高考专题安徽省安庆市高考数学模拟试卷(文科).docx

2016年安徽省安庆市高考数学模拟试卷（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知i 为虚数单位，复数z 满足（1﹣i ）z=2i 2016，则复数z 的虚部为（ ）
A ．﹣1
B ．1
C ．i
D ．﹣i
2．已知集合A={0，1，2，3}，集合B={y|y=﹣|x|+2，x ∈R}，则A ∩B 的元素个数为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
3．在等比数列{a n }中，a 1=16，a 6=2a 5•a 7，则a 4=（ ）
A ．4
B ．2
C ．1
D ．
4．阅读如图所示的程序框图，若运行该程序后输出的y 的值为4，则输入的实数x 的值为（ ）
A ．4
B ．16
C ．﹣1或16
D ．﹣1或
5．“角α为钝角”是“sin α＞0且cos α＜0”的（ ）条件．
A ．充要
B ．必要不充分
C ．充分不必要
D ．既不充分又不必要
6．记样本x 1，x 2，…，x m 的平均数为，样本y 1，y 2，…，y n 的平均数为（≠），若样本x 1，x 2，…，x m ，y 1，y 2，…，y n 的平均数为=+，则的值为（ ）
A ．3
B ．4
C ．
D ． 7．如图，网格纸上每个正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A ．
B ．56+8
C ．64
D ．72
8．在矩形ABCD 中，AB=2，AD=1，点P 为矩形ABCD 内一点，则使得•≥1的概率为（ ） A ． B ． C ． D ．
9．在正四面体A ﹣BCD 中，有下列四个命题，其中真命题的个数为（ ）
①每组对棱异面垂直；
②连接每组对棱的中点，则这三线交于一点；
③在棱CD 上至少存在一个点E ，使∠AEB=
； ④正四面体的外接球的半径是其棱长的
倍． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
10．双曲线C ：
=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线与双曲线的两支分别交于点P 、Q ．若△PQF 2为等边三角形，则双曲线C 的离心率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．7
11．已知函数f （x ）=cos2xcos φ﹣sin2xsin φ（0＜φ＜
）的图象的一个对称中心为（，0），则下列说法不正确的是（ ）
A ．直线x=π是函数f （x ）的图象的一条对称轴
B ．函数f （x ）在[0，
]上单调递减 C ．函数f （x ）的图象向右平移
个单位可得到y=cos2x 的图象 D ．函数f （x ）在[0，]上的最小值为﹣1
12．已知函数f （x ）=（e x +1）（ax+2a ﹣2），若存在x ∈（0，+∞），使得不等式f （x ）﹣2＜0成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．（0，1）
B ．（0，）
C ．（﹣∞，1）
D ．（﹣∞，）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上．
13．已知点P （x 0，8）是抛物线y 2=8x 上一点，则点P 到其焦点的距离为 ．
14．已知实数x ，y 满足不等式组，则x 2+y 2的取值范围是 ．
15．志强同学在一次课外研究性学习中发现以下一系列等式成立： =（）2，
=（）3，，…，于是他想用符号表示这个规律，
他已经写了一部分，请帮他补充完整，若a ，b ∈R ，b ≠1，ab=1，n ∈N *，则 ．
16．已知△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积是c 2，则
的最大值为 ．
三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）（2016•安庆模拟）已知递增的等差数列{a n }的首项是1，S n 是其前n 项和，且（n ∈N *）．
（1）求数列{a n }的通项公式a n ；
（2）设b n =a n •2an ，求数列{b n }的前n 项和T n ．
18．（12分）（2016•安庆模拟）为贯彻落实教育部6部门《关于加快发展青少年校园足球的实施意见》，全面提高我市中学生的体质健康水平，培养拼搏意识和团队精神，普及足球知识和技能，市教体局决定举行春季校园足球联赛．为迎接此次联赛，甲中学选拔了20名学生组成集训队，现统计了这20名学生的身高，记录入如表：（设ξ为随机变量）
身高
（cm ）
168 174 175 176 178 182 185 188
人数 1 2 4 3 5 1 3 1 （1）请计算这20名学生的身高的中位数、众数，并补充完成下面的茎叶图；
