2018-2019学年人教版必修二第七章7.14解决物理问题的一把金钥匙——功能关系学案

二、重难点提示
重点：功能之间的对应关系
难点：摩擦力做功的特点
1. 功和能
（1）功是能量转化的量度，即做了多少功，就有多少能量发生了转化。

（2）做功的过程一定伴随有能量的转化，而且能量的转化必须通过做功来实现。

3. 对功能关系的进一步理解
（1）做功的过程是能量转化的过程。

不同形式的能量发生相互转化是通过做功来实现的。

（2）功是能量转化的量度，功和能的关系，一是体现在不同的力做功，对应不同形式
的能量转化，具有一一对应关系；二是做功的多少与能量转化的多少在数量上相等。

例题1如图所示，在升降机内固定一光滑的斜面体，一轻质弹簧的一端连在位于斜面体上方的固定木板B上，另一端与质量为m的物块A相连，弹簧与斜面平行。

整个系统由静止开始加速上升高度h的过程中（）
A. 物块A的重力势能增加量一定等于mgh
B. 物块A的动能增加量等于斜面的支持力和弹簧的拉力对其做功的代数和
C. 物块A的机械能增加量等于斜面的支持力和弹簧的拉力对其做功的代数和
D. 物块A和弹簧组成的系统的机械能增加量等于斜面对物块的支持力和B对弹簧的拉力做功的代数和
思路分析：由于斜面光滑，物块A静止时弹簧弹力与斜面支持力的合力与重力平衡，当整个装置加速上升时，由牛顿第二定律可知物块A受到的合力应向上，故弹簧伸长量增加，物块A相对斜面下滑一段距离，故选项A错误；根据动能定理可知，物块A动能的增加量应等于重力、支持力及弹簧弹力对其做功的代数和，故选项B错误；物块A机械能的增加量应等于除重力以外的其他力对其做功的代数和，选项C正确；物块A和弹簧组成的系统的机械能增加量应等于除重力和弹簧弹力以外的其他力做功的代数和，故选项D正确。

答案：CD
举一反三：物块由静止从粗糙斜面上的某点加速下滑到另一点，此过程中重力对物块做的功等于（）
A. 物块动能的增加量
B. 物块重力势能的减少量
C. 物块重力势能的减少量和物块动能的增加量以及物块克服摩擦力做的功之和
D. 物块动能的增加量与物块克服摩擦力做的功之和
思路分析：由功能关系分析可知，物块由静止从粗糙斜面上某点加速下滑的过程中，重力做正功，动能增加；滑动摩擦力做负功，转化为物块和斜面的内能；支持力不做功，故物块的机械能减少。

由定量分析可知，数值上重力做的功等于重力势能的减少量，还等于物块动能的增加量与克服摩擦力做功之和，故B、D正确。

答案：BD
例题2如图所示，劲度系数为k的轻质弹簧，一端系在竖直放置、半径为R的光滑圆环顶点P，另一端连接一套在圆环上且质量为m的小球，开始时小球位于A点，此时弹簧处于原长且与竖直方向的夹角为45°，之后小球由静止沿圆环下滑，小球运动到最低点B时速率为v，此时小球与圆环之间压力恰好为零。

下列分析正确的是（）
A. 小球过B 点时，弹簧的弹力大小为mg ＋m
R
v 2
B. 小球过B 点时，弹簧的弹力大小为k )22(R R
C. 从A 到B 的过程中，重力势能和弹簧的弹性势能转化为小球的动能
D. 从A 到B 的过程中，重力对小球做的功等于小球克服弹簧弹力做的功
思路分析：在B 点弹簧的伸长量Δx ＝2R －2R ×
2
2
＝2R －2R ，所以弹簧的弹力F ＝k Δx ＝k （2R －2R ），B 正确。

另外，在B 点由向心力公式得：F －mg ＝m R
v 2
，解得F ＝
mg ＋m R
v 2
，A 正确。

在从A 到B 的过程中，小球的重力势能减少，弹簧的弹性势能增加，
故小球减少的重力势能转化为小球的动能和弹簧的弹性势能，C 、D 均错。

答案：AB
例题3 （山东高考）如图所示，楔形木块abc 固定在水平面上，粗糙斜面ab 和光滑斜面bc 与水平面的夹角相同，顶角b 处安装一定滑轮。

质量分别为M 、m （M >m ）的滑块，通过不可伸长的轻绳跨过定滑轮相连接，轻绳与斜面平行。

两滑块由静止释放后，沿斜面做匀加速运动。

若不计滑轮的质量和摩擦，在两滑块沿斜面运动的过程中（ ）
A. 两滑块组成系统的机械能守恒
B. 重力对M 做的功等于M 动能的增加量
C. 轻绳对m 做的功等于m 机械能的增加量
D. 两滑块组成系统的机械能损失等于M 克服摩擦力做的功
思路分析：两滑块释放后，M 下滑、m 上滑，摩擦力对M 做负功，系统的机械能减小，减小的机械能等于M 克服摩擦力做的功，选项A 错误，D 正确。

