高考解题不用愁,数形结合显身手

教学参谋
解法探究2018年7月
高考解题不用愁，数形结合显身手
-江苏省宜兴第一中学李云强
“数”与“形”是一对矛盾的统一体，宇宙万物都可 以看成“数”和“形”的矛盾的统一.我国伟大的数学家 华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难人 微，数形结合百般好，隔裂分家万事休*.在数学中，数 形结合思想往往通过“以形助数”或“以数解形”的方 式，使得复杂的问题简单化，抽象的问题形象化，具体 的问题直观化，进而有助于把握数学问题的本质属性， 从而达到有效解决问题的目的.数形结合思想是数学 的规律性与灵活性的有机结合，也是高考中常考的数 学思想之一.
一、在函数与方程中的应用
■得$2-2〇$+4%0，由A %0，并结合图像可得a %2，
$
要使/($)" !+"恒成立，当"*〇时，需满足-"*2,即-2*a *0;当">0 时，需满足"*2,即 0<a *2.
综上分析可得-2 * 2.故选A .
函数的图像是函数关系的一种直观、形象的表示， 是运用数形结合思想方法的基础.对于一些含有函数背 景的问题，通过对函数性质的分析，结合相应的图像，对 相应的函数、方程问题加以有效转化，把复杂的问题转 化为简单的相应的函数图像的问题，通过数形结合，根 据题设条件，结合性质简捷分析与求解.
例1 (2017 •天津文，8)设"！R ，已知函数/($)%
音+" b
R
上恒成
立，则"的取值范围是（
）.
$
2
"若关于$的不等式（$)"I $+
，$ " 1，
(A )[-2,2] (B )[-2A /)，2](C )[-2,2 T
]
(D )[-2 T
，2 T
]
分析:根据分段函数的图像，利用关于$的不等式：$)
"
f
+"在R 上恒成立的条件，数形结合来分析参数"
的取值情况，从而得以确定参数的取值范围.
#1$1+2，$<1，
解析：作出函数#($)%| 2 的图像，如图1所
| $+--，$ " 1& $
当|+"的图像经过点（0,2)时，可知"%±2.当上+"的图像与*%$+三的图像相切时，由上+"%
2 $ 2点评：解决此类问题的关键是抓住函数的图像与性 质，运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问 题.特别地，数学中的方程、不等式等的相关问题，往往 可以通过函数、方程与不等式之间的联系转化为函数来 处理，进而结合方程与函数的对应关系作出相应的图 像，数形结合达到求解的目的.
二、在平面向量中的应用
而在平面向量中，平面向量的线性运算自身就蕴含 着丰富且深刻的几何背景，平面向量的坐标表示使平面 向量问题代数化成为了可能.平面向量知识成为了数形 结合中重要的载体，是数形结合对应的高度统一的实例 之，.
例2 (2017•全国！理-12)已知A -./是边长为2的 等边三角形，0为平面内一点，则,.(,+,)的最 小值是（
）.
(A )-2
(B
)-4
2
分析:根据平面向量的中点 公式与条件加以转化，数形结合 确定取得最小值时点0的位置，进而结合基本不等式来确定最 值问题!
解析:如图2，,+,%2,(1
(C
)-j
(D )-1-
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十•？•!{：，■?
高中
2018年7月解法探究
为中点），则"•("+")=2#$"，
要使最小，则"，"方向相反，即#点在线段 上，
则2"."m=-2l"ll"l，即求l"l l"l最小值.
又 |"|+|"|=I$"|=2x~#^=#T，
2
则l"ll"l$|i#41%1前1
贝（2"-")m…=-2x!=-!.故选 B.
4 2
点评：在解决平面向量问题中，经常通过几何图形特征或巧妙构造坐标系，数形结合来转化与处理.平面 向量中的向量问题往往既有形的特征，又有数的质感，巧妙地运用数形结合，可以使问题解决起来更直观快捷，思路清晰，解法巧妙.
三、在线性规划中的应用
结合数形结合，利用线性规划，设出决策变量，找出 约束条件和线性目标函数，利用图像在线性约束条件下 找出目标函数的取值范围、最值或取得最值时的点的坐 标或由此衍生出来的其他问题，如：斜率、距离的最值 等.
四、在概率中的应用
许多概率问题都可以通过画树形图、建立平面直角 坐标系，或是利用图形等，将数的问题转化为形的问题，借助于形的优势，使问题得到解决.特别在几何概型中，数形结合显得尤为重要.
例4 (2017•全国I文.4;
理-2)如图4,正方形4!"'内的
图形来自中国古代的太极图.正
方形内切圆中的黑色部分和白
色部分关于正方形的中心成中
心对称.在正方形内随机取一点，
则此点取自黑色部分的概率是（
分析:设出正方形的边长，进而确定正方形内切圆 的半径，结合几何图形的面积以及对称性来确定几何测 度问题，数形结合利用几何概型的概率公式来求解概率 即可.
