内蒙古自治区呼和浩特市蒙古族学校高二数学理联考试题含解析

内蒙古自治区呼和浩特市蒙古族学校高二数学理联考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 下列算式正确的是（）
A. B. C. D.
参考答案：
C
2. 如果实数x、y满足x + y = 4，则x2 + y2的最小值是 ( )
A.4.
B.6.
C.8.
D.10.
参考答案：
C
3. 下列结论正确的是（）
A．若ac>bc，则a>b B．若a2>b2，则a>b
C．若a>b,c<0，则 a+c<b+c D．若<，则a<b
参考答案：
D
4. 正方体的外接球与内切球的球面面积分别为S1和S2则( )
A．S1＝2S2 B．S1＝3S2 C．S1＝4S2 D．S1＝2S2参考答案：
B
略
5. 等差数列中，已知为（）
A 48
B 49
C 50
D 51
参考答案：
C 6. 已知圆C的圆心与点关于直线对称、直线与圆C相交于两点，且，则圆C的方程为( )
Ａ.Ｂ.
Ｃ.Ｄ.
参考答案：
A
7. 设i为虚数单位，复数z1=1﹣i，z2=2i﹣1，则复数z1?z2在复平面上对应的点在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
参考答案：
A
【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．
【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．
【解答】解：复数z1?z2=（1﹣i）（2i﹣1）=1+3i在复平面上对应的点（1，3）在第一象限．
故选：A．
8. （）
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
C
略
9. 设双曲线，离心率，右焦点．方程的两个实数根分别为，则点与圆的位置关系( )
A．在圆外B．在圆上C．在圆内D．不确定
参考答案：
C
曲线，离心率，右焦点F（c，0），
可得c= a= b，
方程ax2-bx-c=0 的两个实数根分别为x1，x2，
可得，
则x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=1+2＜8，
则P（x1，x2）与圆x2+y2=8的位置关系为P在圆内．
故选：C．
10. 早上从起床到出门需要洗脸刷牙(5 min)、刷水壶(2 min)、烧水(8 min)、泡面(3 min)、吃饭(10 min)、听广播(8 min)几个步骤、从下列选项中选最好的一种算法（）
A．S1 洗脸刷牙、S2刷水壶、S3 烧水、S4 泡面、S5 吃饭、S6 听广播
B．刷水壶、S2烧水同时洗脸刷牙、S3泡面、S4吃饭、S5 听广播
C．刷水壶、S2烧水同时洗脸刷牙、S3泡面、S4吃饭同时听广播
D．吃饭同时听广播、S2泡面、S3烧水同时洗脸刷牙、S4刷水壶
参考答案：
C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 展开式中奇数项的二项式系数和等于
．
参考答案：
8
略
12. （5分）命题“”的否定是．
参考答案：
命题“对”是全称命题，否定时将量词?x＞0改为?x＞0，＜改为≥
故答案为：?x∈R，
命题“对”是全称命题，其否定应为特称命题，注意量词和不等号的变化．13. A(5，-5，-6)、B(10，8，5)两点的距离等于。