（2）身高为185cm 和188cm 的四名学生分别记为A ，B ，C ，D ，现从这四名学生选2名担任正副门将，请利用列举法列出所有可能情况，并求学生A 入选门将的概率．
19．（12分）（2016•安庆模拟）在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，PA=2AB=2，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，E 为PD 的中点，在平面PCD 内作EF ⊥PC 于点F ．
（1）求证：F 为PC 的中点；
（2）求点F 到平面ACE 的距离．
20．（12分）（2016•安庆模拟）在平面直角坐标系中，椭圆+=1（a ＞b ＞0）的离心率为，其左顶点为A ，上顶点为B 且△AOB 的面积为4．
（1）求椭圆E 的标准方程；
（2）若直线l ：y=x+m 交椭圆E 于点G ，H ，原点O 到直线l 的距离为
，试判断点O 与
以线段GH 为直径的圆的位置关系，并给出理由．
21．（12分）（2016•安庆模拟）已知函数． （1）若曲线y=f （x ）在x=1处的切线与直线x+3y=0垂直，求实数a 的值；
（2）求证：函数f （x ）的最小值大于．
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按多做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]
22．（10分）（2016•安庆模拟）如图所示，⊙O 1与⊙O 2外切于点P ，从⊙O 1上点A 作的切线AB ，切点为B ，连AP （不过O 1）并延长与⊙O 2交于点C ．
（1）求证：AO 1∥CO 2；
（2）若，求⊙O 1的半径与⊙O 2的半径之比．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．（2016•安庆模拟）在平面直角坐标系xOy 中，以O 为原点，以x 轴正半轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2﹣4ρsin θ+3=0，直线l 的参数方程为，（t 为参数）．
（1）写出曲线C 和直线l 的直角坐标方程；
（2）若点A ，B 是曲线C 上的两动点，点P 是直线l 上一动点，求∠APB 的最大值．
[选修4-5：不等式选讲]
24．（2016•安庆模拟）已知a ＞0，b ＞0，且
的最小值为t ．
（1）求实数t 的值；
（2）解关于x 的不等式：|2x+1|+|2x ﹣1|＜t ．
2016年安徽省安庆市高考数学模拟试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知i为虚数单位，复数z满足（1﹣i）z=2i2016，则复数z的虚部为（）
A．﹣1 B．1 C．i D．﹣i
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求得z的虚部得答案．【解答】解：由（1﹣i）z=2i2016，
得z=====1+i，
∴z的虚部是1，
故选：B．
【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
2．已知集合A={0，1，2，3}，集合B={y|y=﹣|x|+2，x∈R}，则A∩B的元素个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】交集及其运算．
【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．
【解答】解：∵B={y|y=﹣|x|+2，x∈R}={y|y≤2}，
则A∩B={0，1，2}，
则A∩B的元素个数为3个，
故选：D．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，求出集合B的等价条件是解决本题的关键，比较基础．
3．在等比数列{a
n }中，a
1
=16，a
6
=2a
5•
a7，则a4=（）
A．4 B．2 C．1 D．【考点】等比数列的通项公式．
【分析】设等比数列的公比为q（q是不为0的常数），结合等比数列的通项公式求得q的
值；然后由a
4=a
1
q3求得答案即可．
【解答】解：设等比数列的公比为q（q是不为0的常数），则
a 1q5=2×a
1
q4•a1q6，即2×16q5=1，
解得q=，
故a
4=a
1
q3=16×=2．
故选：B．
【点评】本题考查等比数列的通项公式，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．
4．阅读如图所示的程序框图，若运行该程序后输出的y的值为4，则输入的实数x的值为（）
A．4 B．16 C．﹣1或16 D．﹣1或
【考点】程序框图．
【分析】模拟执行程序得程序框图的功能是计算并输出y=的值，由题意，可得，或，即可解得x的值．
