高中数学第二章平面向量2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课件新人教A版必修4

状元随笔 对数量积的坐标表示的理解
(1)两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和； (2)引入坐标运算后，使得平面向量数量积的运算和两个向量的 坐标运算联系起来，从而使得向量的工具性作用更强； (3)平面向量的坐标可以把几何问题转化为代数问题，用向量的 坐标运算来实现几何问题的求解，数形结合的思想在数量积的应用 中将体现更多．
解析：由题意，a·b＝(－2,1)·(x，－2)＝－2x－2＝0，解得 x＝ －1.
答案：A
4．已知 a＝(1， 3)，b＝(－2,0)，则|a＋b|＝________.
解析：因为 a＋b＝(－1, 3)，所以|a＋b|＝ －12＋ 32＝2. 答案：2
类型一 数量积的坐标运算
例 1 (1)设向量 a＝(1，－2)，向量 b＝(－3,4)，向量 c＝(3,2)，
∵(λa－2b)⊥a，∴(λa－2b)·a＝0，∴(λ－4)＋(λ＋6)＝0，
∴λ＝－1.
方法二 ∵(λa－2b)⊥a，∴(λa－2b)·a＝0，即 λa2＝2a·b，
∴λ(1＋1)＝2(1,1)·(2，－3)，即 2λ＝－2，∴λ＝－1.
【答案】 (1)C (2)－1
(1)先求→a ·→b ，再由已知求→c ·→a 最后利用 cosθ＝|→→aa |·|→→cc |，求夹 角．(2)已知向量垂直求参数，由相应向量的数量积为零建立关于参 数的方程，求解即可．
1.两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示
设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a 与 b 的夹角为 θ.
数量积
两个向量的数量积等于它们对__应__坐__标__的__乘___积__ 的和，即 a·b＝_x_1x_2_＋__y_1_y2_
两个向量垂直 a⊥b⇔_x_1x_2_＋__y_1_y2_＝__0_
则|3a＋b|等于( )
A. 5
B. 6
C. 17 D. 26
(2)已知|a|＝10，b＝(1,2)，且 a·b＝10，则 a 的坐标为______．
【解析】 (1)因为 a∥b，所以 1·y－2×(－2)＝0， 解得 y＝－4，从而 3a＋b＝(1,2)，|3a＋b|＝ 5. (2)设 a 的坐标为(x，y)，由题意得x＋x22＋y＝y2＝101，0，
解得yx＝＝4797，，
所以 c＝97，47.
答案：97，47 设→c ＝(x，y)，利用平面向量的数量积运算，列出关于 x，y 的
方程求解．
类型二 平面向量的模
例 2 (1)设 x∈R，向量 a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且 a∥b，则|a
＋b|＝( )
A. 5
类型三 平面向量的夹角(垂直)
例 3 (1)已知向量 a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝ 5，若(c－
b)·a＝125，则 a 与 c 的夹角为( )
A.30°
B．60° C．120°
D．150°
(2)已知向量 a＝(1,1)，b＝(2，－3)，若 λa－2b 与 a 垂直，则
实数 λ 等于________．
考试标准
课标要点 数量积的坐标表示
两个向量夹角 的坐标运算 平面向量模 的坐标运算
学考要求 c b
b
高考要求 c b
b
知识导图
学法指导 1.学习了本节后，我们在用向量处理平面图形问题时就有了两 种方法，通过一题两解，体会基底法和坐标法的优劣及选择依据． 2．通过数形结合，对向量平行与垂直条件的坐标表示的类比， 培养学生联想的记忆方法.
状元随笔 对向量模长公式的理解
(1)模长公ห้องสมุดไป่ตู้是数量积的坐标表示→a ·→b ＝x1x2＋y1y2 的一种特 例，当→a ＝→b 时，则可得|→a |2＝x21＋y21；
(2)若点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A→B＝(x2－x1，y2－y1)，所以 |A→B|＝ x2－x12＋y2－y12，即|A→B|的实质是 A，B 两点间的距离 或线段 AB 的长度，这也是模的几何意义．
跟踪训练 3 已知平面向量 a＝(3,4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)， 且 a∥b，a⊥c.
(1)求 b 与 c； (2)若 m＝2a－b，n＝a＋c，求向量 m，n 的夹角的大小．
解析：(1)因为 a∥b，所以 3x＝4×9，所以 x＝12.
因为 a⊥c，所以 3×4＋4y＝0，所以 y＝－3，所以 b＝(9,12)，
则向量(a＋2b)·c＝( )
A．(－15,12) B．0
C．－3 D．－11
(2)已知向量 a＝(1,2)，b＝(2，x)，且 a·b＝－1，则 x 的值等于
()
A.12
B．－12
C.32
D．－32
【解析】 (1)依题意可知，a＋2b＝(1，－2)＋2(－3,4)＝(－5,6)， 所以(a＋2b)·c＝(－5,6)·(3,2)＝－5×3＋6×2＝－3.