参考答案：
略
14. 已知函数f（x）=x2+lnx﹣ax在（0，1）上是增函数，则实数a的取值范围是．
参考答案：
（﹣∞，]
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】根据函数f（x）是增函数，等价为f′（x）≥0在（0，1）上恒成立，即可得到结论．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），要使f（x）=lnx+x2﹣ax在定义域内是增函数，
则等价为f′（x）≥0在（0，1）上恒成立，
∵f（x）=lnx+x2﹣ax，
∴f′（x）=+2x﹣a≥0，
即a≤+2x在x∈（0，1）上恒成立，
当x＞0时，y=+2x≥2=2，当且仅当x=时取等号．
则a≤2，
故答案为：（﹣∞，]．
15. 已知双曲线C：的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则双曲线C的焦距为_____________．
参考答案：
4.
【分析】
利用双曲线的性质及条件列a,b,c的方程组，求出c可得.
【详解】因为双曲线的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，所以
,解得，所以双曲线的焦距为4.故答案为4.
【点睛】本题考查双曲线的几何性质，注意隐含条件，考查运算求解能力，属于基础题.
16. 在中，已知，若分别是角
所对的边，则的最小值为__ ▲ _．
参考答案：
【知识点】正弦定理、余弦定理、基本不等式
【答案解析】
解析：解：因为
，由正弦定理及余弦定理
得，整理得，所以
，当且仅当a=b 时等号成立.即的最小值为.
【思路点拨】因为寻求的是边的关系，因此可分别利用正弦定理和余弦定理把角的正弦和余弦化成边的关系，再利用基本不等式求最小值.
17. 函数的单调递增区间为
参考答案：
由, 又的减区间为,故
的增区间为
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 在平面直角坐标系xOy中，已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线C的离心率为，且双曲线C与斜率为2的直线l有一个公共点P（﹣2，0）．（1）求双曲线C的方程及它的渐近线方程；
（2）求以直线l与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程．
参考答案：
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
【分析】（1）由题意，设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0）．由点P（﹣2，0）在双曲线上，可得a=2．利用=，可得c．利用c2=a2+b2，可得b．即可得出方程及其渐近线方程．
（2）由题意，直线l的方程为y=2（x+2），可得直线l与坐标轴交点分别为F1（﹣2，0），F2（0，4）．即可得出相应的抛物线方程．
【解答】解：（1）由题意，设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0）．
∵点P（﹣2，0）在双曲线上，∴a=2．
∵双曲线C的离心率为，∴c=2．
∵c2=a2+b2，∴b=2．
∴双曲线的方程为：﹣=1，
其渐近线方程为：y=±x．
（2）由题意，直线l的方程为y=2（x+2），即y=2x+4，
直线l与坐标轴交点分别为F1（﹣2，0），F2（0，4）．
∴以F1（﹣2，0）为焦点的抛物线的标准方程为y2=﹣8x；
以F2（0，4）为焦点的抛物线的标准方程为x2=16y．
19. 如图,在直四棱柱中,底面四边形是直角梯形其中,,且.
(1)求证:直线平面；
(2)试求三棱锥-的体积.
参考答案：
解：(1)在梯形内过点作交于点,则由底面四边形是直角梯
形,,,以及可得:,且,.又由题意知面,从而,而,故.因,及已知可得是正方形,从而.因,,且,所以面.
(2)因三棱锥与三棱锥是相同的,故只需求三棱锥的体积即可,而,且由面可得,又因为,所以有平面,即为三棱锥
的高. 故
略
20. （本小题满分12分）
记（）．
（1）求的值；
（2）猜想与的关系，并用数学归纳法证明．
参考答案：
解：（I），
，
（II）猜想：即：
（n∈N*）下面用数学归纳法证明
①时，已证
②假设n=k时，S k=T k（k≥1，k∈N*），即：
则
由①，②可知，对任意，都成立.
21. （本小题14分）
如图，在直三棱柱中，，
，点是的中点。

（1）求证：∥平面
（2）求二面角的正切值。

参考答案：
（1）连接，由题意可知：为的中位线，
可知∥ ----（3分）由 ----（4分）
（2）过点作的垂线交于点，连
∵是直三棱柱
∴，又由且
∴∴ ------（2分）
于是有为的平面角 ----（2分）
题意以及等积法可得
在
∴
∴ 二面角的正切值为 -----（3分）
22. （本题满分12分）已知分别为椭圆的左、右两个焦点，一条直线经过点与椭圆交于两点, 且的周长为8。

⑴求实数的值；
⑵若的倾斜角为，求的值。

参考答案：
由椭圆的定义，得，，………2分又，
所以的周长．……………4分
又因为的周长为8，所以，则．……………5分
⑵ 由⑴得，椭圆，，………………………7分
因为直线的倾斜角为，所以直线斜率为，
故直线的方程为．……………………8分由消去，得，……………9分
（法一：）
法二：设，解得，，……10分
所以
则…………12分。