【解答】解：模拟执行程序，可得程序框图的功能是计算并输出y=的值，
由于运行该程序后输出的y 的值为4，可得：，或，
解得：x=16，或﹣1．
故选：C ． 【点评】本题考查解决程序框图的选择结构时，关键是判断出输入的值是否满足判断框中的条件，属于基础题．
5．“角α为钝角”是“sin α＞0且cos α＜0”的（ ）条件．
A ．充要
B ．必要不充分
C ．充分不必要
D ．既不充分又不必要
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】角α为钝角，可得：sin α＞0且cos α＜0，反之不成立，例如取α=2π+
．即
可判断出关系．
【解答】解：角α为钝角，则可得：sin α＞0且cos α＜0，反之不成立，例如取α=2π+． ∴角α为钝角”是“sin α＞0且cos α＜0”的充分不必要条件．
故选：C ．
【点评】本题考查了三角函数求值、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
6．记样本x 1，x 2，…，x m 的平均数为，样本y 1，y 2，…，y n 的平均数为（≠），若样本x 1，x 2，…，x m ，y 1，y 2，…，y n 的平均数为=+，则的值为（ ） A ．3 B ．4 C ． D ． 【考点】众数、中位数、平均数．
【分析】由已知得到=+=+，由此能求出m ，n ，从而能求出．
【解答】解：∵样本x 1，x 2，…，x m 的平均数为，
样本y 1，y 2，…，y n 的平均数为（≠），
样本x 1，x 2，…，x m ，y 1，y 2，…，y n 的平均数为=+， ∴=+=+，
∴，解得m=1，n=3，
∴=．
故选：D．
【点评】本题考查代数式的值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平均数性质的合理运用．
7．如图，网格纸上每个正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的表面积为（）
A．B．56+8C．64 D．72
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图可知：该几何体为上下两部分，上面是一个三棱柱，下面是一个长方体．【解答】解：由三视图可知：该几何体为上下两部分，上面是一个三棱柱，下面是一个长方体．
∴该几何体的表面积=2×+×2+2×4×4+4×4=16+56．
故选：A．
【点评】本题考查了三视图的有关计算、三棱柱与长方体的表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
8．在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，点P为矩形ABCD内一点，则使得•≥1的概率为（）A．B．C．D．
【考点】几何概型；平面向量数量积的运算．
【分析】将矩形放在坐标系中，设P（x，y）利用向量的数量积公式，作出对应的区域，求出对应的面积即可得到结论．
【解答】解：将矩形放在坐标系中，设P（x，y），
则A（0，0），C（2，1），
则•≥1等价为2x+y≥1，
作出不等式对应的区域，为五边形DCBE，
当y=0时，x=，即E（，0），
则△ADE的面积S==，
则五边形DCBE的面积S=2﹣=，
则•≥1的概率P==，
故选：D．
【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据向量数量积的坐标关系，求出对应区域面积，是解决本题的关键．
9．在正四面体A﹣BCD中，有下列四个命题，其中真命题的个数为（）
①每组对棱异面垂直；
②连接每组对棱的中点，则这三线交于一点；
③在棱CD上至少存在一个点E，使∠AEB=；
④正四面体的外接球的半径是其棱长的倍．
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】棱柱的结构特征．
【分析】利用正四面体的特征，作图即可得到答案
【解答】解：①正四面体A ﹣BCD 的高线中心正好在底面正三角形的三线合一“三等分”上，形成直角三角形，根据“三垂线定理”，每组对棱异面垂直；正确 ②底面是正三角形，连接每组对棱的中点，刚好三线交于一点；正确 ③只有到高线投影落在CD 上时，才存在一个点E ，使得∠AEB=
；而正四面体A ﹣BCD 的
高线中心正好在底面正三角形的三线合一上，不可能在CD ，不成立 ④正四面体的外接球的半径是其棱长的
倍．正四面体球心在高线上，利用球心到各顶点
的距离相等构造勾股定理即可找到关系．正确 所以：①②④正确 故答案为：C
【点评】本题考查了正四面体特征和外接球的证明，由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的．难度不大，属于基础题． 10．双曲线C ：
=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线与双
