2020年高考数学(理)高频考点 数列 专题13 数列的通项(根据数列的递推关系求通项)(解析版)
数列的递推公式及通项公式
数列的递推公式及通项公式数列是数学中一个重要的概念，是由一组按照特定规律排列的数所组成的序列。
数列有两种常见的表示方式：递推公式和通项公式。
本文将从基本概念入手，详细介绍数列的递推公式和通项公式，并结合实例加深理解。
一、数列的基本概念数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列。
数列中的每一个数称为该数列的项，用an表示。
通常用字母n表示项的位置。
例如，1, 3, 5, 7, 9, ... 是一个递增的奇数数列。
其中1是第1项，3是第2项，5是第3项，以此类推。
二、递推公式递推公式也称为递推关系式或递推式，用于表示数列中的每一项与前一项之间的关系。
通过递推公式，可以通过给定的前几项，求解后面的任意项。
递推公式的一般形式为an = f(an-1)，其中f表示规定的函数或运算。
可以根据数列的特点来确定递推公式。
例如，对于等差数列1, 3, 5, 7, 9, ...，我们可以观察到每一项与前一项之间的关系是+2。
因此，递推公式可以表示为an = an-1 + 2。
三、通项公式通项公式是用一个公式直接表示数列的第n项，无需通过前面的项推导得到。
通项公式更为简洁，可以方便地计算数列中任意一项的值。
通常用公式an = f(n)表示数列的通项公式，其中f(n)表示与项的位置n有关的函数或运算。
以等差数列为例，假设首项是a1，公差是d，那么通项公式可以表示为an = a1 + (n-1)d。
其中，a1表示首项的值，n表示项的位置，d表示公差。
四、使用递推公式和通项公式的实例1. 递推公式实例：考虑一个数列，首项是2，每一项都是前一项的3倍。
我们可以得到递推公式an = 3 * an-1。
根据递推公式，可以计算数列的前几项：a1 = 2a2 = 3 * a1 = 3 * 2 = 6a3 = 3 * a2 = 3 * 6 = 18a4 = 3 * a3 = 3 * 18 = 54...2. 通项公式实例：考虑一个等差数列，首项是1，公差是4。
数列的递推公式和通项公式
数列的递推公式和通项公式数列是数学中的一种常见概念，它由一系列按照一定规律排列的数所组成。
数列的递推公式和通项公式是数列的两种重要表示方式，它们可以帮助我们更好地理解和计算数列。
一、数列的递推公式数列的递推公式是指通过前一项或多项来推导出后一项的公式。
一般来说，递推公式可以分为线性递推和非线性递推两种。
1.1 线性递推公式线性递推公式是指数列中的每一项都可以通过前一项乘以一个常数再加上另一个常数得到。
一般可以用如下的形式表示：an = a(n-1) * r + b。
其中an表示数列中的第n项，a(n-1)表示数列中的第(n-1)项，r和b 为常数。
例如，如果数列的前两项分别为a1和a2，且每一项都等于前一项乘以2再加上1，则该数列的递推公式为：an = a(n-1) * 2 + 1。
利用这个递推公式，我们可以轻松求解数列中的任意一项。
1.2 非线性递推公式非线性递推公式是指数列中的每一项不能通过前一项乘以一个常数再加上另一个常数得到。
非线性递推公式的形式较为多样，常见的有多项式递推和递归递推等。
以多项式递推为例，假设数列的前两项分别为a1和a2，而后续项满足如下规律：an = an-1^2 + an-2^2。
在这种情况下，我们无法仅仅通过前一项或多项来计算后一项。
此时，我们需要借助递归或其他更复杂的方法来求解数列中的每一项。
二、数列的通项公式数列的通项公式是指通过数列的位置n来计算该位置上的数值。
通项公式可以直接给出数列前n项的数值，而不需要通过递推关系一步步推导。
通项公式也常被称为数列的一般项公式。
2.1 等差数列的通项公式等差数列是最常见的数列之一，它的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中an表示数列中的第n项，a1表示数列的首项，d表示公差。
例如，如果一个等差数列的首项为3，公差为2，则它的通项公式为an = 3 + (n-1)2。
通过这个通项公式，我们可以轻松计算出等差数列中的任何一项。
数列的递推公式及通项公式
数列的递推公式及通项公式数列是由一系列按照一定规律排列的数字组成的序列。
数列中的每个数字称为项，而这些项之间的关系可以通过递推公式和通项公式来描述。
本文将介绍数列的递推公式和通项公式，并通过具体的例子来解释其应用。
一、递推公式递推公式是指通过前一项或多项来确定后一项的公式。
递推公式可以分为线性递推和非线性递推两种类型。
1.1 线性递推线性递推是指数列的每一项都可以通过前一项乘以某个常数再加上某个常数得到。
其一般形式如下：an = a(n-1) * r + d其中，an代表数列中的第n项，a(n-1)代表数列中的第n-1项，r为公比，d为公差。
例如，给定数列1，3，5，7，9，...，其中第一项a1为1，公差d 为2。
根据数列的特点可以确定递推公式为：an = a(n-1) + 2通过递推公式，可以依次计算出数列的每一项。
1.2 非线性递推非线性递推是指数列的每一项不能用前一项的线性组合表示，而是通过其他的方式来确定。
例如，斐波那契数列就是一个常见的非线性递推数列。
斐波那契数列的递推公式为：an = a(n-1) + a(n-2)其中，a1 = 1，a2 = 1。
根据递推公式，可以计算出斐波那契数列的每一项。
二、通项公式通项公式是指通过数列的位置n来直接计算数列中的第n项的公式。
通项公式可以分为线性通项和非线性通项两种类型。
2.1 线性通项线性通项是指数列的每一项可以通过位置n的线性关系来计算。
其一般形式如下：an = a1 + (n-1) * d其中，an代表数列中的第n项，a1为数列首项，d为公差。
以等差数列为例，假设已知数列首项a1为2，公差d为3，可以通过线性通项公式an = 2 + (n-1) * 3计算出数列的任意一项。
2.2 非线性通项非线性通项是指数列的每一项不能用位置n的线性关系来计算，而是通过其他的方式来确定。
例如，等比数列就是一个常见的非线性通项数列。
等比数列的通项公式为：an = a1 * r^(n-1)其中，an代表数列中的第n项，a1为数列首项，r为公比。
2020高考数学《数列》
数列考试内容：数列．等差数列及其通项公式．等差数列前n项和公式．等比数列及其通项公式．等比数列前n项和公式．考试要求：（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题．（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，井能解决简单的实际问题．§03. 数列知识要点1. ⑴等差、等比数列：⑵看数列是不是等差数列有以下三种方法： ①),2(1为常数d n d a a n n ≥=-- ②211-++=n n n a a a (2≥n ) ③b kn a n +=(k n ,为常数).⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法： ①)0,,2(1≠≥=-且为常数q n q a a n n②112-+⋅=n n na a a (2≥n ，011≠-+n n n a a a )① 注①：i. acb =，是a 、b 、c 成等比的双非条件，即ac b =、b 、c 等比数列.ii. ac b =（ac ＞0）→为a 、b 、c 等比数列的充分不必要. iii. ac b ±=→为a 、b 、c 等比数列的必要不充分. iv. ac b ±=且0φac →为a 、b 、c 等比数列的充要.注意：任意两数a 、c 不一定有等比中项，除非有ac ＞0，则等比中项一定有两个. ③n n cq a =(q c ,为非零常数).④正数列{n a }成等比的充要条件是数列{n x a log }（1φx ）成等比数列.⑷数列{n a }的前n 项和n S 与通项n a 的关系：⎩⎨⎧≥-===-)2()1(111n s s n a s a n n n[注]： ①()()d a nd d n a a n -+=-+=111（d 可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）→若d 不为0，则是等差数列充分条件）. ②等差{n a }前n 项和n d a n d Bn An S n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=22122 →2d可以为零也可不为零→为等差的充要条件→若d 为零，则是等差数列的充分条件；若d 不为零，则是等差数列的充分条件. ③非零．．常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列） 2. ①等差数列依次每k 项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k 2倍...,,232k k k k k S S S S S --；②若等差数列的项数为2()+∈Nn n ，则，奇偶nd S S =-1+=n n a a S S 偶奇；③若等差数列的项数为()+∈-N n n 12，则()n n a n S 1212-=-，且n a S S =-偶奇，1-=n n S S 偶奇 得到所求项数到代入12-⇒n n . 