除重力对滑块M 做正功外，还有摩擦力和轻绳的拉力对滑块M 做负功，选项B 错误。

轻绳的拉力对滑块m 做正功，滑块m 的机械能增加，且增加的机械能等于拉力做的功，选项C 正确。

答案：CD
【高频疑点】摩擦力做功的特点及应用 1. 静摩擦力做功的特点
（1）静摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功； （2）相互作用的一对静摩擦力做功的代数和总等于零；
（3）静摩擦力做功时，只有机械能的相互转移，不会转化为内能。

2. 滑动摩擦力做功的特点
（1）滑动摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功；
（2）相互间存在滑动摩擦力的系统内，一对滑动摩擦力做功将产生两种可能效果： ①机械能全部转化为内能；
②有一部分机械能在相互摩擦的物体间转移，另外一部分转化为内能；
（3）摩擦生热的计算：Q ＝F f x 相对，其中x 相对为相互摩擦的两个物体间的相对位移。

要注意滑动摩擦力做功与摩擦生热是两个概念，滑动摩擦力做功不一定等于产生的热量，计算方法是对地x F W f f ⋅=。

深化拓展：从功的角度看，一对滑动摩擦力对系统做的功等于系统内能的增加量；从能量的角度看，其他形式能量的减少量等于系统内能的增加量。

满分训练：如图所示，质量为m 的长木块A 静止于光滑水平面上，在其水平的上表面左端放一质量也为m 的滑块B ，已知木块长为L ，它与滑块之间的动摩擦因数为μ。

现用水平向右的恒力F 拉滑块B 。

（1）当长木块A 的位移为多少时，B 从A 的右端滑出？ （2）求上述过程中滑块与木块之间产生的内能。

思路分析：把握解题的关键点——当把滑块B 拉离A 时，B 的位移为A 的位移与A 的长度之和。

（1）设B 从A 的右端滑出时，A 的位移为x ，A 、B 的速度分别为v A 、v B ，由动能定理得
对A ：2
12
A mgx mv μ=
① 对B ：2
1()()2
B F mg x L mv μ-⋅+= ②
又因为v A ＝a A t ＝μgt ③
v B ＝a B t ＝
F mg
m
μ-t ④ 联立①②③④解得x ＝2mgL
F mg
μμ-；
（2）由功能关系知，拉力F 做的功等于A 、B 动能的增加量和A 、B 间产生的内能Q ，即有22
11()22
A B F x L mv mv Q +=
++ 联立①②式解得Q ＝μmgL 。

答案：（1）
mg
F mgL
μμ2- （2）μmgL
【综合拓展】传送带模型中的动力学和能量转化问题
传送带模型是高中物理中比较成熟的模型，典型的有水平和倾斜两种情况。

一般设问的
角度有两个：
1. 动力学角度：首先要正确分析物体的运动过程，做好受力情况分析，然后利用运动学公式结合牛顿第二定律，求物体及传送带在相应时间内的位移，找出物体和传送带之间的位移关系。

分析思路如下：
2. 能量角度：求传送带对物体所做的功、物体和传送带由于相对滑动而产生的热量、因放上物体而使电动机多消耗的电能等，常依据功能关系或能量守恒定律求解。

（1）功能关系分析：F k p W E E Q ∆∆＝＋＋。

（2）对W F 和Q 的理解：
①传送带的功：F W Fs 传＝； ②产生的内能：f Q F s 相对＝。

满分训练：如图所示，绷紧的传送带与水平面的夹角θ＝30°，传送带在电动机的带动下，始终保持v 0＝2 m/s 的速率运行，现把一质量为m ＝10 kg 的工件（可看做质点）轻轻放在传送带的底端，经过时间t ＝1.9 s ，工件被传送到h ＝1.5 m 的高处，取g ＝10 m/s 2，求：
（1）工件与传送带间的动摩擦因数； （2）电动机由于传送工件多消耗的电能。

思路分析：（1）由题图可知，传送带长l ＝θ
sin h
＝3m 。

工件速度达到v 0前，做匀加速运动的位移s 1＝v t 1＝
2
v t 1 匀速运动的位移为l －s 1＝v 0（t －t 1） 解得加速运动的时间t 1＝0.8 s
加速运动的位移s 1＝0.8 m ，所以加速度a ＝
1
v t ＝2.5 m/s 2 由牛顿第二定律有：μmg cos θ－mg sin θ＝ma ，解得μ
（2）根据能量守恒的观点，显然电动机多消耗的电能用于增加工件的动能、势能以及克服传送带与工件之间发生相对位移时摩擦力做功产生的热量。

在时间t 1内，传送带运动的位移s 传＝v 0t 1＝1.6 m 在时间t 1内，工件相对传送带的位移s 相＝s 传－s 1＝0.8 m 在时间t 1内，摩擦产生的热量Q ＝μmg cos θs 相＝60 J 全过程内，工件获得的动能E k ＝
2
012
mv ＝20 J 全过程内，工件增加的势能E p ＝mgh ＝150 J 电动机多消耗的电能W ＝Q ＋E k ＋E p ＝230 J.
答案：（1）2
（2）230 J。