曲线的两支分别交于点P 、Q ．若△PQF 2为等边三角形，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．7
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】根据双曲线的定义，建立方程关系求出OF 1，QF 1的大小，利用余弦定理进行求解即可．
【解答】解：作出相应的图象如图： 设△PQF 2的边长为x ， 则|PF 1|﹣|PF 2|=2a ， 即|QF 1|=2a ， 由|QF 2|﹣|QF 1|=2a ， 则|QF 2|=|QF 1|+2a=2a+2a=4a ， ∠F 1QF 2=120°， 在三角形QF 1F 1，中，
4c 2=4a 2+16a 2﹣2×2a ×4a ×（﹣）， 即4c 2=4a 2+16a 2+8a 2=28a 2，
即c2=7a2，
则c=a，
即e==，
故选：A
【点评】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据双曲线的定义建立方程关系，以及利用余弦定理结合双曲线离心率的定义是解决本题的关键．
11．已知函数f（x）=cos2xcosφ﹣sin2xsinφ（0＜φ＜）的图象的一个对称中心为（，0），则下列说法不正确的是（）
A．直线x=π是函数f（x）的图象的一条对称轴
B．函数f（x）在[0，]上单调递减
C．函数f（x）的图象向右平移个单位可得到y=cos2x的图象
D．函数f（x）在[0，]上的最小值为﹣1
【考点】三角函数中的恒等变换应用；余弦函数的图象．
【分析】利用两角和的余弦化简，由题意求得φ，然后利用余弦函数的性质逐一核对四个选项得答案．
【解答】解：∵f（x）=cos2xcosφ﹣sin2xsinφ=cos（2x+φ）的图象的一个对称中心为（，0），
∴cos（φ）=0，则φ=，
∴φ=．
∵0＜φ＜，∴φ=．
则f（x）=cos（2x+）．
∵f（）=cos（2×）=cosπ=﹣1，∴直线x=π是函数f（x）的图象的一条对称轴，故A正确；
当x∈[0，]时，2x+∈[]，∴函数f（x）在[0，]上单调递减，故B正确；
函数f（x）的图象向右平移个单位，得到y=cos[2（x）]=cos（2x）的图象，故C错误；
当x∈[0，]时，2x+∈[]，∴函数f（x）在[0，]上的最小值为cosπ=﹣1，故D正确．
故选：C．
【点评】本题考查三角函数值的恒等变换应用，考查了余弦型函数的图象和性质，是中档题．12．已知函数f（x）=（e x+1）（ax+2a﹣2），若存在x∈（0，+∞），使得不等式f（x）﹣2＜0成立，则实数a的取值范围是（）
A．（0，1） B．（0，）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，）
【考点】特称命题．
【分析】由题意分离出a可得存在x∈（0，+∞），使得不等式a＜+成立，由函数的单调性求出右边式子的最大值可得．
【解答】解：由题意可得存在x∈（0，+∞），使得不等式（e x+1）（ax+2a﹣2）﹣2＜0成立，
故可得存在x∈（0，+∞），使得不等式（e x+1）（ax+2a﹣2）＜2成立，
即存在x∈（0，+∞），使得不等式a（x+2）＜2+成立，
即存在x∈（0，+∞），使得不等式a＜+成立，
又可得函数g（x）=+在x∈（0，+∞）单调递减，
∴g（x）＜g（0）=，∴实数a的取值范围为（﹣∞，）
故选：D．
【点评】本题以特称命题为载体，考查函数的单调性和值域，属中档题．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上．
，8）是抛物线y2=8x上一点，则点P到其焦点的距离为．
13．已知点P（x
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】将P的坐标代入抛物线的方程，可得P的坐标，求得抛物线的焦点的坐标，运用两点的距离公式计算即可得到所求距离．
，8）是抛物线y2=8x上一点，
【解答】解：P（x
==8，
可得x
抛物线y2=8x的焦点F（2，0），
则点P到其焦点的距离为=10．
故答案为：10．
【点评】本题考查抛物线的方程和运用，注意运用点满足抛物线的方程，以及两点的距离公式，考查运算能力，属于基础题．
14．已知实数x，y满足不等式组，则x2+y2的取值范围是．
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用x2+y2的几何意义求最值．【解答】解：设z=x2+y2，则z的几何意义为动点P（x，y）到原点距离的平方．
作出不等式组对应的平面区域如图：
由得C（3，4），由图象可知点C（3，4）到原点的距离最大，最大值为5．点B（1，0）到原点的距离最小，最小值为z=1．
x2+y2的取值范围是[1，25]．
故答案为：[1，25]．