3. 常用公式：①1+2+3 …+n =()21+n n ②()()61213212222++=+++n n n n Λ③()2213213333⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=++n n n Λ[注]：熟悉常用通项：9，99，999，…110-=⇒n n a ； 5，55，555，…()11095-=⇒nn a . 4. 等比数列的前n 项和公式的常见应用题：⑴生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为a ，年增长率为r ，则每年的产量成等比数列，公比为r +1. 其中第n 年产量为1)1(-+n r a ，且过n 年后总产量为：.)1(1])1([)1(...)1()1(12r r a a r a r a r a a n n +-+-=+++++++-⑵银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存a 元，利息为r ，每月利息按复利计算，则每月的a 元过n 个月后便成为n r a )1(+元. 因此，第二年年初可存款：)1(...)1()1()1(101112r a r a r a r a ++++++++=)1(1])1(1)[1(12r r r a +-+-+.⑶分期付款应用题：a 为分期付款方式贷款为a 元；m 为m 个月将款全部付清；r 为年利率.()()()()()()()()1111111 (1112)1-++=⇒-+=+⇒++++++=+--m m m mm m mr r ar x r r x r a x r x r x r x r a5. 数列常见的几种形式：⑴n n n qa pa a +=++12（p 、q 为二阶常数）→用特证根方法求解.具体步骤：①写出特征方程q Px x +=2（2x 对应2+n a ，x 对应1+n a ），并设二根21,x x ②若21x x ≠可设n n n x c x c a 2211.+=，若21x x =可设n n x n c c a 121)(+=；③由初始值21,a a 确定21,c c .⑵r Pa a n n +=-1（P 、r 为常数）→用①转化等差，等比数列；②逐项选代；③消去常数n 转化为n n n qa Pa a +=++12的形式，再用特征根方法求n a ；④121-+=n n P c c a （公式法），21,c c 由21,a a 确定.①转化等差，等比：1)(11-=⇒-+=⇒+=+++P rx x Px Pa a x a P x a n n n n . ②选代法：=++=+=--r r Pa P r Pa a n n n )(21x P x a P r P P r a a n n n -+=---+=⇒--1111)(1)1(Λ r r P a P n n +++⋅+=--Pr 211Λ.③用特征方程求解：⇒⎭⎬⎫+=+=-+相减，r Pa a r Pa a n n n n 111+n a 1111-+--+=⇒-=-n n n n n n Pa a P a Pa Pa a ）（. ④由选代法推导结果：Pr P P r a c P c a P r a c P r c n n n -+-+=+=-+=-=--111111112121）（，，. 6. 几种常见的数列的思想方法：⑴等差数列的前n 项和为n S ，在0πd 时，有最大值. 如何确定使n S 取最大值时的n 值，有两种方法：一是求使0,01π+≥n n a a ，成立的n 值；二是由n da n d S n )2(212-+=利用二次函数的性质求n 的值.⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前n 项和可依照等比数列前n 项和的推倒导方法：错位相减求和. 例如：, (2)1)12,...(413,211n n -⋅⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差21d d ，的最小公倍数.2. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于n ≥2的任意自然数,验证)(11---n nn n a a a a 为同一常数。
数列的递推公式与通项公式知识点总结
数列的递推公式与通项公式知识点总结数列是数学中常见的概念，它指的是按照一定规律排列的一系列数字。
而数列的递推公式与通项公式是研究数列的重要工具。
本文将对数列的递推公式与通项公式进行知识点总结，并探讨其应用。
一、数列的递推公式数列的递推公式，又称为递归公式，是一种用前一项或前几项表示后一项的规律。
递推公式能够方便地求解数列中任意一项的值，同时也能够帮助我们寻找数列的规律。
1.1 等差数列的递推公式等差数列是最简单且常见的一种数列，它的每一项与前一项之差都是一个常数d，称为公差。
设等差数列的首项为a1，公差为d，则等差数列的递推公式可以表示为：an = an-1 + d，其中n为项数，n>1。
例如，首项为3，公差为2的等差数列的递推公式为：an = an-1 + 2。
1.2 等比数列的递推公式等比数列是指数列中每一项与前一项之比都是一个常数q，称为公比。
设等比数列的首项为a1，公比为q，则等比数列的递推公式可以表示为：an = an-1 * q，其中n为项数，n>1。
例如，首项为2，公比为3的等比数列的递推公式为：an = an-1 * 3。
二、数列的通项公式数列的通项公式是一种用项数n表示第n项的公式。
通项公式能够直接求解数列中任意一项的值，不需要通过递推公式逐项计算。
通项公式的推导需要对数列的规律进行观察和总结。
2.1 等差数列的通项公式对于等差数列，它的通项公式可以表示为：an = a1 + (n-1) * d，其中n为项数。
例如，首项为3，公差为2的等差数列的通项公式为：an = 3 + (n-1) * 2。
2.2 等比数列的通项公式对于等比数列，它的通项公式可以表示为：an = a1 * q^(n-1)，其中n为项数。
例如，首项为2，公比为3的等比数列的通项公式为：an = 2 * 3^(n-1)。
三、递推公式与通项公式的应用递推公式和通项公式在数列相关问题中有广泛的应用，它们能够帮助我们求解数列中任意一项的值，推导数列的规律以及解决实际问题。
数列的递推关系与通项求解
数列的递推关系与通项求解数列是数学中常见的概念，指由一系列有序的数按照一定规律排列而成的序列。
在数列中，数之间存在着一种递推关系，即后一个数与前一个数之间的关系可以通过某种规律来确定。
而通过递推关系，我们还可以求解数列的通项公式，从而能够快速计算数列中任意位置的数值。
数列的递推关系指的是数列中每个数与它前面的数之间的关系，可以通过加减乘除等运算来表示。
常见的数列递推关系有等差数列、等比数列和斐波那契数列等。
其中，等差数列中的每个数与它前面的数之差都相等；等比数列中的每个数与它前面的数之比也相等；而斐波那契数列中的每个数是前两个数之和。
了解数列的递推关系对于求解数列的通项公式非常重要。
通项公式是数列中每个位置上的数值所满足的规律，通过该公式可以便捷地计算数列中任意位置上的数值，而不需要逐个递推计算。
求解通项公式的方法根据数列的递推关系不同而异。
对于等差数列，我们可以使用通项公式An=a1+(n-1)d来求解。
其中，An表示数列中第n个位置的数值，a1为数列的首项，d为公差（即相邻两个数之间的差）。
对于等比数列，通项公式为An=a1*r^(n-1)，其中An表示数列中第n个位置的数值，a1为数列的首项，r为公比（即相邻两个数之间的比值）。
而对于斐波那契数列，由于其递推关系较为特殊，不能直接使用通项公式求解。
一种常见的求解方法是使用递推法，即通过前两个数的和来计算后一个数。
斐波那契数列的递推关系可以表示为Fn=Fn-1+Fn-2，其中Fn表示数列中第n个位置的数值，F1和F2分别为数列的前两个数。
在实际问题中，数列的递推关系和通项公式的求解常作为数学问题的重点。
通过分析数列的递推关系，可以帮助我们更好地理解数学问题的背后规律，并快速求解数列中任意位置的数值。
因此，掌握数列的递推关系与通项求解方法对于数学学习具有重要意义。
总之，数列的递推关系与通项求解是数学中的重要概念。
了解数列的递推关系以及求解通项公式的方法，可以帮助我们更好地理解数学问题，提高问题解决的效率。
数列的通项公式及递推公式
数列的通项公式及递推公式数列是按照一定的规律排列的一系列数字。
在数学中，我们常常使用通项公式和递推公式来描述数列。
一、通项公式通项公式是指能够给出数列中第n项的公式。
也就是说，通过通项公式，我们可以直接计算出数列中任意一项的值，而不需要知道前面的所有项。
1.1等差数列的通项公式等差数列是指相邻两项之间的差值都是相等的数列。
一般地，等差数列可以写作a，a+d，a+2d，a+3d，...，其中a是首项，d是公差（即相邻两项之间的差值）。
