第 7 讲 范数理论 (2)

矩阵理论及其应用
第七讲范数理论(2)
李东
重庆大学数学与统计学院
CQU
◆矩阵范数的性质
◆向量和矩阵序列的极限定义
◆矩阵范数的应用
CQU
基本性质
（从定义直接得到）
CQU
CQU
定义4.6 若n ×n 矩阵A 的全部特征值为λ1,λ2,⋯,λn ，则称ρA =min i
|λi |为方阵A 的谱半径。

性质1
性质2（定理4.2.1）设A ，P ，Q 是数域K 上的n ×n 矩阵，P ，Q 为酉阵，即：
，则
CQU
证明：
该定理的意义在于：Furobenius 范数在酉矩阵的作用下不变。

性质3（定理4.2.2）方阵A ∈K n×n 的任一种范数是A 的元素的连续函数。

（证明略）
性质4（P95 命题）设矩阵范数A 与向量范数x 相容，则ρA ≤A。

（思考讨论）
性质5（定理4.2.3）对于任意A∈K n×n的任意两种范数‖A‖a 和‖A‖b,均存在常数k2≥k1>0，使得
k1‖A‖b≤‖A‖a≤k2‖A‖b
（类似向量范数的等价性，证明从略）
定义4.5 设‖x‖a是K n的一个向量范数，对于A∈K n×n，则
‖A‖a=max
‖Ax‖a是一个与‖x‖a相容的方阵范数，称此矩‖x‖a=1
CQU
阵范数从属于向量范数‖x‖a的算子范数。

性质6（定理4.2.4）设A∈K n×n,x∈K n,则从属于向量x的三种范数‖x‖1，‖x‖2，‖x‖∞的矩阵算子范数分别是
(1) ‖A‖1=max
j σi=1
m a
ij
(2) ‖A‖2=max
1≤i≤n
൯
λi(A H A=൯
ρ(A H A
(3) ‖A‖∞=max
i σj=1
n a
ij
(这里给出结论，证明可见教材或上节课PPT)
CQU
性质7（定理4.2.5）对于任意的矩阵范数A,A∈K n×n，必在K n上存在与之相容的向量范数。

证明：找到一种即可。

构造‖x‖a=xαT,x,α∈K n,α≠0。

现验证‖x‖a是范数且和A相容即可。

对于‖x‖a，非负性和齐次性显然满足。

‖x+y‖a=(x+y)αT=xαT+yαT
≤xαT+yαT=‖x‖a+‖y‖a，满足三角不等式。

CQU
CQU
‖Ax‖a =Axα
T ≤A xαT =A ‖x‖a 故满足相容性。

于是‖x‖a =xαT 就是矩阵范数A 相容的向量范数。

性质8（定理4.2.6）设A ∈K n×n ，则(i)
(ii)
(iii) P ，Q
为酉阵，则
CQU 证明：设σ(A)为矩阵A 的特征值集合。

由于(i)
所以只要证明
(1)
若，则存在，使得
(2)
CQU
从而，对(2)两边同时左乘A ，得即，所以。

同理，若，
，则。

由，
故从而
（3
）
CQU
又由得(4)
由得
(5)将(2)-(5)结合起来，得到
(1).
CQU
(ii) 故得到从而。

(iii)
◆矩阵范数的性质
◆向量和矩阵序列的极限定义
◆矩阵范数的应用
CQU
一、向量序列的极限
定义3 设n维向量空间K n中的向量序列{x(k)},其中x(k)=
(k)构成的
ξ1(k),ξ2(k),…ξn(k),k=1,2…。

如果每一个分量ξ
i
序列当k→∞时都有极限ξi，记x=ξ1,ξ2,…,ξn，则称向
量序列{x(k)}有极限x,或者称x(k)收敛到x,记为
lim
x k=x，或x(k)→x 。

k→∞
CQU
不收敛的向量序列称为是发散的。

定理4.1.2：向量序列{x(k)}收敛于x的充分必要条件是，对任意的范数，lim
k→∞
||x k−x||=0。

证明:由于向量范数等价，以无穷范数进行证明。

lim k→∞x k=x⇔lim
k→∞
|ξ
i
k−ξ
i
|=0(∀i)
⇔lim
x→∞
||x k−x||=0
CQU
CQU
二、矩阵序列的极限
定义4 设n 维向量空间K n 中的方阵序列{A k },其中
A k =
a 11k a 12k ⋯a 1n
k a 21
k a 22
k ⋯a 2n
k ⋮
⋮
⋱⋮
a n1k a n2
k ⋯a nn
k
如果每一个元素构成的序列{a ij
k
}当k →∞时都有极限a ij ，
即：lim k→∞
a ij k
=a ij (i,j =1,2,…n )，则称方阵序列{A k }收
敛于A,记为lim k→∞
A k =A (A =(a ij )n×n )。