【点评】本题主要考查两点间的距离公式，以及简单线性规划的应用，利用目标函数的几何意义是解决线性规划内容的基本方法，利用数形结合是解决本题的关键．
15．志强同学在一次课外研究性学习中发现以下一系列等式成立： =（）2， =（）3，，…，于是他想用符号表示这个规律，
他已经写了一部分，请帮他补充完整，若a，b∈R，b≠1，ab=1，n∈N*，则．
【考点】归纳推理．
【分析】根据已知中的等式，分析等式两边式子的变化规律，可得答案．
【解答】解：由已知中的等式：
=（）2，
=（）3，
，
…，
归纳可得：等式左边的分子为1+a n，分母为1+b n，
等式右边的底数为：，指数为n ，
故得到的一般规律为：，
故答案为：
【点评】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．
16．已知△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积是c 2，则的最大值为 ．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】由余弦定理得a 2+b 2=c 2﹣2abcosC ，由面积公式可得c 2=absinC ，从而得出关于C 的函数，求出此函数的最大值即可． 【解答】解：∵在△ABC 中，S=
=
，∴c 2=absinC ．
由余弦定理得a 2+b 2﹣c 2=2abcosC ，∴a 2+b 2=c 2+2abcosC ， ∴==2sinC+2cosC=2sin （C+
）．
∴当C=
时，
取得最大值2
．
故答案为：2
．
【点评】本题考查了余弦定理，正弦函数的图象与性质，属于中档题．
三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）（2016•安庆模拟）已知递增的等差数列{a n }的首项是1，S n 是其前n 项和，且
（n ∈N *）．
（1）求数列{a n }的通项公式a n ；
（2）设b n =a n •2an ，求数列{b n }的前n 项和T n ． 【考点】数列的概念及简单表示法；数列递推式．
【分析】（1）设等差数列{a n }有公差为d ，d ＞0；从而化简可得3d 2+d ﹣4=0，从而解得d=1，从而写出通项公式；
（2）化简b n =a n •2an =n •2n ，从而利用错位相减法求其前n 项和．
【解答】解：（1）设等差数列{a n }有公差为d ，d ＞0； 则1+
+
=，
整理可得，3d 2+d ﹣4=0， 解得，d=1或d=﹣（舍去）， 故数列{a n }的通项公式a n =n ； （2）b n =a n •2an =n •2n ，
故T n =1×2+2×4+3×8+…+n •2n ， 2T n =1×4+2×8+3×16+…+n •2n+1， 作差可得：
﹣T n =2+4+8+…+2n ﹣n •2n+1， =2n+1﹣2﹣n •2n+1， 故T n =（n ﹣1）•2n+1+2．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的性质应用及整体思想与方程思想的应用，属于中档题．
18．（12分）（2016•安庆模拟）为贯彻落实教育部6部门《关于加快发展青少年校园足球的实施意见》，全面提高我市中学生的体质健康水平，培养拼搏意识和团队精神，普及足球知识和技能，市教体局决定举行春季校园足球联赛．为迎接此次联赛，甲中学选拔了20名学生组成集训队，现统计了这20名学生的身高，记录入如表：（设ξ为随机变量） 身高（cm ） 168
174
175
176
178
182
185
188
人数
1
2
4
3
5
1
3
1
（1）请计算这20名学生的身高的中位数、众数，并补充完成下面的茎叶图；
（2）身高为185cm 和188cm 的四名学生分别记为A ，B ，C ，D ，现从这四名学生选2名担任正副门将，请利用列举法列出所有可能情况，并求学生A 入选门将的概率．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图．
【分析】（1）由20名学生的身高统计表，能求出这20名学生的身高的中位数为、众数并能作出茎叶图．
（2）利用列举法求出正副门将的所有可能情况和学生A入选正门奖的有多少种可能，由此能求出学生A入选正门将的概率．
【解答】解：（1）由20名学生的身高统计表，得到这20名学生的身高的中位数为177cm，众数为178cm，
茎叶图为：
（2）正副门将的所有可能情况为：
（A，B），（B，A），（A，C），（C，A），（A，D），（D，A），（B，C），（C，B），（B，D），（D，B），（C，D），（D，C），
共12种，
其中，学生A入选正门奖的（A，B），（A，C），（A，D）3种可能，
∴学生A入选正门将的概率为．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意告示机能事件概率计算公式的合理运用．