等差数列的通项公式为：an = a + (n-1)d，其中an是数列中第n项的值，a是数列的首项，d是数列的公差。
举个例子，如果一个等差数列的首项是2，公差是3，那么这个数列的通项公式就是an = 2 + 3(n-1)。
1.2等比数列的通项公式等比数列是指相邻两项之间的比值都是相等的数列。
一般地，等比数列可以写作a，ar，ar^2，ar^3，...，其中a是首项，r是公比（即相邻两项之间的比值）。
等比数列的通项公式为：an = a * r^(n-1)，其中an是数列中第n 项的值，a是数列的首项，r是数列的公比。
举个例子，如果一个等比数列的首项是2，公比是3，那么这个数列的通项公式就是an = 2 * 3^(n-1)。
二、递推公式递推公式是指通过已知数列中的前几项来计算出下一项的公式。
也就是说，通过递推公式，我们可以通过已知的前几项来求解后面的项。
2.1等差数列的递推公式对于等差数列而言，递推公式可以表示为：an = an-1 + d。
这个公式表示数列中的第n项等于它前一项的值加上公差d。
2.2等比数列的递推公式对于等比数列而言，递推公式可以表示为：an = an-1 * r。
这个公式表示数列中的第n项等于它前一项的值乘以公比r。
举个例子，如果一个等差数列的首项是2，公差是3，那么数列的递推公式就是an = an-1 + 3对于一个等比数列的首项是2，公比是3，那么数列的递推公式就是an = an-1 * 3综上所述，通项公式和递推公式是描述数列的重要工具。
数列的通项公式与递推公式
数列的通项公式与递推公式数列是数学中的重要概念，在各个领域中都有广泛的应用。
数列由一系列有序的数字组成，可以通过通项公式和递推公式来进行描述和计算。
本文将着重介绍数列的通项公式和递推公式，并探讨它们在数学中的应用。
一、数列的概念和表示方法数列是按照一定顺序排列的一系列数字的集合。
数列中的每个数字称为数列的项，数列的第一个数字称为首项，数列的最后一个数字称为末项。
数列可以用一般项表示为{a₁，a₂，a₃，…}，其中a₁表示数列的首项，a₂表示数列的第二项，以此类推。
二、数列的通项公式数列的通项公式是指通过一个整数n，可以直接求得数列的第n项的公式。
数列的通项公式的形式可以根据数列的性质来确定。
1.等差数列的通项公式等差数列是指数列中后一项与前一项之差都相等的数列。
如果等差为d，首项为a₁，则等差数列的通项公式为an = a₁ + (n-1)d。
2.等比数列的通项公式等比数列是指数列中后一项与前一项之比都相等的数列。
如果公比为q，首项为a₁，则等比数列的通项公式为an = a₁ * q^(n-1)。
3.斐波那契数列的通项公式斐波那契数列是指数列中每一项都等于前两项之和的数列。
斐波那契数列的通项公式为an = (φ^n - (1-φ)^n) / √5，其中φ=(1+√5)/2。
三、数列的递推公式数列的递推公式是指通过前面的项来求解下一项的公式。
递推公式可以帮助我们从已知的项推导出其他的项。
1.等差数列的递推公式对于等差数列an，其递推公式为an = an-1 + d，其中an-1表示数列的前一项，d为等差。
2.等比数列的递推公式对于等比数列an，其递推公式为an = an-1 * q，其中an-1表示数列的前一项，q为公比。
3.斐波那契数列的递推公式斐波那契数列的递推公式为an = an-1 + an-2，其中an-1和an-2分别表示数列的前两项。
四、数列的应用数列的通项公式和递推公式在数学中有着广泛的应用。
2020届高考数学复习冲刺热点题型之数列的通项公式的求解方法
(（A.2016一．【学习目标】1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类函数.3.会利用已知数列的通项公式或递推关系式求数列的某项.4.会用数列的递推关系求其通项公式.二．【方法总结】1.利用通项公式，应用函数思想是研究数列特征的基本方法之一，应善于运用函数观点认识数列，用函数的图象与性质研究数列性质.练习 1. 已知数列 {a n}满足 a 1= 1 ，，则数列{-1)n a }的前 40 项的和为n）A. 19 325 41 20B.C.D.20 462 84 41【答案】D【方法总结】：这个题目考查的是数列的求和问题。
首先数列求和选用的方法有，裂项求和，主要用于分式能够通过写成两项相减的形式从而消掉中间的项；分组求和，用于相邻两项之和是定值，或者有规律的；错位相减求和，用于一个等差一个等比乘在一起求和的数列。
练习 2. 数列{a n}满足 a 1= 1 ，且对于任意的 n ∈ N * 都有 ，则 等于（）4032 2017 4034 B.C.D.20172017 2018 20183，则数列{a则,数列 ⎨⎧ 1 ⎩ n +1 a ⎭【答案】D【方法总结】：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．练习 3. 已知数列{an}满足 a 1= 1 ， a =21，若n }的通项 a = （）n A.1 111B. C. D.2n -1 2n - 13n -1 2n -1 + 1【答案】B【解析】, , ,1 ⎫- ⎬ 是首项为 2，公比为 2 的等比数列，a n，利用叠加法，，2n-1(B.(-1)n D.(-1)n-1..，则a=1n.选B.【方法总结】：由前几项归纳数列通项或变化规律的常用方法及具体策略(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同.对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用处理.练习1.数列的一个通项公式可能是（）A.(-1)n112n2nC.(-1)n-1112n2n【答案】D练习2.数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的通项公式是a n＝()A.(10n－1)B.C.(10n－1)D.(10n－1).【答案】B【解析】1－＝0.9，1－＝0.99，…，故原数列的通项公式为a n＝.选B.练习3．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类如下图中实心点的个数5，9，14，20，…为梯形数.根据图形的构成，记此数列的第2017项为a2017，则a2017-5=（）A. ⋅ ⎪B. ⋅ ⎪C. 2 ⋅ ⎪ -D. ⎪A.【答案】CB. C. 1008⨯ 2023 D. 2017⨯1008【方法总结】：根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：相邻项的变化特征；拆项后的各部分特征；符号特征．应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想．4.项和互化求通项例 4.设是数列 的前 项和，且，则 a =（ ）n1 ⎛ 1 ⎫n -13 ⎝ 2 ⎭ 1 ⎛ 2 ⎫n -12 ⎝3 ⎭⎛ 1 ⎫n 1 ⎛ 1 ⎫n⎝ 3 ⎭ 3 ⎝ 3 ⎭【答案】D【解析】由题意可得：，考查所给选项：，则选项 B 错误；当 n = 2 时：，即 ，考查 ACD 选项： ,2n2n-12n2n+12n2n-12n2n+12(1)-(2)得：2n-1a=122n22n则选项AC错误，本题选择D选项.【方法规律总结】：给出Sn与an的递推关系，求a n，常用思路是：一是利用转化为a n的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n的递推关系，先求出S n与n之间的关系，再求a n.练习1.设数列{a}满足n，通项公式是（）A.a=n1111B.a=C.a=D.a=n n n【答案】C练习2.设数列{an}满足，通项公式是（）A.a=n1111B.a=C.a=D.a=n n n【答案】C【解析】当n=1时，a=11，…………...(1)，……....(2), n n1n，a=，a=符合，则通项公式是a=111，选C.练习3.已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且，a=m，现有如下说法：1①a=5；②当n为奇数时，2则上述说法正确的个数为（）A.0个B.1个C.2个D.3个；③．5【方法总结】：给出S与a的递推关系求a，常用思路是：一是利用转化为a的递n n n n推关系，再求其通项公式；二是转化为S的递推关系，先求出S与n之间的关系，再求a.应用关系式n n n时，一定要注意分n=1,n≥2两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.5.构造辅助数列求通项（1）的形式例5.数列{a}满足nA.33B.32C.31D.34【答案】A【解析】数列{a}满足n项为1，得到则a=（）6，是以2为公比的等比数列，首a=33.6故答案为：A。
数列的递推公式和通项公式
数列的递推公式和通项公式数列是由一系列按照特定规律排列的数字组成的序列。
在数学中，数列是一种常见的概念，它可以通过递推公式和通项公式来表示。
本文将介绍数列的定义、递推公式和通项公式的含义和应用。
