料板结构疲劳寿命预测

基于XFEM与SVR的正交各向异性材料板结构疲劳寿命预测袁阿辉;向家伟;蒋占四
【摘要】针对含有裂纹的正交各向异性材料板结构疲劳寿命预测计算量大、精度低,提出一种基于扩展有限元法(XFEM)与支持向量机回归(SVR)的正交各向异性材料板结构疲劳寿命预测方法.在常规有限元法位移函数中加入加强函数来反映裂纹的不连续性和裂尖的奇异性,用区域积分法计算裂纹的应力强度因子,采用SVR预测板结构的疲劳寿命.与传统的预测方法相比,该方法的预测精度高,计算量小.
【期刊名称】《桂林电子科技大学学报》
【年(卷),期】2018(038)004
【总页数】4页(P332-335)
【关键词】正交各向异性材料结构;扩展有限元法;支持向量机;应力强度因子;疲劳寿命预测
【作者】袁阿辉;向家伟;蒋占四
【作者单位】桂林电子科技大学机电工程学院,广西桂林541004;温州大学机电工程学院,浙江温州325035;桂林电子科技大学机电工程学院,广西桂林541004【正文语种】中文
【中图分类】O346;TH114
近年来，正交各向异性材料广泛应用于航空航天、交通运输等结构系统中，因此正交各向异性材料缺陷的研究极具意义。

裂纹是工程材料中一种常见的缺陷，若不能
对可能产生裂纹或已产生裂纹的结构进行有效分析，将会影响整个结构系统的安全性及可靠性。

因此，对含有裂纹的正交各向异性材料的疲劳寿命进行预测成为当前研究的一个重点和热点。

Nobile等[1]采用数值分析的方法，对正交各向异性材料在双向均布载荷作用下的弹性断裂性能进行了分析，发现裂纹扩展不仅取决于载荷参数，还受各向异性材料弹性参数的影响。

Aygül等[2]采用有限元法模拟正交各向异性钢桥面板，并预测
其疲劳寿命。

一些专家提出了不同的数值分析方法，如有限元法[3]、无网格法[4]、边界元法[5]等，并通过这些方法分析各向异性材料的裂纹问题。

其中有限元法是
一种应用最广泛的数值分析方法。

文献[6-7]基于单位分解的思想在有限元框架内
加入了反映裂纹及裂尖特征的加强函数，提出了扩展有限元法。

文献[8-9]采用扩
展有限元法及其改进的裂尖加强函数，模拟了正交异性复合材料的裂纹问题。

Shojaee等[10]采用扩展有限元法和等几何法，分析了正交异性双材料的断裂问题。

Bhattacharya等[11]采用扩展有限元法，分析了功能梯度材料在循环热载荷下的
疲劳寿命。

陆勇俊等[12]采用扩展有限元法，分析了飞机典型结构的疲劳寿命。

尽管扩展有限元法已成功应用于正交各向异性材料裂纹的模拟，但其在预测疲劳寿命时运算量大，求解效率低。

鉴于此，针对有限元模拟裂纹需要庞大计算量问题，采用扩展有限元法模拟裂纹扩展，用域积分法计算部分应力强度因子，以减少计算量，并通过SVR预测剩余的应力强度因子，将该因子代入Paris公式中进行疲劳
寿命计算。

1 扩展有限元法基本理论
XFEM是一种用最小重构网格的有限元法分析不连续问题的方法[6]。

XFEM分析
裂纹时无需网格重构，其网格和结构内部的几何相互独立，因此该方法处理裂纹问题具有先天优势。

XFEM模拟裂纹时，位移场函数
φI(x) φJ(x)H(x)+
(1)
其中：x为有限元模型内的任意点；I为节点标号；J和k分别为裂纹和裂尖单元节点标号；N为所有单元节点集，Ng为裂纹单元节点集，K1和K2分别为裂尖1
和2处的节点集；φI(x)，φJ(x)，φk(x)分别为节点I、J、k对应的形函数；uI为
传统有限元法中的节点自由度向量，bJ和分别为裂纹和裂尖单元加强节点处自由度；，分别为裂尖1、裂尖2处的加强函数；H(x)为Heaviside函数，
(2)
对于正交各向异性材料，利用平衡和相容条件，可得
a11μ4-2a16μ3+(2a12+a66)μ2-2a26μ+a22=0。

(3)
其中aij为柔度系数。

式(3)的根μk为复数或纯虚数，μk=μkx+iμky，k=1，2，且以共轭对μ1、、μ2、的形式出现。

正交各向异性裂尖加强函数为
,。

(4)
其中：
gk(θ)
r、θ为裂尖处的极坐标。

2 应力强度因子计算
应力强度因子是决定材料断裂特性的重要参数。

采用Kim等[3]提出的域积分法计算各向异性材料的应力强度因子，裂尖附近的周线积分可表示为
Γ。

(5)
其中：σijεij为应变能密度；nj为周线Γ的第j个法向单位矢量。

由于式(5)不适合有限元计算，Kim等[3]提出了式(5)的一个等效形式：
(6)
其中：A为周线Γ围绕裂纹尖端的内部区域；(),j为对xj(j=1,2)方向求导；q为光滑的权函数，在包含裂尖的开集内q=1，在Γ边界外q=0。