19．（12分）（2016•安庆模拟）在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=2AB=2，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，E为PD的中点，在平面PCD内作EF⊥PC于点F．
（1）求证：F为PC的中点；
（2）求点F到平面ACE的距离．
【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的性质．
【分析】（1）由直线与平面垂直的判断与性质，可得EF∥CD，证明E为PD的中点，即可证明F为PC的中点；
（2）利用等体积法，可得点F到平面ACE的距离．
【解答】证明：（1）∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥CD，
∵∠ACD=90°，
∴AC⊥CD，
∵PA∩AC=A，
∴CD⊥平面PAC，
∴CD⊥PC，
∵EF⊥PC，EF⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，
∴EF∥CD，
∵E为PD的中点，
∴F为PC的中点；
解：（2）连接AF，
∵CD⊥平面PAC，EF∥CD，
∴EF⊥平面PAC．即EF为三棱锥E﹣AFC的高
∵CD=2，
∴EF=，
从而V
E﹣FAC
==
在Rt△PAD中，AE=CE=PD==
于是S
△AEC
==2，
设F到平面AEC的距离为h
由V
E﹣FAC =V
F﹣AEC
即，∴h=．
故F到平面AEC的距离为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
【点评】本题考查直线与平面垂直的判断与性质，点到平面的距离的距离的求法，等体积方法的应用，考查转化思想以及计算能力．
20．（12分）（2016•安庆模拟）在平面直角坐标系中，椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，其左顶点为A，上顶点为B且△AOB的面积为4．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若直线l：y=x+m交椭圆E于点G，H，原点O到直线l的距离为，试判断点O与以线段GH为直径的圆的位置关系，并给出理由．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）A（﹣a，0），B（0，b），S
△AOB
=ab=4，可得ab=8，又，a2=b2+c2，联立解得即可得出．
（2）点O在以线段GH为直径的圆上．证明如下：设G（x
1，y
1
），H（x
2
，y
2
）．直线方程
与椭圆方程化为：5x2+8mx+4m2﹣16=0，△＞0．原点O到直线l的距离为，可得5m2=32．把
根与系数关系代入可得=x
1x
2
+y
1
y
2
=2x
1
x
2
+m（x
1
+x
2
）+m2=0，即可证明结论．
【解答】解：（1）A（﹣a，0），B（0，b），S
△AOB
=ab=4，可得ab=8，又，a2=b2+c2，联立解得a=4，c=2，b=2．
∴椭圆E的标准方程为=1．
（2）点O在以线段GH为直径的圆上．证明如下：设G（x
1，y
1
），H（x
2
，y
2
）．
联立，化为：5x2+8mx+4m2﹣16=0，△=64m2﹣20（4m2﹣16）＞0，化为：m2＜20．
∴x
1+x
2
=，x
1
x
2
=，
∵原点O到直线l的距离为，∴=，可得5m2=32．
∵=x
1x
2
+y
1
y
2
=x
1
x
2
+（x
1
+m）（x
2
+m）=2x
1
x
2
+m（x
1
+x
2
）+m2=m×+2×
+m2==0，∴，
∴点O在以线段GH为直径的圆上．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、数量积运算性质、圆的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
21．（12分）（2016•安庆模拟）已知函数．
（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线与直线x+3y=0垂直，求实数a的值；
（2）求证：函数f（x）的最小值大于．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）求出，由题意结合导数的几何意义得f′（x）=a+1=3，由此能求出a．
（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），=，由此得用导数性质求出a=0时，f（x）的最小值为f（）＞，a＞0时，f（x）的最小值为，构造函数，则g′（x）=1﹣=＜0，由此利用导数性质能证明函数f（x）的最小值大于．
【解答】解：（1）∵函数，
∴，
∵曲线y=f（x）在x=1处的切线与直线x+3y=0垂直，
∴f′（x）=a+1=3，解得a=2．