一. 数列的定义数列是一种有序排列的数字序列，常用字母an表示其中的每一项。
一般情况下，数列中的每一项都与前一项或多项之间存在某种关系。
数列通常用大括号{}表示，例如{an}。
二. 递推公式递推公式是指通过前一项或多项来确定数列中的下一项的公式。
也可以称之为递归公式。
递推公式包含了数列中各项之间的递推关系。
形式上，递推公式可以表示为an = f(an-1, an-2, ... , an-k)，其中an表示第n项，f表示递推关系的函数，an-1, an-2, ... , an-k表示前一项或多项。
递推公式的具体形式取决于数列的性质和递推关系的特点。
常见的递推公式包括等差数列、等比数列和斐波那契数列等。
1. 等差数列的递推公式等差数列是指数列中每一项与其前一项之差都相等的数列。
设数列的公差为d，首项为a1，则等差数列的递推公式为an = a1 + (n-1)d。
2. 等比数列的递推公式等比数列是指数列中每一项与其前一项之比都相等的数列。
设数列的公比为q，首项为a1，则等比数列的递推公式为an = a1 * q^(n-1)。
3. 斐波那契数列的递推公式斐波那契数列是指数列中每一项都等于其前两项之和的数列。
设数列的首两项分别为a1和a2，则斐波那契数列的递推公式为an = an-1 + an-2。
三. 通项公式通项公式是指能够直接计算数列第n项的公式，也称为一般公式。
通项公式将数列的第n项与n直接相关，而不需要通过前一项来计算。
通项公式通常用an表示。
通项公式的形式取决于数列的递推关系和数列的性质。
通项公式的推导方法各异，根据数列的特点，可以通过数列的递推关系、求和公式、解方程等方法得到相应的通项公式。
通项公式能够直接计算数列中任意一项的值，方便在数学中进行进一步计算和研究。
数列的递推公式与通项公式
数列的递推公式与通项公式数列是数学中非常重要的概念，它是由一系列按照特定规律排列的数所组成的序列。
在数列中，递推公式和通项公式是两个重要的概念，它们可以用来描述数列中每一项之间的关系和求解数列中任意一项的数值。
本文将详细介绍数列的递推公式和通项公式的概念、性质以及应用。
一、数列的递推公式数列的递推公式是指通过已知项和前一项之间的关系来确定数列中后一项的公式。
递推公式的一般形式可以表示为：an = f(an-1)，其中an表示数列中的第n项，an-1表示数列中的第n-1项，f为一个函数或运算关系。
递推公式可以是线性的，也可以是非线性的。
线性递推公式的形式通常为：an = a1 + (n-1)d，其中a1为数列中的首项，d为数列中的公差。
这种递推公式常见于等差数列中。
非线性递推公式的形式则更加多样化，可以根据具体的数列规律来确定。
递推公式的使用可以方便地计算数列中的任意一项。
通过已知的前几项，根据递推公式可以逐步计算出后面的项，从而得到完整的数列。
递推公式也可以用于描述一些实际问题中的数值关系，如金融中的复利计算、物理中的运动规律等。
二、数列的通项公式数列的通项公式是指通过数列中的项数n来表示数列中任意一项的公式。
通项公式的一般形式可以表示为：an = f(n)，其中an表示数列中的第n项，f为一个函数或运算关系。
通项公式是递推公式的逆运算，它可以通过已知的数列中的几个项来确定数列的通项公式。
通项公式可以使我们更加方便地计算数列中任意一项的数值，而不需要逐步计算。
对于某些简单的数列，可以直接通过观察数列中的规律来确定通项公式。
例如，等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，d为公差（等差数列）或r为公比（等比数列）。
对于复杂的数列，可以通过数列的递推关系来推导出通项公式。
具体的推导方法根据数列的性质而定，可能需要运用数学归纳法、代数运算等技巧。
数列的递推公式与通项公式
数列的递推公式与通项公式数列是数学中的重要概念，它是按照特定规律排列的一系列数值。
在数列中，递推公式和通项公式是两个关键概念。
递推公式用来描述数列中每一项与前一项之间的关系，而通项公式则是用来计算数列中任意一项的值。
本文将深入探讨数列的递推公式与通项公式，希望能帮助读者对数列的理解更加深入。
一、递推公式递推公式是数列中每一项与前一项之间的关系式。
通过递推公式可以计算出数列中的各项值，从而形成一个完整的数列。
递推公式可以是线性的，也可以是非线性的，具体形式取决于数列的特点。
以斐波那契数列为例，斐波那契数列是一个非常著名的数列，在数列中的前两项是1，之后的每一项都等于前两项之和。
可以得出斐波那契数列的递推公式如下：Fn = Fn-1 + Fn-2其中，Fn表示第n项的值，Fn-1表示第n-1项的值，Fn-2表示第n-2项的值。
通过递推公式，我们可以计算出斐波那契数列中任意一项的值。
除了非线性的递推公式，还有一些数列的递推公式是线性的。
例如，等差数列和等比数列就可以使用线性的递推公式来描述。
在等差数列中，每一项都是前一项加上一个固定的差值d，递推公式可以表示为：an = a1 + (n-1)d其中，an表示第n项的值，a1表示首项的值，d表示公差，n表示项数。
通过递推公式，我们可以轻松地计算出等差数列中任意一项的值。
二、通项公式通项公式是数列中任意一项的值的一般公式。
通过通项公式，我们可以直接计算数列中任意一项的值，而不需要通过递推关系一步一步计算。
以等差数列为例，等差数列的通项公式可以通过递推公式推导得到。
在等差数列中，递推公式为：an = a1 + (n-1)d将此递推公式进行整理和化简，可以得到等差数列的通项公式：an = a1 + (n-1)d通过通项公式，我们可以直接计算出等差数列中任意一项的值。
只需要知道首项的值a1，公差d和要计算的项数n即可。
同样地，等比数列也有对应的通项公式。
等比数列的递推公式为：an = a1 * r^(n-1)其中，an表示第n项的值，a1表示首项的值，r表示公比，n表示项数。
数列的递推关系与通项公式
数列的递推关系与通项公式在数学中，数列是由数字按照一定顺序排列而成的序列。
不同的数列可以有不同的递推关系和通项公式来描述它们。
本文将详细介绍数列的递推关系和通项公式的概念、应用和计算方法。
一、递推关系递推关系是指通过前面几项的数值来计算出数列后面一项的数值的关系式。
递推关系可以用于求解以后面的数值为目标的数列问题，通常采用迭代或递归的方式进行计算。
举个例子，斐波那契数列的递推关系为：$F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}$，其中$F_1=1,F_2=1$。
也就是说，斐波那契数列中每一项的值都等于前两项的值之和。
通过递推关系，可以计算出斐波那契数列的任意一项，例如$F_3=2,F_4=3$等。
二、通项公式通项公式是指数列的任意一项能通过公式直接计算出来。
通项公式是数列的一种显式表达式，它不需要通过前面的项数计算后面的项数。
通项公式的求解是数列学习的重点之一。
对于某些数列，其通项公式可能很容易求解，而对于某些数列，其通项公式可能非常难以求解。
一般来说，数列的通项公式可以通过数学归纳法、递推关系和差分方程等方式求解。
举个例子，对于等差数列$a_{n}=a_{1}+(n-1)d$，其中$a_{1}$为首项，$d$为公差，$n$为项数。
通过推导，我们可以得到等差数列的通项公式为$a_{n}=a_{1}+(n-1)d$。
通过这个通项公式，我们可以方便地计算出等差数列中任意一项的值。
三、数列的应用数列是数学中非常重要的一部分，具有广泛的应用价值。
在实际生活和工作中，数列有着很多重要的应用，比如在经济学、物理学、计算机科学等学科中，数列都有着不可或缺的作用。
1. 经济学中的应用经济学中常用的一些数列，如等比数列和收益率数列，可以用于计算商品价格、资产价值和财务报表等。
数列可以帮助经济学家计算和预测未来的经济情况，找出经济规律和趋势，从而为政策制定和决策提供依据。
2. 物理学中的应用在物理学中，数列可用于描述诸如声波、光波等周期性变化的现象。
数列的递推公式与通项公式
数列的递推公式与通项公式数列是指按一定规律排列的一组数。
在数列中，递推公式与通项公式是两个重要概念。
递推公式用于计算数列中的每一项，通项公式则可以直接计算出数列中任意一项的数值。
本文将介绍数列的递推公式与通项公式的概念、特点以及计算方法。
一、递推公式递推公式是指通过当前项与前一项之间的关系来计算数列的下一项。
递推公式通常以“An = ...”的形式表示，其中An表示第n项，等号右侧则是An与前一项之间的关系式。
递推公式的特点是通过已知的前几项，可以推算出数列的后续项。
对于等差数列而言，递推公式的一般形式为An = A1 + (n-1)d，其中A1为首项，d为公差，n为项数。
这个公式表明等差数列中的每一项都是前一项加上公差得到的。
例如，对于等差数列1, 3, 5, 7, ...，其递推公式为An = 1 + (n-1)2。
对于等比数列而言，递推公式的一般形式为An = A1 * r^(n-1)，其中A1为首项，r为公比，n为项数。
这个公式表明等比数列中的每一项都是前一项乘以公比得到的。
例如，对于等比数列1, 2, 4, 8, ...，其递推公式为An = 1 * 2^(n-1)。