定理5.1.1 方阵序列{A k}收敛于A的充分必要条件是，对任
意的范数，lim
||A k−A||=0。

k→∞
证明:根据性质5（定理4.2.3），对于任意A∈K n×n的任意
两种范数‖A‖a和‖A‖b,均存在常数k2≥k1>0，使得
k1‖A‖b≤‖A‖a≤k2‖A‖b。

不妨取‖A‖b=max
|a ij|，‖A‖a为任意的范数。

i,j
CQU
于是，方阵序列{A k}收敛于A，当且仅当
CQU
lim k→∞
a ij k
=a ij (i,j =1,2,…n )
当且仅当lim k→∞
|a ij
k
−a ij |=0,(i,j =1,2,…n )。

当且仅当lim k→∞max i,j
|a ij
k
−a ij |=0。

当且仅当lim k→∞
‖A k −A‖b =0.
根据不等式的互为夹逼准则的关系，得到
lim k→∞
‖A k −A‖a =0。

◆矩阵范数的性质
◆向量和矩阵序列的极限定义
◆矩阵范数的应用
CQU
一、误差估计的范数理论
定义5 若数字矩阵A=(a ij)的每个元素a ij有误差δij，即准
确矩阵为A+δ=a ij+δij=(a ij+δij)，称δ=δij
为摄动矩阵。

讨论两个问题：
(1)若A可逆时，A和δ满足什么条件时，A+δ可逆？
CQU
(2)当A+δ可逆时，A−1与(A+δ)−1的近似程度如何估计？
定理4.3.1 若‖A‖a<1,‖A‖a与‖x‖a相容，则E−A可逆，且‖(E−A)−1‖a≤1
1−‖A‖a。

（证明略）
定理4.3.2设A为非奇异矩阵，δ为摄动矩阵,且‖A−1δ‖a<1，则(i)A+δ为非奇异矩阵。

(ii) (A+δ)−1可表示为(E+F)A−1,其中‖F‖a≤‖A−1δ‖a
1−‖A−1δ‖a。

(iii) ‖A−1−(A+δ)−1‖a
‖A−1‖a ≤‖A−1δ‖a
1−‖A−1δ‖a。

（证明略）
CQU
二、线性方正组的摄动
求解A x=b时，A或b的有摄动对解x有何影响？ 设A 精确，b有摄动Δb，得到的解为x+Δx，即
A(x+Δx)=b+Δb
⇒Δx=A−1Δb，⇒||Δx||≤||A−1||⋅||Δb||
又||b||=||Ax||≤||A||⋅||x||，⇒1
||x||≤||A||
||b||
故||Δx||
||x||≤||A||⋅||A−1||⋅||Δb||
||b||。

（定理4.3.3）
CQU
CQU
设b 精确，A 有摄动ΔA ，得到的解为x +Δx 即
(A +ΔA)(x +Δx)=b
()()A x x A x x b
+∆+∆+∆=1
()
x A A x x -⇒∆=-∆+∆11
||||||||||||
||||
||||
||||||||||||
x A A x x A A A A --∆⇒≤⋅+∆∆=⋅⋅
()()A A x A A x b
+∆++∆∆=()A A x Ax ⇒+∆∆=-∆1
()A I A A x Ax
-⇒+∆∆=-∆111()x I A A A Ax
---⇒∆=-+∆∆(只要ΔA 充分小，使得
11||||||||||||1)
A A A A --∆≤⋅∆<
CQU
(结论参考定理4.3.4)
1
1
1
1
||||
||||||||||||||||||||||||||||||||1||||||||1||||||||||||
A A A x A A A A x A A A A A ----∆⋅⋅∆⋅∆⇒≤=∆-⋅∆-⋅⋅
P88: 8，9，10，11，14
P127:2
CQU。