解析:设正方形的边长为2,则正方形内切圆的半径为1，
则正方形的面积为4，正方形内切圆的面积为！，
根据对称性可知，黑色部分的面积是正方形内切圆
例3 (2017•全国！理’13)若-，.满足约束条件--.'0，
'-+.-2 (0，则/&3--4.的最小值为_____.
.'0，
分析：先根据条件作出对应约束条件的可行域，通 过数形结合，利用平移直线法，根据目标函数并结合可 行域来确定最值问题.
--.'0，
解析：作出约束条件*-+.-2 $0，表示的可行域，如
.'0
图3中的阴影部分所示，
作出直线1:3--4.&0,平
移直线1,当直线/&3--4.经过
点4(1，1)时，/取得最小值，
最小值为3-4&-1.
点评：利用数形结合思
想可以解决在线性规划可行的面积的一半，即图中黑色部分的面积为I，
2
根据几何概型可得所求的概率为
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故选B.
点评：涉及概率的求解问题，有时可以把古典概型、几何概型的问题转化为直观图形，通过数形结合来分析更直观快捷.特别，涉及面积型的几何概型问题是高考中最常见的题型之一，主要有结合平面几何的性质确定相应的几何图像面积，利用面积之比来确定几何概型等概率问题.
五、在圆锥曲线中的应用
对于圆锥曲线问题，许多对应的长度、数式等都具 有一定的几何意义，挖掘题目中隐含的几何意义，采用 数形结合的思想方法，可简单快捷地解决某些相应的问 题.
域约束条件下已知目标函数的最值问题.线性规划可以解决很多的相关问题，其解决问题的关键：设出决策变量，通过数形结合，利用图像在线性约束条件下找出决策变量使线性目标函数达到最大或最小值.
例5 (2017•全国#理-16)已知2是抛物线":/&8-的焦点，3是C上一点，23的延长线交.轴于点4.若3为24的中点，则1241=_____.
分析:根据题目条件以及中点的性质确定点3的横
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解法探究2018年7月
培养解题能力的“四化”策略
----从向量加法的“平行四边形法则”说起
⑩江苏省海安曲塘中学狄玉兰
在高三数学复习中，采用何种方式，才能既巩固基 础，又能促进学生解题能力的提升？这是困扰广大一线 教师的一个难题.如果只是将知识点简单、机械地重复 一遍，并不能达到上述目的.笔者教学中发现，从一个最 基本问题出发，通过将问题变化、拓展，建立其与其他知 识之间的关联，对于构建知识网络、提高解题能力，可收 到事半功倍之效.本文以苏教版必修4中向量求和的平 行四边形法为例说明.
B
C
0 /
图1
两向量求和的平行四边形法则:如图1所U ，以同一 点〇为起点的两个向量0/，0$为邻边作平行四边形 0/C
B
，则以〇为起点的对角线0"就是0$+0$.
-、将问题“变化”，巩固“四基”
变化1!根据向量的定义可得0$'/$，所以0$+/$' 0"，即为向量加法的三角形法则(如图2所示Q .
变化 2:由 0$+/$'0$，得 0$-0$=-/$，即0$-0$= "$.(向量减法的三角形法则）
连接/.，交0C 于点），由平行四边形的性质可得0M =M C ，所以 0$$ 丄 0$，即 0$+0$$20$.
2
变化3:3为A /B C 的边B C 的中点，则Z $+/$=2/$
(如图3所示Q
变化4:若）为&/B C 的重心，则/$+/$=3/$.通过上述几种变化将向量加法的平行四边形法则， 三角形法则，减法的三角形法则以及中线向量公式连成 一线，实现了基础知识的巩固.
二、将问题解法“一般化”，培养思维的概 括能力
设!1，!2是同一平面内两个不共线的向量，"是这一
坐标，通过数形结合，结合定义把抛物线上的点到焦点 的距离转化为抛物线上的点到准线的距离，进而来求解 对应的线段长度问题.
解析：由抛物线C :#2$8%知，
P =4,焦点 f
(2,0)，
如图5所示，由于的延长 线交#轴于点*，则*的横坐标为 0,而）为的中点，可得）的横 坐标为%«=1，结合抛物线的定义知，含'3，故_'2隊(丨=
6.
点评：通过数形结合，把圆
锥曲线问题直观化，通过把抽象的数学语言与直观的图 形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来，使对题 目的解答更形象、直观、一目了然，从而得以快捷求解. 直线与圆锥曲线的位置关系的转化有两种，一种是通过 数形结合建立相应的关系式，另一种是通过代数形式转 化为二元二次方程组的解的问题进行讨论.
巧妙运用数形结合思想来处理与解决一些相关的 抽象的数学问题，往往可起到事半功倍的效果.数形结 合思想的重点是“以形助数”，根据对应知识点中的数量 与图形之间的对应关系，通过“数”与“形”的相互转化来 解决数学问题.尤其在解决一些选择题、填空题时，数形 结合思想往往发挥着奇特功效，可以大大提高解题能力 与速度，提升效益.F !
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