二、通项公式通项公式是直接计算数列中任意一项的数值的公式。
通项公式通常以“An = ...”的形式表示，其中An表示第n项，等号右侧则是与项数n相关的表达式。
通项公式的特点是通过项数n的值，可以直接计算出数列中对应项的数值。
对于等差数列而言，通项公式的一般形式为An = A1 + (n-1)d，其中A1为首项，d为公差，n为项数。
这个公式表明等差数列中的第n项可以通过首项与公差的运算得到。
例如，对于等差数列1, 3, 5, 7, ...，其通项公式为An = 1 + (n-1)2。
对于等比数列而言，通项公式的一般形式为An = A1 * r^(n-1)，其中A1为首项，r为公比，n为项数。
这个公式表明等比数列中的第n项可以通过首项与公比的运算得到。
数列的递推与通项关系知识点总结
数列的递推与通项关系知识点总结数列是数学中常见的概念，它是按照一定规律排列的一组数。
在数列中，每个数都被称为该数列的项。
当我们了解数列的递推与通项关系时，就能更好地理解数列的性质和特点。
本文将对数列的递推和通项关系进行知识点总结。
1. 递推关系数列的递推关系指的是通过前一项或前几项来确定后一项的关系规律。
在数列中，递推关系可以通过加、减、乘、除等运算得到。
常见的递推关系包括等差数列和等比数列。
1.1 等差数列等差数列是指数列中任意两项之间差值相等的数列。
可以用通项公式表示为 an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
例如，2、4、6、8、10就是一个等差数列，其通项公式为 an = 2n。
1.2 等比数列等比数列是指数列中任意两项之间比值相等的数列。
可以用通项公式表示为 an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。
例如，1、2、4、8、16就是一个等比数列，其通项公式为 an = 2^(n-1)。
2. 通项关系数列的通项关系指的是通过项数来确定该项在数列中的具体数值。
根据数列的递推关系和已知条件，可以找到数列的通项表达式。
2.1 等差数列的通项对于等差数列，我们可以通过已知的首项a1和公差d来求出第n项的数值。
通项公式an = a1 + (n-1)d可以直接帮助我们计算数列中任意一项的值。
2.2 等比数列的通项对于等比数列，我们可以通过已知的首项a1和公比r来确定第n项的数值。
通项公式an = a1 * r^(n-1)可以帮助我们计算数列中任意一项的值。
3. 数列求和除了递推和通项关系，我们还可以对数列进行求和操作。
数列求和在数学和实际问题中都有广泛的应用。
3.1 等差数列求和对于等差数列，我们可以使用求和公式 S = (n/2)(a1 + an)来求解数列的和，其中S为数列的和，n为项数，a1为首项，an为末项。
3.2 等比数列求和对于等比数列，我们可以使用求和公式 S = a1(1 - r^n)/(1 - r)来求解数列的和，其中S为数列的和，a1为首项，r为公比，n为项数。
高考数学-数列通项公式必考非一般求法，总有一种必出
高考数学-数列通项公式必考非一般求法，总有一种必出在2020年广东省高考数学（理科）考试大纲中对于数列内容的考核要求如下：（1）数列的概念和简单表示法①了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）②了解数列是自变量为正数的一类函数（2）等差数列、等比数列①理解等差数列、等比数列的概念②掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式③能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题表、图像、通项公式）④了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系我们来看，前三项要求都是对数列通项求解的一般要求，一般的同学都是可以做到的，但是重点在于后面两项的要求，划重点的是这句能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题表、图像、通项公式。
相信大家也明白，数列不仅仅是考核一般通项公式的求法和前n项和公式，能够判断出题目给出的式子是等比数列或者是等差数列，并能求出通项公式和给定求和的方法才是数列考核的重点。
高考理科数学对数列的考核是必出题同时也不是简单的出法，特别是近几年广东卷转全国卷之后难度有增无减，因此掌握下面常用的四种有关数列的非一般求法，让你的高考分数加上十几分。
方法一：构造法（简单实用又常见的方法，必须深入掌握）构造法方法二：an和Sn的关系法（同学容易忽略，但是又经常出现的方法）关系法方法三：累加、累减、累乘法（容易理解，操作也不难的方法，都是用相似的概念）累加、累乘法方法四：取倒数法（少见但是会出的方法，必要的思路）取倒数法以上四种就是练习和考试经常出现的求数列通项公式的方法，当然也还有其他方法可以求解，但是这四种一定是最常用到的。
同学们可以通过练习掌握其中的规律并加以应用。
好的思维也需要掌握好的方法。
高考的数列题目并不会是小菜一碟，连通项都不会求，更别说求前N项的和呢。
掌握这些方法数列题目就会变成你的拿分项。
2020年高考数学(理)之数列 专题13 数列的通项(根据数列的递推关系求通项)(解析版)
数列13 数列的通项（根据数列的递推关系求通项）一、具体目标：掌握用不同的数学方法求不同形式数列的通项公式.通过数列通项公式的求解过程,利用数列的变化规律,恰当选择方法,是数列的研究和探索奠定基础. 二、知识概述： 1.数列的通项公式：（1）如果数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．即()n a f n =,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个个通项公式. （2）数列{}n a 的前n 项和n S 和通项n a 的关系：11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩.2.求数列的通项公式的注意事项：（1）根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n 之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用()1n-或()11n +-来调整．（2）根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．由不完全归纳法得出的结果是不可靠，要注意代值验证.（3）对于数列的通项公式要掌握：①已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项；②根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况，分解所给数列的前几项，看看这几项的分解中．哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序【考点讲解】号的联系，从而归纳出构成数列的规律，写出通项公式.3.数列通项一般有三种类型：（1）已知数列是等差或等比数列，求通项，破解方法：公式法或待定系数法；（2）已知S n ，求通项，破解方法：利用S n -S n -1= a n ，但要注意分类讨论，本例的求解中检验必不可少，值 得重视；（3）已知数列的递推公式，求通项，破解方法：猜想证明法或构造法。
3. 已知数列{}n a 的前n 项和n S ，求数列的通项公式，其求解过程分为三步： (1)先利用11a S =求出1a ；(2)用1n -替换n S 中的n 得到一个新的关系，利用=n a 1n n S S -- (2)n ≥便可求出当2n ≥时n a 的表达式； (3)对1n =时的结果进行检验，看是否符合2n ≥时n a 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分1n =与2n ≥两段来写．【注】该公式主要是用来求数列的通项，求数列通项时，一定要分两步讨论，结果能并则并，不并则分. 4. 递推公式推导通项公式方法： （1）叠加法：1()n n a a f n +-=叠加法（或累加法）：已知()⎩⎨⎧=-=+n f a a a a n n 11，求数列通项公式常用叠加法（或累加法）即112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=---Λ.（2）累乘法：已知()⎪⎩⎪⎨⎧==+n f a a a a nn 11求数列通项公式用累乘法. （3）待定系数法：1n n a pa q +=+（其中,p q 均为常数，)0)1((≠-p pq ） 解法：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中pqt -=1，再利用换元法转化为等比数列求解. （4）待定系数法： nn n q pa a +=+1（其中,p q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）. （或1nn n a pa rq +=+,其中,,p q r 均为常数）.