2019年湖北省孝感市河口镇中学高二数学理联考试题含解析

2019年湖北省孝感市河口镇中学高二数学理联考试题
含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 自点的切线，则切线长为（）
A. B. 3 C. D. 5
参考答案：
B
略
2. 若变量满足约束条件则的最大值为
(A)4 (B)3 (C)2 (D)1
参考答案：
B
3. 若a∈{﹣2，0，1，}，则方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a﹣1=0表示的圆的个数为（） A． 0 B． 1 C． 2 D． 3
参考答案：
B
考点：圆的标准方程．
专题：直线与圆．
分析：方程即（x﹣）2+（y+a）2=1﹣a﹣a2 ，把a的值逐一代入检验，可得结论．
解答：解：方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a﹣1=0 即方程（x﹣）2+（y+a）2=1﹣a﹣a2 ，
可以表示以（，﹣a）为圆心、半径为的圆．
当a=﹣2时，圆心（1，2）、半径为0，不表示圆．
当a=0时，圆心（0，0）、半径为1，表示一个圆．
当a=1时，圆心（，﹣1）、1﹣a﹣a2＜0，不表示圆．
当a=时，圆心（，﹣）、1﹣a﹣a2＜0，不表示圆．
综上可得，所给的方程表示的圆的个数为1，
故选：B．
点评：本题主要考查圆的标准方程的特征，属于基础题．
4. 从4名男生和3名女生中选出4人参加迎新座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有
A．140种 B． 120种 C．35
种 D．34种
参考答案：
D
略
5. 若变量x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最大值为( )
A．0 B．5 C．-3 D．-2
参考答案：
B
6. 以下程序运行后的输出结果为（）
A． 17 B． 19 C． 21
D．23
参考答案：
C
7. 二项式展开式中的常数项是( )
A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项参考答案：
C
8. 双曲线：﹣=1的离心率为m，记函数y=x2与y=mx的图象所围成的阴影部分的面积为S（如图所示），任取x∈[0，2]，y∈[0，4]，则点（x，y）恰好落在阴影区域内的概率为（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】根据双曲线的性质求出离心率m，求出交点坐标，结合积分的应用求出阴影部分的面积，利用几何概型的概率公式进行计算即可．
【解答】解：由﹣=1得a2=4，b2=12，
则c2=4+12=16，
即a=2，c=4，则离心率为m===2，
则直线y=mx=2x代入y=x2，得x2=2x，
则x=0或x=2，
则阴影部分的面积S=∫（2x﹣x2）dx=（x2﹣x3）|=4﹣=，
∵x∈[0，2]，y∈[0，4]，
∴对应矩形的面积S=2×4=8，
则则点（x，y）恰好落在阴影区域内的概率P==，
故选：C
9. 将编号为1，2，3，4，5的五个球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子里，每个盒子内放一个球，若恰好有三个球的编号与盒子编号相同，则不同投放方法的种数为（）
A.6
B.10
C.20
D.30
参考答案：
B
10. 在△ABC中，若c=2acosB，则△ABC的形状为（）
A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．锐角三角形
参考答案：
B
【考点】正弦定理．
【分析】首先利用余弦定理代入已知条件，再根据化简的最终形式，判断三角形的形状．【解答】解：利用余弦定理：
则：c=2acosB=
解得：a=b
所以：△ABC的形状为等腰三角形．
故选：B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方
程___；
参考答案：
或
12. 已知，，且对任意都有：
①②
给出以下三个结论：（1）；（2）；（3）
其中正确结论为 ____________.
参考答案：
①②③
13. 设(是两两不等的常数)，则的值是 ______________.
参考答案：
因为，所以
所以f′（a）=（a-b）（a-c），同理f′（b）=（b-a）（b-c），f′（c）=（c-a）（c-b）．
∴=0．
14. 过点（1，3）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为
参考答案：
y=3x或x+y-4=0
略
15. 设m是常数，若点F（0，5）是双曲线的一个焦点，则m= ．
参考答案：
16
【考点】KC：双曲线的简单性质．
【分析】根据双曲线的焦点坐标判断双曲线的焦点位置是解决本题的关键，利用双曲线标准方程中的分母与焦点非零坐标的关系，列出关于m的方程，通过解方程求出m的值．
【解答】解：由于点F（0，5）是双曲线的一个焦点，
故该双曲线的焦点在y轴上，从而m＞0．
从而得出m+9=25，解得m=16．
故答案为：16．
16. 设函数，若函数恰有3个零点，则实数a的取值范围为____；
参考答案：
【分析】
由函数恰由3个零点，即方程有3个不同的解，设
，，利用导数求得函数的单调性与最值，作出函数的图象，结合图象，即可求解。

【详解】由题意，函数恰由3个零点，即方程有3个不同的解，
设，，则，
可得当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以，
则函数的图象，如图所示，
方程有3个不同的解等价于函数的图象与直线由3个的交点，
结合图象可得，实数的取值范围。

【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与最值，以及函数与方程的综合应用，其中解答中把方程的解转化为两个函数的图象的交点个数，准确利用导数求得函数的单调性与最值，画出函数的图象，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合与转化思想，以及推理与运算能力，试题有一定的难度，属于中档试题。

17. 将直线l1：nx＋y－n＝0、l2：x＋ny－n＝0(n∈N*，n≥2)与x轴、y轴围成的封闭图形的面积记为S n，则S n的最小值为________．
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分）
设命题，命题，若“”为假命题，“”为真命题，求实数的取值范围
科_网
参考答案：
解：由，
得，
因此，或，
由，
得．
因此或，
因为是的必要条件，
所以，
即．
因此解得．
略
19. 在直角坐标系中，以原点为极点, 轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线
,已知过点的直线的参数方程为：
，直线与曲线分别交于两点. (Ⅰ)写出曲线和直线的普通方程；(Ⅱ)若成等比数列, 求的值．
参考答案：
解：（1）.
（2）直线的参数方程为
代入,得到，
则有.
因为，所以
.解得
略
20. （1）若x＞0，y＞0，x+y=1，求证：+≥4．
（2）设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，求2x+y的最大值．
参考答案：
【考点】不等式的证明；曲线与方程．
【专题】转化思想；分析法；不等式的解法及应用．
【分析】（1）通分后对分母使用基本不等式；
（2）将4x2+y2+xy=1移项后得4x2+y2=1﹣xy≥4xy，从而得出∴xy≤．将所求式子两边平方可求出最大值．
【解答】解：（1）∵x＞0，y＞0，x+y=1，
∴xy≤（）2=
∴+==≥4．
（2）∵4x2+y2+xy=1，
∴4x2+y2=1﹣xy≥4xy，
∴xy≤．
∴（2x+y）2=4x2+y2+4xy=1+3xy≤，
∴﹣≤2x+y≤．
∴2x+y的最大值是．
【点评】本题考查了基本不等式的应用，是基础题．
21. （本小题满分12分）某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响. 已知某学生只选修甲的概率为0.08，只选修甲和乙的概率是0.12，至少选修一门的概率是0.88，用表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积.
记“函数为R上的偶函数”为事件A，求事件A的概率；
参考答案：
设该学生选修甲、乙、丙的概率分别为x、y、z
依题意得
若函数为R上的偶函数，则=0
当=0时，表示该学生选修三门功课或三门功课都没选.
=0.4×0.5×0.6+（1－0.4）（1－0.5）（1－0.6）=0.24
∴事件A的概率为
0.24。

10分
略
22. （本小题满分12分）
设极坐标方程为的圆上的点到参数方程为的直线的距离为,求的
最大值
参考答案：
所以圆上点到直线距离最大值为。