证明：（2）函数的定义域为（0，+∞），
=，
①a=0，当x∈（0，）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
当x∈（）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
∴函数f（x）的最小值为f（）==1+ln2＞1+ln=．
﹣1=0，
②a＞0，令f′（x）=0，则∈（0，1），且满足+2x
）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
当x∈（0，x
当x ∈（x 0，+∞）时，f ′（x ）＞0，函数f （x ）单调递增， ∴f （x ）的最小值为：
=
， 构造函数
，则g ′（x ）=1﹣=
＜0，
∴g （x ）在（0，1）上单调递减，∴g （x ）=g （1）=， 此时，函数f （x ）的最小值为
＞，
综上所述，函数f （x ）的最小值大于．
【点评】本题考查实数值的求法，考查函数的最小值大于的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意导数的性质、导数的几何意义的合理运用．
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按多做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]
22．（10分）（2016•安庆模拟）如图所示，⊙O 1与⊙O 2外切于点P ，从⊙O 1上点A 作的切线AB ，切点为B ，连AP （不过O 1）并延长与⊙O 2交于点C ． （1）求证：AO 1∥CO 2； （2）若
，求⊙O 1的半径与⊙O 2的半径之比．
【考点】与圆有关的比例线段．
【分析】（1）利用等腰三角形的性质，证明角相等，即可证明：AO 1∥CO 2；
（2）由切割线定理得出AP=2PC ，由（1）可得△O 1AP ∽△O 2CP ，即可求⊙O 1的半径与⊙O 2的半径之比．
【解答】（1）证明：连接O 1O 2，则O 1O 2过点P ， ∴∠O 1PA=∠O 2PC
∵∠O 1PA=∠O 1AP ，∠O 2PC=∠O 2CP ，
∴∠O 1AP=∠O 2CP ∴AO 1∥CO 2；
（2）解：设AB=2t ，AC=
t ，
由切割线定理可得AB 2=AP •AC ， ∴AP=
=
t ，PC=
t ，
∴AP=2PC ，
由（1）可得△O 1AP ∽△O 2CP ， ∴
=
=2，
∴⊙O 1的半径与⊙O 2的半径之比为2：1．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，考查切割线定理的运用，考查三角形相似的判定与性质，属于中档题．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．（2016•安庆模拟）在平面直角坐标系xOy 中，以O 为原点，以x 轴正半轴建立极坐标
系，曲线C 的极坐标方程为ρ2﹣4ρsin θ+3=0，直线l 的参数方程为
，（t
为参数）．
（1）写出曲线C 和直线l 的直角坐标方程；
（2）若点A ，B 是曲线C 上的两动点，点P 是直线l 上一动点，求∠APB 的最大值． 【考点】参数方程化成普通方程．
【分析】（1）将ρ2=x 2+y 2，ρsin θ=y 代入极坐标方程得出曲线C 的直角坐标方程，将直线l 的参数方程两式相加消去参数t ，得到直线l 的普通方程；
（2）计算圆心C 到直线l 的距离可知直线与圆C 相离，过P 做圆C 的切线，则当OP 最小，A ，B 为切点时，∠APB 最大．
【解答】解：（1）∵ρ2﹣4ρsinθ+3=0，∴曲线C的直角坐标方程为：x2+y2﹣4y+3=0，即x2+（y﹣2）2=1．
∵直线l的参数方程为，∴x﹣1+y﹣3=0，即x+y﹣4=0．
（2）曲线C的圆心C（0，2）到直线l的距离d=＞1．
∴直线l与圆C相离．
过点P作圆C的切线，则当A，B为切点时，∠APB最大．
连结OP，OA，则∠OPA=∠APB，sin∠OPA==．
∴当OP取得最小值时，sin∠OPA取得最大值，即∠OPA的最大值为，
∴∠APB的最大值为2∠OPA=．
【点评】本题考查了极坐标方程，参数方程与直角坐标方程的互相转化，直线与圆的位置关系，属于中档题．
[选修4-5：不等式选讲]
24．（2016•安庆模拟）已知a＞0，b＞0，且的最小值为t．
（1）求实数t的值；
（2）解关于x的不等式：|2x+1|+|2x﹣1|＜t．
【考点】绝对值不等式的解法；基本不等式．
【分析】（1）利用基本不等式求得的最小值，再根据的最小值为t，求得t的值．
（2）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
【解答】解：（1）∵已知a＞0，b＞0，且≥2+2
≥2=4，当且仅当a=b=1时，取等号，
故t=4．
（2）∵|2x+1|+|2x﹣1|＜t=4，∴①，
或②，或③．。