解法：在原递推公式两边同除以1+n q ，得：111n n n n a a p q q q q++=⋅+，令n n n q a b =，得：q b q p b nn 11+=+，再按 第（3）种情况求解.（5）待定系数法：b an pa a n n ++=+1(100)p a ≠≠，， 1122332211a a a a a a a a a a a a n n n n n n n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-----Λ解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令)()1(1y xn a p y n x a n n ++=++++，与已知递推式比较， 解出y x ,,从而转化为{}y xn a n ++是公比为p 的等比数列. （6）待定系数法：21(0,1,0)n n a pa an bn c p a +=+++≠≠解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令221(1)(1)()n n a x n y n z p a xn yn z ++++++=+++，与已知递推式比较，解出y x ,,从而转化为{}2n a xn yn z +++是公比为p 的等比数列. （7）待定系数法：n n n qa pa a +=++12（其中,p q 均为常数）.解法：先把原递推公式转化为)(112n n n n sa a t sa a -=-+++其中,s t 满足s t pst q+=⎧⎨=-⎩，再按第（4）种情况求解.（8）取倒数法：1()()()nn n g n a a f n a t n +=+解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为q pa a n n +=+1，按第（3）种情况求解.（11()()()0n n n n g n a t n a f n a a +++-=，解法：等式两边同时除以1n n a a +⋅后换元转化为q pa a n n +=+1，按第（3）种情况求解.）.（9）取对数rn n pa a =+1)0,0(>>n a p解法：这种类型一般是等式两边取以p 为底的对数，后转化为q pa a n n +=+1，按第（3）种情况求解. 5. 以数列为背景的新定义问题是高考中的一个热点题型，考查频率较高，一般会结合归纳推理综合命题．常见的命题形式有新法则、新定义、新背景、新运算等．(1)准确转化：解决数列新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，将题目所给定义转化成题目要 求的形式，切忌同已有概念或定义相混淆．(2)方法选取：对于数列新定义问题，搞清定义是关键，仔细认真地从前几项(特殊处、简单处)体会题意，从而找到恰当的解决方法． 类型一：取倒数法 已知函数13)(+=x x x f ,数列{}n a 满足).)((,111*+∈==N n a f a a n n (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)记13221++++=n n n a a a a a a S Λ,求n S .【分析】由于{b n }和{c n }中的项都和{a n }中的项有关，{a n }中又有S 1n +=4a n +2，可由S 2n +－S 1n +作切入点探索解题的途径． 【解析】（Ⅰ）由已知得，131+=+n n n a a a ，∴3111+=+n n a a ，即3111=-+nn a a ∴数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是首项11=a ,公差3=d 的等差数列.∴233)1(11-=⨯-+=n n a n,故)(231*∈-=N n n a n (Ⅱ) ∵)131231(31)13)(23(11+--=+-=+n n n n a a n n13221++++=n n n a a a a a a S Λ)13)(23(1741411+-++⨯+⨯=n n Λ )]131231()7141()411[(31+--++-+-=n n Λ 类型二：已知数列{}n a 满足1132313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
专题13 数列通项公式的四种常见求法(解析版)
专题13 数列通项公式的四种常见求法目录类型一：累加法..........................................................................................................................................................1类型二：累乘法..........................................................................................................................................................2类型三：已知S n 求a n .................................................................................................................................................3类型四：构造法求通项. (4)类型一：累加法题型专练：1．（2023·河北石家庄·统考一模）中国古代许多著名数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，所讨论的二阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是后项减前项之差组成的新数列是等差数列.现有一个“堆垛”，共50层，第一层2个小球，第二层5个小球，第三层10个小球，第四层17个小球，...，按此规律，则第50层小球的个数为（ ）A ．2400B ．2401C ．2500D ．2501【答案】D【分析】依据等差数列的定义与求和公式，累加法计算即可.【详解】不妨设第n 层小球个数为a n ，由题意，a 2−a 1=3， a 3−a 2=5……，即各层小球之差成以3为首项，类型二：累乘法满分策略：当出现a na n−1=f(n)时，一般用累乘法求通项。
由数列递推关系探究通项公式——2020年全国卷Ⅲ数列题的解答
Җ㊀云南㊀周必辉㊀㊀数列因规律性强㊁题型多样㊁方法灵活等特点,成为高考命题的重点,其中给出递推关系求通项公式问题是有效考查考生化归转化能力㊁推理论证能力的重要题型．本文以２０２０年全国卷Ⅲ数列解答题为例,探究根据递推关系求通项公式的方法．１㊀考题说明例㊀㊀(２０２０年全国卷Ⅲ)设数列{a n }满足a １＝３,a n ＋１＝３a n －４n ．(１)计算a ２,a ３,猜想{a n }的通项公式并加以证明;(２)求数列{２n a n }的前n 项和S n ．数列的递推关系在人教版教材中虽然是以选学内容出现,但在高考中以递推关系为背景的命题却屡见不鲜．本题第(１)问考查考生根据递推关系求通项公式,所给的递推关系类型是a n ＝A a n －１＋f (n )．下面对这类问题的求解方法进行总结,并应用这些方法解答此题．２㊀解法综述根据不同的递推关系类型,常用的解题方法主要有如下４种．１)叠加法对于a n －a n －１＝f (n )的形式,可利用叠加法求通项公式,即a n ＝(a n －a n －１)＋(a n －１－a n －２)＋ ＋(a ２－a １)＋a １＝f (n )＋f (n －１)＋ ＋f (２)＋a １．２)叠乘法对于a n ＋１a n＝f (n )的形式,可以利用叠乘法求通项公式,即a n ＝a n a n －１ a n －１a n －２a ２a １ a １＝f (n －１)f (n －２) f (１) a １．３)构造法此方法适用的类型较多,构造的原理是将所给的递推关系进行变形,将其构造为等差数列或等比数列的形式．４)归纳法通过观察数列前几项,猜想出其通项公式,再进行证明．３㊀问题解答在某些问题的求解中,往往需要综合应用多种方法．本题第(１)问旨在考查利用归纳法求通项公式,下面从多种视角进行解法探究．方法１㊀由a １＝３,a n ＋１＝３a n －４n ,可得a ２＝３a １－４＝５,a ３＝３a ２－４ˑ２＝７,a ４＝３a ３－４ˑ３＝９,猜想a n ＝２n ＋１．证明:当n ＝１时,a １＝２ˑ１＋１＝３．设当n ＝k 时,a k ＝２k ＋１,则当n ＝k ＋１时,a k ＋１＝３a k －４k ＝３(２k ＋１)－４k ＝２(k ＋１)＋１,所以{a n }的通项公式为a n ＝２n ＋１．应用此方法求数列的通项公式时,要准确识别条件中隐含的关系,平时学习中要注意积累一些特殊的关系,如奇数㊁偶数㊁正整数的平方与立方等．