2020-2021学年河南省南阳市唐河县第四高级中学高一数学理月考试卷含解析

2020-2021学年河南省南阳市唐河县第四高级中学高一数学理月考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若三角形三边的长度为连续的三个自然数，则称这样的三角形为“连续整边三角形”。

下列说法正确的是（）
A. “连续整边三角形”只能是锐角三角形
B. “连续整边三角形”不可能是钝角三角形
C. 若“连续整边三角形”中最大角是最小角的2倍，则这样的三角形有且仅有1个
D. 若“连续整边三角形”中最大角是最小角的2倍，则这样的三角形可能有2个
参考答案：
C
【分析】
举例三边长分别是2,3,4的三角形是钝角三角形，否定A，B，通过计算求出最大角是最小角的二倍的三角形，从而可确定C、D中哪个正确哪个错误．
【详解】三边长分别是2,3,4的三角形,最大角为，则，是钝角，三角形是钝角三角形，A，B都错，
如图中，，，是的平分线，则
，∴，，∴，
，
又由是平分线，得，∴，解得，
∴“连续整边三角形”中最大角是最小角的2倍的三角形只有一个，边长分别为4，5，6，C正确，D 错误．
故选D．2. 设集合，，则（）
A． B． C． D．
参考答案：
D
3. 通过下列函数的图象，判断不能用“二分法”求其零点的是（）
A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④
参考答案：
C
【考点】二分法求方程的近似解．
【分析】根据函数图象理解二分法的定义，函数f（x）在区间[a，b]上连续不断，并且有f（a）?f （b）＜0．即函数图象连续并且穿过x轴．
【解答】解：能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a，b]上连续不断，
并且有f（a）?f（b）＜0，有图象可得，只有③能满足此条件，
故不能用“二分法”求其零点的是①②④
故选C．
4. 设集合，则的取值范围是（）
A． B.
C. 或
D. 或
参考答案：
A
试题分析：因为，所以
所以.故选A．
考点：1、集合运算；2、绝对值不等式．
【方法点睛】的几何意义是实数在数轴上对应的点离开原点的距离，所以的解集是；不等式的解集是．把不等式与中的替换成，就可以得到与型的不等式的解法．本题考查含有绝对值的不等式的解法和集合的运算，属于基础题．
5. 设，，若，，，则（）
A． B．C．
D．
参考答案：
C
略
6. 在长方体ABCD—中，，，，则和所成的角
是（）
A.60°
B.45°
C.30°
D.90°
参考答案：
A
略7. 在0到2 范围内，与角终边相同的角是( )．
A．B．C．D．
参考答案：
C
略
8. 已知集合M={x|y=}，集合N={y|y=x2-2x+1,x∈R},则M∩N=( ).
A.{x|x≤2}
B.{x|x≥2}
C.{x|0≤x≤2}
D.
参考答案：
C
9. 若函数，则的值为（）
A．5 B．－1 C．－7 D．2参考答案：
D
10. 函数在R上的部分图象如图所示，则的值为（）．
A. 5
B.
C.
D.
参考答案：
C
【分析】
由图象的最值和周期可求得A 和，代入(2,5)可求得，从而得到函数解析式，代入可求
得结果.
【详解】由图象可得：
，
代入(2,5)可得：
本题正确选项：C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数
的定义域为，
为奇函数，当
时，
，则当
时，
的递减区间是
．
参考答案：
12. 如图圆C 半径为1，
A 为圆C
上的一个定点，B 为圆C 上的动点，若点A ，
B ，
C 不共线，且
对任意t∈（0，+∞）恒成立，则
= .
参考答案：
1
13. 已知函数的定义域是，考察下列四个结论：
①若
，则
是偶函数；
②若，则在区间上不是减函数；
③若f(x)在[a,b 上递增，且在[b,c]上也递增，则f(x)在[a,c]上递增；
④若
R ，则是奇函数或偶函数.