选择2个独立平衡状态，状态1为真实状态，状态2为辅助状态。

将2个状态叠加，得到第3个平衡状态，第3个状态积分为
JS=J+Jaux+M。

(7)
其中：J，Jaux分别为真实状态和辅助状态的积分值；M为互作用积分。

δ1j]dA,
(8)
线弹性条件下，εij)。

M可用应力强度因子表示为
(9)
其中：KI，KII分别为I型、II型应力强度因子；
μ1μ2)；
(11)
μ1+μ2)。

(12)
应力强度因子可通过2种状态求解：
状态1：当.0,时，
M(1)=2c11KI+c12。

(13)
状态2：当,.0时，
M(2)=2c12KI+2c22KII。

(14)
3 疲劳寿命预测
3.1 疲劳裂纹扩展分析
疲劳裂纹扩展应力强度因子幅值ΔK为
ΔK=Kmax-Kmin。

(15)
其中：Kmax、Kmin分别为最大和最小载荷下的应力强度因子。

对于含有裂纹的结构体的疲劳寿命，需对裂纹扩展进行研究。

选择最大周向应力准则为裂纹扩展准则，裂纹沿着最大周向应力方向扩展。

裂纹的开裂角方程为
KⅠsin θ+KⅡ(-1+3cos θ)=0。

(16)
裂纹的开裂角θ为
θ
裂纹的等效应力强度因子为
ΔKeq=ΔKⅠΔ
(18)
其中：ΔKⅠ、ΔKⅡ分别为Ⅰ型和Ⅱ型应力强度因子幅值。

裂纹扩展角示意图如图1所示。

图1 裂纹扩展角示意图Fig.1 Schematic diagram of crack growth angle
3.2 疲劳寿命预测模型
1963年，Paris提出了著名的Paris方程，该方程奠定了疲劳裂纹扩展与寿命分析的基础。

Paris方程广泛应用于裂纹扩展寿命研究，因此，应用Pairs方程对各向异性材料裂纹体的疲劳寿命作出初步预测。

Paris方程为
(19)
其中：a为裂纹长度；N为疲劳寿命；da/dN为裂纹的扩展速率；c和m为材料参数。

SVR在解决小样本、非线性及高维模式识别问题中具有许多特有的优势，其在天气预测、疾病预测等方面都有广泛的应用。

采用Gun教授编写的SVR工具箱预测裂纹的应力强度因子。

SVR模型中D为训练样本，裂纹的长度为测试样本，
(20)
其中：xi为裂纹长度，作为训练样本输入；yi为应力强度因子，作为训练样本输出；l为样本数。

本研究的支持向量机采用的损失函数为ε-不敏感损失函数，核函数为径向基核函数。

4 数值算例
图2为一个边长20 mm×20 mm的二维正交各向异性材料正方形板，其上下边
界受均匀拉应力σ，且σmin=0，σmax=20 MPa，板中心有长度2 mm的裂纹。

平面应力状态下，该正交各向异性裂纹板的参数为：弹性模量E11=114.8 GPa，
E22=117 GPa，剪切模量G12=9.66 GPa，泊松比v12=0.21，c=9.0×10-7，
m=2，临界断裂韧度KIC=0.764 MPa·m1/2。

图2 正交向异性中心裂纹板几何边界条件Fig.2 Geometry and boundary conditions for an orthotropic plate with a center crack
将正交各向异性裂纹板进行网格划分，如图3所示，其单元数为4 900。

SVR预
测模型的参数为ε=1×10-13，p1=15和C=5×1011。

裂纹扩展速率随裂纹长度
变化如图4所示。

从图4可看出，随着裂纹长度的增加，裂纹的扩展速率变快。

因此，当裂纹的长度达到临界断裂尺寸时，裂纹板会迅速发生断裂。

2种方法获得的结果具有高度一致性。

不同裂纹长度时疲劳寿命变化曲线如图5所示。

当裂纹
值较小时，疲劳寿命循环次数增加迅速；当裂纹扩展到一定值时，疲劳寿命循环次数增加量变小。

采用XFEM迭代求解本算例的疲劳寿命，裂纹的扩展步长设为
0.01 mm，至少需要450次迭代，有限元计算量大。

采用本方法预测疲劳寿命，
裂纹的扩展步长设为0.1 mm，将裂纹长度为2～4 mm的计算结果作为训练样本进行寿命预测，只需20次循环，大幅减少有限元计算量。

从图5还可看出，2种方法获得的结果误差较小,最大误差为2.5%。

因此，所提的预测方法计算效率高，计算量小。

图3 正交向异性中心裂纹板有限元网格划分Fig.3 Finite element mesh generation of an orthotropic center crack plate
图4 裂纹扩展速率随裂纹长度的变化Fig.4 The variation of crack growth rate with the crack length
图5 不同裂纹长度时疲劳寿命变化曲线Fig.5 Fatigue life variation cure of
different crack length
5 结束语
利用XFEM分析不连续问题的优点与SVR在预测方面的优势，提出一种基于XFEM和SVR的疲劳寿命方法。

通过XFEM分析裂纹问题，避免了网格重构，改进了有限元逼近空间，提高了方法的通用性。

采用XFEM计算部分裂纹长度的应力强度因子，作为训练样本，通过SVR进行预测不同裂纹长度的应力强度因子，最后采用Paris方程计算疲劳寿命。

计算结果显示：本方法能够快速得到与传统方法相近的结果。

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