方法２㊀将a n ＋１＝３a n －４n 两边同时除以３n ＋１,得a n ＋１３n ＋１＝a n ３n －４n ３n ＋１,即a n ＋１３n ＋１－a n３n ＝－４n ３n ＋１,进而由叠加法可得a n ３n ＝(a n ３n －a n －１３n －１)＋(a n －１３n －１－a n －２３n －２)＋ ＋(a ２３２－a １３)＋a １３＝－[４(n －１)３n ＋４(n －２)３n －１＋ ＋４３２]＋a １３．令T n ＝４(n －１)３n ＋４(n －２)３n －１＋４(n －３)３n －２＋ ＋４３２,则１３T n ＝４(n －１)３n ＋１＋４(n －２)３n ＋４(n －３)３n －１＋４３３．两式相减得２３T n ＝４３２－４(n －１)３n ＋１＋(４３n ＋４３n －１＋ ＋４３３)＝４３２－４(n －１)３n ＋１＋４３３(１－１３n －２)１－１３＝２３－４(n －１)３n ＋１－２３n ,所以T n ＝１－２(n －１)３n－１３n －１,则a n３n ＝２(n －１)３n＋１３n －１,a n ＝２(n －１)＋３＝２n ＋１．３１本解法通过对所给递推关系进行变形,将其转化为可利用叠加法求解的形式,再利用错位相减法及等比数列的求和公式求得结论．方法３㊀设b n＝a n＋λn＋μ,则a n＝b n－λn－μ,代入a n＋１＝３a n－４n中,得b n＋１－λ(n＋１)－μ＝３(b n－λn－μ)－４n,即b n＋１＝３b n－(２λ＋４)n＋λ－２μ．令２λ＋４＝０,λ－２μ＝０,{解得λ＝－２,μ＝－１,{所以b n＋１＝３b n．因为b１＝a１－２－１＝０,所以b n＝a n－２n－１＝０,所以a n＝２n＋１．本解法是通过待定系数法构造等比数列b n,而由已知可求得b１＝０,所以{b n}为常数列,各项均为０,进而求得数列{a n}的通项公式．方法４㊀由a n＋１＝３a n－４n,得a n＋２＝３a n＋１－４(n＋１),两式相减得a n＋２－a n＋１＝３(a n＋１－a n)－４．令b n＝a n＋１－a n,则b n＋１＝３b n－４．设b n＋１＋λ＝３(b n＋λ),即b n＋１＝３b n＋２λ,由２λ＝－４得λ＝－２,所以数列{b n－２}的首项为b１－２＝a２－a１－２＝５－３－２＝０,且知b２＝２,所以{b n}为常数列,b n＝a n＋１－a n＝２,即数列{a n}是公差为２的等差数列,所以a n＝３＋２(n－１)＝２n＋１．在得出a n＋１＝p a n＋q(pʂ０,qʂ１)的递推关系后,可利用待定系数法,即引入参数λ,令a n＋１＋λ＝p(a n＋λ),将其展开后与原递推关系对照,求得λ值,从而构造{a n＋λ}为等比数列．由第(１)问知a n＝２n＋１,则２n a n＝(２n＋１)２n,进而可利用 错位相减法 求其前n项和．第(２)问较为简单,在此不再赘述．综上所述,给出递推关系求数列通项公式的过程其实就是转化的过程,即将一般化特殊㊁将陌生化熟悉．教学中我们只学了两类特殊的数列,即等差数列和等比数列,因此所求问题最终都要转化为与等差或等比数列相关的问题来求解．(作者单位:云南省曲靖市民族中学)Җ㊀山东㊀谢于民㊀㊀同角三角关系是指同一个角的正弦值㊁余弦值㊁正切值之间的关系,例如,s i n２α＋c o s２α＝１,t a nα＝s i nαc o sα．同角关系建立了３个三角函数之间的桥梁,在三角恒等变换㊁化简求解以及三角恒等式的证明中有着广泛的应用．本文通过同角关系的正向应用㊁逆向应用以及变形应用３个视角破解三角函数化简㊁求值问题．１㊀正向应用例１㊀已知s i nα t a nα＝１,则c o sα＝．由t a nα＝s i nαc o sα,得s i nα t a nα＝s i nαs i nαc o sα＝１,即s i n２α＝c o sα．由s i n２α＋c o s２α＝１,得s i n２α＝１－c o s２α,所以c o s２α＋c o sα－１＝０,解得c o sα＝－１ʃ５２．因为－１ɤc o sαɤ１,所以c o sα＝５－１２(也可利用s i nαt a nα＝１＞０,则α在第一象限,故c o sα＞０进行取舍)．变式㊀已知s i n(π２＋α)＝３５,则t a nα s i nα＝(㊀㊀)．A．１６１５㊀㊀B．－１６１５㊀㊀C．５２㊀㊀D．－５２t a nα s i nα＝s i nαc o sα s i nα＝s i n２αc o sα＝１－c o s２αc o sα．由s i n(π２＋α)＝３５,得c o sα＝３５,代入上式得t a nα s i nα＝１６１５．故选A．解题中利用同角关系进行转化时,可以从条件向结论转化,也可从结论向条件转化．例１由条件向结论转化,变式是由结论向条件转化,两种转化方式均利用了同角关系,将函数名统一,从而建立了已知与未知之间的联系．４１。
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数列13 数列的通项（根据数列的递推关系求通项）一、具体目标：掌握用不同的数学方法求不同形式数列的通项公式.通过数列通项公式的求解过程,利用数列的变化规律,恰当选择方法,是数列的研究和探索奠定基础. 二、知识概述： 1.数列的通项公式：（1）如果数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．即()n a f n =,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个个通项公式.（2）数列{}n a 的前n 项和n S 和通项n a 的关系：11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩.2.求数列的通项公式的注意事项：（1）根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n 之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用()1n-或()11n +-来调整．（2）根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．由不完全归纳法得出的结果是不可靠，要注意代值验证.（3）对于数列的通项公式要掌握：①已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项；②根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况，分解所给数列的前几项，看看这几项的分解中．哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号的联系，从而归纳出构成数列的规律，写出通项公式.3.数列通项一般有三种类型：（1）已知数列是等差或等比数列，求通项，破解方法：公式法或待定系数法；（2）已知S n ，求通项，破解方法：利用S n -S n -1= a n ，但要注意分类讨论，本例的求解中检验必不可少，值【考点讲解】得重视；（3）已知数列的递推公式，求通项，破解方法：猜想证明法或构造法。
3. 已知数列{}n a 的前n 项和n S ，求数列的通项公式，其求解过程分为三步： (1)先利用11a S =求出1a ；(2)用1n -替换n S 中的n 得到一个新的关系，利用=n a 1n n S S -- (2)n ≥便可求出当2n ≥时n a 的表达式； (3)对1n =时的结果进行检验，看是否符合2n ≥时n a 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分1n =与2n ≥两段来写．【注】该公式主要是用来求数列的通项，求数列通项时，一定要分两步讨论，结果能并则并，不并则分. 4. 递推公式推导通项公式方法： （1）叠加法：1()n n a a f n +-= 叠加法（或累加法）：已知()⎩⎨⎧=-=+n f a a aa n n 11，求数列通项公式常用叠加法（或累加法）即112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=---Λ.（2）累乘法：已知()⎪⎩⎪⎨⎧==+n f a a a a nn 11求数列通项公式用累乘法. （3）待定系数法：1n n a pa q +=+（其中,p q 均为常数，)0)1((≠-p pq ） 解法：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中pqt -=1，再利用换元法转化为等比数列求解. （4）待定系数法： nn n q pa a +=+1（其中,p q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）. （或1nn n a pa rq +=+,其中,,p q r 均为常数）.解法：在原递推公式两边同除以1+n q ，得：111n n n n a a p q q q q++=⋅+，令n n n q a b =，得：q b q p b nn 11+=+，再按 第（3）种情况求解.