其中正确的结论的序号是 . 参考答案： ②
略
14. 一个半球的全面积为
，一个圆柱与此半球等底等体积，则这个圆柱的全面积是
参考答案：
15. 无论m 为何值，直线：（2m+1）x+（m+1）y ﹣7m ﹣4=0恒过一定点P ，则点P 的坐标为 ．
参考答案：
16. 已知向量=
，=
,若向量
与
平行，则k=______
参考答案：
略
17. 某同学在研究函数f （x ）=
﹣1（x∈R）时，得出了下面4个结论：①等式f （﹣x ）=f
（x ）在x∈R 时恒成立；②函数f （x ）在x∈R 上的值域为（﹣1，1]；③曲线y=f （x ）与g （x ）=2
x
﹣2
仅有一个公共点；④若f （x ）=﹣1在区间[a ，b]（a ，b 为整数）上的值域是[0，1]，则满
足条件的整数数对（a ，b ）共有5对．其中正确结论的序号有 （请将你认为正确的结论的序号都填上）．
参考答案：
①②④
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】可以先研究函数的奇偶性，然后做出函数的图象，据此求解． 【解答】解：函数f （x ）=
﹣
1易知函数的定义域为R ，且f （﹣x ）=f （x ），故函数为偶函
数．故①正确；
当x ＞0时，函数f （x ）=
﹣1=
，该函数在（0，+∞）上减函数，且x=0时，f （x ）
=1；当x→+∞时，f （x ）→﹣1．函数的值域为：（﹣1，1]，所以②正确；
结合奇偶性，作出f （x ）的
图象如下：
易知函数的值域是（﹣1，1），故②正确；
曲线y=f （x ）与g （x ）=2x ﹣2，结合函数的图象，可知x=0时，g （0）=，仅有一个公共点不正确，所以③不正确；
若f （x ）=
﹣1在区间[a ，b]（a ，b 为整数）上的值域是[0，1]，则满足条件的整数数对（a ，
b ）共有5对．分别为（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），（﹣1，2），（0，2）所以④正确． 故正确的命题是①②④．
故答案为：①②④．
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图，公园要把一块边长为
的等边三角形的边角地修成草坪，
把草坪分成面积相等
的两部分，
在上，
在
上．
(1)设，
，试用表示函数
；
(2)如果
是灌溉水管，希望它最短，的位置应该在哪里？
参考答案：
略
19. 证明：（Ⅰ）
（Ⅱ）．
参考答案：
【考点】三角函数恒等式的证明．
【分析】（Ⅰ）由条件利用两角和差的正弦函数公式化简等式的右边，从而证得等式成立．（Ⅱ）由两角和与差的正弦函数，余弦函数公式，同角三角函数基本关系式化简等式右边，即可得证．
【解答】（本题满分为8分）
证明：（Ⅰ）∵右边=[sinαcosβ+cosαsinβ+（sinαcosβ﹣
cosαsinβ）]=×2sinαcosβ=sinαcosβ=左边，
∴成立．
（Ⅱ）右边=2（sin cos+cos sin）（cos cos+sin sin）
=2sin cos2cos+2sin2sin cos+2cos2sin cos+2cos sin2sin
=sinαco s2+sin2sinβ+cos2sinβ+sin2sinα
=sinα（cos2+sin2）+（sin2+cos2）sinβ
=sinα+sinβ
得证．（每小题4分）
20. 已知函数f（x）=1+，g（x）=log2x．
（1）设函数h（x）=g（x）﹣f（x），求函数h（x）在区间[2，4]上的值域；
（2）定义min{p，q}表示p，q中较小者，设函数H（x）=min{f（x），g（x）}（x＞0）．
①求函数H（x）的单调区间及最值；
②若关于x的方程H（x）=k有两个不同的实根，求实数k的取值范围．
参考答案：
【考点】分段函数的应用；函数的最值及其几何意义．【专题】函数的性质及应用．
【分析】（1）根据函数f（x）=1+在[2，4]上为减函数，g（x）=log2x在[2，4]上为增函数，可得函数h（x）的单调性，进而求出最值，可得函数的值域；
（2）结合函数f（x）=1+在（0，+∞）上为减函数，g（x）=log2x在（0，+∞）上为增函数，且当x=4时，f（x）=g（x），可得函数H（x）的解析式，进而得到答案．
【解答】解：（1）∵函数f（x）=1+在[2，4]上为减函数，
g（x）=log2x在[2，4]上为增函数，
∴函数h（x）=g（x）﹣f（x）=log2x﹣1﹣在[2，4]上为增函数，
当x=2时，函数取最小值﹣2，
当x=4时，函数取最大值0，
故函数h（x）在区间[2，4]上的值域为[﹣2，0]；
（2）当x=4时，f（x）=g（x），
由函数f（x）=1+在（0，+∞）上为减函数，
g（x）=log2x在（0，+∞）上为增函数，
故当x∈（0，4）时，g（x）＜f（x），
当x∈（4，+∞）时，g（x）＞f（x），
故H（x）=min{f（x），g（x）}=．
故①求函数H（x）的单调递增区间为（0，4]，
单调递减区间为[4，+∞），
当x=4时，取最大值2，无最小值；
②当x→+∞时，H（x）→1，
故若关于x的方程H（x）=k有两个不同的实根，
则k∈（1，2）
【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，分段函数分段处理，是解答此类问题的关键．21. 已知直线的方程为，求满足下列条件的直线的方程：
（1）与平行且过点；（2）与垂直且过点；
参考答案：
（1）：；（2）：
22. 已知△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的边，且，且
（1）求角C的大小；
（2）求的取值范围.
参考答案：（1）（2）
【分析】
（1）先根据诱导公式化简，再根据余弦定理得角C范围，最后根据特殊角三角函数值得结果，（2）
先根据正弦定理将化为角的关系式，再根据配角公式化为基本三角函数形式，最后根据正弦函数性质得结果.
【详解】（1）
因此
（2）
,
因为
因此
【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理以及配角公式，考查基本分析求解能力，属中档题.。