2．三个重要公式 向量模公式：设 a＝(x1，y1)，则|a|＝ ___x_21_＋__y_12_ 两 点 间 距 离 公 式 ： 若 A(x1 ， y1) ， B(x2 ， y2) ， 则 | A→B | ＝ ___x_2_－__x_1_2_＋__y_2_－__y_1_2
与 b 向的夹量角的为夹角θ，公则式c：os设θ＝两|aa非|·|bb零|＝向__量x_21_x＋_1ax_＝y2_＋12_·(_xy1_x1，_y22＋2_y1y)22，b＝(x2，y2)，a
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，满足 x1y2－x2y1＝0， 则向量 a，b 的夹角为 0°.( × ) (2)两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．( √ ) (3)若两个向量的数量积的坐标和小于零，则两个向量的夹角一 定为钝角．( × )
(2)因为 a＝(1,2)，b＝(2，x)，所以 a·b＝(1,2)·(2，x)＝1×2＋2x
＝－1，解得 x＝－32. 【答案】 (1)C (2)D (1)先求出→a ＋2→b ，然后利用平面向量的数量积求出(→a ＋
2→b )·→c . (2)利用平面向量的数量积运算求出→a ·→b ，由→a ·→b ＝－1 得出
2．已知 a＝(－3,4)，b＝(5,2)，则 a·b 的值是( ) A．23 B．7 C．－23 D．－7
解析：由数量积的计算公式得，a·b＝(－3,4)·(5,2)＝－3×5＋ 4×2＝－7.
答案：D
3．已知 a＝(－2,1)，b＝(x，－2)，且 a⊥b，则 x 的值为( ) A．－1 B．0 C．1 D．2
5 B. 2
C．2 5
D．5
(2)已知向量 a＝(1,2)，b＝(－3,2)，则|a＋b|＝________，|a－b|
＝________.
【解析】 (1)因为 a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且 a∥b，所以－2x
－1×1＝0，解得 x＝－12.
所 以 a ＋ b ＝ －12，1 ＋ (1 ， － 2) ＝ 12，－1 ， |a ＋ b| ＝
方法归纳
求向量的模的两种基本策略 (1)字母表示下的运算 利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的 问题． (2)坐标表示下的运算 若 a＝(x，y)，则 a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝ x2＋y2.
跟踪训练 2 (1)设平面向量 a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若 a∥b，
c＝(4，－3)．
(2)m＝2a－b＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)，n＝a＋c＝(3,4)＋(4，
－3)＝(7,1)．
设 m、n 的夹角为 θ，则 cos θ＝|mm|·|nn|＝
－3×7＋－4×1 －32＋－42× 72＋12
＝ －25 ＝－ 25 2
2 2.
因为 θ∈[0，π]，所以 θ＝34π，即 m，n 的夹角为34π.
方法归纳
利用数量积求两向量夹角的步骤 数量积:利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量
的数量积.
模:利用|a|＝
计算出这两个向量的模.
余弦值:由公式 cos θ＝ x21x＋1x2y＋21 yx122y＋2 y22直接求出 cos θ 的值.
角:在 0≤θ≤π 内，由 cos θ 的值求角 θ.
即xx＋ 2＋2yy2＝＝1100，0， 解得xy＝ ＝100，， 或xy＝ ＝－ 8，6， 所以 a＝(10,0) 或 a＝(－6,8)．
【答案】 (1)A (2)(10,0)或(－6,8)
(1)由→a ∥→b 求 y，再求 3→a ＋→b 的坐标，利用公式求模． (2)设→a (x，y)，由已知列方程组，求 x，y.
1 2
2＋－12＝
5 2.
(2)由题意，知 a＋b＝(－2,4)，a－b＝(4,0)，所以|a＋b|＝
－22＋42＝2 5，|a－b|＝4.
【答案】 (1)B (2)2 5 4
(1)两向量→a ＝(x1，y1)，→b ＝(x2，y2)共线的坐标表示：x1y2－ x2y1＝0.
(2)已知→a ＝(x，y)，则|→a |＝ x2＋y2.
关于 x 的方程求解．
方法归纳 数量积坐标运算的两个途径
一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利 用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．
跟踪训练 1 已知 a＝(2，－1)，b＝(3,2)，若存在向量 c，满足 a·c＝2，b·c＝5，则向量 c＝________.
解析：设 c＝(x，y)，因为 a·c＝2，b·c＝5，所以23xx－ ＋y2＝y＝2， 5，
【解析】 (1)由 a·b＝－10，得
(c－b)·a＝c·a－b·a＝c·a＋10＝125，∴c·a＝－52.
设 a 与 c 的夹角为 θ，则 cos θ＝|aa|·|cc|＝
－52 5×
5＝－12.
又 θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.
(2)方法一 λa－2b＝(λ，λ)－2(2，－3)＝(λ－4，λ＋6)．