（5）待定系数法：b an pa a n n ++=+1(100)p a ≠≠，， 解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令)()1(1y xn a p y n x a n n ++=++++，与已知递推式比较， 解出y x ,,从而转化为{}y xn a n ++是公比为p 的等比数列.1122332211a a a a a a a a a a a a n n n n n n n⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-----Λ（6）待定系数法：21(0,1,0)n n a pa an bn c p a +=+++≠≠解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令221(1)(1)()n n a x n y n z p a xn yn z ++++++=+++，与已知递推式比较，解出y x ,,从而转化为{}2n a xn yn z +++是公比为p 的等比数列. （7）待定系数法：n n n qa pa a +=++12（其中,p q 均为常数）.解法：先把原递推公式转化为)(112n n n n sa a t sa a -=-+++其中,s t 满足s t pst q +=⎧⎨=-⎩，再按第（4）种情况求解.（8）取倒数法：1()()()nn n g n a a f n a t n +=+解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为q pa a n n +=+1，按第（3）种情况求解.（11()()()0n n n n g n a t n a f n a a +++-=，解法：等式两边同时除以1n n a a +⋅后换元转化为q pa a n n +=+1，按第（3）种情况求解.）.（9）取对数rn n pa a =+1)0,0(>>n a p解法：这种类型一般是等式两边取以p 为底的对数，后转化为q pa a n n +=+1，按第（3）种情况求解. 5. 以数列为背景的新定义问题是高考中的一个热点题型，考查频率较高，一般会结合归纳推理综合命题．常见的命题形式有新法则、新定义、新背景、新运算等．(1)准确转化：解决数列新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，将题目所给定义转化成题目要 求的形式，切忌同已有概念或定义相混淆．(2)方法选取：对于数列新定义问题，搞清定义是关键，仔细认真地从前几项(特殊处、简单处)体会题意，从而找到恰当的解决方法． 类型一：取倒数法 已知函数13)(+=x x x f ,数列{}n a 满足).)((,111*+∈==N n a f a a n n (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)记13221++++=n n n a a a a a a S Λ,求n S .【分析】由于{b n }和{c n }中的项都和{a n }中的项有关，{a n }中又有S 1n +=4a n +2，可由S 2n +－S 1n +作切入点探索解题的途径．【解析】（Ⅰ）由已知得，131+=+n n n a a a ，∴3111+=+n n a a ，即3111=-+nn a a ∴数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是首项11=a ,公差3=d 的等差数列.∴233)1(11-=⨯-+=n n a n,故)(231*∈-=N n n a n (Ⅱ) ∵)131231(31)13)(23(11+--=+-=+n n n n a a n n13221++++=n n n a a a a a a S Λ)13)(23(1741411+-++⨯+⨯=n n Λ )]131231()7141()411[(31+--++-+-=n n Λ 类型二：已知数列{}n a 满足1132313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
【分析】通过对递推关系式的整理，目的是构造成特殊数列. 【解析】13231n n n a a +=+⨯+两边除以13n +， 得111213333n n n n n a a +++=++， 则111213333n n n n n a a +++-=+，用叠加法可得： 因此11(13)2(1)2113133133223n n n n na n n ---=++=+--⨯， 则21133322n n n a n =⨯⨯+⨯-()n N *∈. 类型三：数列{}n a 满足023,5,21221=+-==++n n n a a a a a ，求数列{}n a 的通项公式. 【解析】由02312=+-++n n n a a a ，得0)(2112=---+++n n n n a a a a即）n n n n a a a a -=-+++112(2，且32512=-=-a a .∴}{1n n a a -+是以2为公比，3为首项的等比数列.∴1123-+⋅=-n n n a a利用逐差法可得112111)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=-++Λ=2232323021+⋅++⋅+⋅--Λn n=2)1222(321+++++⋅--Λn n=221213+--⋅n=123-⋅n∴1231-⨯=-n n a ()*∈Nn .类型四：已知数列{}n a 满足321n a a a n =+++Λ ①求数列{}n a 的通项公式n a ；②求11111110032-++-+-a a a Λ的值. 【解析】本题主要考查的是利用恒等式中项与项数之间的关系，求数列的通项公式.①因为321n a a a n =+++Λ, 31212(1)n n a a a n -≥+++=-L 时，2331(2)n a n n n =-+≥两式相减得：, 111n a ==得时，也适合上式， 2331()n a n n n N *=-+∈故②因为)111(31)1(3111nn n n a n --=-=- （n ≥2） 2310011111111111133()()()(1)11131223991003100100a a a ⎡⎤+++=-+-++-=-=⎢⎥---⎣⎦L L 所以.1.【2019优选题】已知数列{}n a 满足111,21nn n a a a na +==+，则n a = .【解析】对递推关系取倒数，得121112n n n nna n a a a ++==+. 【真题分析】即1112n nn a a +-=，分别用1,2,3,...,1n -替换n ，有 211121a a -=⨯，321122a a -=⨯，431123a a -=⨯，…，1112(1)n n n a a --=- 以上1n -个式子相加，得1112[123...(1)](1)n n n n a a -=++++-=- 所以，211nn n a =-+ 【答案】211n a n n =-+()*∈N n 2.【2019优选题】数列{}n a 满足， 123231111212222n n a a a a n ++++=+L ，写出数列{}n a 的通项公式__________．【答案】16,1{2,2n n n a n +==≥()*∈N n 3. 【2019优选题】数列{}n a 中,111,21n n n a a a a +==+,则数列的前5项为_______, 猜想它的通项公式是__________________. 【解析】法一：由111,21n n n a a a a +==+可得1234511111,,,23456=====，a a a a a ，推测数列的通项公式为11+=n a n. 法二：由11+=+nn n a a a 取倒数或得n n n n n a a a a a11111+=+=+，所以1111=-+nn a a ，即数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是以112=a 为首项公差为1的等差数列，所以()11121+=⨯-+=n n a n，即11+=n a n .()*∈N n【答案】11+=n a n ()*∈N n 4.【2015全国Ⅱ】设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________． 【解析】本题考查的是等差数列和递推关系．由已知得111n n n n n a S S S S +++=-=⋅，两边同时除以1n n S S +⋅，得1111n n S S +=--，故数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1-为首项，1-为公差的等差数列，则11(1)nS n n =---=-，所以1n S n =-． 【答案】1n-()*∈N n5.【2018优选题】已知数列{}n a 满足)(,,*1221N n a a a b a a a n n n ∈-===++。